Bestellen per Rückwärtsrechnung verständlich erklärt

Ein Supermarkt bestellt jede Woche Batterien nach, und niemand weiß vorher, wie viele gekauft werden. Diese Seite zeigt, wie eine Rechnung von hinten nach vorn die beste Regel findet und warum sie so einfach ausfällt: auf einen festen Bestand auffüllen.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Jede Woche dieselbe Frage

Ein Supermarkt bestellt jede Woche Batterien nach. Wie viele Packungen gekauft werden, schwankt zufällig; im Rechenbild dieser Seite, einem erfundenen Zahlenbeispiel, sind es im Schnitt 3 Packungen je Woche. Liegt zu viel im Regal, kostet jede übrige Packung Lagerplatz, im Beispiel 1 je Woche (Geldeinheit nicht näher benannt). Fehlt eine Packung, kostet das mehr: Die Kundin wartet auf die Nachlieferung, und das Rechenbild setzt dafür 9 je fehlender Packung und Woche an (Fachwort: Rückstand, denn die fehlende Ware wird später nachgeliefert und geht nicht verloren).

Jede Woche steht dieselbe Frage an: Wie viel bestellen? Die einfachste Antwort ist eine feste Regel: Fehlt am Wochenanfang etwas zu einem festen Bestand, wird die Differenz nachbestellt (Fachwort: Base-Stock). Reicht das, oder braucht man eine Tabelle mit einer eigenen Antwort für jede Woche und jeden Lagerstand?

Der Kassenzettel, von hinten gelesen

Wir rechnen das mit einem Programm zum Ausprobieren durch, einer Demo (unten verlinkt). Sie gibt keine Regel vor, sondern lässt die Rechnung die beste finden. Dazu hilft ein Bild: ein langer Kassenzettel, auf dem jede Zeile eine Woche ist. Gerechnet wird von der letzten Zeile her: In der letzten Woche gibt es nur noch eine Entscheidung, und ihre besten Kosten lassen sich für jeden möglichen Lagerstand ausrechnen. In der vorletzten Woche kommen diese feststehenden Beträge zu den eigenen Kosten hinzu, und so weiter bis zur ersten Woche (Fachwort: dynamische Programmierung).

Das Ergebnis ist überraschend einfach: In jeder Zeile lautet der beste Rat gleich, nämlich auf denselben festen Bestand aufzufüllen. Schon wenn nur noch eine Woche bleibt, ist das der beste Rat; eine längere Rechnung ändert ihn nicht. Das gilt in allen gerechneten Einstellungen (Zahl im zweiten Teil der Seite), solange die Ware nichts kostet außer dem Liegen und dem Fehlen.

Warum? Jede Woche hat einen Mindestbetrag: den kleinsten Betrag, den sie im Schnitt kosten kann, wenn der Bestand bestmöglich gewählt ist. Das Auffüllen auf denselben Bestand erreicht diesen Mindestbetrag in jeder Woche, solange das Lager nicht schon über dem Zielbestand liegt (nach der ersten Auffüllung kommt das bei dieser Regel nicht mehr vor). Weniger als der Mindestbetrag geht nicht, also kann keine Regel besser sein, die die Wochen verschieden behandelt.

Welcher Bestand ist der richtige?

Der feste Bestand hängt von den Kosten und von der Lieferzeit ab. Er muss die Nachfrage über die Wartezeit mit einer Mindest-Wahrscheinlichkeit decken (Fachwort: Quantil). Sie folgt aus den Kosten: Sie ist der Anteil der Fehlkosten an der Summe aus Fehl- und Lagerkosten, hier 9 von 9 + 1. Je teurer das Fehlen, desto sicherer soll der Bestand reichen. Die Wartezeit ist die Lieferzeit plus die laufende Woche, denn auch während die Lieferung unterwegs ist, wird weiter verkauft.

Gerechnet wird mit einer einzigen Zahl: dem, was im Regal liegt, plus dem, was unterwegs ist, minus dem, was Kunden noch zusteht (Fachwort: Bestandsposition). Angenommen, es liegen 4 Packungen im Regal, 6 sind unterwegs, und 2 sind noch nachzuliefern: Dann ist die Bestandsposition 4 + 6 − 2 = 8. Im Rechenbild genügt diese eine Zahl als Beschreibung des Lagers. Mit 3 Packungen im Schnitt, Fehlkosten 9 und Lagerkosten 1 lautet der Bestand je nach Lieferzeit (Ware kostet nichts außer Liegen und Fehlen):

Lieferzeit in Wochen	Auffüllen bis
0	5
1	9
2	13
3	17

Der Bestand liegt jeweils über der Nachfrage der Wartezeit im Schnitt, mit einem Sicherheitsaufschlag; die Rechnung dazu steht im zweiten Teil der Seite. Mit jeder Woche Lieferzeit steigt er in diesem Beispiel um 4 Packungen, aber die Regel bleibt dieselbe: Die Lieferzeit verschiebt das Niveau, sie ändert die Regel nicht.

Wo die Regel abweicht

Die einfache Antwort hat eine Ausnahme. Kostet jede bestellte Packung selbst Geld (Fachwort: Einkaufspreis) und ist Ware, die am Ende übrig bleibt, nichts mehr wert, dann wird in den letzten Wochen weniger aufgefüllt. Vermutlich will man am Ende nicht auf wertlosen Resten sitzen bleiben; das ist eine Deutung, nicht gemessen. Gemessen ist: In den 32 gerechneten Fällen mit Einkaufspreis (Mittel 3) gilt ab 2 bis 5 Wochen vor dem Ende wieder derselbe feste Bestand. Überall denselben Bestand zu nehmen kostet über 52 Wochen nur wenig mehr, bei nur noch einer Restwoche deutlich mehr (Zahlen im zweiten Teil).

Was die Demo nicht rechnet: Fixkosten je Bestellung (dazu die Erklärseite wann sich eine zweite Schwelle lohnt), Nachfrage, die verloren geht statt nachgeliefert zu werden, andere Verteilungen als die Poisson-Verteilung (ein gängiges Modell für Zählwerte) und Ware, die verdirbt (dazu die Erklärseite wie es mit dem Alter der Ware ist).

Häufige Missverständnisse

• „Die Rechnung denkt sich die Regel aus.“ Sie wird nicht vorgegeben, sondern gefunden.
• „Das gilt für jedes Lager.“ Es gilt für das Rechenbild: ein Artikel, zufällige Nachfrage, Nachlieferung fehlender Ware, keine Fixkosten je Bestellung.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Wer die eigene Bestellregel prüfen will, kann fragen:

• Wird in jeder Bestellrunde auf einen festen Stand aufgefüllt (Bestand plus Unterwegs minus Rückstand), oder wird jedes Mal neu geschätzt?
• Fällt für jede Bestellung ein fester Betrag an, gleich wie viel bestellt wird (Fixkosten)? Dann gilt die Regel nicht ohne Weiteres; siehe die Erklärseite zur Bestellschwelle.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet mit einem Artikel, erzeugter Nachfrage und erfundenen Kosten. Sie zeigt, welche Regel unter diesen Annahmen die beste ist, nicht, was in Ihrem Lager gilt.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt das Modell, die Rückwärtsrechnung (Bellman-Gleichung) für die Bestandsposition, die Herleitung, warum das Aufziehniveau bei Einkaufspreis 0 ein Quantil ist, und die Messwerte der Demo.

• Begriffe: Base-Stock heißt, bei einer Position \(x\) unter einem Niveau \(S\) auf \(S\) aufzufüllen. Das Quantil zum Verhältnis \(q\) ist das kleinste \(k\) mit \(\Pr(D^{(L+1)} \le k) \ge q\). Das Aufziehniveau \(S_n\) ist der Wert, auf den bei \(n\) Rest-Perioden aufgefüllt wird. „Stationär“ heißt, dass \(S_n\) nicht mehr von \(n\) abhängt. Eine „Zelle“ (auch „Einstellung“) ist eine Kombination aus Lieferzeit, \(p/h\), Mittel und \(c\).
• Modellfall: ein Artikel, Poisson-Nachfrage mit ganzzahligem Mittel 2 bis 5 je Periode (die Befunde unten gelten, wo nichts anderes steht, für Mittel 3), unabhängig und gleich verteilt. Lagerkosten \(h = 1\) je Stück und Periode, Fehlmengenkosten (Strafkosten) \(p\) je fehlendem Stück und Periode (wegen \(h = 1\) ist \(p = p/h\)) mit \(p/h = 1, 2, 4, 9, 19\); Rückstand: Fehlmengen werden nachgeliefert.
• Zeitablauf: Bestellung zu Beginn der Periode, sie steht für die Nachfrage der Periode \(t + L\) bereit (\(L = 0\): sofort), Lieferzeit \(L = 0\) bis 3. Start bei Bestandsposition 0, nichts unterwegs.
• Einkaufspreis \(c\) je bestelltem Stück (0, 1, 3, 5); der Rest am Ende des Horizonts ist nichts wert, nach den \(N\) Entscheidungen wird nicht mehr bestellt, und die Kosten laufen über \(N + L\) Kalenderperioden (Anlauf plus \(V_N(0)\)). Einkaufspreis ab \(p\) wird nicht gerechnet.
• Zustand ist die Bestandsposition \(x\) (Bestand plus Bestellungen unterwegs minus Rückstand); \(N\) ist die Zahl der Entscheidungen insgesamt, \(n\) die Zahl der noch zu entscheidenden Perioden (Rest-Perioden), \(t\) die Nummer einer Periode, \(V_0 = 0\).
• Anlaufkosten: Die ersten \(L\) Perioden verursachen Kosten, die nicht steuerbar sind (Bestellungen noch unterwegs, Rückstand mit Strafe \(p\)) und in \(V_n(0)\) nicht enthalten sind: Anlauf \(= p \cdot \text{Mittel} \cdot L(L+1)/2\).
• Rechenwege: (a) Rückwärtsrechnung auf einem Gitter der Bestandspositionen: je Runde das Minimum von \(H_n\) über \(y \ge x\); das kleinste Minimum ist \(S_n\) (Toleranz 1e-9). Das Gitter reicht unten 10 unter die größte Nachfrage einer Periode, oben 3 über das 1 − 1e-9-Quantil der Nachfrage über \(L + 1\) Perioden; die Randmasse unten (Anteil der Zeit am unteren Gitterrand) ist 0. Die Poisson-Nachfrage ist beim Zwölffachen des Mittels plus 20 abgeschnitten (Abschneidemasse: die Wahrscheinlichkeit darüber). (b) Geschlossene Regel: Quantil aus der aufsummierten Poisson-Formel, ohne Bellman-Rechnung; zweiter Weg: Aufzählung von \(G\), also Probieren aller Niveaus. (c) Feste Politik „immer bis \(S\) auffüllen“ exakt ausgewertet. (d) Simulation Periode für Periode mit dem ganzzahligen Zufallserzeuger SplitMix64. (e) Gegenprobe mit vollem Zustand (Bestand und jede Bestellung unterwegs).
• Nicht modelliert: Bestellkosten je Bestellung, Bestellgrenze, Diskontierung, verlorene Nachfrage, ein Restwert ungleich 0, andere Nachfrageverteilungen, nicht ganzzahlige Mengen, Nachfrage mit Gedächtnis.

Die Formeln

Bezeichnungen: \(x\) die Bestandsposition vor, \(y \ge x\) nach der Bestellung (Auffüllniveau), \(D^{(L+1)}\) die Nachfrage über die Wiederbeschaffungszeit (Summe von \(L + 1\) Perioden), \(G(y)\) die erwarteten Lager- und Rückstandskosten einer Periode bei Niveau \(y\), \(V_n(x)\) die kleinsten erwarteten Kosten bei Position \(x\) und \(n\) Rest-Perioden, \(H_n(y)\) der Wert, wenn bei \(n\) Rest-Perioden auf \(y\) aufgefüllt wird (ohne den Anteil \(-c\,x\)), und \(S_n\) sein kleinstes Minimum (das Aufziehniveau bei \(n\) Rest-Perioden). Dabei ist \(H_n(y) = c\,y + G(y) + \mathbb{E}\,V_{n-1}(y - D)\), also \(V_n(x) = -c\,x + \min_{y \ge x} H_n(y)\); \(D\) ist die Nachfrage einer Periode, \(\mathbb{E}\) der Erwartungswert und \((u)^{+} = \max(u, 0)\). Wer auf \(y\) auffüllt, zahlt für die Periode, in der die Bestellung ankommt:

\[G(y) = \mathbb{E}\left[\, h\,(y - D^{(L+1)})^{+} + p\,(D^{(L+1)} - y)^{+} \right]\]

Die Bellman-Gleichung rechnet rückwärts, mit \(V_0 = 0\):

\[V_n(x) = \min_{y \ge x} \Big\{ c\,(y - x) + G(y) + \mathbb{E}\,V_{n-1}(y - D) \Big\}\]

Die beste Bestellung ist \(\max(S_n - x, 0)\). Für \(c = 0\), Rückstand und keine Bestellgrenze gilt für jedes \(n \ge 1\) (Herleitung unten, gemessen für Poisson-Nachfrage in 80 Einstellungen):

\[S_n = S = \min\Big\{ k : \Pr\big(D^{(L+1)} \le k\big) \ge \frac{p}{p + h} \Big\}\]

Mit Einkaufspreis \(c\) und unbewertetem Rest gilt dieselbe Form für die letzte Periode mit dem Verhältnis \((p - c)/(p + h)\): Für \(n = 1\) wächst \(c\,y + G(y)\) von \(y\) auf \(y + 1\) um \(c + G(y+1) - G(y)\), und das ist genau dann nicht negativ, wenn \(\Pr(D^{(L+1)} \le y) \ge (p-c)/(p+h)\) (Rechnung dieser Seite, in 144 von 144 Zellen bestätigt). Die Niveaus \(S_n\) unterscheiden sich von \(S\) nur für \(n < n^*\); \(n^*\) ist die kleinste Zahl von Rest-Perioden, ab der \(S_n = S\) gilt, und beträgt 2 bis 5 in den 32 Zellen der Zeile „Wie viele Perioden weichen ab?“ unten.

Herleitung Schritt für Schritt: warum das Niveau ein Quantil ist

Die Herleitung gilt für \(c = 0\), Rückstand, Poisson-Nachfrage und keine Bestellgrenze; sie ist eine Rechnung dieser Seite und der Demo, keine Aussage aus einer Quelle.

• Schritt 1, untere Schranke: Jede der \(n - 1\) verbleibenden Perioden kostet mindestens \(\min G\). Also ist \(V_{n-1}(z) \ge (n-1)\min G\) für jede Position \(z\), und damit \(V_n(x) \ge \min G + (n-1)\min G = n \min G\).
• Schritt 2, die Schranke wird erreicht: Für \(x \le S\) erreicht das Auffüllen auf \(S\) diese Schranke, weil die nächste Position \(S - D\) wieder höchstens \(S\) beträgt. Es gilt also \(V_n(x) = n\,G(S)\) für \(x \le S\), wenn \(S\) das Minimum von \(G\) ist (Induktion über \(n\): aus \(V_{n-1}(S - D) = (n-1)\,G(S)\) folgt \(V_n(x) = G(S) + (n-1)\,G(S)\)).
• Schritt 3, wo liegt das Minimum von \(G\)? Aus der Definition von \(G\) folgt die Differenz zweier benachbarter Werte (siehe Formel unten). Sie ist negativ, solange die Verteilungsfunktion der Nachfrage unter \(p/(p+h)\) liegt, und erst ab dem Quantil nicht mehr. Das kleinste Minimum von \(G\) ist also das Quantil \(S\).

\[G(y + 1) - G(y) = (p + h)\,\Pr\big(D^{(L+1)} \le y\big) - p\]

Daraus folgt, dass \(S\) in jeder Rest-Periode dasselbe ist (Stationarität schon bei einer Rest-Periode) und \(V_n(x) = n\,G(S)\) für \(x \le S\). Mit Einkaufspreis lässt sich das Auffüllen auf das Niveau der nächsten Periode nicht mehr voraussetzen, weil der unbewertete Rest am Ende die Schranke verschiebt; die Herleitung fällt dann, und die Abweichung der letzten Perioden ist ein Messbefund.

Durchgerechnet am Beispielfall (Mittel 3, \(p/h = 9\), \(c = 0\)): Für \(L = 0\) ist \(S = 5\), die Kosten je Periode sind \(G(S) = 3{,}3462\) und die steuerbaren Kosten bei 52 Entscheidungen \(V_{52}(0) = 174{,}0027\). Die Anlaufkosten sind 0; bei \(L = 3\) sind es \(9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4/2 = 162\), nicht steuerbar und nicht in \(V_{52}(0)\) enthalten.

Befunde

Alle Werte sind Messwerte der Demo: Poisson-Nachfrage, \(h = 1\), Rückstand, keine Bestellgrenze. Alles ist exakt gerechnet, außer der Simulation. Zuerst Einkaufspreis 0:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Ist \(S\) das Quantil? (\(c = 0\))	Das Niveau der Rückwärtsrechnung gleicht dem Poisson-Quantil über \(L + 1\) Perioden und der Aufzählung von \(G\) in 80 von 80 Zellen (Lieferzeit 0 bis 3, \(p/h = 1, 2, 4, 9, 19\), Mittel 2 bis 5), bei jeder der 40 Rest-Perioden
Beispielfall (Mittel 3, \(p/h = 9\), \(c = 0\))	\(S = 5, 9, 13, 17\) für Lieferzeit 0 bis 3; Kosten je Periode \(G(S) = 3{,}3462 / 4{,}6126 / 5{,}5798 / 6{,}4507\); steuerbare Kosten \(V_{52}(0) = 174{,}0027 / 239{,}8546 / 290{,}1492 / 335{,}4338\); Anlaufkosten 0 / 27 / 81 / 162
Niveaus bei Mittel 3 für \(p/h = 1, 2, 4, 9, 19\)	Lieferzeit 0: 3, 4, 4, 5, 6; Lieferzeit 1: 6, 7, 8, 9, 10; Lieferzeit 2: 9, 10, 11, 13, 14; Lieferzeit 3: 12, 13, 15, 17, 18
Ab wann stationär? (\(c = 0\))	Schon bei einer Rest-Periode in 80 von 80 Zellen; das feste Niveau \(S\) kostet über 40 Rest-Perioden gegenüber der Rückwärtsrechnung 0 im Rahmen der Rechengenauigkeit (Betrag unter 1e-9)
Struktur der Bestellung	In allen 80 Zellen ist die beste Bestellung in jedem Zustand und bei jeder der 40 Rest-Perioden \(\max(\text{Position}, S_n) - \text{Position}\)
Gleichstand, Rand	Kleinster Abstand zwischen bestem und zweitbestem Niveau (Kosten) in den 80 Zellen: mehr als 0,007; Randmasse unten 0 in 80 von 80 Zellen (und in 144 von 144 Zellen mit Einkaufspreis)
Lieferzeit und Mittel wirken über \((L+1) \cdot \text{Mittel}\)	60 verschiedene Paare (Nachfrage über \(L + 1\) Perioden, \(p/h\)) aus den 80 Zellen, davon 20 mit mehreren Zellen, 0 mit abweichendem Niveau oder abweichenden Periodenkosten (bei \(c = 0\) und nur für Poisson-Nachfrage; Anlaufkosten und, mit Einkaufspreis, die Niveaus der letzten Perioden hängen an Lieferzeit und Mittel einzeln)

Mit Einkaufspreis \(c\) (Rest am Ende nichts wert):

Frage	Befund (Voraussetzung)
Grenzniveau	In 144 von 144 Zellen (Lieferzeit 0 bis 3, \(p/h = 2, 4, 9, 19\), Mittel 2 bis 5, \(c = 1, 3, 5\) mit \(c < p\)) gleicht das Niveau bei 30 Rest-Perioden dem Quantil zum Verhältnis \(p/(p+h)\); die letzte Periode (\(S_1\)) dem Quantil zum Verhältnis \((p-c)/(p+h)\); die Struktur \(\max(\text{Position}, S_n)\) gilt in allen 144
Wie viele Perioden weichen ab?	Mittel 3, \(p/h = 4, 9, 19\), \(c = 1, 3, 5\) mit \(c < p\), Lieferzeit 0 bis 3 (32 Zellen): stationär ab 2 bis 5 Rest-Perioden; die Niveaus \(S_1\) bis \(S_4\) liegen in allen 32 Zellen nicht über \(S\). Beispiel Mittel 3, \(p/h = 9\), \(c = 3\), \(L = 3\): \(S_1\) bis \(S_4\) = 13, 15, 16, 17, ab 4 Rest-Perioden \(S = 17\)
Mehrkosten des festen \(S\)	Dieselben 32 Zellen, Start Position 0: bei 1 Rest-Periode 1,86 bis 31,91 %, bei 3 Rest-Perioden 0,69 bis 13,33 %, bei 52 Rest-Perioden 0,04 bis 1,35 % der steuerbaren Kosten einschließlich Einkauf; absolut bei 52 Rest-Perioden 0,145 bis 15,791 (0,04 bis 2,45 Periodenkosten \(G(S)\)). Im Beispiel oben 7,13

Prüfung der Rechenwege:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Voller Zustand gegen Positions-Rechnung	Bei \(N = 3\) Entscheidungen, Lieferzeit 0 bis 3, Einkaufspreis 0 und 3 (8 Fälle, Mittel 3, \(p/h = 9\), Nachfrage bis 14, Bestellmengen bis 20): gleicher Wert (Anlauf plus \(V_N(0)\)) mit größter Abweichung unter 1e-9 (gemessen 2,8e-14); die Regel \(\max(S_n - \text{Position}, 0)\) ist in allen geprüften Zuständen im Wert optimal
Exakt gegen Simulation	4 Zufalls-Seeds mit je 100.000 Pfaden, Mittel 3, \(p/h = 9\), 52 Entscheidungen, Lieferzeit 0 bis 3, \(c = 0\) und 3: 12 verschiedene Zeilen (bei \(c = 0\) sind Rückwärtsrechnung und festes Niveau dieselbe Regel) mal 4 Zufalls-Seeds = 48 Werte; verglichen werden Gesamtkosten einschließlich Anlauf, und eine Abweichung von höchstens 3 Standardfehlern gilt als im Rahmen des Zufalls, größte Abweichung 2,09 Standardfehler; die Mittel der vier Zufalls-Seeds weichen um −0,063 bis +0,021 vom exakten Wert ab. Alle Lieferzeiten und beide Politiken benutzen je Zufalls-Seed dieselben Zufallszahlen, die Werte sind nicht unabhängig
Abschneidemasse der Nachfrage	\(P(D > \text{Obergrenze})\) je Periode höchstens 1e-43 für Mittel 2 bis 5 (Obergrenze: Zwölffaches des Mittels plus 20)

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

• Alle Befunde gelten für Poisson-Nachfrage mit Mittel 2 bis 5, Rückstand, Lagerkosten 1 und die gerechneten Raster; andere Verteilungen, Diskontierung, ein Restwert ungleich 0 und Einkaufspreis ab \(p\) sind nicht gemessen.
• Die Stationarität schon bei einer Rest-Periode gilt für \(c = 0\), Rückstand, Poisson und ohne Bestellgrenze; mit Einkaufspreis und unbewertetem Rest fällt sie, die Herleitung versagt dann.
• Der Satz „Aufziehniveau gleich Quantil über \(L + 1\) Perioden“ ist bei \(c = 0\) hergeleitet (eigene Rechnung) und in den 80 Zellen gemessen, nicht aus einer Quelle übernommen. Für Rückstand mit positiver Lieferzeit nennen Xin und Goldberg Base-Stock als optimal.
• „Lieferzeit und Mittel wirken nur über \((L+1) \cdot \text{Mittel}\)“ gilt für Niveau und Periodenkosten bei \(c = 0\) und Poisson-Nachfrage (Summen von Poisson-Größen sind Poisson-verteilt), nicht allgemein.
• Minima gelten als gleich, wenn sie sich um weniger als 1e-9 unterscheiden; das kleinste Niveau gewinnt. Bei \(c = 0\) tritt in den 80 Zellen kein Gleichstand auf.
• Die Probe mit dem vollen Zustand ist eine Probe der Gleichwertigkeit im endlichen Horizont (\(N = 3\)); die Demo selbst rechnet auf der Bestandsposition. Die Schwelle von 3 Standardfehlern bei der Simulation ist eine Konvention, kein Test.
• Alle Beispiele sind erzeugt; echte Lagerdaten wurden nicht verwendet.

Quellen

• Xin und Goldberg, arXiv 1409.1499, S. 2: Für Rückstand mit positiver Lieferzeit ist Base-Stock optimal; sie verweisen auf Scarf (1960), Iglehart (1963) und Veinott (1966).

Die drei genannten Originale wurden nicht gelesen; die Angaben stehen nach Xin und Goldberg. Die Quantil-Formel für das Niveau ist die Formel der Einperiodenaufgabe (einmal bestellen, bevor die Nachfrage bekannt ist; „Newsvendor“) für die Nachfrage über \(L + 1\) Perioden; ihre Gleichheit mit der Rückwärtsrechnung folgt bei \(c = 0\) aus der Herleitung oben und ist gemessen, nicht aus einer Quelle übernommen.