Die zensierte Nachfrage verständlich erklärt

Ein leeres Regal zeigt nicht, wie viele Kunden noch gekommen wären. Wer die Verkäufe als Nachfrage liest und daraus die Bestellmenge ableitet, bestellt, sobald Ausverkäufe vorkommen, im Schnitt zu wenig. Die Seite erklärt, warum das so ist, wie eine Rechnung für unvollständig beobachtete Werte hilft und an welcher Stelle auch sie keine Antwort mehr gibt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Das leere Regal

Ein Laden legt jeden Morgen Brot ins Regal. Abends zeigt die Kasse, wie viele Stücke verkauft wurden. Das scheint die Nachfrage zu sein, also die Zahl der Kunden, die ein Brot wollten.

Das stimmt nur an Tagen, an denen abends noch Brot liegt. War das Regal schon am Nachmittag leer, weiß niemand, wie viele Kunden danach noch kamen. Die Kasse zeigt nur: Mindestens so viele wollten Brot, wie im Regal lagen.

Angenommen, abends sind alle 8 Brote weg. Es können 8 Kunden gewesen sein, aber auch mehr. Eine Nachfrage, die man nur bis zu einer solchen Grenze sieht, heißt zensiert.

Warum man dann im Schnitt zu wenig bestellt

Der Inhaber will wissen, wie viel Brot er bestellen soll. Übrig gebliebenes Brot kostet, verpasste Verkäufe auch. Angenommen, ein verpasster Verkauf kostet 9 €, ein übrig gebliebenes Brot einen Euro. Dann lohnt es sich, an 9 von 10 Tagen genug im Regal zu haben.

Dafür zählen die Tage mit dem größten Andrang. An solchen Tagen wird das Regal eher leer, und dann zeigt die Kasse eine zu kleine Zahl. Wer die Kassenzahlen wie die Nachfrage behandelt, schneidet die großen Tage ab und bestellt im Schnitt zu wenig.

Ein Problem, das man von Wartezeiten kennt

Dasselbe Problem hat man bei Wartezeiten: Bei Containern, die am Ende der Beobachtung noch im Hafen stehen, weiß man nur, dass sie mindestens so lange blieben. Dafür gibt es eine Rechnung (Kaplan–Meier), die solche Werte nutzt, ohne sie als genau zu behandeln.

Auf das Regal angewendet, zeichnet sie eine Kurve: Zu jeder Menge zeigt sie, an wie vielen von 100 Tagen die Nachfrage größer war. Ein genau bekannter Tag lässt die Kurve fallen, ein leerer lässt sie stehen, zählt aber bis zum Regalbestand als „mindestens so viele“ mit. Sie braucht dafür keine Annahme über die Gestalt der Nachfrage, wohl aber, dass der Bestand nicht von ihr abhängt.

Nehmen wir sechs Tage aus dem Beispiel der Demo. An drei Tagen blieb Brot übrig, die Nachfrage war genau 6, 7 und 9. An drei Tagen war das Regal mit 8, 10 und 12 Broten leer, die Nachfrage war mindestens so groß. Die Kurve ergibt als Menge für die Hälfte der Tage 9, die Verkäufe allein einen Wert zwischen 8 und 9.

Wo auch diese Rechnung nicht weiterkommt

Im selben Beispiel lässt sich keine Menge ablesen, die an 8 von 10 Tagen reicht: Die Kurve bleibt bei den leeren Tagen stehen, bevor sie tief genug fällt. Die Rechnung meldet „nicht schätzbar“, denn nie hat jemand gesehen, wie groß der Andrang an den Spitzentagen war.

Wie oft das passiert, hängt vom Bestand ab. In der Demo (erfundene Zahlen, ein Bestandsmuster, etwa jeder zweite Tag ausverkauft) lieferte die Rechnung bei 500 Tagen für die Menge, die an 9 von 10 Tagen reicht, in 58 von 100 nachgespielten Zeiträumen eine Zahl, sonst „nicht schätzbar“. Mit weniger Tagen sinkt dieser Anteil, mit mehr steigt er.

Eine Alternative ist, der Nachfrage eine feste Gestalt zu geben (etwa: meist mittlerer Andrang, selten sehr großer) und sie an die Daten anzupassen. Das liefert in der Demo auch dort eine Zahl, wo die Kurve keine liefert, ist aber nur so gut, wie die Gestalt passt.

Was die Demo zeigt

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, kurz Demo. Am Ende dieses Teils öffnet der Knopf „Demo ausprobieren“ sie.

Die Demo erzeugt Verkäufe aus einer bekannten Nachfrage und vergleicht drei Wege zur Bestellmenge: die Verkäufe als Nachfrage lesen, die Kurve aus dem Container-Beispiel und eine angepasste Gestalt. Da die wahre Nachfrage bekannt ist, lässt sich prüfen, wie weit jede Menge danebenliegt. Unter denselben Voraussetzungen war die Menge aus den Verkäufen im Schnitt 37 % kleiner als die Menge, die an 9 von 10 Tagen reicht.

Häufige Missverständnisse

• „Die Kasse zeigt, was die Kunden wollten.“ Nur an Tagen, an denen Ware übrig blieb.
• „Wer länger zählt, bestellt irgendwann richtig.“ In der Demo blieb der Fehler der Verkaufsregel bestehen, auch als die Zahl der Tage wuchs.

Woran Sie das im Alltag erkennen können

• Mehrere Tage enden mit derselben Verkaufszahl, nämlich der Menge, die morgens im Regal lag.
• Kunden sagen, die Ware sei schon wieder weg, doch die Kasse zeigt eine unauffällige Zahl.

Die Annahme, auf der das alles ruht

Die Rechnung nimmt an, dass die Menge im Regal nicht davon abhängt, wie viele Kunden kommen. Legt der Inhaber bei erwartetem Andrang mehr hin, hängt das Ende der Beobachtung am Ereignis selbst, und das Ergebnis gilt nicht mehr ohne Weiteres (in der Fachsprache: informatives Zensieren). Dazu gibt es in der Übersicht der Demos zu diesem Thema eine eigene Demo.

Wie ernst ist dieses Beispiel zu nehmen?

Es ist eine erfundene Welt; echte Lager haben Saison und Nachbestellungen. Sie zeigt, wie sich die drei Wege zueinander verhalten, nicht, was eine echte Bestellung kostet.

Was Sie mitnehmen

• Ihr Lager ist kein Brotregal, aber: Wo Nachschub, Fehlmengen oder abgelehnte Aufträge die sichtbare Zahl begrenzen, zeigt sie nur, was lieferbar war. Fragen Sie bei jeder Zahl: Blieb Ware übrig? Wenn nein, kann sie eine Untergrenze sein.
• Schreiben Sie Fehlmengen und abgewiesene Anfragen mit auf, soweit erfassbar: Dann rückt die Zahl näher an die wahre Nachfrage (in der Demo nicht gemessen). Meldet die Rechnung „nicht schätzbar“, kann es helfen, an einem Teil der Tage absichtlich mehr hinzulegen: In der Demo liefert sie dann in fast allen nachgespielten Zeiträumen eine Zahl. Das kostet Überschuss, und die Mehrkosten der Bestellmenge sinken erst ab einem größeren Anteil solcher Tage.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Gegenstand ist die Bestellmenge eines Artikels, wenn nur Verkäufe vorliegen. Je Periode \(i\) gibt es die Nachfrage \(D_i\), den Bestand \(B_i\) und den Verkauf \(V_i = \min(D_i, B_i)\). Ausverkauft heißt \(D_i \ge B_i\) (Gleichstand zählt als ausverkauft); dann ist \(D_i\) nur als „mindestens \(B_i\)“ bekannt, die Beobachtung ist rechtszensiert. Gesucht ist die Bestellmenge nach der Newsvendor-Regel: Bei Fehlmengenkosten \(b\) und Überschusskosten \(h\) je Stück ist die beste Menge das Quantil \(q_\tau = F_D^{-1}(\tau)\) der Nachfrage mit \(\tau = b/(b + h)\). Die Rechnung ist dieselbe wie bei Verweilzeiten mit Rechtszensierung (Kaplan–Meier); die Zensierung kommt hier vom Bestand statt vom Ende eines Beobachtungsfensters.

• Nachfrage: lognormal mit \(\ln D \sim \mathrm{N}(\ln 100,\ 0{,}5^2)\), also Median 100 und \(\sigma\) 0,5, oder gamma-verteilt mit demselben Median und derselben Streuung (Form \(k = 1/(e^{0{,}25} - 1) \approx 3{,}52\)).
• Bestand: lognormal mit Median \(m\) (60 bis 200, Voreinstellung 100) und \(\sigma\) 0,3, unabhängig von \(D_i\).
• Annahme, in der Demo und hier sichtbar: Der Bestand einer Periode ist unabhängig von ihrer Nachfrage. Dann ist die Zensierung unabhängig vom Ereignis, und Kaplan–Meier ist gültig. Die simulierte Welt erfüllt die Annahme; die Demo prüft sie nicht. Hängt der Bestand an einer Prognose der Nachfrage, ist die Zensierung informativ; dazu gibt es in der Übersicht der Demos zu diesem Thema die Demo „Informatives Zensieren“.
• Weitere Annahmen: Die Nachfrage ist von Periode zu Periode unabhängig und gleich verteilt (keine Saison, kein Trend); Nachfrage, die bei Ausverkauf verloren geht, kommt nicht als Nachbestellung wieder; einen Verkauf von 0 gibt es nicht (die Rechnung verlangt Werte über 0).
• Kosten: Fehlmenge \(\tau\) je Stück, Überschuss \(1 - \tau\) je Stück, sonst nichts (nur das Verhältnis zählt). Die Mehrkosten einer Menge sind relativ zu den Kosten der besten Menge und gegen die wahre Verteilung gerechnet.
• Alle Zahlen sind erzeugt; keine stammt aus einem echten Lager.

Die drei Wege zur Bestellmenge

• Aus den Verkäufen: das Quantil der \(V_i\) mit linearer Interpolation (bei sechs Werten ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren).
• Kaplan–Meier: Ausverkaufte Perioden gelten als rechtszensiert. Das Quantil ist der kleinste genau beobachtete Wert mit \(\hat S \le 1 - \tau\), und nicht schätzbar, wenn die Kurve nie so tief fällt. Mit dem Rückfall „größter Wert“ ist es dort, wo die Kurve keine Zahl liefert, der größte Verkauf; er ist eine einfache Regel, keine Empfehlung.
• Zensiertes Lognormal: Maximum Likelihood mit der Dichte für genaue und der Überlebensfunktion für ausverkaufte Werte, gelöst mit BFGS und analytischem Gradienten.

Die erwarteten Kosten einer Bestellmenge werden geschlossen gegen die wahre Verteilung gerechnet (Lognormal über die Normalverteilung, Gamma über die regularisierte obere unvollständige Gamma-Funktion), nicht an einer Stichprobe.

Die Formeln

Bei unabhängigem Bestand gilt \(P(V > x) = P(D > x)\,P(B > x)\): Die Verkäufe sind gegenüber der Nachfrage genau um den Faktor \(P(B > x)\) „kürzer“. In jeder Periode gilt \(V_i \le D_i\); jedes Quantil der Verkäufe liegt also höchstens beim Quantil der Nachfrage.

Kaplan–Meier. Seien \(x_{(1)} < \dots < x_{(K)}\) die verschiedenen genau beobachteten Werte, \(d_k\) die Zahl der genau beobachteten Perioden bei \(x_{(k)}\) und \(n_k\) die Zahl der Perioden im Risiko, also aller mit \(V_i \ge x_{(k)}\); ausverkaufte Perioden fehlen in \(d_k\) und bleiben bis zu ihrem Wert in \(n_k\). Dann ist \(\hat S\) der Schätzer von \(P(D > x)\), und das Quantil ist der kleinste genau beobachtete Wert, bei dem \(\hat S\) unter \(1 - \tau\) liegt oder es erreicht:

\[\hat S(x) = \prod_{x_{(k)} \le x} \Big( 1 - \frac{d_k}{n_k} \Big), \qquad \hat q_\tau = \min\{\, x_{(k)} : \hat S(x_{(k)}) \le 1 - \tau \,\}\]

Das Quantil ist nicht schätzbar, wenn \(\hat S(x_{(K)}) > 1 - \tau\): Die Kurve bleibt nach dem größten genau beobachteten Wert stehen. Erreichbar sind nur \(\tau \le 1 - \hat S(x_{(K)})\). Bei gleichem Wert zählt das genaue Ereignis vor dem ausverkauften.

Zensiertes Lognormal. Mit \(z_i = (\ln V_i - \mu)/\sigma\) und \(\delta_i = 1\) für genau bekannte, \(\delta_i = 0\) für ausverkaufte Perioden ist die Log-Likelihood:

\[\ell(\mu, \sigma) = \sum_{\delta_i = 1} \Big[ -\ln \sigma - \ln V_i - \tfrac12 \ln 2\pi - \tfrac12 z_i^2 \Big] + \sum_{\delta_i = 0} \ln \Phi(-z_i), \qquad \hat q_\tau = \exp\big(\hat\mu + \hat\sigma\,\Phi^{-1}(\tau)\big).\]

Dabei sind \(\Phi\) und \(\varphi\) Verteilungs- und Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Mit \(\lambda_i = \varphi(z_i)/\Phi(-z_i)\) lauten die Ableitungen nach \(\mu\) und \(\ln\sigma\): \(\sum_{\delta=1} z_i/\sigma + \sum_{\delta=0} \lambda_i/\sigma\) und \(\sum_{\delta=1} (z_i^2 - 1) + \sum_{\delta=0} \lambda_i z_i\).

Kosten der Bestellmenge. Mit Fehlmengenkosten \(\tau\) und Überschusskosten \(1 - \tau\) je Stück sind die erwarteten Kosten der Menge \(q\):

\[C(q) = \tau\,\mathrm{E}[(D - q)^+] + (1 - \tau)\,\mathrm{E}[(q - D)^+], \qquad C'(q) = F_D(q) - \tau,\]

also ist \(q_\tau\) die beste Menge. Wegen \(\mathrm{E}[(q - D)^+] = q - \mathrm{E}[D] + \mathrm{E}[(D - q)^+]\) genügt \(\mathrm{E}[(D - q)^+]\). Für das Lognormal mit \(\mathrm{E}[D] = e^{\mu + \sigma^2/2}\) ist es

\[\mathrm{E}[(D - q)^+] = e^{\mu + \sigma^2/2}\,\Phi\!\Big(\frac{\mu + \sigma^2 - \ln q}{\sigma}\Big) - q\,\Phi\!\Big(\frac{\mu - \ln q}{\sigma}\Big),\]

für das Gamma mit Form \(k\) und Skala \(\theta\) (regularisierte obere unvollständige Gamma-Funktion \(Q\)):

\[\mathrm{E}[(D - q)^+] = k\theta\, Q(k + 1, q/\theta) - q\, Q(k, q/\theta).\]

Die Mehrkosten einer geschätzten Menge \(\hat q\) sind \(C(\hat q)/C(q_\tau) - 1\), gerechnet gegen die wahre Verteilung.

Durchgerechnet: sechs Perioden von Hand

Sechs Perioden mit (Bestand, Verkauf): (10, 6), (10, 10), (8, 8), (12, 7), (12, 12), (10, 9). Genau beobachtet sind 6, 7 und 9; ausverkauft („≥“) sind 8, 10 und 12. Kaplan–Meier ergibt diese Tabelle in exakten Brüchen (Handbeispiel der Demo, kein Zufall):

Nachfrage x	genau beobachtet	ausverkauft („≥ x“)	im Risiko	S(x−) → S(x)
6	1	0	6	1 → 5/6
7	1	0	5	5/6 → 2/3
8	0	1	4	2/3 (bleibt)
9	1	0	3	2/3 → 4/9
10	0	1	2	4/9 (bleibt)
12	0	1	1	4/9 (bleibt)

Das Quantil 0,5 ist 9, der kleinste genaue Wert mit \(S \le 1/2\). Das Quantil 0,8 ist nicht schätzbar: Die Kurve bleibt bei 4/9 stehen, erreichbar sind nur Quantile bis \(\tau = 5/9\). Aus den Verkäufen ergibt sich ein Median von 8,5.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus dem Code der Demo mit festen Zufalls-Seeds. Welt, wenn nichts anderes steht: Nachfrage lognormal (Median 100, \(\sigma\) 0,5), Bestand lognormal (Median 100, \(\sigma\) 0,3), 500 Perioden, 1000 Läufe, Zufalls-Seed 35. Die Mehrkosten sind Mittel über die Läufe; bei „Kaplan–Meier nur wo schätzbar“ nur über die Läufe, in denen die Kurve das Niveau erreicht. Dieser Wert ist bedingt und mit den anderen nur eingeschränkt vergleichbar.

Quantil aus den Verkäufen gegen Kaplan–Meier (Standardwelt, 50,0 % ausverkauft; Kaplan–Meier mittelt nur über die Läufe mit Zahl):

τ	Wahrheit (Quantil der Nachfrage)	aus den Verkäufen (Mittel)	aus Kaplan–Meier (Mittel über die Läufe mit Zahl)	Läufe mit Zahl
0,5	100,0	81,2 (−19 %)	100,0 (±0 %)	100 %
0,6	113,5	87,9 (−23 %)	113,8 (±0 %)	100 %
0,7	130,0	95,5 (−27 %)	131,0 (+1 %)	99,9 %
0,8	152,3	105,0 (−31 %)	154,2 (+1 %)	95 %
0,9	189,8	119,2 (−37 %)	179,9 (−5 %)	58 %
0,95	227,6	132,2 (−42 %)	192,7 (−15 %)	33 %

Der Standardfehler des Mittels bei \(\tau\) = 0,9 ist 0,08 für die Verkäufe und 0,78 für Kaplan–Meier. Der Mittelwert von Kaplan–Meier bei \(\tau\) = 0,9 (−5 %) gilt nur für die 58 % der Läufe, in denen die Kurve das Niveau erreicht; diese Läufe sind durch die Bedingung ausgewählt. Ob Kaplan–Meier bei \(\tau\) = 0,9 im Ganzen verzerrt ist, ist mit dieser Messung nicht entschieden.

Mehrkosten der Bestellmenge in % (Lognormal-Nachfrage, \(\sigma\) 0,5, Bestand lognormal mit \(\sigma\) 0,3 und dem angegebenen Median, 500 Perioden, 1000 Läufe). Mehrkosten sind die erwarteten Kosten der geschätzten Menge gegen die wahre Verteilung, geteilt durch die der besten Menge, minus 1; Fehlmenge \(\tau\), Überschuss \(1 - \tau\) je Stück.

Bestand (Median)	ausverkauft	τ	aus den Verkäufen	Kaplan–Meier (nur wo schätzbar)	Kaplan–Meier mit Rückfall „größter Wert“	zensiertes Lognormal
70	73,0 %	0,5	25,6	0,7 (99,8 % schätzbar)	0,8	0,3
70	73,0 %	0,8	73,3	3,9 (47 % schätzbar)	3,0	0,9
70	73,0 %	0,9	128,9	18,8 (25 % schätzbar)	17,9	1,3
100	50,0 %	0,5	6,9	0,2 (100 % schätzbar)	0,2	0,1
100	50,0 %	0,8	29,0	1,5 (95 % schätzbar)	2,2	0,4
100	50,0 %	0,9	56,0	3,3 (58 % schätzbar)	3,0	0,6
150	24,3 %	0,5	0,5	0,2 (100 % schätzbar)	0,2	0,1
150	24,3 %	0,8	5,3	0,3 (100 % schätzbar)	0,3	0,2
150	24,3 %	0,9	13,7	1,3 (99,5 % schätzbar)	1,4	0,3

In diesen 9 Zellen ist das zensierte Lognormal in allen 9 am günstigsten (Standardfehler seiner Mehrkosten höchstens 0,06 Prozentpunkte). Die Verkaufsregel ist in allen 9 Zellen die teuerste der drei Verfahren, die in jedem Lauf eine Zahl liefern, und teurer als jede andere Spalte; ihre Mehrkosten wachsen mit dem Ausverkauf und mit \(\tau\) (bei Bestand 70 von 25,6 % bei \(\tau\) = 0,5 auf 128,9 % bei \(\tau\) = 0,9). Bei \(\tau\) = 0,5 und Bestand 100 sind es 6,9 %.

Falsche Form (Nachfrage gamma-verteilt mit gleichem Median und gleicher Streuung, Bestand 100, 500 Perioden, 1000 Läufe, 49,2 % ausverkauft). Mehrkosten in %:

τ	aus den Verkäufen	Kaplan–Meier (nur wo schätzbar)	Kaplan–Meier mit Rückfall „größter Wert“	zensiertes Lognormal (falsche Form)
0,5	6,5	0,2 (100 % schätzbar)	0,2	0,2
0,8	31,9	1,5 (96 % schätzbar)	2,2	3,4
0,9	62,5	3,1 (65 % schätzbar)	3,2	10,6

Bei \(\tau\) = 0,8 und 0,9 ist das Lognormal in dieser Welt teurer als Kaplan–Meier mit Rückfall; bei \(\tau\) = 0,5 liegen beide gleichauf (0,19 % gegen 0,22 %, Unterschied etwa 3 Standardfehler). In allen drei Zeilen bleibt es weit unter der Verkaufsregel (höchstens ein Fünftel ihrer Mehrkosten). Die Formannahme ist Gewinn und Risiko zugleich: In den gemessenen Lognormal-Zellen ist das zensierte Lognormal der günstigste Weg, in dieser Gamma-Welt sind seine Mehrkosten bei \(\tau\) = 0,9 das 3,3-Fache der Mehrkosten von Kaplan–Meier mit Rückfall (10,6 % gegen 3,2 %). Andere Formen sind nicht gemessen.

Wie oft ist das Kaplan–Meier-Quantil schätzbar? (\(\tau\) = 0,9, Bestand 100, Lognormal-Nachfrage, 1000 Läufe je Zeile; Mehrkosten in %):

Perioden n	Läufe mit Kaplan–Meier-Quantil	aus den Verkäufen	Kaplan–Meier mit Rückfall	zensiertes Lognormal
100	42 %	57,3	8,3	3,1
250	46 %	56,2	4,1	1,1
500	58 %	56,0	3,0	0,6
1000	70 %	55,8	2,4	0,3

Mit der Zahl der Perioden steigt der Anteil schätzbarer Läufe; die Mehrkosten der Verkaufsregel bleiben dagegen in diesen vier Zeilen bei 55,8 % bis 57,3 %: Mehr Perioden beheben ihren Fehler hier nicht. Je Bestandsniveau (\(\tau\) = 0,9, 500 Perioden) ist das Quantil in 251 von 1000 Läufen (Bestand 70), 583 (Bestand 100) und 995 (Bestand 150) schätzbar; bei \(\tau\) = 0,95 in 226, 330 und 813 von 1000.

Gegenmittel: Testperioden mit sehr hohem Bestand (\(\tau\) = 0,9, Bestand 100, Lognormal-Nachfrage, 1000 Läufe). Ein Anteil der Perioden bekommt den Bestandsmedian 300 statt 100, zufällig und unabhängig von der Nachfrage, gepaart mit der Standardwelt. Der Überschuss je Periode ist der mittlere Bestand über der Nachfrage, \(\mathrm{E}[(B - D)^+]\) in der Simulation.

Testperioden (Anteil)	ausverkauft	Läufe mit Kaplan–Meier-Quantil	Mehrkosten, Kaplan–Meier mit Rückfall (%)	Überschuss je Periode (Stück)
0 %	50,0 %	58 %	3,0	20,9
5 %	47,6 %	97 %	4,0	29,9
10 %	45,3 %	99,8 %	2,5	39,0
20 %	40,6 %	100 %	1,6	57,2
30 %	35,9 %	100 %	1,1	75,3

Der Anteil schätzbarer Läufe springt schon bei 5 % Testperioden von 58 % auf 97 %, die Mehrkosten fallen aber erst ab 10 % unter den Wert ohne Testperioden. Der Überschuss je Periode wächst von 20,9 auf 75,3 Stück; dessen Kosten stehen in den Mehrkosten nicht. Eine Aussage über den Gesamtnutzen des Gegenmittels folgt daraus nicht.

Stabilität: Über drei Zufalls-Seeds (35, 101, 202; je 1000 Läufe, \(\tau\) = 0,9, Bestand 100) liegt der Anteil schätzbarer Läufe bei 58 % bis 60 %. In den angepassten Datensätzen dieser Messungen (9 verschiedene Zellen je 1000) ist die Anpassung des Lognormals gelungen (0 Fehlschläge, eine Zählung für diese Zufalls-Seeds).

Was die Messung zeigt und was nicht

Wie ernst ist das Modell? Es ist eine einzige erzeugte Welt mit einem lognormalen Bestand, einer Nachfrage-Verteilung (zwei Formen) und einer Kostenform. Es vergleicht drei Wege, nicht den Betrieb eines Lagers.

• Belegt: In dieser Welt liegt die Menge aus den Verkäufen unter dem Quantil der Nachfrage (bei \(\tau\) = 0,9 im Mittel −37 %), und die Mehrkosten der Verkaufsregel sind in allen 9 Zellen der Lognormal-Welt die höchsten. Kaplan–Meier schätzt das Quantil ohne Formannahme, liefert aber bei \(\tau\) = 0,9 und Bestand 100 nur in 58 % der Läufe eine Zahl.
• Belegt nicht: dass das zensierte Lognormal allgemein am günstigsten ist. Es ist in den neun Lognormal-Zellen am günstigsten und in der Gamma-Welt bei \(\tau\) = 0,8 und 0,9 teurer als Kaplan–Meier mit Rückfall; andere Formen sind nicht gemessen.
• Belegt nicht: ob Kaplan–Meier bei \(\tau\) = 0,9 im Ganzen verzerrt ist (der Mittelwert gilt nur für die Läufe mit Zahl), und andere Bestandsmuster, Streuungen und Kostenformen. Sie ändern die Größen, nicht unbedingt die Richtung.
• Rückfall „größter Wert“: eine einfache Regel zur Anschauung, keine Empfehlung; eine andere Regel würde die Spalte ändern.
• Testperioden: eine Messung in einer Welt. Ihr Preis, der Überschuss, steht nicht in den Mehrkosten. Die Aussage, dass schon 5 % Testperioden das Quantil in 97 % der Läufe schätzbar machen, gilt für \(\tau\) = 0,9, Bestand 100 und Median 300 in den Testperioden.
• Mehrkosten: Sie beziehen sich auf die Bestellmenge, nicht auf Gesamtkosten eines Betriebs. Feste Bestellkosten, Mindestmengen und Servicegrad-Ziele fehlen. Die Mittelwerte sind von einzelnen schlechten Läufen mitbestimmt (Mittel, nicht Median).
• Läufe: Zählungen wie „583 von 1000“ gelten für diese Zufalls-Seeds; andere Zufalls-Seeds ändern einzelne Zählungen um einige Läufe.
• Nicht gemessen: Nachfrage, die später als Nachbestellung wiederkommt (dann ist sie nicht zensiert, sondern verschoben); ein Ausverkauf kurz vor Ladenschluss gilt in der Demo als genau beobachtet, wenn Bestand übrig ist.

Quellen

• E. L. Kaplan und P. Meier (1958): Nonparametric Estimation from Incomplete Observations. Journal of the American Statistical Association 53, 457–481. Ursprung des Verfahrens, das hier auf zensierte Nachfrage angewendet wird.
• Das Verfahren der Umverteilung nach rechts (nach Efron) dient der Demo als unabhängige Gegenprüfung von Kaplan–Meier; die Quelle ist nicht eingesehen.

Beide Angaben stehen so in der README der Demo, sind aus dem Gedächtnis genannt und nicht eingesehen. Von der Demo wird keine Aussage der Literatur wiedergegeben; alle Zahlen dieser Seite stammen aus der Demo selbst.