Die Rangumkehr verständlich erklärt

Eine Rangfolge von Angeboten kann sich ändern, obwohl an den alten Angeboten nichts anders geworden ist: Es genügt, dass ein neues dazukommt. Diese Seite erklärt, warum das passiert, wann es ein Fehler ist und was dagegen hilft, erst ohne Formeln, dann für Fachleute. Ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo, gehört dazu.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Drei Lieferanten, eine Wahl

Stellen Sie sich vor, Sie suchen einen Lieferanten. Zwei kommen infrage. Nord ist günstig, aber langsam. Süd ist etwas teurer, aber schnell. Verglichen wird nach Preis und Lieferzeit, den Kriterien. Die Lieferzeit ist Ihnen in diesem Bild knapp wichtiger als der Preis und zählt mit knapp mehr Gewicht. Sie vergeben Punkte: Beim Preis bekommt der billigste Lieferant die volle Punktzahl und der teuerste keine; wer genau in der Mitte liegt, bekommt die mittlere Punktzahl. Bei der Lieferzeit gilt dasselbe für den schnellsten und den langsamsten. Dann zählen Sie die Punkte gewichtet zusammen. Süd liegt vorn.

Nun meldet sich ein dritter Lieferant, Ost. Beim Preis liegt Ost zwischen Nord und Süd. Seine Lieferzeit aber beträgt mehrere Wochen, die von Nord nur wenige Tage. An Nord und Süd hat sich nichts geändert, weder an den Preisen noch an den Lieferzeiten. Trotzdem steht Nord jetzt vor Süd. Dieses Kippen der alten Reihenfolge heißt Rangumkehr.

Warum passiert das?

In diesem Bild wird kein Lieferant für sich bewertet, sondern an den anderen gemessen: Die Punkte verteilen sich über die Strecke vom besten zum schlechtesten Wert der Gruppe, die Spannweite.

Kommt Ost dazu, wächst diese Strecke bei der Lieferzeit von wenigen Tagen auf mehrere Wochen. Dieselben Tage Unterschied zwischen Nord und Süd bringen jetzt weniger Punkte, weil die Skala länger ist. Nord bekommt für die Lieferzeit fast so viele Punkte wie Süd. Beim Preis ist die Skala gleich geblieben. Also entscheidet nun der Preis, und Nord liegt vorn. Das gilt in diesem Bild, weil der Abstand zwischen Nord und Süd neben Ost klein aussieht und weil die Lieferzeit nur knapp mehr zählt als der Preis.

Der Kern: Die Punkte eines Lieferanten hängen an etwas, das aus der ganzen Gruppe berechnet wird. Ändert sich die Gruppe, ändern sich die Punkte der alten Lieferanten, und zwar nicht bei allen gleich stark.

Was die Demo dazu zeigt

Die Demo rechnet dieses Bild mit erzeugten Zahlen durch; die Lieferanten heißen dort Alternativen, die Möglichkeiten, aus denen man wählt. In der Demo bringt ein Ausreißer wie Ost bei dieser Min-Max-Bewertung (Punkte zwischen bestem und schlechtestem Wert, wie im Bild) in den meisten Tabellen mindestens ein Paar zum Kippen; ein schwächeres Angebot innerhalb der bisherigen Spannweiten oder eine Kopie eines vorhandenen tut das nicht. Bei anderen Verfahren kippt auch ein solches Angebot.

Ist das ein Fehler, und was hilft?

Ob die Umkehr ein Fehler ist, hängt davon ab, was die Bewertung aussagen soll. Soll sie sagen, wie gut ein Lieferant im Vergleich zu den gerade vorliegenden Angeboten ist, dann ist die Umkehr der Min-Max-Bewertung richtig, so ist der Entscheider in der Demo gebaut; Verfahren, die nur Plätze zählen, kippen in der Demo weit mehr Paare als er. Im Bild: Wer neben Ost schnell aussieht, ist neben einem schnellen Mitbewerber vielleicht nur Durchschnitt. Soll sie sagen, ob ein Lieferant für Sie taugt, unabhängig von den anderen, dann ist sie ein Fehler, sofern Ihre Maßstäbe wirklich nicht vom Angebot abhängen. Damit man nachprüfen kann, wann eine Umkehr schadet, spielt die Demo einen simulierten Entscheider durch, dessen Vorlieben der Rechner vorgibt.

Wer die Abhängigkeit von den anderen Angeboten vermeiden will, bewertet jeden Lieferanten gegen feste, vorher festgelegte Grenzen (die Demo nennt das Nenn-Spannweite), etwa von sofort lieferbar bis zur längsten Lieferzeit, die Sie je akzeptieren würden. Dann kippt nichts, wenn jemand dazukommt: Es genügt, dass die Punkte eines Lieferanten nur von seinen eigenen Werten und festen Konstanten abhängen. Der Haken: Man muss die Grenzen kennen und begründen können, sonst steckt der Fehler in den Grenzen. Die Demo sagt nicht, wie man sie wählt.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Alles in der Demo ist simuliert, erzeugte Tabellen und ein künstlicher Entscheider; die Aussagen gelten für diese Tabellen, nicht für Ihre Lieferantenwahl.

Was Sie mitnehmen: Fragen Sie bei einer Bewertung, ob die Punkte relativ zu den übrigen Angeboten oder gegen feste Grenzen vergeben werden. Die erste Art erkennen Sie im eigenen Betrieb daran, dass sich die Punkte alter Angebote ändern, sobald ein Angebot ergänzt wird. Das gilt, solange das Verfahren Spannweiten, Ränge oder Paarvergleiche aus der aktuellen Liste nimmt; bei festen Grenzen bleibt der alte Platz.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die Demo zusammen; die vollständige Formulierung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Matrix: n alte Alternativen (5 bis 40, Standard 10), m Kriterien (3 bis 8), Rohwerte mit Richtung und Einheit; eine neue Alternative je Lauf. Die Matrix ist neutral und simuliert, derselbe Generator wie in den verwandten Demos zum Mehrkriterien-Ranking.
• Auslöser: zufällig (die (n + 1)-te Zeile derselben Matrix), dominiert (je Kriterium um 5 % der Spannweite schlechter als eine alte, nicht unter das Minimum), Klon (Kopie einer alten), Ausreißer (ein Kriterium um 50 % der Spannweite über oder unter dem Extrem).
• Verfahren (zwölf): Summe mit Min-Max, Perzentil-Rängen, z-Wert, Vektor-Normierung und Nenn-Spannweite; TOPSIS (Vektor, Stichprobenideal) und TOPSIS (Nenn-Spannweite, Nenn-Ideal); PROMETHEE II gewöhnlich und V-Form p = 0,5; ELECTRE I mit Copeland-Zahl (c* = 0,6, ohne Veto); AHP verteilend (Spalte auf Summe 1) und ideal (Spalte durch Maximum, aus Rohwertverhältnissen).
• Entscheider: ein simuliertes Orakel, das seinen Nutzen kennt. Fest: Güte, linear, unabhängig von der Menge. Relativ: Min-Max der aktuellen Menge. Er ist kein Mensch.
• Fester Rahmen der Experimente: 200 feste Matrizen, 20 alte Alternativen, 5 Kriterien, wahre Gewichte, unabhängig von den Reglern.

Die Formeln

Wertungen \(s_i\) auf der alten Menge, \(s'_i\) auf der Menge mit der neuen Alternative, \(i, j\) alt. Ein Paar \(\{i, j\}\) ist gekippt, wenn es in beiden Ordnungen strikt, aber entgegengesetzt geordnet ist; Gleichstände zählen nicht:

\[\operatorname{sign}(s_i - s_j) \cdot \operatorname{sign}(s'_i - s'_j) < 0\]

Mengenabhängig sind die Konstanten der Normierung. Beispiel Min-Max mit dem Rohwert \(x_{ij}\) der Alternative \(i\) im Kriterium \(j\):

\[n_{ij} = (x_{ij} - \min_k x_{kj}) / (\max_k x_{kj} - \min_k x_{kj})\]

Weitere Konstanten der Menge: beim z-Wert Mittel \(\mu_j\) und Streuung \(\sigma_j\), bei der Vektor-Normierung die Norm der Spalte, bei AHP verteilend die Spaltensumme, bei AHP ideal das Spaltenmaximum, bei der Perzentil-Summe der Rang. Eingefroren heißt: Die Konstanten der alten Menge bleiben für die neue Menge, die Wertung der neuen Alternative bezieht sich auf sie. Hängt die Wertung jeder Alternative nur von ihren eigenen Werten und festen Konstanten ab, ändert eine neue Alternative keine Wertung der alten, und es kippt nie ein Paar (Nenn-Spannweite, eingefrorene Konstanten bei Summe, TOPSIS und AHP). Bei der Min-Max-Summe kann eine neue Alternative die Ordnung nur ändern, wenn sie die Grenzen eines Kriteriums so verschiebt, dass sich die wirksamen Gewichte (das Gewicht \(w_j\), geteilt durch die Spannweite des Kriteriums)

\[w_j / (\max_k x_{kj} - \min_k x_{kj})\]

ungleich ändern. Ob ein Paar wirklich kippt, hängt von den Werten ab. Ein „neuer Idealpunkt“ allein genügt nicht: Eine Alternative, die in jedem Kriterium um denselben Anteil der Spannweite über allen liegt, kippt die Min-Max-Summe (und die Perzentil-Summe) nicht; entscheidend ist die ungleiche Änderung der Spannweiten.

Die Perzentil-Summe ist bis auf Gleichstände die gewichtete Borda-Zählung, und PROMETHEE II mit der gewöhnlichen Funktion ist gleich ihr: In jedem Protokoll kippen dieselben Paare. Eine neue Alternative zwischen zwei alten in einem Kriterium ändert deren Rangdifferenz dort und damit die Gesamtwertung. Die Copeland-Zahl einer alten Alternative ändert sich, wenn die neue Alternative sie übertrifft oder von ihr übertroffen wird. Diese beiden Ursachen (Ränge, Paarzählung) bleiben auch bei eingefrorenen Konstanten bestehen. Entfernen ist Hinzufügen rückwärts: Es kippen dieselben Paare.

Der Entscheider bestimmt, ob ein Kipper ein Fehler ist. Fest (Güte, unabhängig von der Menge):

\[u_i = \sum_j w_j g_{ij}\]

Relativ, mit der Min-Max-Normierung der aktuellen Menge, daher mit ihr veränderlich:

\[u_i = \sum_j w_j\, n_{ij}\]

Ein Kipper des Verfahrens heißt mitvollzogen, wenn auch der Nutzen des Entscheiders das Paar umkehrt, und verpasst, wenn nur der Entscheider es umkehrt.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo, die sie den Tests in tests/test_claims.py zuordnet. Sie gelten für 200 feste Matrizen, 20 alte Alternativen, 5 Kriterien und wahre Gewichte. Der Standardfehler einer Trefferquote ist 1,3 bis 3,5 Punkte; Unterschiede unter etwa 6 Punkten sind nicht belastbar und stehen hier nicht als Aussage. „Matrizen mit gekipptem Paar“ ist der Anteil der Matrizen, in denen mindestens ein altes Paar kippt.

Frage	Befund
Zufällige neue Alternative: Wie oft kippt etwas? (Matrizen mit gekipptem Paar / Anteil gekippter alter Paare / Platz 1 der alten wechselt)	Summe Min-Max 13,5 / 0,20 / 0,5 %; Perzentil und PROMETHEE gewöhnlich 89,0 / 1,13 / 5,0 %; Nenn-Spannweite und TOPSIS (Nenn) 0,0.
Hängt die Häufigkeit am Auslöser?	Ja. Dominierte Alternative: Summe Min-Max, AHP ideal und Nenn-Verfahren 0,0 %, Perzentil und PROMETHEE gewöhnlich 89,5 %, AHP verteilend 60,5 %. Klon: dieselben drei 0,0 %, Perzentil 85,0 %, AHP verteilend 69,5 %. Ausreißer in einem Kriterium (Spannweite +50 %): Summe Min-Max 88,5 / 3,20 / 11,0 %, TOPSIS (Vektor) 85,5 / 2,89 / 17,0 %, AHP ideal 52,0 / 1,84 / 5,5 %.
Woher kommt die Umkehr? (Matrizen mit gekipptem Paar bei eingefrorenen Konstanten)	Summe (vier Normierungen), TOPSIS und AHP in beiden Modi: 0,0 % in jedem Protokoll. PROMETHEE gewöhnlich 89,0 / 89,5 / 85,0 / 80,0 % (zufällig / dominiert / Klon / Ausreißer), ELECTRE 13,0 / 12,0 / 5,5 / 3,5 %.
Wann ist eine Umkehr ein Fehler? (relativer Entscheider, zufällige neue Alternative)	Er kippt 75 Paare; die Min-Max-Summe vollzieht alle 75 mit. Mitvollzogen: V 0,5 28 von 176, z-Wert 25 von 187, Vektor 5 von 202, Perzentil und PROMETHEE gewöhnlich 3 von 429, AHP verteilend 2 von 238, TOPSIS 2 von 253, AHP ideal 2 von 52, ELECTRE 0 von 35. Die feste Referenz kippt nichts und verpasst alle 75. Bei Ausreißer: Min-Max 1 216 von 1 216.
In welche Richtung kippt es, wenn der Entscheider einen festen Nutzen hat?	Bei Ausreißer: Min-Max-Summe 435 gekippte Paare zum Entscheider hin, 781 weg (Δτ −0,018, klein); AHP ideal 65,4 % weg. Bei zufälliger, dominierter und Klon-Alternative: Δτ höchstens ±0,0035.
Wie hängt es von n ab? (zufällige neue Alternative; Matrizen mit Kipp / Anteil gekippter Paare)	n = 8: Summe Min-Max 21,5 % / 1,29 %, Perzentil 56,0 %; n = 20: 13,5 % / 0,20 %, 89,0 %; n = 40: 10,0 % / 0,06 %, 96,5 %.
Wie oft wird Platz 1 getroffen? (Güte/linear, konkav, Cobb-Douglas, Rohwerte)	Summe Min-Max 74,0 / 74,0 / 71,0 / 95,0 %, Nenn-Spannweite 72,0 / 73,0 / 70,0 / 100,0 %. In der Rohwert-Welt ist der Entscheider auf der Nenn-Spannweite definiert (Tautologie).

Lesart: Wie oft eine Min-Max-Summe kippt, hängt am Auslöser. Eine Tabelle „Verfahren gegen Umkehrquote“ ohne den Auslöser ist irreführend. Die Ursache liegt bei Summe, TOPSIS und AHP in den Konstanten der Menge; bei PROMETHEE und ELECTRE liegt sie im Verfahren selbst. Ob das ein Fehler ist, entscheidet der Entscheider: Bei festem Nutzen verschlechtert ein Ausreißer die Ordnung der Min-Max-Summe messbar und die von AHP ideal (65,4 % weg); bei den anderen drei Auslösern ist die Richtung Rauschen.

Grenzen

• Der Auslöser prägt das Ergebnis. Dominiert 5 %, Ausreißer 50 % sind Setzungen; die Matrix Verfahren × Auslöser zeigt die Abhängigkeit, nicht „die“ Umkehrquote.
• Zwei Entscheider. Der feste ist so gebaut, dass jede Umkehr ein Kippen ohne Grund ist; der relative so, dass die Min-Max-Summe richtig ist. Echte Kontexteffekte des Menschen (Lockvogel, Kompromiss) sind nicht modelliert.
• AHP aus Rohwertverhältnissen. Echte AHP-Urteile (Paarvergleichsmatrizen) haben eigene Quellen von Inkonsistenz; die Normierung der Prioritäten ist hier die isolierte Quelle.
• Eine Alternative je Lauf, 200 Matrizen. Folgen von Änderungen und kumulative Umkehr sind nicht gemessen; Richtungsanteile bei wenigen gekippten Paaren sind unsicher.
• Die Nenn-Spannweite als feste Referenz setzt voraus, dass die Grenzen des Merkmals bekannt sind; die Demo sagt nicht, wie man sie wählt. In der Rohwert-Welt ist sie per Definition richtig.
• Gleiche Zufallsverteilung. Neue Alternativen stammen aus derselben Verteilung wie die alten; ein Markt, der sich verschiebt, kippt die Spannweiten anders.
• Nicht enthalten: Schwellen je Kriterium (PROMETHEE) und Veto (ELECTRE), echte AHP-Urteile, menschliche Kontexteffekte.

Quellen

• Belton und Gear (1983): Rangumkehr in AHP. Titel und Fundstelle nennt die README der Demo nicht.
• Quelltext, Experimente und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/rangumkehr-demo.

Die Arbeit von Belton und Gear wurde für diese Seite nicht nachgeschlagen; der Hinweis stammt aus der README der Demo, die selbst vermerkt, dass sie nicht im Original geprüft ist. Die Einordnung als Verletzung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen ist Standardwissen der Entscheidungstheorie und steht nicht in der README.