Verderbliche Ware verständlich erklärt

Im Kühlregal liegt Milch mit unterschiedlichem Ablaufdatum. Diese Seite fragt, ob eine Filiale beim Nachbestellen das Alter der Milch kennen muss. Die Antwort hängt in den Rechnungen oft stärker davon ab, welche Packung die Kundschaft zuerst nimmt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Milch mit Ablaufdatum

Im Kühlregal liegt Milch mit verschiedenen Ablaufdaten: vorn die älteste Packung, hinten die frischeste. Eine Filiale bestellt jede Woche nach; wie viel verkauft wird, schwankt zufällig, im Rechenbild dieser Seite, einem erfundenen Zahlenbeispiel, im Schnitt 3 Packungen je Woche. Eine übrig gebliebene Packung kostet Lagerplatz, im Beispiel 1 je Woche, eine fehlende 9, weil die Kundin woanders kauft und der Verkauf verloren ist. Eine abgelaufene muss entsorgt werden; was das kostet, lässt sich in den Rechnungen einstellen. Alle Kosten haben dieselbe, nicht näher benannte Geldeinheit.

Das Lager muss damit mehr wissen als „wie viele Packungen“: auch, wie alt sie sind (Fachwort: Zustand nach Restlebensdauer). Die Frage lautet: Muss die Bestellregel das Alter kennen? Man erwartet ein Ja, denn die einfachste Regel, Base-Stock, kennt das Alter nicht: Fehlt etwas zu einem festen Gesamtbestand, wird die Differenz bestellt. Man erwartet, dass sie deutlich mehr kostet als die beste Regel, die das Alter kennt.

Das Überraschende: Es kommt darauf an, wer zuerst nimmt

Wir rechnen das mit einem Programm zum Ausprobieren durch, einer Demo (unten verlinkt). Sie rechnet die beste Regel Schritt für Schritt durch, ohne zu schätzen, und vergleicht sie mit der einfachen. Dabei spielt eine Frage mit, die die Kundschaft entscheidet, nicht die Filiale: Welche Packung wird zuerst verkauft? Die älteste, vorn liegende (Fachwort: FIFO, „first in, first out“) oder die frischeste, hinten liegende (Fachwort: LIFO, „last in, first out“)?

Wird die älteste Packung zuerst verkauft und kommt die Bestellung in derselben Woche an (die Lieferzeit ist null), braucht die einfache Regel das Alter nicht: In 21 von 24 gerechneten Einstellungen mit Entsorgungskosten ab 1 ist sie genauso gut wie die beste Regel, die Kosten sind gleich bis auf die Rechengenauigkeit. Das passt dazu, dass ab 3 Wochen Haltbarkeit kaum etwas abläuft (Zahlen im zweiten Teil der Seite). Die drei Ausnahmen liegen bei 2 und 3 Wochen Haltbarkeit; auch dort genügt eine Regel, die nur den Gesamtbestand kennt, sofern ihr Auffüllniveau mit dem Bestand wechselt.

Wenn die Kundschaft nach hinten greift

Greift die Kundschaft zur frischesten Packung, bleibt die ältere liegen und läuft ab. Jetzt kostet es etwas, dass die einfache Regel das Alter nicht sieht. Bei Entsorgungskosten ab 3 und ohne Lieferzeit liegt sie je nach Einstellung zwischen fast nichts und mehr als einem Viertel über den Kosten der besten Regel. In den gerechneten Fällen wächst der Abstand mit den Entsorgungskosten; bei 3 sinkt er mit längerer Haltbarkeit, bei höheren schwankt er ohne klaren Trend.

Eine Besonderheit der Kostenrechnung: Läuft eine Packung ab, kostet sie die Entsorgung statt des Lagerplatzes. Kostet die Entsorgung nichts, kehrt sich der Vergleich von eben um, denn dann ist „frischeste zuerst“ sogar billiger. Das folgt aus der Kostenrechnung und sagt nichts über Frischware; darum gelten die Aussagen dieser Seite für Entsorgungskosten ab 1.

Eine Regel, die das Alter kennt

Wie viel bringt es, das Alter in die Regel zu nehmen? Die Demo prüft eine Altersregel: auf den festen Bestand auffüllen, aber weniger, wenn viel alte Ware im Regal liegt (je alter Packung bis zu 2 weniger). Bei LIFO, Entsorgungskosten ab 3 und Haltbarkeit von 3 bis 5 Wochen (mit einer Woche Lieferzeit: 3 und 4) nimmt sie 13 bis 98 % des Abstands zur besten Regel weg. Ein Beispiel: Bei einem Abstand von 100 nimmt sie davon 13 bis 98 weg. Ganz weg ist der Abstand nur bei Haltbarkeit 2. Bei einer Woche Lieferzeit ist die Richtung umgekehrt: Dann lohnt es, bei viel alter Ware mehr zu bestellen.

Bei Entsorgungskosten ab 3 zählt die Ausgabereihenfolge in allen 33 gerechneten Einstellungen mehr als die Wahl zwischen einfacher und bester Bestellregel (Zahlen im zweiten Teil der Seite); bei Entsorgungskosten von 1 und einer Woche Lieferzeit nicht.

Und wenn die Ware erst später kommt?

Kommt die Bestellung erst eine Woche später, ist bei FIFO der Abstand der einfachen Regel ab 4 Wochen Haltbarkeit überwiegend ein Effekt der Lieferzeit, nicht des Alters: Bei 6 Wochen liegt er nahe dem Abstand desselben Modells ohne Verderb (ein Vergleich, keine Messung der Ursache). Bei kurzer Haltbarkeit liegt er deutlich darüber.

Häufige Missverständnisse

• „Verderbliche Ware braucht immer eine Regel, die das Alter kennt.“ Bei FIFO und Lieferzeit null genügt in 21 von 24 gerechneten Einstellungen der feste Gesamtbestand, in den übrigen eine Tabelle nach dem Gesamtbestand.
• „Das Alter ist egal.“ Bei LIFO nicht: Dort liegt die einfache Regel zum Teil mehr als ein Viertel über dem Besten, und eine Altersregel nimmt den Abstand nur teilweise weg.
• „FIFO und LIFO sind Bestellregeln.“ Es sind Ausgaberegeln, in der Demo fest vorgegeben, nicht Teil der Rechnung. LIFO steht für eine Kundschaft, die nach hinten greift; das ist eine Deutung.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Wer die eigene Bestellung bei verderblicher Ware prüfen will, kann fragen:

• Welche Packung nimmt die Kundschaft meist zuerst, die vorderste oder die frischeste?
• Wie viel läuft je Woche ab, und wie teuer ist das im Vergleich zu einem Fehlverkauf?
• Kommt die Ware in derselben Woche oder erst später? Bei FIFO und einer Wartezeit sagt der Abstand zum Besten weniger über das Alter.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet mit einem Artikel, erzeugter Nachfrage und erfundenen Kosten. Sie zeigt, wann das Alter unter diesen Annahmen eine Rolle spielt, nicht, wie sich Ihre Ware verhält.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt das Modell mit Restlebensdauer als Zustand, die Kostenkonvention, die Bellman-Gleichung, die Regeln auf dem Gesamtbestand und die Messwerte der Demo.

• Modellfall: ein Artikel, Poisson-Nachfrage mit Mittel 3 je Periode (bei 16 gekappt, Wahrscheinlichkeit darüber 2,2e-8), \(h = 1\) je am Periodenende übertragenem Stück, \(p = 9\) je nicht bedientem Stück (kritisches Verhältnis \(p/(p+h) = 9/(9+1) = 0{,}9\); \(p/h = 4\) und 19 nur vorgerechnet), \(w\) je am Periodenende ablaufendem Stück (\(w = 0, 1, 3, 10, 30\)), keine Bestellkosten, verlorene Nachfrage, feste Haltbarkeit \(m\) (2 bis 7 Perioden; bei Lieferzeit 1 bis 6), Gesamtgrenze \(T = 12\) (höchstens 12 Stück insgesamt im Lager), Lieferzeit 0 oder 1, Ausgaberegel FIFO (ältestes zuerst) oder LIFO (frischestes zuerst). Die Ausgaberegel ist vorgegeben und nicht Teil der Optimierung; ein gemeinsames Optimum über Ausgabe- und Bestellregel ist nicht gerechnet.
• Kostenkonvention (zuerst lesen): \(h\) fällt nur auf übertragene Stücke; ein ablaufendes Stück kostet \(w\) und kein \(h\). Daraus folgt: Bei \(w = 0\) ist LIFO billiger als FIFO (ablaufende Ware kostet nichts; Lieferzeit 0: −24,37 bis −2,91 %, Lieferzeit 1: −25,57 bis −7,76 %, Bezug: exakte Kosten bei FIFO). Das ist eine Folge der Konvention, keine Aussage über Frischware; die Schlagzeilen dieser Seite gelten für \(w \ge 1\).
• Zustand: \(z = (z_1, \dots, z_k)\), Stück mit noch 1, …, \(k\) Perioden Restlebensdauer, \(z_1\) ist die älteste Klasse. Bei Lieferzeit 0 ist \(k = m - 1\) (die Bestellung kommt frisch an und wird in derselben Periode verkauft), bei Lieferzeit 1 ist \(k = m\). Mit der Gesamtgrenze \(T\) (hier 12) gibt es \(\binom{12 + k}{k}\) Zustände. Ohne Gesamtgrenze, mit je 0 bis 12 Stück in jeder der \(k\) Klassen, wären es \(13^k\) (der „Kasten“).
• Rechenwege: (a) Die exakte Politik per relativer Wertiteration auf der trägen Kette \(P' = \tfrac12 P + \tfrac12 I\) (\(P\) die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen, \(I\) die Einheitsmatrix: der Zustand bleibt in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit \(\tfrac12\) gleich; gleiche optimale Politik, aber aperiodisch). Ohne sie bleibt die Iteration bei Lieferzeit 1, LIFO, Haltbarkeit 2 und \(w = 3\) hängen. Zertifikat der Konvergenz ist die Spannweite der Bellman-Differenz (Maximum minus Minimum der Differenz zwischen beiden Seiten der Bellman-Gleichung über alle Zustände): nach 2.000 Iterationen über 0,1, mit träger Kette unter 1e-10 nach weniger als 100. (b) Base-Stock: auf ein festes Niveau \(S\) des Gesamtbestands auffüllen, exakt ausgewertet über die stationäre Verteilung der von leer erreichbaren Zustände. (c) Altersregel: auf das Niveau \(S + \beta z_1\) auffüllen (\(\beta\) das Gewicht der ältesten Klasse \(z_1\)), \(\beta\) von −2 bis +1 in Vierteln und \(S\) von 0 bis 12 (169 Auswertungen); \(\beta = 0\) ist der Base-Stock. (d) Tabellen: je Wert des Gesamtbestands (bzw. je Paar aus Gesamtbestand und \(z_1\)) eine eigene beste Bestellmenge, gesucht per Koordinatenabstieg; das sind obere Schranken, kein Beweis. Bis Haltbarkeit 5 (Lieferzeit 0) bzw. 4 (Lieferzeit 1), also höchstens 1.820 Zustände, rechnet die App selbst; das vorgerechnete Raster hat 182 Zellen.
• Begriffe der Befunde: Die Lücke einer Regel ist ihr Mehrpreis in Prozent der exakten Kosten. Der Q-Abstand der Base-Stock-Bestellung zur besten Bestellung im selben Zustand ist 0, wenn die exakte Politik dort dasselbe bestellt. Die Randmasse ist der Anteil der Zeit, den die Politik am Rand der Bestandsgrenze verbringt. Eine „Zelle“ ist eine Kombination aus Haltbarkeit und \(w\) je Lieferzeit und Regel (Lieferzeit 0: 30, Lieferzeit 1: 25).
• Nicht modelliert: Bestellkosten, zufällige Haltbarkeit, andere Nachfrageverteilungen als Poisson mit Mittel 3, ein gemeinsames Optimum über Ausgabe- und Bestellregel, eine Altersregel mit mehr als einem Alterswert, eine Tabelle nach der ganzen Altersverteilung für Haltbarkeit über 4 (Rechenaufwand) und ein Lernverfahren für den Altersvektor.

Die Formeln

Bezeichnungen: \(h, p, w\) die Kosten je übertragenem, fehlendem, ablaufendem Stück, \(d\) die Nachfrage einer Periode, \(y\) der Bestand beim Verkauf (Lieferzeit 0: nach der Bestellung), \(A\) die Menge, die am Periodenende abläuft (Rest der ältesten Klasse nach der Ausgabe), \(T\) die Bestandsgrenze (12), \(g\) die erwarteten Kosten je Periode und \(a\) die Bestellmenge. Übertragen werden die Stücke, die nach dem Verkauf bleiben und nicht ablaufen; ablaufende Stücke kosten \(w\) statt \(h\). Die Periodenkosten bei Lieferzeit 0 sind deshalb (bei Lieferzeit 1 ist \(y\) der Bestand zu Periodenbeginn, und \(c\) hängt nicht von \(a\) ab, weil die Bestellung erst nach der Nachfrage ankommt):

\[c(z, a, d) = h\,(y - d)^+ + p\,(d - y)^+ + (w - h)\,A\]

Mit Gesamtgrenze \(T\) und \(k\) Altersklassen ist die Zahl der Zustände:

\[|\mathcal{Z}| = \binom{T + k}{k}\]

Die exakte Politik löst die Bellman-Gleichung für Durchschnittskosten (\(a\) die Bestellmenge, \(\bar c\) die erwarteten Periodenkosten, \(P\) die Übergangswahrscheinlichkeiten, \(v\) die relativen Restkosten):

\[g + v(z) = \min_{a}\Big\{\bar c(z, a) + \sum_{z'} P(z' \mid z, a)\, v(z')\Big\}\]

Die Auswertung einer festen Regel \(\mu\) (hier ist \(\mu\) die Regel, nicht das Mittel der Nachfrage) geschieht über die stationäre Verteilung \(\pi\) der von leer erreichbaren Zustände:

\[\pi = \pi P_\mu, \qquad \sum_z \pi(z) = 1, \qquad g(\mu) = \sum_z \pi(z)\,\bar c\big(z, \mu(z)\big)\]

Base-Stock und Altersregel mit Gesamtbestand \(\sum_i z_i\) und gerundetem Ziel; \(\beta = 0\) ist der Base-Stock auf dem Gesamtbestand; die Bestellung wird auf das Zulässige gekappt (Gesamtbestand höchstens \(T\)):

\[a(z) = \max\Big\{0,\ \big\lfloor S + \beta\, z_1 + \tfrac12 \big\rfloor - \sum_i z_i\Big\}\]

Die Lücke einer Regel \(\mu\), Bezug sind die exakten Kosten \(g^*\):

\[\text{Lücke}(\mu) = 100 \cdot \Big(\frac{g(\mu)}{g^*} - 1\Big)\ \%\]

Warum das Alter in die Periodenkosten nur über die Ablaufmenge eingeht, durchgerechnet

Das Alter geht in die Periodenkosten nur über den Term \((w - h)\,A\) ein: Ein Stück, das abläuft, kostet \(w\) statt \(h\). Die Ausgaberegel bestimmt \(A\); das legt nahe, dass sie das Ergebnis stark beeinflusst (Deutung). Dazu passt die erwartete Ablaufmenge je Periode unter Base-Stock \(S = 5\) (Lieferzeit 0, Haltbarkeit 2 bis 5): FIFO 0,3446 / 0,0566 / 0,0076 / 0,0009, LIFO 0,832 / 0,441 / 0,267 / 0,174. Das ist eine Messung, die zur Zerlegung passt, kein Beweis der Ursache.

Bei \(w = h = 1\) verschwindet der Term \((w - h)\,A\). Gemessen ist dann: Bei Lieferzeit 0 sind FIFO und LIFO kostengleich (6 von 6 Zellen) und die Lücke des Base-Stock gegen LIFO exakt 0 (6 von 6 Zellen); bei Lieferzeit 1 sind sie nicht kostengleich.

Handbeispiel von Hand (nicht der Modellfall, nur zum Nachrechnen): Haltbarkeit 2, Lieferzeit 0, Nachfrage 0 / 1 / 2 mit ¼, ½, ¼ (Mittel 1), \(h = 1\), \(p = 9\), \(w = 5\), Bestand nach der Bestellung höchstens 2 (die Grenze dieses Beispiels, nicht \(T = 12\)). Zustand \(z\) = Stück mit noch einer Periode Restlebensdauer. Für \(z = 1\), \(a = 1\) verkauft FIFO bei \(d = 1\) das alte Stück (Kosten 1, \(z' = 1\)), LIFO das frische (das alte läuft ab, Kosten 5, \(z' = 0\)). Stationär mit Base-Stock \(S = 2\) kostet FIFO 25/13 ≈ 1,923, LIFO 59/23 ≈ 2,565; die Politik „bei einer alten Einheit nicht nachbestellen“ \((2, 0, 0)\) (Bestellmengen \(a(0), a(1), a(2)\) bei \(z = 0, 1, 2\)) kostet unter LIFO 16/7 ≈ 2,286, das ist das LIFO-Optimum. Der Base-Stock liegt unter LIFO +12,23 % über dem Optimum, unter FIFO bei 0.

Befunde

Alle Zahlen gelten für das Modell oben (Mittel 3, \(h = 1\), \(p = 9\), Grenze 12; das Strafverhältnis-Raster mit Grenze 14), exakte DP, die Lücke in Prozent der exakten Kosten. „Zellen“ sind Kombinationen aus Haltbarkeit und \(w\) je Lieferzeit und Regel (Lieferzeit 0: 30, Lieferzeit 1: 25). Zuerst Lieferzeit 0:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Lieferzeit 0, FIFO	Der beste Base-Stock ist in 26 von 30 Zellen exakt (ohne \(w = 0\), siehe Kostenkonvention: 21 von 24; Ausnahmen dann Haltbarkeit 2 mit \(w = 10\) und \(w = 30\) sowie Haltbarkeit 3 mit \(w = 30\), abgeleitet aus der Ausnahmenliste) (Lücke unter 0,005 %, Q-Abstand 0). Ausnahmen: Haltbarkeit 2 mit \(w = 0\) (+1,25 %), \(w = 10\) (+0,36 %), \(w = 30\) (+1,36 %) und Haltbarkeit 3 mit \(w = 30\) (+1,01 %)
Lieferzeit 0, LIFO	Bei \(w = 1 = h\) exakt in 6 von 6 Zellen; bei \(w = 3\) fällt die Lücke mit der Haltbarkeit (+3,80 / 1,50 / 0,63 / 0,26 / 0,11 / 0,05 % für \(m = 2\) bis 7), bei \(w = 10\) (+6,15 bis +9,61 %) und \(w = 30\) (+11,86 bis +26,69 %) nicht; über die 18 Zellen mit \(w \ge 3\): +0,05 bis +26,69 %
Lieferzeit 0, LIFO, \(w = 0\)	Lücken +1,37 / 0,30 / 0,55 / 0,95 / 0,72 / 0,37 % (\(m = 2\) bis 7), Randfall der Kostenkonvention
Erwartete Ablaufmenge je Periode unter Base-Stock \(S = 5\) (Lieferzeit 0, Haltbarkeit 2 bis 5)	FIFO 0,3446 / 0,0566 / 0,0076 / 0,0009, LIFO 0,832 / 0,441 / 0,267 / 0,174. Passt zur Kostenzerlegung, in der das Alter nur über \((w - h)\,A\) eingeht
Die Ausgaberegel zählt mehr (\(w \ge 3\))	Exakte Kosten LIFO gegen FIFO +5,05 bis +74,14 % bei \(w \ge 3\) (33 Zellen, beide Lieferzeiten); bei \(w = 1 = h\) und Lieferzeit 0 kostengleich in 6 von 6 Zellen, bei Lieferzeit 1 nicht (+0,64 / −2,15 / −2,41 / −1,96 / −1,48 %); „zählt mehr“ gilt also für \(w \ge 3\), nicht für \(w = 1\) mit Lieferzeit 1

Die Altersregel \(S + \beta z_1\) und die Tabellen. Verglichen wird mit den exakten Kosten; „Lücke geschlossen“ heißt der Anteil der Base-Stock-Lücke, den die Regel entfernt:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Altersregel, LIFO, \(w = 3\), Haltbarkeit 3 bis 5	Schließt 93 bis 98 % der Base-Stock-Lücke bei Lieferzeit 0 (Rest +0,04 / 0,03 / 0,02 %), 80 bis 82 % bei Lieferzeit 1 (Haltbarkeit 3 und 4)
Dieselbe Regel bei \(w = 10\) und 30	LIFO, 10 Zellen (Lieferzeit 0 Haltbarkeit 3 bis 5, Lieferzeit 1 Haltbarkeit 3 und 4): nur 13 bis 76 %; bei Lieferzeit 0, \(w = 30\) und Haltbarkeit 3 bis 5 liegt \(\beta\) am Rand des Rasters (−2)
Vollständig geschlossen?	Nur bei Haltbarkeit 2 (Lieferzeit 0, LIFO, \(w = 3, 10, 30\); auch Lieferzeit 1, LIFO, \(w = 30\)); in den 15 Zellen mit Haltbarkeit 3 bis 5 (Lieferzeit 0) bzw. 3 und 4 (Lieferzeit 1) bleiben +0,02 bis +7,21 %
Vorzeichen von \(\beta\)	Es kehrt sich um: Lieferzeit 0 \(\beta < 0\) in 12 von 12 Zellen (LIFO, \(w \ge 3\), Haltbarkeit 2 bis 5), Lieferzeit 1 \(\beta > 0\) in 9 von 9 (Haltbarkeit 2 bis 4)
Lieferzeit 1, FIFO: „Base-Stock ohne die älteste Klasse“ (\(\beta = +1\))	In 15 von 15 Zellen (Haltbarkeit 2 bis 4) schlechter als der Base-Stock
Tabelle nach dem Gesamtbestand allein	Lieferzeit 0, FIFO höchstens +0,01 % (20 Zellen); Lieferzeit 0, LIFO bis +10,96 % (20 Zellen); Lieferzeit 1, FIFO höchstens +0,42 % (15 Zellen); Lieferzeit 1, LIFO bis +5,88 % (15 Zellen). In einzelnen Zellen besser als die Altersregel (Lieferzeit 0, LIFO, \(w = 10\): Haltbarkeit 4 +2,60 gegen +4,70 %, Haltbarkeit 5 +3,28 gegen +3,70 %)
Tabelle nach (Gesamtbestand, älteste Klasse), LIFO, höchstens Haltbarkeit 4	Bei \(w = 3\) höchstens +0,04 % (6 Zellen, beide Lieferzeiten); bei \(w = 10\) bis +0,48 % (Lieferzeit 0) bzw. +1,65 % (Lieferzeit 1). Obere Schranke aus lokaler Suche, kein Beweis, dass genau \(z_1\) genügt

Lieferzeit 1, Zustandszahlen und Raster:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Lieferzeit 1, FIFO	Base-Stock-Lücke +1,36 bis +9,18 % in 25 Zellen, nie exakt; bei Haltbarkeit 6 +1,74 bis +1,86 %, nahe der Referenz ohne Verfall (+1,75 %, eigene kleine DP, Lieferzeit 1, verlorene Nachfrage, Mittel 3). Das ist ein Vergleich mit dem Modell ohne Verfall, keine Messung der Ursache
Lieferzeit 1, LIFO	Lücke bis +57,98 % (Haltbarkeit 2, \(w = 0\), die einzige Zelle, in der der Base-Stock an die Bestandsgrenze stößt); bei \(w = 3\) +24,16 / 10,93 / 8,05 / 5,73 / 4,53 % für Haltbarkeit 2 bis 6
Zustandszahl \(\binom{12 + k}{k}\) bei Lieferzeit 0	13, 91, 455, 1.820, 6.188, 18.564 (Haltbarkeit 2 bis 7; Kasten 13 bis 4.826.809); erreichbar unter der exakten Politik (\(w = 3\), beide Regeln) 6, 21, 56, 126, 252, 462. Lieferzeit 1: 91 bis 18.564 (Haltbarkeit 2 bis 6), erreichbar (\(w = 3\)) FIFO 20 / 107 / 463 / 1.535 / 4.058, LIFO 9 / 91 / 245 / 1.006 / 2.407
Bestandsgrenze 12	Randmasse der exakten Politik unter 1e-4 in 110 von 110 Zellen; beim Base-Stock eine Ausnahme (Lieferzeit 1, LIFO, Haltbarkeit 2, \(w = 0\), \(S = 12\)), dort ist das Ergebnis (+57,98 %) mit Grenze 16 und 20 identisch. Nachfrage über 16 hat Wahrscheinlichkeit 2,2e-8
Strafverhältnis \(p/h = 4, 9, 19\) (Grenze 14, \(w = 3\) und 10, Haltbarkeit 2 bis 4, je 6 Zellen)	Lieferzeit 0, FIFO größte Base-Stock-Lücke +0,79 / +0,36 / +0,26 %, LIFO +12,91 / +9,61 / +6,44 %; Lieferzeit 1, FIFO +7,75 / +6,69 / +7,93 % (Tabelle nach Gesamtbestand höchstens +0,05 / +0,42 / +0,42 %), LIFO +15,13 / +24,16 / +37,66 %
Beschreibung der exakten Politik	Lieferzeit 0, LIFO, Haltbarkeit 3, \(w = 10\): Auffüllziel 5 bei leerem Lager, 4 ohne Ware der ältesten Klasse (Bestand 1 bis 4), 3 mit älterer Ware bei Bestand bis 3, wieder 4 bei Bestand 4. Lieferzeit 1, LIFO, Haltbarkeit 3, \(w = 3\), Bestand 8: Ziel 8 / 9 / 10 / 11 für \(z_1 = 0\) bis 3
Rechengenauigkeit	Zertifikat (Spannweite der Bellman-Differenz, siehe Rechenwege) in allen 182 vorgerechneten Zellen unter 1e-10; die träge Kette ist nötig

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

• Jede Aussage gilt für ein Mittel (3), Poisson-Nachfrage, \(h = 1\), \(p = 9\) (4 und 19 nur eingeschränkt), Bestandsgrenze 12 und die gerechneten Zellen.
• Die Deutung „weil“ (etwa warum LIFO das Alter kostet) ist nur als Kostenzerlegung und Messung belegt, nicht als Beweis. LIFO steht als Modell für „die Kundschaft greift nach hinten“; das ist eine Deutung, nicht gemessen.
• Die besten Tabellen nach Alter stammen aus einer lokalen Suche (Koordinatenabstieg) und sind obere Schranken. „Die exakte Politik braucht genau die älteste Klasse“ ist daraus nicht abzuleiten.
• Das Raster der Altersregel reicht von \(\beta = -2\) bis +1 in Vierteln; bei Lieferzeit 0, LIFO, \(w = 30\) und Haltbarkeit 3 bis 5 liegt das beste \(\beta\) am Rand.
• Bei Lieferzeit 1 und FIFO ist die Lücke ab Haltbarkeit 4 überwiegend der Effekt der Lieferzeit mit verlorener Nachfrage (ohne Verfall +1,75 % im selben Modell), nicht des Alters; bei Haltbarkeit 2 (und 3 mit \(w = 30\)) liegt sie deutlich darüber (bis +9,18 %). Das ist ein Vergleich mit dem Modell ohne Verfall.
• Bis Haltbarkeit 5 (Lieferzeit 0) bzw. 4 (Lieferzeit 1) rechnet die App selbst; alles Größere, die Tabellen und das Strafverhältnis-Raster sind vorgerechnet.
• Alle Beispiele sind erzeugt; echte Lagerdaten wurden nicht verwendet.

Quellen

• Zhang, Ayer, White (2016), arXiv 1605.01442, Vorfassung: Zustand nach Restlebensdauer und Bedingungen, unter denen FIFO-Ausgabe optimal ist. Nach der Dokumentation der Demo minimiert bei Lieferzeit 0 unter Base-Stock-Politiken die FIFO-Ausgabe die Ablaufmenge und ist bei Verfallskosten \(w \ge h\) kostenoptimal; die Stelle im Volltext ist für diese Seite nicht erneut geprüft.

Die Zeitschriftenfassung wurde nicht gelesen. Das dort zitierte Original von Chazan und Gal (1977) ist nicht gelesen. Der Abstand des Base-Stock zum Optimum je Ausgaberegel ist Messung dieser Demo, keine Literaturaussage.