Die Bestellschwelle verständlich erklärt

Wer zum Großmarkt fährt, zahlt für jede Fahrt, egal wie viel er mitnimmt. Diese Seite zeigt, warum man bei hohen Fahrtkosten seltener fährt und jedes Mal mehr auflädt, und wie viel es kostet, trotzdem jede Woche aufzufüllen.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Die Fahrt zum Großmarkt kostet jedes Mal

Ein Wirt holt seine Getränke beim Großmarkt. Jede Fahrt kostet Zeit und Sprit, gleich wie viele Kästen er mitnimmt (Fachwort: Fixkosten je Bestellung). Wie viel in einer Woche getrunken wird, schwankt zufällig; im Rechenbild dieser Seite, einem erfundenen Zahlenbeispiel, sind es im Schnitt 3 Kästen. Ein Kasten im Keller kostet 1 je Woche, ein fehlender 9 (fehlende Ware wird nachgeliefert, nicht verloren). Alle Kosten haben dieselbe, nicht näher benannte Geldeinheit; eine Fahrt für 2 kostet also so viel wie zwei Wochen, in denen ein Kasten im Keller liegt.

Die einfache Regel lautet: jede Woche zum Großmarkt fahren und den Keller auf denselben festen Stand auffüllen (Fachwort: Base-Stock). Ohne Fixkosten ist sie in den gerechneten Fällen die beste (siehe die Erklärseite zum Bestellen per Rückwärtsrechnung). Mit hohen Fixkosten wird sie teuer: Sie fährt in 95 % der Wochen, weil in so vielen Wochen überhaupt etwas verkauft wird und sie dann nachbestellt, und jede Fahrt kostet.

Die zweite Schwelle

Der Wirt kann es anders machen. Er wartet, bis der Vorrat auf eine Mindestmenge gefallen ist, und fährt erst dann, dafür aber bis zu einer Obergrenze voll. Er fährt seltener und lädt jedes Mal mehr auf. Das sind zwei Schwellen statt einer, die Mindestmenge (Buchstabe s) und die Obergrenze (S); daher heißt das (s,S)-Regel. Gerechnet wird mit einer Zahl: dem, was im Keller liegt, plus dem, was unterwegs ist, minus dem, was Kunden noch zusteht (Fachwort: Bestandsposition). Unterwegs ist etwas, wenn die Lieferung Zeit braucht (Lieferzeit); ohne Lieferzeit ist die Ware in derselben Woche da.

Wir rechnen das mit einem Programm zum Ausprobieren durch, einer Demo (unten verlinkt). Sie bestimmt die beste Regel exakt, indem sie rückwärts rechnet, bis sich die Kosten je Woche nicht mehr ändern (Fachwort: dynamische Programmierung). In allen gerechneten Einstellungen (Zahl im zweiten Teil der Seite) hat die beste Regel auf den vorkommenden Bestandspositionen genau diese Form: warten, dann auffüllen. Das ist ein Messbefund, kein bewiesener Satz für dieses Modell.

Wie viel kostet es, trotzdem jede Woche aufzufüllen?

Gemessen wird der Aufschlag der einfachen Regel (mit dem günstigsten festen Stand) auf die Kosten der besten Regel. Ein Beispiel: Kostet die beste Regel 10, heißt „20 % mehr“, dass die einfache 12 kostet. Bei Fixkosten von 2 je Bestellung und ohne Lieferzeit kostet die einfache Regel knapp 6 % mehr. Bei Fixkosten von 5 sind es über 20 %, bei 30 mehr als das Doppelte der besten Regel; alle drei Zahlen gelten für das Kostenverhältnis 9 zu 1.

Die große Prozentzahl bei hohen Fixkosten ist zum größten Teil Arithmetik und kein Zeichen schlechter Steuerung: Der Aufschlag besteht überwiegend aus den Fixkosten der zusätzlichen Fahrten (Zahl der Fahrten mal Preis). In einem durchgerechneten Fall fährt die beste Regel viel seltener und zahlt für Lager und Fehlmengen etwas mehr, aber deutlich weniger, als sie an Fixkosten spart (Zahlen im zweiten Teil). Ab welcher Höhe der Fixkosten sich die zweite Schwelle überhaupt lohnt, schwankt in der Demo unregelmäßig; warum, ist nicht untersucht.

Eine Lehrbuchformel und die Faktor-2-Falle

Für bekannten, gleichmäßigen Verbrauch gibt es eine alte Formel für die beste Bestellmenge (Fachwort: EOQ). Die Menge, die die (s,S)-Regel je Fahrt nachlädt (Obergrenze minus Mindestmenge), liegt in der Mehrzahl der gerechneten Fälle nahe am Wert der Formel, aber nicht überall (Zahlen im zweiten Teil).

Zwei Zahlen aus der Welt dieser Formel führen leicht in die Irre. Liegt man mit der Bestellmenge um den Faktor 2 daneben (doppelt oder halb so groß wie die beste), kostet das dort 25 % mehr als bei der besten Menge. Schätzt man die Fixkosten um den Faktor 2 falsch, sind es nur gut 6 % mehr als bei der besten Menge: Die beste Menge ändert sich nur mit der Quadratwurzel der Fixkosten, und die Kosten verlaufen rund um sie flach. Beide Zahlen gelten nur für diese Formel mit bekanntem, gleichmäßigem Verbrauch, nicht im Rechenbild der Demo mit zufälliger Nachfrage; wie viel es dort kostet, steht im zweiten Teil.

Häufige Missverständnisse

• „Faktor 2 daneben kostet immer 25 %.“ Das gilt nur für die Bestellmenge in der Formelwelt; für die Fixkosten sind es dort gut 6 %, und im Rechenbild der Demo gelten beide Zahlen nicht.
• „Dass die beste Regel zwei Schwellen hat, ist bewiesen.“ Nach der Fachliteratur gilt es nur unter engeren Bedingungen, unter anderem ohne Lieferzeit. In der Demo mit Lieferzeit bis 3 ist es gemessen.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Wer die eigene Bestellung prüfen will, kann fragen:

• Kostet jede Bestellung oder Fahrt einen festen Betrag, gleich wie viel geliefert wird?
• Wird trotzdem in fast jeder Woche mit kleinen Mengen aufgefüllt? Das kann ein Hinweis sein, wenn die Fixkosten im Vergleich zu den Lagerkosten spürbar sind; dann lohnt sich Nachrechnen.
• Stammt eine Prozentzahl zum Fehler der Bestellmenge aus einer Formel mit bekanntem, gleichmäßigem Verbrauch? Dann gilt sie für zufällige Nachfrage nicht ohne Weiteres.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet mit einem Artikel, erzeugter Nachfrage und erfundenen Kosten. Sie zeigt, wie viel die zweite Schwelle unter diesen Annahmen bringt, nicht, was sie in Ihrem Lager bringen würde.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt das Modell mit Fixkosten, die Formeln der (s,S)-Form, der K-Konvexität, der EOQ-Formel und der Zyklus-Politik, die Messwerte der Demo und die Bezüge der Faktor-2-Zahlen (Bezug des Fehlers und Prozentbasis).

• Bezeichnungen: \(D\) die Nachfrage einer Periode (Poisson, Mittel \(\mu = 3\)), \(L\) die Lieferzeit in Perioden, \(F\) die Verteilungsfunktion der Nachfrage über \(L + 1\) Perioden, \(\mathbb{E}\) der Erwartungswert, \(\Pr\) eine Wahrscheinlichkeit, \((x)^+ = \max(x, 0)\), \(s\) die Bestellschwelle und \(S\) das Bestellziel der Politik. DP steht für dynamische Programmierung, hier die exakte Rückwärtsrechnung; Base-Stock heißt, auf ein festes Niveau \(S\) aufzufüllen, sobald die Bestandsposition darunter liegt. „EOQ-Takt eine Periode“ meint Fixkosten, bei denen die EOQ-Menge dem Verbrauch einer Periode entspricht (\(K = h\mu/2\)).
• Modellfall: ein Artikel, Poisson-Nachfrage mit Mittel 3 je Periode (unabhängig und gleich verteilt), Lagerkosten \(h = 1\), Fehlmengenkosten \(p\) je fehlendem Stück und Periode (wegen \(h = 1\) ist \(p = p/h\)) mit \(p/h = 1, 2, 4, 9, 19, 39\), Rückstand (nicht gedeckte Nachfrage wird nachgeliefert), Bestellkosten je Stück 0, Fixkosten \(K\) je Bestellung (0 bis 30 in Schritten von 0,5), Lieferzeit 0 bis 3 Perioden. Alle Parameter sind erfunden.
• Zustand und Aktion: Zustand ist die Bestandsposition \(z\) vor der Bestellung (Bestand plus Bestelltes minus Rückstand), Aktion die Bestellmenge \(q\) von 0 bis \(Q\). Dass die Bestandsposition als Zustand genügt, ist eine Rechenidentität (die Kosten einer Bestellung fallen \(L + 1\) Perioden später an), kein Satz; numerisch geprüft bis 1,8e-7. Positionen von −40 bis 60 (101 Zustände), Bestellgrenze \(Q = 40\); die Politik wird auf diesem Zustandsraum exakt bewertet (stationäre Verteilung der Position, lineares Gleichungssystem, kein Simulationsrauschen).
• Rechenwege: relative Wertiteration der Bellman-Gleichung (wenige Millisekunden je Zelle); beste Ein-Schwellen-Regel: jede Base-Stock-Stufe \(S\) exakt bewertet, die beste genommen (die Kosten einer festen Politik sind linear in \(K\): Kosten für Lager und Fehlmengen plus \(K\) mal Bestellanteil); Aufzählung aller 1.378 Paare \((s, S)\) mit \(s \ge -12\), \(S \le 40\) als zweiter Rechenweg; zweite Differenzen, untere konvexe Hülle und K-Konvexität der Restkosten im Fenster \(z = -30\) bis 55; EOQ-Kurve und dieselbe Frage im Modell der Demo; Zyklus-Politik; Schwelle \(K^*\) durch Bisektion auf \([0, 4]\) mit Toleranz 1e-8.
• Nicht modelliert: verlorene Verkäufe statt Rückstand, zeitlich veränderliche Nachfrage, mehrere Artikel, Preisabschläge für Mengen; Bestellkosten je Stück sind 0. Der Nachweis der \((s, S)\)-Form für das Modell der Demo fehlt (nur gemessen). Nicht untersucht: die Ursache der Nichtkonvexität der Kosten nach der Bestellung bei kleinem \(p/h\) und die Optimalität von \((s, S)\) außerhalb der gemessenen Zellen.

Die Formeln

Bezeichnungen: \(z\) die Bestandsposition vor, \(y = z + q\) nach der Bestellung, \(D_{L+1}\) die Nachfrage über \(L + 1\) Perioden (Summe von \(L + 1\) unabhängigen Poisson-Größen), \(G(y)\) die erwarteten Kosten für Lager und Fehlmengen einer Bestellung bis \(y\), \(v(z)\) die relativen Restkosten vor der Bestellung und \(g\) die Durchschnittskosten je Periode. Kosten einer Bestellung bis \(y\) (sie fallen \(L + 1\) Perioden später an):

\[G(y) = \mathbb{E}\left[\, h\,(y - D_{L+1})^{+} + p\,(D_{L+1} - y)^{+} \right]\]

Bellman-Gleichung mit Bestell-Minimum (relative Wertiteration), mit \(W(y) = G(y) + \mathbb{E}\, v(y - D)\). Entweder wird nicht bestellt, oder es wird bestellt, und dann kostet jede Bestellung \(K\) plus das beste \(W\):

\[g + v(z) = \min\Big( W(z),\; K + \min_{z < y \le z + Q} W(y) \Big)\]

Die (s,S)-Form: Es gibt \(s < S\) mit

\[q(z) = \begin{cases} S - z & z \le s \\ 0 & z > s \end{cases}\]

K-Konvexität (Scarf): wie Konvexität, nur mit einem Spielraum von \(K\), dem Sprung einer Bestellung. Für alle Positionen \(i < k < j\) mit \(w = (k-i)/(j-i)\) gilt

\[v(k) \le (1 - w)\, v(i) + w\, v(j) + w\,K\]

EOQ bei deterministischer Nachfrage \(D\) je Periode. Achtung, zwei Doppelbelegungen nur in dieser Formel: \(Q\) ist hier die Bestellmenge der deterministischen Welt, nicht die Bestellgrenze, und \(D\) ist hier eine feste Zahl, nicht die Zufallsgröße. \(f\) ist der Faktor, um den die Menge neben dem Optimum \(Q^*\) liegt:

\[C(Q) = \frac{K D}{Q} + \frac{h Q}{2}, \qquad Q^{*} = \sqrt{\frac{2 K D}{h}}, \qquad \frac{C(f\,Q^{*})}{C(Q^{*})} = \frac{f + 1/f}{2}\]

Zyklus-Politik (alle \(T\) Perioden bis \(S\) bestellen, \(D_t\) die Nachfrage über \(t\) Perioden; die Fixkosten fallen nur an, wenn seit der letzten Bestellung Nachfrage aufgetreten ist):

\[g_{T,S} = \frac{1}{T}\left( K\,\Pr(D_T > 0) + \sum_{t=0}^{T-1} \mathbb{E}\, G(S - D_t) \right)\]

Die beiden Zahlen der Lehrbuchwelt nachgerechnet

Aus dem Kostenverhältnis folgt für die deterministische Kurve (Rechnung dieser Seite): Bei Losgröße \(f Q^*\) ist \(C(fQ^*)/C(Q^*) = (f + 1/f)/2\). Für \(f = 2\) ergibt das \((2 + 1/2)/2 = 5/4\), also +25 %, und zwar auch für \(f = 1/2\). Die Kurve ist um \(Q^*\) flach, weil der Ausdruck für \(f\) nahe 1 nur quadratisch von \(f - 1\) abhängt.

Ist nicht die Menge, sondern der Parameter \(K/h\) um den Faktor 2 falsch, ändert sich \(Q^*\) um den Faktor \(\sqrt{2}\) (im Optimum sind beide Kostenterme gleich groß, \(KD/Q^* = hQ^*/2\)), und das Kostenverhältnis wird \((\sqrt{2} + 1/\sqrt{2})/2\): +6,07 %. Ist \(K/h\) um den Faktor 4 falsch, ist \(Q^*\) um den Faktor 2 falsch, und es sind wieder +25 %. Der Fehler bezieht sich jeweils auf die Losgröße beziehungsweise den Parameter \(K/h\); die Prozentbasis ist in beiden Fällen die Kostenkurve bei der besten Losgröße \(Q^*\). Beide Zahlen gelten nur für diese deterministische Kurve.

Befunde

Alle Werte gelten im Modell der Demo: Poisson-Nachfrage Mittel 3, \(h = 1\), Rückstand, Bestellgrenze 40, Positionen −40 bis 60, Rastergrößen wie angegeben. „Lücke“ sind die Mehrkosten der besten Base-Stock-Politik in Prozent der Kosten der exakten Rückwärtsrechnung (Prozentbasis: die Kosten der besten Regel). „Zelle“ heißt eine Kombination aus Lieferzeit, \(p/h\) und \(K\). Zuerst die Form der Politik und die Lücke über \(K\):

Frage	Befund (Voraussetzung)
Form der besten Politik	In 1.464 von 1.464 Zellen (Lieferzeit 0 bis 3, \(p/h = 1, 2, 4, 9, 19, 39\), \(K = 0\) bis 30 in Schritten von 0,5) hat die DP-Politik auf den erreichten Positionen die reine Form \((s, S)\). Das ist ein Messbefund, kein Satz.
Ohne Fixkosten	Bei \(K = 0\) ist die DP Base-Stock mit \(S\) gleich dem kleinsten \(y\) mit \(F(y) \ge p/(p+h)\) der Nachfrage über \(L + 1\) Perioden: 24 von 24 Zellen; bei \(p/h = 9\) ist \(S = 5, 9, 13, 17\) für Lieferzeit 0 bis 3
Lücke über \(K\) (\(p/h = 9\), Lieferzeit 0 / 1 / 2 / 3)	\(K = 0{,}5\): 0,00 / 0,00 / 0,53 / 0,91 %; \(K = 1\): 0,33 / 1,27 / 1,49 / 2,41 %; \(K = 2\): 5,87 / 5,67 / 5,59 / 6,15 %; \(K = 5\): 20,8 / 22,0 / 20,9 / 21,5 %; \(K = 20\): 95,8 / 94,0 / 91,1 / 88,6 %; \(K = 30\): 134,8 / 130,8 / 128,1 / 125,4 %
Wie viele der 24 Zellen (Lieferzeit mal \(p/h\)) haben Lücke ≥ 1 % / ≥ 5 % / ≥ 10 %?	\(K = 0{,}5\): 8 / 0 / 0; \(K = 1\): 17 / 4 / 0; \(K = 1{,}5\): 24 / 11 / 4; \(K = 2\): 24 / 16 / 8; \(K = 3\): 24 / 24 / 16; \(K = 4{,}5\): 24 / 24 / 24
EOQ-Takt eine Periode (\(K = h\mu/2 = 1{,}5\))	Lücke 1,90 bis 12,23 % über die 24 Zellen; bei \(p/h = 9\): 3,26 / 3,60 / 2,86 / 4,15 % (Lieferzeit 0 bis 3)
Kein Unterschied zum Optimum	In 9 Zellen mit \(K > 0\) ist die Lücke 0,00 % (alle bei \(K = 0{,}5\): Base-Stock ist dort noch optimal). Größte Lücke im Raster: 212,8 % (Lieferzeit 1, \(p/h = 1\), \(K = 30\))
Abhängigkeit von \(p/h\)	Für \(K \ge 2\) ist die Lücke bei kleinerem \(p/h\) größer (\(K = 5\), Lieferzeit 1: 50,5 % bei \(p/h = 1\) gegen 15,0 % bei \(p/h = 39\)); bei \(K \le 1{,}5\) ist das nicht durchgehend so

Warum die Lücke so groß wird, und wie \(s\), \(S\) und die Schwelle \(K^*\) von \(K\) abhängen:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Warum die Lücke so groß ist	Base-Stock bestellt in \(1 - e^{-3} = 95{,}0\) % der Perioden; seine Kosten sind exakt linear in \(K\) (in 1.440 von 1.440 Zellen mit \(K > 0\) bleibt die beste Stufe \(S\) wie bei \(K = 0\), Abweichung unter 1e-5). Lieferzeit 1, \(p/h = 9\), \(K = 20\): DP 12,18 = 4,80 Fixkosten + 7,38 Lager und Fehlmengen (Bestellanteil 0,24); Base-Stock 23,62 = 19,00 + 4,61. Die DP spart 14,2 Fixkosten und zahlt 2,8 mehr für Lager und Fehlmengen
Steigung der DP-Kosten über \(K\)	Der Differenzenquotient von \(g\) über \(K\) (die Steigung der Kosten über \(K\), also der Bestellanteil) liegt in 1.440 von 1.440 Schritten zwischen den Bestellanteilen der beiden Rasterpunkte
\(s\) und \(S\) über \(K\)	Auf dem Raster (1.440 Schritte, \(K\) wächst um 0,5) steigt \(s\) nicht, \(S\) fällt nicht, Kosten und Lücke fallen nicht (je 0 Verletzungen). \(p/h = 9\), Lieferzeit 0 / 1 / 2 / 3: bei \(K = 0\) \((s, S) = (4, 5), (8, 9), (12, 13), (16, 17)\); bei \(K = 30\) \((1, 15), (4, 18), (8, 22), (11, 26)\)
Schwelle \(K^*\) (ab der Base-Stock nicht mehr optimal ist)	Zwischen 0,014 und 0,89 über die 24 Zellen, nicht monoton in Lieferzeit (\(p/h = 4\): 0,51 / 0,29 / 0,10 / 0,15) und in \(p/h\) (Lieferzeit 0). \(p/h = 9\): 0,892 / 0,555 / 0,255 / 0,014. Bei \(K = 2K^*\) beträgt die Lücke nur 0,03 bis 4,78 %. Warum \(K^*\) so unregelmäßig ist, ist nicht untersucht (eine Deutung über die Ganzzahligkeit der Nachfrage wäre eine Vermutung)

Die EOQ-Frage im Modell der Demo (Prozentbasis je Zeile genannt). Die Zahlen +25,0 % und +6,07 % der deterministischen Kurve gelten dort nicht:

Frage	Befund (Voraussetzung)
EOQ-Menge gegen \(S - s\)	Das Verhältnis \((S - s) / \sqrt{2K\mu/h}\) liegt in den 1.368 Zellen mit \(K \ge 2\) zwischen 0,52 und 1,65 (Mittel 1,11), in 1.089 zwischen 0,8 und 1,25; bei \(p/h = 9\): 0,71 bis 1,31. Ein Band, keine Gleichheit
Deterministische Kurve	Losgröße um Faktor 2 daneben: +25,0 % (Prozentbasis: Kosten bei \(Q^*\)). Parameter \(K/h\) um Faktor 2 daneben (Losgröße mal \(\sqrt{2}\)): +6,07 %; um Faktor 4: +25 % (jeweils dieselbe Prozentbasis)
Dieselbe Frage im Modell der Demo (Lieferzeit 0 bis 3, \(K = 2, 5, 10, 20, 30\), \(p/h = 9\); 20 Zellen)	Halbe Losgröße \(S - s\): +2,4 bis +19,5 %, doppelte: +5,1 bis +23,8 % (je bestes \(s\); Prozentbasis: Kosten der DP). Politik für \(2K\) statt \(K\), bewertet mit dem wahren \(K\): +1,1 bis +6,7 %; für \(K/2\): 0,0 bis +6,5 % (beide Male Prozentbasis: Kosten der DP bei wahrem \(K\)). Bezogen auf die Mehrkosten durch Fixkosten (\(g\) minus \(g\) bei \(K = 0\)) kostet die Politik für \(2K\) +3,9 bis +11,0 %
Flachheit um das Optimum	Lieferzeit 1, \(K = 10\), \(p/h = 9\): Losgröße 7 und 9 etwa 0,1 % über dem Optimum (+0,04 % und +0,11 %), 5: +5,0 %, 11: +2,6 %, 3: +20,9 %
Feste Zykluslänge (alle \(T\) Perioden bis \(S\))	Bei \(K = 5, 10, 20, 30\) (Lieferzeit 0 bis 3, \(p/h = 9\); 16 Zellen) kostet die beste Zyklus-Politik 7,4 bis 17,5 % mehr als die DP (Lieferzeit 0: \(T = 2, 3, 4, 5\) für \(K = 5, 10, 20, 30\)); bei \(K = 1\) und 2 ist \(T = 1\), also Base-Stock

Konvexität, Aufzählung, Grenzen des Rasters und Handbeispiel:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Konvexität der Restkosten \(v(z)\)	\(K = 0\): konvex in 24 von 24 Zellen. \(K > 0\): nicht konvex in 1.440 von 1.440 Zellen, und zwar immer auch an der Stelle \(z = s\) (in vielen Zellen zusätzlich an weiteren Stellen; deren Ursache ist nicht untersucht). \(v\) ist K-konvex (Steigungsform, größte Verletzung unter 1e-12); die Abweichung von der unteren konvexen Hülle ist im Fenster \(z = -30\) bis 55 höchstens 0,975 mal \(K\) (unter der Schranke \(K\) aus der K-Konvexität; der Wert hängt von Fenster und Bestellgrenze ab)
Kosten nach der Bestellung \(W(y)\)	Für \(p/h = 9, 19, 39\) ist \(W\) in allen 720 Zellen mit \(K > 0\) konvex; bei \(p/h = 1, 2, 4\) in einem Teil der Zellen nicht (208, 156, 28 von je 240). Ursache nicht untersucht
Aufzählung aller \((s, S)\)	Trifft die DP in 40 Zellen (Abweichung unter 1e-9). Je Zelle liegen 1 bis 3 Paare höchstens 0,1 %, 1 bis 8 höchstens 1 %, 4 bis 47 von 1.378 höchstens 5 % über dem Optimum (die Kostenfläche ist flach)
Bestellgrenze	Kleinste Bestellgrenze mit Anteil der Zeit an der Grenze unter 1e-4 bei \(K = 30\) (Schritt 1): 23, 23, 23, 24 (\(p/h = 9\)) bzw. 27, 27, 27, 28 (\(p/h = 1\)) für Lieferzeit 0 bis 3; 40 ist die Reserve. Im ganzen Raster: Anteil an der Bestellgrenze höchstens 9e-14, Masse an den Zustandsgrenzen unter 3e-16, größte bestellte Menge auf einer erreichten Position: 38 (Grenze 40)
Endlicher Horizont	In 2.160 (Zelle, \(n\))-Paaren (36 Zellen, \(n = 1\) bis 60 Restperioden, Endkosten 0, Fenster \(z \ge -10\)) hat die Politik reine \((s, S)\)-Form (Ausnahme: bei \(p/h = 1\), \(K = 30\) wird im Fenster bei \(n = 1\) nicht bestellt, bei Lieferzeit 0 auch bei \(n = 2\); dort gilt die Form nur leer); Lieferzeit 0, \(p/h = 9\), \(K = 2\): \((3, 5)\) bei \(n = 1\), ab \(n = 2\) gleich der stationären \((3, 6)\)
Handbeispiel (Nachfrage 0, 1, 2 mit ¼, ½, ¼; \(h = 1\), \(p = 4\), \(K = 2\), Lieferzeit 0)	Bestes Paar \((0, 2)\) mit \(g = 2\) (Bestellanteil 9/20), beste Base-Stock-Politik \((1, 2)\) mit \(g = 5/2\): 25,0 % mehr (Prozentbasis: Kosten der besten Regel; nicht zu verwechseln mit den 25,0 % der EOQ-Kurve, eine andere Rechnung)

Prüfung der Rechenwege (zwei Vormessungen in dieser Größe, die nicht im Testsatz der Demo stehen; der Test prüft 6 Zellen auf unter 1e-6 bzw. kleinere Simulationsläufe auf 4,5 Standardfehler): Die Rechnung auf der Position gegen das volle Modell mit allen Bestellungen unterwegs (Bestellgrenze 10, 16 Zellen) wich in den Kosten bis 1,8e-7 ab; das ist ein Randeffekt der unteren Zustandsgrenze des vollen Modells und verschwindet, wenn man sie weiter nach unten legt (2e-13). Die Simulation (2.000 Läufe mal 6.000 Perioden, vier Zufalls-Seeds 0 bis 3) lag höchstens 2,4 Standardfehler vom exakten Wert.

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

• Alle Befunde gelten für Poisson-Nachfrage mit Mittel 3, Rückstand, Bestellkosten je Stück 0 und die gerechneten Raster; alle Parameter sind erfunden, echte Daten gibt es nicht.
• Die \((s, S)\)-Form ist hier ein Messbefund, kein Satz. Nach Feinberg gilt sie (Scarf; für den unendlichen Horizont Iglehart sowie Veinott und Wagner) bei Rückstand, Lieferzeit null, unabhängiger, identisch verteilter Nachfrage, konvexen Lager- und Fehlmengenkosten und unbeschränkter Bestellmenge; bei endlichem Horizont nur mit Zusatzbedingungen, bei begrenzter Kapazität im Allgemeinen nicht. Dass die DP in der Demo mit Lieferzeit bis 3 und Bestellgrenze 40 reine \((s, S)\)-Form hat, ist in 1.464 von 1.464 Zellen gemessen; die Bestellgrenze greift dort praktisch nie (Anteil der Zeit höchstens 9e-14).
• Mit dem Regler für \(Q\) unter etwa 23 bis 28 (bei \(K = 30\), je nach \(p/h\) und Lieferzeit) greift die Grenze; alle Aussagen gelten dann für diese Grenze.
• Die Schwelle \(K^*\) ist mit der Toleranz 1e-8 durch Bisektion bestimmt; eine Erklärung über die Ganzzahligkeit der Nachfrage ist eine Vermutung und nicht gemessen.
• Die Zyklus-Politik ist ohne Bestellgrenze gerechnet; bei \(Q = 40\) ist der Einfluss der Grenze auf die besten \(T\) (bei \(p/h = 9\) bis 5) vernachlässigbar, bei kleinerem \(Q\) ist der Vergleich nicht fair.
• Die EOQ-Formel ist eine Lehrbuchformel, hier nachgerechnet. Die Zahlen +25,0 % und +6,07 % gelten für die deterministische Kurve, nicht für das Modell der Demo.
• Zeitangaben sind Größenordnungen, keine Zusage.

Quellen

• E. A. Feinberg: Optimality Conditions for Inventory Control, arXiv:1606.00957 (2016; Volltext gelesen, Abschnitte 1 und 4): Satz von Scarf unter Rückstand, Lieferzeit null, unabhängiger, identisch verteilter Nachfrage, konvexen Kosten und unbeschränkter Bestellmenge.

Scarf, Iglehart sowie Veinott und Wagner selbst sind nicht gelesen, nur über Feinberg zitiert. Die EOQ-Formel ist eine Lehrbuchformel, hier durch Ableiten und Aufzählung nachgerechnet.