Mittelwert und Median verständlich erklärt

Wie lange dauert eine Lieferung normalerweise? Dauern einzelne Lieferungen extrem lange, ergeben der Mittelwert (der Durchschnitt) und der Median (der mittlere Wert der Größe nach) verschiedene Antworten, und mit der falschen Zahl stimmt die Monatsplanung nicht. Dazu kommt ein zweiter Stolperstein: Ein Rechner kann einen Durchschnitt aus sehr vielen Zahlen falsch ausrechnen, weil er unterwegs Stellen verliert.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Zwei Zahlen für „die Mitte“ der Lieferzeiten

Sie haben die Lieferzeiten eines Monats vor sich und sollen sagen, wie lange eine Lieferung normalerweise dauert. Dafür gibt es zwei gängige Zahlen. Der Mittelwert ist der Durchschnitt: alle Zeiten zusammenzählen, durch die Anzahl der Lieferungen teilen. Der Median ist der mittlere Wert: Sortiert man die Lieferungen von kurz nach lang, ist es die Zeit der Lieferung in der Mitte; ebenso viele sind schneller wie langsamer.

Beide beantworten verschiedene Fragen. Der Median nennt einen typischen Auftrag. Der Mittelwert nennt die durchschnittliche Zeit je Auftrag, und deshalb ergibt Anzahl mal Mittelwert die Gesamtzeit. Liegen die Lieferzeiten gleichmäßig um einen Wert herum, sind beide fast gleich; dauern einzelne Lieferungen extrem lange, laufen sie auseinander. Daraus entstehen zwei Stolpersteine: die passende Zahl zu wählen und sie richtig auszurechnen.

Ein Ausreißer zieht den Mittelwert mit

Ein Ausreißer ist ein Wert weit abseits der übrigen, etwa eine Lieferung, die bei einer Zollkontrolle festhängt, oder ein falsch gebuchter Kunde. Der Mittelwert zählt jeden Wert mit seinem vollen Abstand und wandert dem Ausreißer hinterher, je weiter draußen, desto weiter. Der Median zählt nur, ob ein Wert über oder unter der Mitte liegt. Die Demo zu dieser Seite ist ein Programm zum Ausprobieren im Browser (Link am Ende dieses Teils). Dort bleibt der Median bei Ausreißern näher an den echten Werten als der Mittelwert; erst wenn so viele Lieferungen falsch gebucht sind, wie richtig gebucht wurden, springt auch er.

Dasselbe gilt für Orte: Ein einziger weit entfernter, falsch gebuchter Kunde zieht den Mittelpunkt aller Kundenstandorte zu sich. Nimmt man stattdessen für Ost-West und Nord-Süd je den mittleren Wert, bewegt sich der Punkt in der Demo kaum.

Mit welcher Zahl rechne ich die Monatssumme?

Trägt man auf, wie viele Lieferungen wie lange brauchen, entsteht bei Lieferzeiten ein Berg mit einem langen Ausläufer zu den langen Zeiten; das nennt man schief. Die langen Lieferungen ziehen den Mittelwert über den Median.

Die Demo rechnet ein frei gewähltes Beispiel durch, keine Messung: Der Median der Lieferzeit liegt bei vier Tagen, der Monat ist voller Aufträge. Wer die Gesamtzeit mit „Anzahl mal Median“ plant, lässt die langen Lieferungen weg. Wie viel fehlt, hängt davon ab, wie schief die Lieferzeiten sind. Die Demo rechnet drei Streuungsstufen von leicht bis stark schief vor: Bei der leichtesten fehlt weniger als ein Zehntel der Monatssumme, bei der stärksten mehr als die Hälfte. „Anzahl mal Mittelwert“ liegt näher an der echten Summe.

Soll dagegen ein typischer Auftrag benannt werden, passt der Median besser: In der Demo sind bei schiefen Lieferzeiten mehr Lieferungen kürzer als der Mittelwert als länger. Soll ein Lagerbestand für einen festgelegten Anteil der Nachfrage reichen, nimmt man weder Mittelwert noch Median, sondern den Wert, den dieser Anteil der Fälle nicht überschreitet.

Der zweite Stolperstein: Wenn der Rechner Stellen verliert

Der zweite Stolperstein liegt in der Rechnung selbst. Ein Durchschnitt aus sehr vielen Zahlen wirkt einfach: nacheinander aufsummieren, am Ende teilen. Ein Rechner speichert jede Zahl aber nur mit begrenzt vielen Stellen. Stellen Sie sich einen Kassenzettel vor, auf dem jede Zwischensumme auf einen groben Schritt gerundet wird, der mit der Summe gröber wird. Ist die Summe groß, fällt ein kleiner Posten dem Runden zum Opfer; bei Millionen Posten summieren sich diese Verluste.

Die Demo zeigt das an Werten, die alle in einem schmalen Band um tausend liegen. Speichert der Rechner sie so sparsam, wie bei großen Datenmengen üblich (einfache Genauigkeit), und summiert nacheinander, fällt der berechnete Durchschnitt bei der größten Zahl von Werten, die die Demo vorrechnet, weit aus diesem Band heraus. Der Grund ist nicht der Zufall: Ab einem Punkt wird ein neuer Posten auf denselben groben Betrag gerundet, und die Schwankung der Daten geht aus der Summe verloren.

Es gibt Auswege: erst Nachbarn zusammenzählen und dann deren Summen, sodass die Zwischensummen klein bleiben; oder bei jedem Schritt wie auf einem Merkzettel notieren, was das Runden verschluckt hat, und es mitzählen; oder mit mehr Stellen rechnen. Die ersten beiden Wege bleiben in der Demo bei Werten um tausend nahe an der Grenze dessen, was das Zahlenformat hergibt. Ein Zusatztrick, der den Merkzettel erst am Ende einrechnet, war in der Demo bei diesen Werten schlechter: Man prüft ein Verfahren besser an den eigenen Daten.

Wie ernst sind die Zahlen der Demo zu nehmen?

Alle Zahlen der Demo stammen aus erzeugten Daten und frei gewählten Beispielen, nicht aus echten Lieferungen oder Kunden. Sie zeigen, was eine Mitte leisten kann und was nicht, nicht wie groß der Unterschied in Ihrem Betrieb ist.

Woran Sie es im Betrieb merken:

• Eine Monatssumme, geplant als „Anzahl mal typische Zeit“, fällt wiederholt zu klein aus: Vermutlich wurde der Median genommen, wo der Mittelwert hingehört.
• Eine einzelne Fehlbuchung verändert Ihren Durchschnitt spürbar, den mittleren Wert aber nicht: Ein Ausreißer ist im Spiel.
• Ein Lagerbestand in Höhe des Durchschnitts reicht bei schiefer Nachfrage seltener als gewünscht.
• Ein Durchschnitt aus sehr vielen Zahlen, einmal im Ganzen und einmal in Teilen gerechnet, weicht schon in den ersten Stellen ab: Der Rechner hat unterwegs Stellen verloren.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Zwei Fragen, zwei Reiter: „Rechnen“ fragt, wie genau der Rechner das Mittel liefert; „Wählen“ fragt, welche Zahl man will und was es kostet, eine andere zu schätzen.
• Rechnen: \(n\) Werte \(\mu + \sigma Z\) mit \(\sigma = 1\) (Normal bzw. lognormal(0; 1), auf Mittel \(\mu\) und Streuung 1 gebracht), gespeichert in float32 oder float64, in zufälliger, aufsteigender oder absteigender Reihenfolge. Es laufen immer alle neun Varianten (fortlaufende Summe, numpy.sum, Binärbaum, verschobene Summe, Kahan, Neumaier, Welford, dazu Kahan und Neumaier „mit Rest“). Der Fehler ist das Ergebnis minus das exakte Mittel der gespeicherten Werte (math.fsum mit Rest, als Bruch); die Untergrenze ist das exakte Ergebnis auf das Zahlenformat gerundet, besser kann ein Verfahren mit Ergebnis im Format nicht werden.
• Wählen: zehn Verteilungen in Standardform (Lognormal als Lieferzeit mit Median 4 Tagen), Ausreißer, Rundung auf ein Raster, Quantil und Expektile; 20 Kunden in der Ebene mit einem falsch gebuchten Kunden; \(d\) Lager für den James-Stein-Schätzer.
• Vergleich: Der Zufall kommt aus einem eigenen SplitMix64-Strom. Je Zelle gibt es vier feste Zufalls-Seeds, die Zahlen sind Mittel über diese Seeds, die angegebene Streuung ist die zwischen ihnen (kein Konfidenzintervall).

Die Formeln

Mitten als Minimierer. Mittel und Median lösen dieselbe Aufgabe mit anderem Verlust, dem Quadrat bzw. dem Betrag der Abweichung:

\[\bar x = \arg\min_c \sum_{i} (x_i - c)^2, \qquad \operatorname{med}(x) \in \arg\min_c \sum_{i} \lvert x_i - c\rvert.\]

Quantil und Expektile. Mit \(\rho_\tau(u) = \tau u\) für \(u \ge 0\) und \((\tau - 1)u\) sonst gilt

\[q_\tau \in \arg\min_c \sum_i \rho_\tau(x_i - c), \qquad e_\tau = \arg\min_c \sum_i \big(\tau\,(x_i - c)_+^2 + (1-\tau)\,(c - x_i)_+^2\big).\]

Die Expektile löst \(\tau \sum_i (x_i - e)_+ = (1-\tau) \sum_i (e - x_i)_+\); bei \(\tau = \tfrac12\) ist sie das Mittel, das Quantil der Median.

Huygens. Für Punkte \(x_i\) der Ebene mit Schwerpunkt \(\bar x\) und jeden Punkt \(c\) zerfällt die Quadratsumme in die Streuung um den Schwerpunkt plus \(n\) mal das Abstandsquadrat von \(c\) zum Schwerpunkt:

\[\sum_i \lVert x_i - c\rVert^2 = \sum_i \lVert x_i - \bar x\rVert^2 + n\,\lVert c - \bar x\rVert^2.\]

Einflusskurve bei \(n\) Werten, mit \(T\) als Schätzer:

\[SC_n(t) = n\,\big(T(x_1, \dots, x_{n-1}, t) - T(x_1, \dots, x_{n-1})\big).\]

Beim Mittel ist \(SC_n(t) = t - \bar x_{n-1}\), also linear und unbeschränkt; beim Median bei Normalverteilung strebt sie gegen \(\sqrt{\pi/2}\) für \(n \to \infty\) und \(\lvert t\rvert\) groß.

Verkleinertes Mittel. Für \(c\,\bar x\) gilt

\[\operatorname{MSE}(c\,\bar x) = \frac{c^2\sigma^2}{n} + (1-c)^2\mu^2,\]

es schlägt das Mittel für \(\theta^2 < \frac{1+c}{1-c}\) mit \(\theta = \mu\sqrt n/\sigma\); das beste \(c = \mu^2/(\mu^2 + \sigma^2/n)\) enthält das unbekannte \(\mu\).

Lognormal. Für \(X = e^{\sigma Z}\) ist der Median 1 und der Mittelwert \(e^{\sigma^2/2}\); der Median als Schätzer des Mittelwerts lässt den Anteil

\[1 - e^{-\sigma^2/2}\]

aus (der Populationsmedian; der Stichproben-Median erreicht ihn für wachsendes \(n\)).

Summation. Die fortlaufende Summe ist \(s_k = \operatorname{fl}(s_{k-1} + x_k)\), wobei \(\operatorname{fl}\) auf das Zahlenformat rundet (relativer Fehler höchstens \(\varepsilon\) je Addition; \(\varepsilon\) ist die Rundungseinheit des Zahlenformats, bei float32 größer als bei float64). Kahan-Summation führt einen Rest mit, Neumaier addiert ihn erst am Ende. Wie der Fehler mit \(n\) wächst, ist nicht bewiesen, die Demo misst ihn.

James-Stein. Für \(X \sim N(\mu, I_d)\) mit \(d \ge 3\) hat

\[\hat\mu_{JS} = \Big(1 - \frac{d-2}{\lVert X\rVert^2}\Big) X\]

das Risiko \(d - (d-2)^2\,\mathbb{E}\big[1/\chi^2_d(\lVert\mu\rVert^2)\big]\), bei \(\mu = 0\) gleich 2, also \(2/d\) des Risikos \(d\) des Einzelmittels. Als Poisson-Mischung zentraler \(\chi^2\)-Verteilungen ist \(\mathbb{E}[1/\chi^2_{d+2K}] = 1/(d+2K-2)\) mit \(K \sim \mathrm{Poisson}(\lVert\mu\rVert^2/2)\).

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py) und gelten für erzeugte Daten und die genannten Voraussetzungen. Wo nichts anderes steht, sind es Mittel über vier feste Zufalls-Seeds. Die Fehler der Summation sind auf zwei bis drei gültige Stellen angegeben, weil numpy.sum und die letzte Binärstelle von log und cos je numpy-Version und Plattform abweichen können; die Tests lesen numpy.sum nur als Band.

Frage	Befund
Wie groß wird der Fehler der fortlaufenden float32-Summe?	Werte N(1 000; 1), zufällige Reihenfolge: Die fortlaufende Summe von 10⁷ Werten verfehlt das Mittel um 22,49 (Streuung zwischen den Seeds 2·10⁻⁴), das sind 71.118 Standardfehler. Ursache: Die Summe erreicht 2²⁹ beim Wert Nr. 539.039 bis 539.040 (die Nummern der vier Seeds); von da an ist der Abstand der float32-Zahlen 64, und jeder Summand wird auf 1 024 gerundet. In float64 liegt der Fehler der fortlaufenden Summe bei 10⁷ Werten bei 4,4·10⁻¹¹.
Was leisten paarweise Summe und Kahan?	Bei 10⁷ Werten (float32, N(1 000; 1)): Binärbaum 3,0·10⁻⁵ = 0,10 Standardfehler, numpy.sum 3,2·10⁻⁵ (nur als Band lesen), Untergrenze der Summe 3,0·10⁻⁵. Kahan erreicht in allen Zellen außer μ = 0 die Untergrenze des Zahlenformats (3,0·10⁻⁵ bei 10⁷); bei μ = 0 liegt er höchstens beim Dreifachen darüber, beide unter 10⁻⁷ Standardfehlern.
Ist Neumaier besser als Kahan?	In float32 mit N(1 000; 1): nein. Bei n = 10⁶ 7,1·10⁻⁵ gegen 1,8·10⁻⁵, bei n = 10⁷ 1,3·10⁻³ gegen 3,0·10⁻⁵ (die einzelnen Reihen streuen stark). In 13 / 19 / 18 von 20 weiteren Reihen (n = 10⁶ / 2·10⁶ / 5·10⁶) ist Neumaier mehr als doppelt so ungenau, in keiner genauer. Diagnose an einer Reihe (n = 1.000.000): größter Rest 8,9·10⁶ (Kahan 32), Fehler der Summe 104,39, mit dem Rest in float64 0. Bei μ/σ = 10⁴ (n = 10⁶) liegt Neumaier bei 0,47 Standardfehlern gegen 0,25 bei Kahan. In float64 stimmen Kahan und Neumaier mit der Untergrenze der Summe überein (n = 10³ bis 10⁷).
Ist Welford ein Genauigkeitsverfahren für das Mittel?	Nein (nur der Mittelwertteil untersucht; die Varianz nicht). float32, n = 10⁷: 3,4·10⁻³ = 10,9 Standardfehler gegen 0,10 beim Binärbaum; aufsteigend sortiert (n = 10⁶) 2.623 Standardfehler; float64: 4,9·10⁻¹¹ gegen 4,4·10⁻¹¹ bei der fortlaufenden Summe.
Was richtet die Auslöschung an?	n = 10⁶, float32, naiv: bei μ/σ = 100 1,93 Standardfehler, in float64 2,5·10⁻⁹; float64 erreicht 0,21 Standardfehler erst bei μ/σ = 10¹⁰ (Mittel über vier Seeds; die einzelnen Reihen streuen stark, das Mittel von 1,93 sagt nicht, dass jede Reihe über einem Standardfehler liegt). Ab μ/σ = 10⁶ begrenzt das Format der Summe jedes Verfahren (Untergrenze der Summe 3,88 Standardfehler bei μ/σ = 10⁶, 172,3 bei 10⁷). numpy.mean in float32 bei μ = 10⁶, n = 10⁶: 62,2 Standardfehler, mit float64-Akkumulator 0,67 (Untergrenze 0,67).
Ändert die Reihenfolge den Fehler?	float32, Werte N(1 000; 1), naiv (n = 10⁶, Standardfehler): 8.898 zufällig, 7.715 aufsteigend, 10.064 absteigend, also etwa ±13 %. Welford aufsteigend 2.623; Verschiebung um x₁ bei absteigender schiefer Reihe 392; Kahan 0,009 in allen drei Anordnungen.
Wie wirken Ausreißer auf Mittel und Median?	n = 100, N(0; 1), Ausreißer bei 100, 4 × 4 000 Läufe. Verschiebung des Medians bei 5 / 10 / 20 / 40 / 49 % Ausreißern: 0,065 / 0,139 / 0,318 / 0,962 / 2,059; bei 50 % 51,13, ab 55 % 100,0. Das Mittel verschiebt sich bei 40 % um 40,0.
Einflusskurve und Durchschlagspunkt?	Plateau der Einflusskurve des Medians 1,267 (n = 101, Streuung zwischen den Seeds 0,004) und 1,271 (n = 100), Grenzwert 1,253; bei t = 0,25 erst 1,208. Die Plateaus liegen 0,014 bis 0,018 über dem Grenzwert, mehr als die Streuung zwischen den Seeds: ein Effekt des endlichen n, nicht weiter untersucht. Durchschlagspunkt für n = 3 bis 12 aufgezählt: beim Median in allen vier Seeds ⌈n/2⌉, beim Mittel 1; die größte Verschiebung davor liegt im Mittel über die Seeds bei 1,09 bis 2,01 Streuungen (je Seed 0,38 bis 3,06).
Was kostet der Median bei Normalverteilung?	Exakte Quadratur: Effizienz des Medians für n = 3 / 5 / 9 / 21 / 101 / 1 001: 0,7429 / 0,6973 / 0,6689 / 0,6500 / 0,6393 / 0,6369; gerades n = 4 / 10 / 100: 0,8384 / 0,7229 / 0,6457; Grenzwert 2/π = 0,6366.
Wann gewinnt ein verkleinertes Mittel?	n = 10, MSE des Mittels = 1: c = 0,9 hat bei θ = 0 / 1 / 2 / 4 den MSE 0,81 / 0,82 / 0,85 / 0,97 (Formel; Simulation auf 0,003 gleich) und gewinnt für θ unter 4,36; c = 0,8 hat bei θ = 4 den MSE 1,28.
Wie weit liegen Mittelwert und Median bei schiefen Lieferzeiten auseinander?	Lognormal(0; σ), Median 1: Mittelwert / Median 1,13 / 1,65 / 3,08 / 7,39 für σ = 0,5 / 1 / 1,5 / 2; der Anteil der Werte unter dem Mittelwert ist 59,8 / 69,2 / 77,4 / 84,1 %, der Summenanteil der größten 10 % 21,7 / 38,9 / 58,7 / 76,3 % (Stichprobe mit 500.000 Werten je Seed). Typischer Fehler gegen den Mittelwert bei n = 200 (4 × 5 000 Stichproben): beim Mittel 2,5 / 6,2 / 12,2 / 22,2 %, beim Median 11,7 / 39,3 / 67,5 / 86,5 %. Der Fehler des Medians schwindet nicht mit wachsendem n: als Anteil ist der typische Fehler bei n = 200 0,393 (σ = 1; Grenzwert 0,3935) und 0,865 (σ = 2; 0,8647).
Was lässt „Aufträge × Median“ in der Monatssumme aus?	Szenario frei gewählt, keine Messung (lognormal, Median 4 Tage, 1 000 Aufträge im Monat): Der Plan „Aufträge × Median“ lässt für σ = 0,4 / 0,8 / 1,2 7,7 / 27,3 / 51,1 % der Monatssumme aus (exakt 7,7 / 27,4 / 51,3 %); „× Mittelwert“ weicht im Mittel um 1,0 / 2,4 / 4,5 % ab. Aus 50 Aufträgen ist „× Stichproben-Median“ in 86,5 / 98,7 / 100,0 % der Fälle zu klein.
Wie weit liegen Quantil und Expektile gleicher Stufe auseinander?	Lücke (Expektile − Quantil) / Quartilsabstand, Stichproben mit 10⁶ Werten je Seed: Bei τ = 0,8 reicht sie über die acht Verteilungen der Tabelle von −0,266 (Gleichverteilung) bis +1,259 (Lognormal(0; 1,5)); dazwischen Normal −0,217, Exponential −0,005, Lognormal(0; 1) +0,324, Pareto(2,5) +0,574. Beim Exponential +0,279 bei τ = 0,5 und −0,897 bei τ = 0,99. Ein Bestand in Höhe des Mittelwerts deckt bei kritischem Quotienten 0,8 und Lognormal(0; 0,5) nur 59,9 % (Mittelwert 1,1331; Quantil 1,5232; Expektile 1,4870 deckt 78,6 %).
Was bringt die James-Stein-Schrumpfung für das Gesamtrisiko?	Risiko James-Stein / Einzelmittel bei ‖μ‖ = 0 für d = 3 / 5 / 10 / 50: 0,674 / 0,403 / 0,200 / 0,040 (2/d = 0,667 / 0,400 / 0,200 / 0,040); mit Positive Part 0,532 / 0,280 / 0,125 / 0,022. Bei ‖μ‖ = 20 noch 1,000 / 0,993 / 0,985 / 0,897 (4 × 50 000 Läufe, wahre Mittel alle auf ein Lager gelegt; die Simulation liegt höchstens bei 1,0003, exakt ist das Risiko nie höher als 1).
Was kostet sie einem einzelnen Lager?	Größtes Risiko des ersten Lagers (Einzelmittel = 1): mit Positive Part 1,21 (d = 3) / 1,67 (d = 5) / 2,73 (d = 10) bei ‖μ‖ = 3 und 12,76 (d = 50, ‖μ‖ = 8); beim reinen James-Stein-Schätzer 1,22 / 1,71 / 2,83 und 12,76. Der Positive-Part-Faktor steht bei ‖μ‖ = 0 für d = 3 / 5 / 10 / 50 in 19,8 / 29,9 / 37,2 / 44,7 % der Läufe auf 0.
Wie wirken Gleichstände und Rundung auf den Median?	Poisson mit λ = 0,7 / 2 / 10: Der Median ist bei n = 10 in 25,6 / 31,9 / 44,9 % der Läufe nicht ganzzahlig, bei n = 100 in 7,9 / 1,3 / 7,5 %. Normal(0,3; 1) auf h = 1 gerundet, n = 101: RMSE des Medians 0,334 gegen 0,103 beim Mittel (ungerundet 0,124 gegen 0,099); der Median steht in 94,6 % der Läufe auf 0.

Grenzen

• Erzeugte Daten, gewähltes Szenario: Alle Fehler, Anteile und Risiken gelten für die Verteilungen und Regler der Demo. Das Lieferzeit-Szenario (Median 4 Tage, 1 000 Aufträge im Monat, lognormal) ist ein Beispiel, keine Messung an Aufträgen; echte Zeitstempel und Kundenkoordinaten können anders aussehen.
• Neumaier an einer Datenform: Dass Neumaier in float32 schlechter als Kahan ist, ist für Werte um 1 000 mit Streuung 1 gemessen (dazu die Auslöschungsreihe bei μ/σ = 10⁴); die Ursache, dass der Rest selbst im Zahlenformat summiert wird, ist an einer Reihe diagnostiziert, nicht allgemein bewiesen. Es gilt auch nicht für jede Reihe: bei n = 10⁶ sind Kahan und Neumaier in 5 von 20 Reihen gleich. Die Literatur zur Fehlerschranke wurde nicht gelesen.
• Nur das Mittel: Welford wird nur als Mittelwertverfahren gemessen, die Varianz-Rechnung ist nicht untersucht; float16 und bfloat16 kommen nicht vor.
• James-Stein nur bei bekannter Streuung: Gemessen sind Normalbeobachtungen mit Schrumpfung zum Nullpunkt und zum gemeinsamen Mittel. Der Wert 12,76 ist der größte im Raster der Normen 0 bis 20; zwischen den Rasterpunkten kann er etwas höher liegen.
• Durchschlag nur aufgezählt: für n bis 12, ab n = 10 nur mit +M, Ausreißer nur in einer Richtung. Trimmen, Winsorisieren, Huber und die Lp-Familie der Mitten behandeln andere Demos der Konzepte-Linie.
• Kosten fehlen: Der Bestand steht nur als Quantil bzw. Expektile; Lager- und Fehlmengenkosten und Bestellrhythmen gehören zu anderen Demos.
• Vier Seeds je Zelle: Die Streuung ist die zwischen diesen Seeds, kein Konfidenzintervall. Die Zelle Lognormal(0; 1,5), τ = 0,99 der Lückentabelle ist unsicher (−0,026 ± 0,083) und wird nicht gedeutet.

Quellen

• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/mittelwert-median-demo.

Zu Kahan, Neumaier, Welford, der Fehleranalyse der paarweisen Summe, James und Stein, Efron und Morris sowie Newey und Powell (Expektilen) wurden weder für die Demo noch für diese Seite Originalarbeiten eingesehen. Die Verfahren sind nach ihrer Beschreibung umgesetzt und gegen unabhängige Rechenwege geprüft (fractions, math.fsum, scipy, Aufzählung).