Mehrkriterielle Entscheidungen und Rangfolgen erklärt
Fünfzehn Stücke mit demselben wachsenden Beispiel: eine neutrale, simulierte Entscheidungsmatrix aus Alternativen, die nach mehreren Kriterien gemessen sind (Punkte, Euro, Minuten), und ein simulierter Entscheider, dessen verborgene Gewichte und Nutzenform nur die Simulation kennt. Es gibt keine wahre Rangfolge; das Orakel ist der verborgene Nutzen, und geprüft wird, wie oft ein Verfahren dessen Besten trifft, wie stabil es bei Störungen bleibt und wie weit die Verfahren untereinander abweichen. Die Wurzel ist die Pareto-Dominanz: Sie zeigt, wie wenig ohne Gewichte ausscheidet. Jedes Folgestück behebt eine Schwäche des Vorgängers, vom Normieren und Erheben der Gewichte über AHP, TOPSIS und Outranking bis zu unsicheren Gewichten, DEA und dem Vergleich der Verfahren.
Mehrere Stücke enden mit einem Negativbefund: Die Pareto-Dominanz ordnet kaum, TOPSIS ordnet nicht besser als die Summe, die DEA ist als Rangfolge schlechter als gleiche Gewichte, und die Übereinstimmung mehrerer Verfahren belegt nicht, dass ihr Sieger richtig ist. Ehrliche Einschränkung: Alles ist simuliert, ein Entscheider mit bekannter Nutzenformel ist ein Modell und kein Mensch, und die Aussagen gelten für den Generator mit seinen Annahmen. Die Demos prüfen ihren Kern gegen eine unabhängige Referenz (Orakel-Tests) und messen auf festen Matrizen, nie an einem einzelnen Seed.
In short: Covers multi-criteria decision analysis (MCDA): Pareto dominance, weighted sums, AHP, TOPSIS, ELECTRE, PROMETHEE, SMAA and DEA. Interactive demos rank alternatives from one simulated decision matrix and compare the methods.
Diese Seite gehört zu Algorithmen und Verfahren erklärt. So lesen Sie sie: Das Diagramm zeigt, wie die Stücke zusammenhängen. Jede Kachel darunter öffnet eine interaktive Demo, wo es eine gibt, mit einer Erklärseite für Einsteiger und Fachleute. Auf der Suche nach einer Lösung für ein konkretes Problem? Zu den Interaktiven Demos.
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Zum Nachlesen: erst einfach, dann fachlich
Die Rangumkehr verständlich erklärt
Warum sich die Reihenfolge der alten Alternativen ändern kann, wenn eine neue dazukommt, obwohl an den alten nichts geändert wurde, und wann das ein Fehler ist: erst für Einsteiger ohne Formeln, dann für Fachleute mit Modell, Formeln und Messwerten.
Die 15 Stücke im Überblick
Die Pareto-Dominanz ist die Wurzel. Aus ihr folgt die gewichtete Summe, weil ohne Gewichte zu viele Alternativen übrig bleiben. Von der Summe zweigt die Linie nach der Schwäche, die jeweils behoben wird: woher die Gewichte kommen (Gewichte erheben, dann AHP, unsichere Gewichte mit SMAA und das Lernen aus Beispielurteilen), der Abstand zum Idealpunkt (TOPSIS), das Verbot des Ausgleichs (ELECTRE, dann PROMETHEE), Kriterien, die doppelt zählen (Wechselwirkung), und Gewichte, die jede Alternative selbst wählt (DEA).
AHP und TOPSIS führen zur Rangumkehr, und aus ihr folgt die Zuordnung gegen feste Profile, bei der eine neue Alternative die alten nicht mehr verschiebt. AHP führt außerdem zur Gruppe von Entscheidern. SMAA und das Lernen aus Beispielen sind zwei Fassungen derselben Frage (welche Gewichte sind verträglich?), einmal gesampelt, einmal per LP ausgelotet. Der Verfahrensvergleich führt die Stränge am Ende zusammen.
Die Kästen sind klickbar und öffnen die jeweilige Demo direkt.
- behebt eine Schwäche des Vorgängers oder baut darauf auf
- Gegenstück: derselbe Zweck, andere Bauweise (kein Fix)
- übernimmt nur eine Idee
- Zusammenfluss mehrerer Stränge
- Baustein aus einer anderen Linie
Gestrichelt umrandete Knoten sind Demos aus anderen Linien: das Mehrkriterien-Routing, das die Pareto-Front über Pfade erzeugt, NSGA-III, das bei vier Zielen die Sättigung der Dominanz zeigt, und die Dualität der Linearen Programmierung, die erklärt, warum die Multiplikatoren der DEA Schattenpreise sind.
Verwandt in anderen Linien
- Kürzeste Wege — Im Mehrkriterien-Routing wird die Pareto-Front über Pfade erzeugt, und die gewichtete Summe verpasst dort 69 bis 83 % der Front. Die Mehrkriterien-Ranking-Linie beginnt dort, wo die Menge schon gegeben ist, und fragt, wie man aus ihr eine Rangfolge macht.
- Populations-Metaheuristiken — NSGA-III zeigt bei vier Zielen, dass die Population oft ganz nichtdominiert ist (Front 1 füllt in 62 bis 93 % der Generationen die Population) und die Rangselektion nichts mehr unterscheidet. Die Pareto-Dominanz der Mehrkriterien-Ranking-Linie misst dasselbe an einer gegebenen Menge, ohne Suchlauf.
- Lineare Programmierung — DEA löst je Alternative ein LP, und die robuste ordinale Regression fragt per LP nach allen verträglichen Wertfunktionen; die Dualität und Sensitivität erklärt, warum die Multiplikatoren der DEA Schattenpreise sind.
- Optimierung unter Unsicherheit — Die notwendigen Aussagen der robusten ordinalen Regression gelten für alle verträglichen Modelle, die Rangakzeptanz bei unsicheren Gewichten (SMAA) ist ihre Wahrscheinlichkeitsfassung; Robust planen fragt nach der Lösung, die bei unsicheren Zahlen standhält, hier stehen unsichere Gewichte im Mittelpunkt.
- Ranking — Learning to Rank lernt aus Merkmalen eine Ordnung der Spieler, die ordinale Regression per LP eine Wertfunktion aus wenigen geordneten Referenzen; der Verfahrensvergleich der Ranking-Linie bewertet Rating-Verfahren aus Paarvergleichen statt Mehrkriterien-Verfahren.
Pareto-Dominanz: was ohne Gewichte übrig bleibt
Verfolgen Sie, wie eine Entscheidungsmatrix ohne Gewichte ausgedünnt wird: Eine Alternative scheidet aus, wenn eine andere nirgends schlechter und irgendwo besser ist, und der Beste eines monotonen Entscheiders geht nie verloren. Der Haken: Bei 20 Alternativen und 5 unabhängigen Kriterien bleiben 71 % unbesiegt, und eine gleichgewichtete Summe ordnet bei wenigen wie bei vielen Kriterien besser.
Demo starten →Gewichtete Summe: die Normierung entscheidet mit
Sehen Sie, wie dieselben Gewichte auf derselben Matrix je nach Normierung verschiedene Sieger ergeben, weil ein Gewicht immer zu einer Skala gehört. Ohne Normierung trifft die Summe den Besten des simulierten Entscheiders bei fünf Kriterien nur in 38 % der Fälle, mit Normierung deutlich öfter. Der Haken: Keine Normierung gewinnt in beiden Entscheider-Welten, und das Perzentil verwirft die Abstände.
Demo starten →Gewichte erheben: direkt, Swing, Rangordnung
Verfolgen Sie, wie ein simulierter Entscheider seine Gewichte angibt (direkt, per Swing, über Rangformeln oder Best-Worst) und wie gut die Summe damit seinen Besten trifft. Der Haken: Es zählen nicht die wahren Gewichte, sondern Gewichte zur gezeigten Spannweite. Streut ein Kriterium nur noch zu einem Zwanzigstel, trifft Swing in der Simulation den Besten in 91,5 %, die direkte Angabe in 64,5 % (Rohwert-Entscheider, 5 Kriterien).
Demo starten →AHP: Paarvergleiche, Eigenvektor, Konsistenz
Sehen Sie, wie aus Paarvergleichen Gewichte werden, per Eigenvektor oder geometrischem Mittel. Beide treffen den Besten praktisch gleich oft; bei mäßigem Rauschen verdoppelt die Skala von 1 bis 9 etwa den Fehler. Der Haken: Ein kleines Konsistenzverhältnis garantiert keine Richtigkeit, und der Eigenvektor kann bei verstärkten Urteilen ein Paar umkehren, das geometrische Mittel nie.
Demo starten →TOPSIS und Referenzpunkt: der Abstand zum Idealpunkt
Verfolgen Sie, wie TOPSIS Alternativen nach dem Abstand zum Idealpunkt ordnet. Mit dem Manhattan-Abstand ist das in allen 1 800 geprüften Fällen dieselbe Rangfolge wie die Summe, mit dem euklidischen werden die Gewichte umgedeutet. Der Haken: Der Abstand ordnet im Modell nicht besser, die Summe mit denselben Gewichten trifft Platz 1 mindestens so oft, und mehr erreichbare Alternativen sind noch keine bessere Wahl.
Demo starten →ELECTRE: ein schlechter Wert wird nicht ausgeglichen
Sehen Sie, wie ELECTRE je Paar entscheidet, ob eine die andere übertrifft, mit Schwelle und Veto. Das Ergebnis ist eine Relation, keine Rangfolge: Bei 5 Kriterien, 20 Alternativen, Schwelle 0,6, ohne Veto enthält sie in 38,5 % der Matrizen einen Zyklus. Der Haken: Gegen kompensatorische Entscheider kauft Vorsicht keine Genauigkeit: Die Summe ist auf den entschiedenen Paaren mindestens so genau.
Demo starten →PROMETHEE: Nettofluss statt Zyklen
Verfolgen Sie, wie PROMETHEE jede Differenz über eine Präferenzfunktion in eine Stärke übersetzt und daraus eine vollständige Rangfolge macht. Je nach Funktion rechnet es als Zählung oder als gewichtete Summe. Der Haken: Zyklen verschwinden, dafür hängt bei Zählung die Ordnung stärker von den anderen Alternativen ab: Kommt zu 20 eine hinzu, kippt bei der gewöhnlichen Funktion in 89,0 % der Matrizen mindestens ein Paar.
Demo starten →Kriterien sind nicht unabhängig: Doppelzählung und Choquet
Sehen Sie, wann Kriterien in der Summe doppelt zählen (bei ungleich großen Aspekten) und was CRITIC dagegen tut. Das Choquet-Integral bildet Redundanz ab: Bei reinem Maximum trifft es Platz 1 in 68,5 %, die richtig gewichtete Summe in 36,0 %. Der Haken: Es braucht viel mehr Parameter als Gewichte; mit falschem Vorzeichen verliert es gegen die Summe.
Demo starten →Rangumkehr: eine Alternative kommt dazu, die alte Ordnung kippt
Verfolgen Sie, was passiert, wenn eine Alternative dazukommt: Die Rohwerte der alten ändern sich nicht, ihre Ordnung vielleicht doch. Die Demo zerlegt, ob die Umkehr aus Konstanten der Menge, aus Rängen oder aus Paarzählungen kommt. Der Haken: Die Häufigkeit hängt am Auslöser. Die Min-Max-Summe kippt bei einer dominierten Alternative nie, bei einem Ausreißer (n = 20, m = 5) in 88,5 % der Matrizen.
Verständlich erklärt: erst für Einsteiger, dann für Fachleute
Demo starten →Zuordnung statt Rangfolge: vergleichen gegen feste Profile
Sehen Sie, wie jede Alternative einzeln gegen feste Grenzprofile einer Klasse zugeordnet wird (Summe, ELECTRE TRI oder FlowSort). Dann wechselt keine alte Alternative die Klasse, wenn eine dazukommt. Der Haken: Kommen die Profile aus der Menge, kehrt die Abhängigkeit zurück. Auch mit festen Profilen geht die Ordnung in einer Klasse verloren: Bei 3 Klassen stehen 36,2 % der Paare in derselben Klasse.
Demo starten →Unsichere Gewichte: Rangakzeptanz mit SMAA
Verfolgen Sie, wie statt eines Gewichtsvektors der ganze Gewichtsraum gezogen wird und jede Alternative eine Rangakzeptanz bekommt: den Anteil der Gewichte, bei denen sie Rang r erreicht. Der Haken: Ohne Wissen über die Gewichte ist der Index-Sieger nicht besser als gleiche Gewichte; erst Wissen hebt die Trefferquote (bekannte Rangfolge: 59,0 auf 83,5 %).
Demo starten →Aus Beispielen lernen: UTA und robuste ordinale Regression
Sehen Sie, wie aus geordneten Beispielen per LP eine additive Wertfunktion gelernt wird und die robuste Regression alle verträglichen auslotet: Notwendig ist, was für alle gilt. Bei widerspruchsfreien Urteilen stimmt das in der Modellklasse, kostet aber Beispiele: Bei 3 Referenzen von 12 Alternativen sind rund 13 % der Paare entschieden, bei 9 gut die Hälfte.
Demo starten →DEA: jede Alternative wählt ihre Gewichte selbst
Verfolgen Sie, wie jede Alternative per LP Gewichte wählt, die sie im Verhältnis zu den anderen am besten dastehen lassen. Mit vielen Kriterien sind viele effizient: Bei 20 Alternativen und 8 unabhängigen Kriterien 70,6 %. Der Haken: Als Rangfolge ist die DEA in der Simulation schlechter als gleiche Gewichte, auch weil der LP Gewichte oft auf null setzt (38,3 % der Kriterien).
Demo starten →Gruppe von Entscheidern: wessen Gewichte, welche Aggregation?
Sehen Sie, wie mehrere simulierte Entscheider mit verschiedenen Gewichten zur Gruppenwahl aggregiert werden. Bei 5 mäßig verschiedenen Mitgliedern ist der Sieger in 98,0 % der Fälle der Beste von jemandem, die Gruppenordnung nur in 10,5 % genau die eines Mitglieds. Der Haken: Die Skala entscheidet mit; skaliert ein Mitglied seine Nutzen zufällig, wechselt der Sieger beim Mittel der Nutzen in 7,7 %.
Demo starten →Welches Verfahren, gemessen woran?
Verfolgen Sie, wie zehn Verfahren der Linie auf derselben Matrix gegen den verborgenen Nutzen eines Entscheiders gemessen werden: Platz 1, Rangähnlichkeit, Stabilität. Bei exakten Gewichten und linearem Nutzen treffen Summe und PROMETHEE II rund 80 %. Der Haken: Die sieben Verfahren mit denselben Gewichten sind sich in etwa einem Drittel einig, und der Sieger ist bei Rauschen 0,6 in 12 % nicht der Beste: Einigkeit ist Hinweis, kein Beweis.
Demo starten →Welches Stück passt zu meiner Entscheidung?
Ein Entscheidungsbaum über alle fünfzehn Stücke: Er fragt nach dem, was an der Entscheidung schwierig ist, nicht nach dem Verfahren.
Beige Kästen sind Fragen (nicht klickbar), weiße Kästen sind Ergebnisse (klickbar, sie öffnen die jeweilige Demo). Alle Antworten sind durch die Messreihen der Demos belegt (siehe jede README), auch dort, wo ein einfacheres Verfahren genügt: Die gleichgewichtete Summe ordnet besser als die Dominanz, die Summe trifft mindestens so oft wie TOPSIS, und die DEA ist als Rangfolge schlechter als gleiche Gewichte.
Weitere Linien in diesem Bereich
Exakte Suche
Bewiesen beste statt nur guter Lösungen: zwei Linien, Rucksack und Cutting Stock, von Branch & Bound bis Column Generation und Branch & Price.
Lineare Programmierung
Was steckt in einem LP-Löser? Elf Stücke vom Tableau-Simplex über Schattenpreise und Innere Punkte bis zum Crossover, alle von Grund auf geschrieben und gemessen.
Nichtlineare Optimierung
Wie findet man ein Minimum, wenn nichts linear ist? Acht Stücke vom ersten Schritt bergab über Krümmung und Nebenbedingungen bis zur Brücke ins Deep Learning, jedes mit gemessenem statt behauptetem Befund.
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Wie durchsucht eine ganze Population den Lösungsraum? Elf Verfahren von der Kreuzung über Kovarianzmatrizen bis zu Pheromonspuren, jedes mit seiner gemessenen Grenze.
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