Konvexe und konische Optimierung erklärt
Stellen Sie sich vor: Eine Spedition will ein neues Lager so legen, dass der am weitesten entfernte Kunde möglichst nah ist. Auf der Karte liegen die Kunden als Punkte, gesucht ist der Mittelpunkt des kleinsten Kreises, der alle Punkte einschließt. Ein Rechenprogramm, das solche Aufgaben löst (ein Löser), nennt einen Standort. Woher wissen Sie, dass es keinen deutlich besseren gibt?
Das ist die Frage der konvexen Optimierung. Das sind Aufgaben mit einer günstigen Form: Man kann zum bisher besten Standort auch eine Zahl ausrechnen, unter die kein Standort kommen kann. Liegen beide Zahlen dicht beieinander, ist der mögliche Fehler klein, auch ohne dass man den besten Standort kennt. Die Leitfrage dieser Linie lautet: Was braucht ein Löser, um ein Ergebnis nicht nur zu nennen, sondern zu belegen, und welcher Löser passt zu welcher Aufgabe?
Sechzehn Stücke gehen dem nach, die meisten an Punktwolken wie dieser. Das erste zeigt den Beleg: Nach 200 Rechenschritten ist der Abstand beider Zahlen auf 0,51 Prozent der oberen gesunken. Der Haken: Der Beleg ist vorsichtig, denn der wahre Fehler ist in den Messungen etwa halb so groß wie der belegte. Spätere Stücke vergleichen zwei Arten zu rechnen, nämlich wenige aufwendige Rechnungen oder sehr viele einfache, wie beim Annähern an einen Standort in vielen kleinen Schritten statt mit einer einzigen großen Rechnung. Andere fragen, wie sich ein Plan gegen unsichere Daten absichern lässt. Die Erklärseite zur Fehlerschranke erzählt am kleinsten Kreis um alle Kunden, wie sich der Fehler einer Näherung eingrenzen lässt und warum das nicht immer geht, ohne Formeln.
Was diese Linie ist und was nicht: Die Beispiele sind erzeugt, nicht echte Kundendaten. Gemessen wird, was die Verfahren dort kosten. Welcher Löser am schnellsten ist, hängt von Aufgabe und gewünschter Genauigkeit ab; in den 57 geprüften Kombinationen davon gewann keiner alle. Die Zeiten gelten nur für die hier gebauten Löser.
In short: Covers convex and conic optimization: certifying optimality with duality gaps, writing problems as cone programs, solving them with interior-point methods and operator splitting, semidefinite relaxations, robust formulations, differentiating solutions, and choosing a solver by measurement.
Hintergrund zum Thema: Netzwerkdesign · Bestandsmanagement.
Diese Seite gehört zu Algorithmen und Verfahren erklärt. So lesen Sie sie: Das Diagramm zeigt, wie die Stücke zusammenhängen. Jede Kachel darunter öffnet eine interaktive Demo, wo es eine gibt, mit einer Erklärseite für Einsteiger und Fachleute. Auf der Suche nach einer Lösung für ein konkretes Problem? Zu den Interaktiven Demos.
Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.
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Zum Nachlesen: erst einfach, dann fachlich
Der Beweis zum Mitnehmen verständlich erklärt
Wie man beim Standort mit kürzestem Weg zum fernsten Kunden den Fehler einer Näherung begrenzt, ohne die beste Lösung zu kennen, warum dieser Beweis ohne Konvexität fehlt und wo er den Fehler überschätzt: erst für Einsteiger ohne Formeln, dann für Fachleute mit Modell, Formeln und Messwerten.
Vom Beweis zur Verfahrenswahl: ein Rückgrat, zwei Stränge, zwei Anwendungen
Die Wurzel ist die Konvexität: Sie liefert nicht nur ein globales Optimum, sondern einen Beweis zum Mitnehmen, die Lücke zwischen einer oberen und einer unteren Schranke. Die Kegelform schreibt Würfel, Raute, Kugel und Ellipse in ein einziges Format; von dort gehen zwei Wege ab. Der Prüfer für Krümmungsregeln erkennt mechanisch, wann ein Ausdruck in dieses Format passt, und die Kegel-Dualität stellt jedem Programm ein zweites zur Seite, dessen Lücke das Zertifikat ist.
Auf der Dualität steht der Strang der inneren Punkte: die Barriere mit ihrem Pfad zum Optimum, der primal-duale Schritt, der ein echtes Zertifikat liefert, aber symmetrische Kegel braucht, und die Kegel ohne Symmetrie, für die nur die Barriere funktioniert. Daneben beginnt die erste Ordnung bei der Projektion auf einen Kegel; ADMM nutzt sie als Baustein. Die Kreuzung stellt beide Wege nebeneinander: Wo ein billiger Schritt den teuren überholt, hängt von Größe und Genauigkeit ab.
Von der Kreuzung führt der Weg zu den Beweisen für Worst-Case-Raten, bei denen der Beweis selbst ein Kegelprogramm ist, zur MaxCut-Relaxation und zum niedrigen Rang, der die große Matrix vermeidet. Am Rand stehen zwei Anwendungen des Formats: der Preis robuster Pläne und die Ableitung einer Lösung nach den Daten. Die Verfahrenswahl führt zuletzt alle Löser der Reihe zusammen.
Die Kästen sind klickbar und öffnen die jeweilige Demo direkt.
- behebt eine Schwäche des Vorgängers oder baut darauf auf
- Gegenstück: derselbe Zweck, andere Bauweise (kein Fix)
- übernimmt nur eine Idee
- Zusammenfluss mehrerer Stränge
- Baustein aus einer anderen Linie
Gestrichelt umrandet sind Demos aus anderen Linien: Innere Punkte, die LP-Dualität und PDLP aus der Linearen Programmierung, das Straf- und Barriere-Verfahren aus der Nichtlinearen Optimierung, Robust planen aus der Optimierung unter Unsicherheit sowie die Entrollten Netze und der Verfahrensvergleich aus den Inversen Problemen. Doppelt umrandet sind die Kreuzung und die Verfahrenswahl, in denen mehrere Wege zusammenlaufen.
Verwandt in anderen Linien
- Lineare Programmierung — Die LP-Dualität gilt für Schattenpreise im Orthanten; die Kegel-Dualität dieser Linie fragt, was davon im Kegel bleibt und wo ohne streng zulässigen Punkt eine Lücke stehen bleibt. Die Inneren Punkte der LP-Linie rechnen im Orthanten, die Barriere hier auch im Lorentz- und im Matrixkegel, und PDLP ist das Verfahren der ersten Ordnung für den Orthanten, wo ADMM hier weitere Kegel behandelt.
- Nichtlineare Optimierung — Das Straf- und Barriere-Verfahren wählt Strafe und Faktor selbst; die Kegel-Barriere dieser Linie bekommt ihre Barriere aus dem Kegel und misst, was die Newton-Schritte kosten und wovon sie abhängen.
- Inverse Probleme und Regularisierung — Die Entrollten Netze rechnen das Verfahren Schritt für Schritt durch; die implizite Differentiation dieser Linie leitet am fertigen Ergebnis mit einem Gleichungssystem ab. Der Verfahrensvergleich stellt Rekonstruktionsverfahren gegeneinander; die Verfahrenswahl hier tut dasselbe für Löser von Kegelprogrammen.
- Optimierung unter Unsicherheit — Robust planen arbeitet mit Mengen statt Verteilungen und zeigt den Preis der Robustheit; die robuste Kegelzeile dieser Linie ist die exakte Umformung für eine ellipsoidale Menge und braucht keine Schnittebenen.
- Anordnen: relaxieren und runden — Die SDP-Schranke der Linie Anordnen hebt eine Anordnung zu einer Matrix an und rechnet die Projektion auf den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen wie die MaxCut-Relaxation dieser Linie; ihr ADMM ist jedoch eine eigene Fassung für die große Matrix und nicht der ADMM der Konvexen Optimierung.
- Entscheidungsorientiertes Lernen — Die Nullgradient-Demo und die Black-Box-Löser-Demo brauchen eine Ableitung durch einen Löser: Dort ist der Löser eine Rückwärtsrechnung im Gitter, und der Gradient entsteht durch Glätten oder durch einen zweiten Löseraufruf mit verschobenen Kosten.
Konvexität: Die Lücke begrenzt den Fehler
Verfolgen Sie, wie sich beim kleinsten Kreis um eine Punktwolke, etwa dem Standort mit kürzestem Weg zum fernsten Kunden, zu jedem Zwischenergebnis eine zweite, duale Zahl ausrechnen lässt: Die Lücke beider begrenzt den Fehler, ohne dass man die Lösung kennt. Hier schrumpft sie nach 200 Schritten auf 0,51 Prozent der oberen Schranke. Der Haken: Dieser Beweis überschätzt in den Messungen den wahren Fehler etwa um den Faktor zwei.
Verständlich erklärt: erst für Einsteiger, dann für Fachleute
Demo starten →Kegelform: Ein Format, sechs Formen, ein Löser
Verfolgen Sie, wie sich die kleinste umschließende Form um eine Punktwolke (Würfel, Raute, Kugel, Ellipse) im selben Format schreiben lässt: Ziel minimieren, der Rest liegt in einem Kegel, einer Sorte Bedingungen. Ein Löser rechnet alle sechs. Die Kugel mit einfachen geraden Zeilen auf 1 % zu ersetzen, braucht in der Ebene im Median 16 Richtungen je Punkt. Der Haken: Dass Matrixkegel mehr können als runde, zeigt die Demo nicht.
Demo starten →Krümmungsregeln: Der Prüfer beweist, aber nicht alles
Sehen Sie, wie ein Prüfer mechanisch beweist, dass ein Ausdruck konvex ist, also ein lösbares Kegelprogramm ergibt: Er gibt jedem Teil eine Krümmung und schweigt, wo seine Regeln nicht reichen, etwa bei Wurzel aus Quadrat plus eins, obwohl sie konvex ist. Von 21 Testausdrücken beweist er 6; Sehnen (Geradenstücke zwischen Funktionswerten) widerlegen andere. Der Haken: Mit 50 Zufallssehnen bleibt eine sehr schmale Beule in dieser Messung meist unentdeckt.
Demo starten →Kegel-Dualität: Die Lücke im Kegel und wo Slater fehlt
Verfolgen Sie, wie zu jedem Kegelprogramm ein zweites, duales gehört, das von der anderen Seite an das Optimum stößt: Die Lücke zwischen beiden beweist, wie nah man ist. Beim Umschließen einer Punktwolke stimmen beide Werte in allen 90 Läufen bis auf Rundung überein. Der Haken: Fehlt ein streng zulässiger Punkt (Slater, mit Spielraum bei allen Bedingungen), kann eine Lücke bleiben; ein kleines Beispiel hat primal 0, dual minus 1.
Demo starten →Kegel-Barriere: Große Schritte sparen Rechenaufwand
Verfolgen Sie, wie ein Löser den Rand des erlaubten Bereichs meidet: Eine logarithmische Strafe vor dem Rand wird von Runde zu Runde schwächer gewichtet, und die Lösung wandert auf einem Pfad zum Optimum. Für die kleinste umschließende Kugel einer Punktwolke braucht der vorsichtige Kurzschritt 343 Rechenschritte (Newton-Schritte), ein großer Sprung der Gewichtung nur 34. Der Haken: Dass die Schrittzahl kaum mit der Problemgröße wächst, ist nur gemessen.
Demo starten →Primal-dualer Schritt: Zertifikat statt bloßer Schranke
Sehen Sie, wie ein Löser Ausgangs- und Gegenproblem zugleich löst, sodass die Restlücke ein echtes Zertifikat ist und nicht nur eine Schranke wie bei der Barriere. Dafür muss das komponentenweise Produkt auf Kegel übertragen werden: Wörtlich übernommen scheitert es bei Lorentz- oder Matrix-Kegeln an allen je 12 Zufallsprogrammen, ein symmetrisiertes Produkt löst 12 von 12. Der Haken: Die zusätzliche Skalierung macht den Löser hier weder schneller noch robuster.
Demo starten →Exponential- und Potenzkegel: Barriere ja, Skalierung nein
Verfolgen Sie, was sich ändert, wenn ein Kegel weniger Symmetrien hat als die bisherigen, wie der Exponentialkegel und der Potenzkegel: Die Skalierung des primal-dualen Schritts gibt es für sie nicht, die Barrierenmethode läuft unverändert. Dieselbe Kugel um eine Punktwolke, mit zwei Kegeln geschrieben, ergibt denselben Radius, aber die Kennzahl der Barriere springt von 40 auf 140. Der Haken: Ein primal-dualer Löser für beide Kegel ist nicht gebaut.
Demo starten →Projektion auf Kegel: Billiger Baustein, teurer Weg
Sehen Sie, wie sich ein Punkt auf den nächsten Punkt eines Kegels abbilden lässt, per Formel oder, beim Exponential- und Potenzkegel, per Gleichung in einer Variablen. Zwischen Kegel und einer zweiten Menge hin und her projiziert, braucht die Kugel von 8 Punkten bei verschobenem Start etwa 215 Schritte im Lorentz-Kegel und 1 959 im Exponentialkegel, die Barriere 31 Newton-Schritte. Der Haken: Die Schrittzahl hängt stark am Start.
Demo starten →ADMM für Kegel: Wer wählt ρ, entscheidet über den Erfolg
Verfolgen Sie, wie ADMM, ein Verfahren der ersten Ordnung, ein Kegelprogramm löst: ein fester Rechenschritt, eine Projektion auf den Kegel, dann wird ein Hilfswert fortgeschrieben. Ein Regler für den Schrittparameter ρ zeigt live: Die Kugelaufgabe braucht bei gutem ρ 185 Schritte, bei zu großem ρ liefert sie bis zur Schrittgrenze gar keine Lösung. Der Haken: Das beste ρ wandert mit der Skala der Daten.
Demo starten →Splitting gegen Innere Punkte: Kreuzung bei d zwischen 16 und 32
Sehen Sie, ab welcher Größe ein Verfahren mit vielen billigen Schritten (ADMM) ein Verfahren mit wenigen teuren Schritten (Innere Punkte) überholt. Die Punktwolke wächst in der Dimension: Die Gesamtzeiten kreuzen sich zwischen 16 und 32 Dimensionen, bei 64 ist ADMM bis zur Genauigkeit 10⁻⁶ deutlich schneller. Der Haken: Gegen die echten Löser Clarabel und SCS liegt die Kreuzung nach einer Einzelmessung deutlich weiter rechts.
Demo starten →Worst-Case-Raten: Der Beweis ist selbst ein SDP
Sehen Sie, wie sich die Geschwindigkeit eines Optimierungsverfahrens im schlechtesten Fall ausrechnen statt beweisen lässt: Aus unendlich vielen Funktionen werden endlich viele Bedingungen, und der Beweis ist selbst ein Kegelprogramm. Es findet die bekannte Formel des Gradientenverfahrens auf neun Stellen; das optimierte OGM hat bei zwölf Schritten das 0,507fache des Fehlers von Nesterovs Verfahren. Der Haken: Der Beweis ist numerisch geprüft, nicht formal.
Demo starten →MaxCut als SDP: Schranke, Rundung und Garantie
Verfolgen Sie, wie sich der größte Schnitt eines Graphen, eine schwere Aufteilungsaufgabe, näherungsweise lösen lässt: Statt Vorzeichen plus oder minus 1 rechnet man mit Vektoren, das ergibt eine obere Schranke, und eine Zufallsgerade rundet zu einem echten Schnitt. Im Erwartungswert garantiert sind 0,87856 der Schranke; am nächsten daran liegt der Petersen-Graph mit 0,8787. Der Haken: Dass die Garantie nicht besser geht, braucht sehr große Graphen und ist hier nicht gemessen.
Demo starten →Niedriger Rang: Wie schmal darf die Matrix sein?
Verfolgen Sie, wie sich die Obergrenze für den besten Schnitt eines Graphen ohne die große Matrix des Vorgängers berechnen lässt: Man rechnet nur mit einer schmalen Matrix, deren Breite Rang heißt. Bei Zufallsgraphen mit 20 Knoten trifft Rang 1 das Optimum nie, ab Rang 3 taten es alle 24 Läufe. Der Haken: Das Programm ist nicht mehr konvex, und ein Zertifikat für das Optimum braucht eine eigene Eigenwertrechnung.
Demo starten →Robust als Kegel: Der Preis der Absicherung
Sehen Sie, wie sich Unsicherheit abfangen lässt: Liegen die Koeffizienten einer Planzeile in einer gedehnten Kugel (Ellipsoid), wird daraus genau eine Kegelzeile ohne Näherung. Bei Einheitsradius sinkt der Zielwert um 14,1 %, der nominale Plan verletzt in der schlechtesten Zeile 50 % der gezogenen Fälle, der robuste keinen. Der Haken: Der Radius ist keine Mengenwahrscheinlichkeit, in zehn Dimensionen enthält das Ellipsoid bei doppeltem Radius nur 5 % der gaußschen Ziehungen.
Demo starten →Implizite Differentiation: Ein System statt vieler Läufe
Verfolgen Sie, wie sich die kleinste Kugel um eine Punktwolke ändert, wenn ein Punkt wandert: Statt durch alle Schritte eines Verfahrens zurückzurechnen, genügt am fertigen Ergebnis ein Gleichungssystem. Der Gradient für ein Lernziel kostet so eine Lösung statt 28; die entrollte Ableitung des ADMM-Verfahrens braucht im Standardbeispiel rund 300 Schritte zum Aufschließen. Der Haken: An Gleichständen hat die Lösung einen Knick, bei nicht eindeutigen Lösungen ist das System singulär.
Demo starten →Verfahrenswahl: Welcher Löser, gemessen woran?
Sehen Sie, welcher Löser der Reihe für welche Aufgabe am schnellsten ist, gemessen als Zeit bis zu einer vorgegebenen Genauigkeit. Eine Entscheidungsregel, aus den früheren Stücken abgeleitet, wird gegen alle 57 Zellen (Aufgabe mal Genauigkeit) geprüft und trifft fast alle; die Fehlgriffe sind knappe Zellen. Der Haken: ADMM bekommt den besten Schrittparameter und den bekannten Optimalwert als Abbruch, seine Zeiten sind Untergrenzen, und alle Zeiten gelten nur für diese Python-Implementierungen.
Demo starten →Welches Stück passt zu meiner Frage?
Ein Entscheidungsbaum über alle sechzehn Stücke: Er fragt danach, was man klären will, nicht nach dem Löser.
Beige Kästen sind Fragen (nicht klickbar), weiße Kästen sind Ergebnisse (klickbar, sie öffnen die jeweilige Demo). Der Baum ordnet nach der Frage, nicht nach Güte. Wo mehrere Stücke passen, hilft die Verfahrenswahl; ihre Aussagen gelten nur für die dort gemessenen Aufgaben und Größen.
Weitere Linien in diesem Bereich
Exakte Suche
Bewiesen beste statt nur guter Lösungen: zwei Linien, Rucksack und Cutting Stock, von Branch & Bound bis Column Generation und Branch & Price.
Lineare Programmierung
Was steckt in einem LP-Löser? Elf Stücke vom Tableau-Simplex über Schattenpreise und Innere Punkte bis zum Crossover, alle von Grund auf geschrieben und gemessen.
Nichtlineare Optimierung
Wie findet man ein Minimum, wenn nichts linear ist? Acht Stücke vom ersten Schritt bergab über Krümmung und Nebenbedingungen bis zur Brücke ins Deep Learning, jedes mit gemessenem statt behauptetem Befund.
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Bayessche Optimierung und Gauß-Prozesse
Eine teure Simulation, sieben Stücke: vom Gauß-Prozess und der erwarteten Verbesserung über Rauschen und Nebenbedingungen bis zu hohen Dimensionen, parallelen Läufen und mehreren Genauigkeiten.
Online-Algorithmen
Wie man entscheidet, bevor die Zukunft bekannt ist, und was die Garantie für den schlimmsten Fall im Betrieb kostet: sieben Stücke von Mieten oder Kaufen bis zu Vorhersagen.
Zielfunktionsdesign
Was ändert sich, wenn nur das Ziel wechselt? Vierzehn Stücke von der Wahl zwischen Summe und Maximum über Fairness und Ersatzziele bis zur Frage, wie man ein Ziel vor dem Einsatz testet.
Bestandspolitiken
Wie viel bestellen, wenn jede Periode zählt? Sieben Demos mit demselben Artikel: von der Rückwärtsrechnung über Fixkosten, Lieferzeit, Verderb und zwei Lager bis zur Frage, welche einfache Regel reicht.
Komplexitätsklassen
Was sagt es aus, wenn ein Problem als NP-schwer gilt, und welcher Ausweg passt zu welchem Grund der Härte? Zehn Stücke über Reduktionen, typische Instanzen, große Zahlen, Garantien, Parameter, Zufall, Zählen, Spiele und lokale Optima.
SAT und Constraint Programming
Wie merkt sich ein Löser, warum eine Sackgasse eine war? Sechzehn Stücke vom Konfliktlernen über Beweise, Zähler und Symmetrie bis zu Mengen- und Maschinenschlüssen, lokaler Suche und der Wahl der Modellwelt.
Packen: Reihenfolge und Platzierungsregel
Wie packt man Pakete, Rechtecke und Quader in wenige Behälter, und wie nah am Besten liegt eine einfache Regel? Vierzehn Stücke von der Sortierung bis zur Verfahrenswahl.
Umstauen: Untergrenze und Suche
Wie viele Container müssen mindestens umgestapelt werden, und wann lohnt sich die Suche nach dem Besten? Fünfzehn Stücke von der einfachen Regel bis zur Verfahrenswahl.
Tourenbildung: eine Reihenfolge, optimal zerlegt
Wie bildet man Touren aus einer einzigen Reihenfolge aller Kunden, und wann schlagen Savings, Sweep oder Suche sie? Fünfzehn Demos von der Aufzählung bis zur Verfahrenswahl.
Ressourcenwege und Spaltenerzeugung
Wie findet man unter unüberschaubar vielen möglichen Touren die mit dem größten Nutzen, wenn jede Zeit- und Lastgrenzen einhalten muss? Dreizehn Demos vom Weg mit Grenze bis zur Wahl des Verfahrens.
Takt und Periodizität
Ein Fahrplan, der sich jede Stunde wiederholt: vier Stücke von den Zeitabständen über die Wartezeit der Umsteiger und die Kreisgleichungen bis zum Betriebstag.