Mittelwerte und Lagemaße erklärt

„Die Mitte“ der Daten ist keine einzelne Zahl, sondern eine Entscheidung: Der Mittelwert macht die Quadratsumme der Abweichungen klein, der Median die Betragssumme, und je nach Frage, Ausreißern und Art der Größe ist eine andere Zahl die richtige. Diese Linie nimmt das ernst. Sie fragt, wie genau ein Rechner ein Mittel aus Millionen Zahlen überhaupt ausrechnet, wie viel Median man gegen Ausfälle braucht und wo in der Ebene der Standort mit dem kürzesten Gesamtweg steht. Und sie fragt, welches Mittel zu einer Rate gehört und was die Mitte einer Uhrzeit oder einer Verteilung ist.

Mehrfach hält die schöne Vermutung nicht: Die übliche Verbesserung der Summe nach Neumaier ist bei einfacher Genauigkeit und Werten um 1 000 ungenauer als die nach Kahan, Median-of-Means schlägt bei Normalverteilung das gewöhnliche Mittel im getesteten Raster in keinem Niveau, und bei zwei Häufungen von Uhrzeiten im Abstand von 120° liegt das Kreismittel in allen erzeugten Datensätzen im Leeren dazwischen. Die Linie hat drei Äste ab dem Mittelwert: robuste Schätzer samt Absicherung bei schweren Rändern, das Strafmaß samt Standort in der Ebene und das passende Mittel für Quotienten, Gewichte, Uhrzeiten und Verteilungen. Alle Ergebnisse sind Befunde über erzeugte Daten und gewählte Szenarien, keine Messungen an echten Sendungen.

In short: Interactive demos on averages and measures of location: mean versus median, penalties for long distances, trimmed means and Huber, the geometric median, median-of-means, and centers for rates, circles and distributions. Each demo tests the alternatives on simulated data and states its assumptions.

Hintergrund zum Thema: Netzwerkdesign · Bestandsmanagement.

Diese Seite gehört zu Algorithmen und Verfahren erklärt. So lesen Sie sie: Das Diagramm zeigt, wie die Stücke zusammenhängen. Jede Kachel darunter öffnet eine interaktive Demo, wo es eine gibt, mit einer Erklärseite für Einsteiger und Fachleute. Auf der Suche nach einer Lösung für ein konkretes Problem? Zu den Interaktiven Demos.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

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Zum Nachlesen: erst einfach, dann fachlich

Die sieben Stücke im Überblick

Die Wurzel fragt, welche Zahl man will und wie genau der Rechner sie liefert. Von ihr führen drei Kanten. Ein einzelner Ausreißer zieht das Mittel beliebig weit und der Median verliert Effizienz: daraus entstehen Trimmen, Hodges–Lehmann und Huber, und bei schweren Rändern die Absicherung durch Median-of-Means. Dieselbe Frage mit anderem Strafmaß stellt die Lp-Mitte, und weil es in der Ebene für den kürzesten Gesamtweg keine Formel gibt, folgt der Weber-Punkt.

Der dritte Ast geht dorthin, wo das Mittel nicht zur Größe passt: bei Quotienten und Gewichten, und von dort bei Uhrzeiten und ganzen Verteilungen, wo nur die Idee bleibt, die Mitte als Minimierer einer Abstandssumme zu definieren.

Die Kästen sind klickbar und öffnen die jeweilige Demo direkt.

• behebt eine Schwäche des Vorgängers oder baut darauf auf
• Gegenstück: derselbe Zweck, andere Bauweise (kein Fix)
• übernimmt nur eine Idee
• Baustein aus einer anderen Linie

Der gestrichelte Doppelpfeil ist ein Kontrast (gleiche Aufgabe, anderes Ziel oder andere Regel), gepunktete Pfeile übernehmen nur eine Idee, graue gestrichelte Knoten sind Bausteine aus anderen Linien. Die Stücke lassen sich in beliebiger Reihenfolge lesen, ein Pfeil ist keine vorgeschriebene Reihenfolge.

Verwandt in anderen Linien

• Standortplanung — Die Standortplanung wählt Standorte aus einer Liste von Kandidaten, der Weber-Punkt dieser Linie sucht den besten Punkt der ganzen Ebene. Das Maximum-Ende der Lp-Mitte, der kleinste umschließende Kreis, ist das 1-Center, das die p-Center-Demo nur als Radiusvergleich rechnet.
• Clustering — Das Zentrum eines Clusters ist eine Mitte, und die k-Means-Demo schaltet es zwischen Mittelwert und Medoid um. Die Mittelwert-Median-Demo zeigt, was die Wahl der Mitte bei einem falsch gebuchten Kunden kostet, und die Lp-Mitte, dass in der Demo kein Strafmaß für Summe, Quadratsumme und längsten Weg zugleich optimal ist.
• Zustandsschätzung und Filter — Im robusten Filter zählen GPS-Messungen mit großer Abweichung nach Huber weniger, und ein echtes Manöver sieht zuerst wie ein Ausreißer aus. Die Trimm-und-Huber-Demo dieser Linie zeigt dieselbe Gewichtung für eine einzelne Zahlenreihe samt der Lage ihrer Klippen.
• Experimente und Wirkungsmessung — Der Permutationstest nutzt das Winsorisieren als Vorbehandlung eines Tests. Die Trimm-und-Huber-Demo misst es als Schätzer der Lage und zeigt, dass es bei zweiseitigen Ausfällen schlechter als das Mittel sein kann.
• Kausale Diagramme und Adjustierung — Die Konfundierung erklärt, warum eine gemeinsame Ursache das Vorzeichen eines Vergleichs kippt. Die Raten-Demo stellt dieselbe Umkehr als Frage nach dem Gewicht, ohne die Kausalmechanik zu wiederholen: Bei gleicher wahrer Standortquote liegt Gruppe B in 81,3 % der Vergleiche vorn, wenn man die Gesamtquote nimmt und die Nachfrage mit der Quote gekoppelt ist, im ungewichteten Mittel der Quoten in 50,2 %.
• Zeitreihen-Prognose — Die Prognosekombination mittelt Punktprognosen mit Mittelwert, Median oder Gewichten. Die Mitte im Raum mittelt ganze Prognoseverteilungen, einmal als Mischung und einmal als Quantilmittel: Im CRPS unterscheiden sich beide bei überzuversichtlicher Meldung nur wenig, in der Abdeckung des 80-%-Intervalls bei einem Lagefehler von 2 aber deutlich (72,2 gegen 53,9 %).
• Ranking — Die Rangaggregation fasst viele Ordnungen zu einer zusammen, Borda summiert Plätze und Kemeny minimiert den Gesamtabstand. Die Mitte im Raum definiert die Mitte als Minimierer der Abstandssumme in einem beliebigen Raum und verweist für Rangfolgen auf diese Demo.

Weitere Linien in diesem Bereich