Das Periodogramm verständlich erklärt

Wer ein Geräusch aufnimmt, möchte wissen, welche Töne darin stecken. Ein Rechenverfahren malt dafür ein Bild, das zeigt, wie stark jede Tonhöhe vorkommt. Bei längerer Aufnahme wird dieses Bild feiner, aber nicht ruhiger. Diese Seite erklärt, warum.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Welche Töne stecken in einer Aufnahme?

Ein Mikrofon steht in einem Raum und nimmt das Brummen eines Geräts auf. Dazu rauscht es, ähnlich wie ein Radio zwischen zwei Sendern. Das Ohr hört den gleichmäßigen Ton kaum heraus. Sie möchten trotzdem wissen: Gibt es ihn, und wie hoch ist er?

Dafür rechnet man die Aufnahme in ein Bild um, das der Pegelanzeige einer Stereoanlage ähnelt. Jede Tonhöhe bekommt einen Balken. Je stärker eine Tonhöhe in der Aufnahme vorkommt, desto höher steht ihr Balken. Das Bild heißt Periodogramm. Die Rechnung dahinter heißt Fourier-Zerlegung, und Fachleute nennen die Tonhöhe Frequenz.

Der Computer erhält aus der Aufnahme eine Reihe von Messwerten, einen je Zeitschritt. Je mehr Messwerte, desto länger dauert die Aufnahme.

Das Programm zum Ausprobieren

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, kurz Demo. Am Ende dieses Teils gibt es zwei Knöpfe: Der erste öffnet es, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Zum Verstehen brauchen Sie es nicht.

Alle Aufnahmen darin sind künstlich erzeugt: höchstens ein Ton, dazu Rauschen, entweder gleichmäßig über alle Tonhöhen oder mit bekannten lauten und leisen Bereichen. So ist bekannt, was wirklich drinsteckt, und jede Abweichung des Bildes lässt sich messen. Die Demo erzeugt viele solche Aufnahmen (Durchgänge) und zählt aus, wie oft etwas vorkommt. Die Aussagen in diesem Teil beschreiben dieses vereinfachte Rechenbild (Fachwort: Modell), nicht echte Geräte.

Man erwartet ein ruhigeres Bild

Wer lange misst, erwartet ein genaueres Ergebnis. Beim Wiegen hilft es, mehrmals zu wiegen und den Durchschnitt zu nehmen. Entsprechend würde man hoffen: Je länger die Aufnahme, desto glatter das Bild.

Es kommt anders. Eine längere Aufnahme teilt die Tonhöhen in mehr und schmalere Streifen. Es gibt also mehr Balken, und das Bild wird feiner. Jeder einzelne Balken zittert aber genauso stark wie zuvor.

Die Messreihe der Demo zeigt das für reines Rauschen ohne Ton, von der kürzesten bis zur längsten geprüften Aufnahme. Die mittlere Höhe eines Balkens ist der Wert, um den er über viele Aufnahmen herum liegt. Nehmen wir an, ein Balken ist im Durchschnitt eine Handbreit hoch. Dann ist er bei einer Aufnahme fast flach und bei der nächsten viel höher. Die Abweichung ist so groß wie die mittlere Höhe selbst. In 5 Prozent der Fälle ragt ein Balken sogar über das Dreifache seiner mittleren Höhe hinaus. Der Grund: Ein Balken ist die Summe vieler zufälliger Anstöße, die sich mal aufheben und mal verstärken.

Warum wird es nicht ruhiger?

Denken Sie an ein Würfelspiel. Jeder Balken ist das Ergebnis eines einzigen Wurfs. Eine längere Aufnahme würfelt nicht jeden Balken mehrmals. Sie liefert nur mehr Balken, also mehr Würfe, jeden aber einzeln. Erst ein Durchschnitt über mehrere Würfe je Balken würde das Zittern dämpfen. So beschreibt es auch die Demo: mehr Streifen, aber keine Mittelung je Streifen.

Was mit der Länge wächst: der Ton

Ein echter Ton verhält sich anders als das Rauschen. Stellen Sie sich eine marschierende Gruppe vor. Alle treten im Gleichschritt auf, und die Erschütterungen addieren sich. Läuft eine Menschenmenge durcheinander, heben sich viele Schritte gegenseitig auf. Der Ton schwingt gleichmäßig weiter, wie der Gleichschritt. Seine Wirkung auf einen Balken wächst deshalb mit der Aufnahmezeit. Das Rauschen gleicht der Menge und wächst nicht mit.

Die Messreihe bestätigt das. Dort war der Ton schwächer als das Rauschen. Bei der kürzesten Aufnahme (64 Messwerte) war sein Balken in rund 45 von 100 Durchgängen der höchste im Bild. Bei der längsten (4096 Messwerte) war er es in praktisch allen.

Beides stimmt zugleich. Gleich bleibt das Zittern jedes Balkens im Untergrund. Es wächst nur die Höhe eines echten Tons, und mit ihr die Chance, ihn vom Zittern zu unterscheiden.

Zu selten gemessen: der falsche Ton

Im Film drehen sich Wagenräder manchmal rückwärts. Die Kamera macht zu wenige Bilder pro Sekunde, und das Auge reimt sich eine falsche Drehung zusammen. Mit Tönen geschieht dasselbe. Wer zu selten einen Messwert nimmt, kann einen hohen Ton nicht mehr von einem tieferen unterscheiden. Beide liefern dieselben Messwerte. Das Bild zeigt dann einen tieferen Ton, der gar nicht da war (Fachwort: Aliasing).

Der Grund: Zwischen zwei Messwerten hat der hohe Ton mehr als eine halbe Schwingung zurückgelegt. Die Messwerte passen dann auch zu einem langsameren Ton, wie beim Rad. Faustregel: Es braucht mehr als zwei Messwerte pro Schwingung des höchsten Tons.

Die Demo lässt dazu Messwerte weg und behält zum Beispiel nur jeden zweiten. Ein Ton, der dafür zu schnell schwingt, erscheint dann an einer tieferen Stelle des Bildes. Auch Rauschen aus den hohen Tonlagen klappt nach unten und hebt dort das Bild an. Es zeigt dann mehr Rauschen, als wirklich da ist.

Laute Bereiche strahlen aus

Die Aufnahme beginnt und endet abrupt, als würde man ein Band mit der Schere abschneiden. Ein solcher Schnitt wirkt wie ein Ruck, und ein Ruck enthält viele Tonhöhen zugleich. Ein sehr lauter Bereich, in der Demo ein tiefes Brummen im Hintergrund, hinterlässt deshalb Spuren in leisen Bereichen. Dort zeigt das Bild mehr, als wirklich vorhanden ist (Fachwort: Leckage). Bei längerer Aufnahme fällt der Schnitt weniger ins Gewicht, und in der Demo wird die Spur tatsächlich schwächer.

Was hilft?

• Die Aufnahme in Stücke schneiden und die Bilder der Stücke übereinanderlegen. Zufällige Ausschläge gleichen sich dann teilweise aus, wie beim Mitteln von Würfen. Der Preis: Jedes Stück ist kürzer, also sind die Streifen breiter und das Bild ist gröber.
• Vor dem Weglassen von Messwerten filtern. Ein Filter nimmt die hohen Töne vorher weg (Fachwort: Tiefpass), und sie erscheinen nicht falsch. Der Preis: Auch Töne am oberen Rand des Bildes werden gedämpft.

Häufige Missverständnisse

• „Das Zittern ist ein Fehler der Rechnung.“ Nein. Es gehört zum Verfahren und bleibt auch bei fehlerfreier Rechnung, weil jeder Balken auf einem einzigen Messergebnis beruht.
• „Jede hohe Spitze ist ein Ton.“ Nein. Reines Rauschen erzeugt von allein hohe Spitzen. Ob eine Spitze einen Ton anzeigt, zeigt erst der Vergleich mit dem, was Zufall liefern würde.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• In einer zackigen Kurve sticht eine Spitze heraus, etwa ein vermeintlicher Rhythmus in Tageszahlen. Fragen Sie, ob Zufall allein so eine Spitze liefern könnte.
• Eine Aufzeichnung wurde nur selten abgelesen und zeigt einen langsamen Rhythmus. Wie das rückwärts drehende Wagenrad kann er das Zerrbild eines schnelleren Rhythmus sein.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Echte Geräusche haben mehrere Töne, wandernde Tonhöhen und Ausreißer. Die Aussagen gelten nur für die künstlichen Aufnahmen der Demo, gemessen in gleichen Zeitabständen.

Was Sie mitnehmen:

• Eine Spitze, die nur in einer Aufnahme auftaucht, kann Zufall sein. Taucht sie bei jeder neuen Aufnahme an derselben Stelle auf, ist sie eher ein Ton.
• Mehr Aufnahme schärft den Blick auf einen gleichmäßigen Ton, beruhigt aber den Untergrund nicht.
• Jedes Mittel gegen das Zittern, den Umklappfehler oder die Ausstrahlung hat seinen Preis. Fragen Sie, was es kostet.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Alle Signale der Demo sind simuliert, damit das wahre Spektrum bekannt ist und sich jede Abweichung des Periodogramms messen lässt.

• Signal: \(x[m] = \sum_j A_j \cos(2\pi f_j m / f_s + \varphi_j) + w[m]\) für \(m = 0, \dots, n-1\). Dabei ist \(f_s\) die Abtastrate der analysierten Folge, \(A_j, f_j, \varphi_j\) sind Amplitude, Frequenz und Phase der Linien, \(w[m]\) ist normalverteiltes Rauschen der Varianz 1.
• Hintergründe: Das Rauschen ist weiß oder ein AR-Prozess mit vorgegebenen Polen (Frequenz und Radius), stets auf Varianz 1 normiert. Es gibt vier Hintergründe: weiß, Tiefpass, Resonanz und Steil. Ihre wahre Dichte \(\Phi(f)\) ist exakt bekannt. Der Hintergrund „Steil“ hat eine Spannweite von 57 dB, einen Resonanzgipfel bei \(0{,}2\,f_s\) und ein tiefes Tal am oberen Rand bei \(0{,}5\,f_s\), gemessen wird bei \(0{,}49\,f_s\). Diese Angaben gelten ohne Ausdünnen (\(q = 1\), also \(f_s = f_h\)).
• Konvention: Die Dichte ist zweiseitig, in Leistung je Hz. Weißes Rauschen der Varianz 1 hat damit \(\Phi(f) = 1/f_s\).
• Abtastung: Das Signal entsteht zuerst mit der festen Rate \(f_h = 1000\) Hz. Daraus bleibt jeder \(q\)-te Wert, \(q \in \{1, 2, 4, 8\}\), und die Rate der Folge ist \(f_s = f_h/q\). Es gibt sieben Abtastungen: jeder Wert, sowie jeder 2., 4. und 8. Wert je ohne und mit Tiefpass vorher. Der Tiefpass ist ein Filter nach der Fenstermethode (Sinc mit Kaiser-Fenster) mit festen 129 Koeffizienten (Taps) und ist auf −6 dB beim 0,9-fachen der neuen Nyquist-Frequenz \(f_s/2\) ausgelegt.
• Periodogramm: Rechteckfenster ohne Taper, an den Bins \(f_k = k f_s/n\), \(k = 0, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\). Der Bin \(k = 0\) und, bei geradem \(n\), der Nyquist-Bin heißen Randbins, alle übrigen innere Bins.
• Messprotokoll: Die Experimente laufen über feste Zufallsströme, mit 100 bis 800 Läufen je Länge und Längen von \(n = 64\) bis 4096. Der Standardfehler der Kennzahlen liegt bei einigen Prozent. Angaben wie 1,00 sind gerundete Mittel über die Läufe; kleine Unterschiede sind nicht belastbar.

Die Formeln

Das Periodogramm von \(x[0], \dots, x[n-1]\) bei der Abtastrate \(f_s\) ist an den Bins \(f_k\)

\[I(f) = \dfrac{1}{n f_s}\Big|\sum_{m=0}^{n-1} x[m]\,e^{-2\pi i f m / f_s}\Big|^2\]

Der Erwartungswert ist exakt berechenbar. Dabei sei \(r(\tau)\) die Autokovarianz des Rauschens, \(s\) die deterministische Folge der Linien und \(S(f) = \sum_m s[m]\,e^{-2\pi i f m / f_s}\) ihre Fourier-Summe:

\[E[I(f)] = \dfrac{1}{n f_s}\Big(|S(f)|^2 + \sum_{|\tau| < n} (n - |\tau|)\, r(\tau)\cos(2\pi f \tau / f_s)\Big)\]

Der Rauschanteil ist die Faltung der Dichte der analysierten Folge (ohne Ausdünnen: der wahren Dichte \(\Phi\)) mit dem Fejér-Kern des Rechteckfensters, \(F_n(\theta) \propto \big(\sin(n\theta/2)/\sin(\theta/2)\big)^2/n\) bei der Verschiebung \(\theta = 2\pi f/f_s\) (bis auf die Normierung). Leckage ist deshalb ein Bias: Der Mittelwert des Periodogramms ist nicht die wahre Dichte, sondern ihre gefensterte Fassung.

Verteilung. Bei weißem Gauß-Rauschen und an den inneren Bins \(f_k\) ist \(I(f)/\Phi(f)\) exponentialverteilt mit Mittelwert 1 und Standardabweichung 1. Der Logarithmus \(10\log_{10}\) davon hat den Mittelwert \(-10\log_{10}(e)\,\gamma = -2{,}51\) dB (mit der Euler-Mascheroni-Konstante \(\gamma\)) und die Standardabweichung \(10\log_{10}(e)\,\pi/\sqrt{6} = 5{,}57\) dB. Bei farbigem Rauschen gilt dies nur näherungsweise für \(n \to \infty\) und für \(I(f)/E[I(f)]\).

Aliasing. Bleibt jeder \(q\)-te Wert, nach einem Filter mit Frequenzgang \(H\), so hat die Folge die Dichte \(\Phi_y(f) = \sum_k |H(f + k f_s)|^2\,\Phi(f + k f_s)\), summiert über alle Spiegelbilder \(f + k f_s\) innerhalb der alten Nyquist-Grenze \(f_h/2\). Eine Linie bei der Frequenz \(f\) erscheint bei

\[|f - f_s\,\mathrm{round}(f/f_s)|\]

Beispiel: Eine Linie bei 7 Hz, abgetastet mit 8 Hz, erscheint bei \(|7 - 8\cdot 1| = 1\) Hz.

Herleitungen Schritt für Schritt

Die folgenden Herleitungen sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo. Wo die Demo dieselbe Aussage prüft, steht es dabei.

Erwartungswert des Periodogramms.

• Schritt 1: Sei \(x = s + w\) mit \(E[w] = 0\), und \(X(f)\) die Summe aus der Definition. Die Kreuzterme verschwinden, weil \(s\) deterministisch ist und \(E[w] = 0\) gilt. Also ist \(E|X(f)|^2 = |S(f)|^2 + E|W(f)|^2\).
• Schritt 2: Mit stationärem \(w\), also \(r\) nur von der Differenz abhängig, ist \(E|W(f)|^2 = \sum_{m,m'} r(m - m')\,e^{-2\pi i f (m - m')/f_s}\).
• Schritt 3: Genau \(n - |\tau|\) Paare \((m, m')\) haben die Differenz \(\tau\). Wegen \(r(\tau) = r(-\tau)\) wird aus der Exponentialfunktion ein Kosinus. Das ist die Formel oben.
• Probe, Rauschen: Für weißes Rauschen der Varianz 1 ist \(r(0) = 1\) und \(r(\tau) = 0\) sonst, also \(E[I(f)] = 1/f_s\), die Dichte aus der Konvention.
• Probe, Linie: Ein Kosinus der Amplitude 1 bei \(f_s/4\) mit \(n = 8\) liegt auf dem Bin \(k = 2\). Dort ist \(|X| = n/2 = 4\), also \(I = 16/(8 f_s) = 2/f_s\). Die Demo rechnet denselben Fall von Hand nach.

Warum die Streuung je Bin nicht mit \(n\) sinkt (weißes Gauß-Rauschen, innerer Bin).

• Schritt 1: Real- und Imaginärteil von \(X(f_k)\) sind lineare Funktionen eines Gauß-Vektors, also gemeinsam normalverteilt mit Mittelwert null.
• Schritt 2: An inneren Bins haben beide dieselbe Varianz, nämlich \(n/2\) bei Rauschvarianz 1, und sind unkorreliert, weil Kosinus und Sinus auf dem Gitter orthogonal sind.
• Schritt 3: Dann ist \(|X|^2\) eine skalierte \(\chi^2\)-Größe mit zwei Freiheitsgraden, also exponentialverteilt. Bei einer Exponentialverteilung ist die Standardabweichung gleich dem Mittelwert, ganz gleich, wie groß \(n\) ist. Ferner ist \(P(I > 3\,\Phi) = e^{-3}\), das sind 5,0 %.
• Schritt 4: Mit \(n\) wächst die Zahl der Bins, \(\lfloor n/2 \rfloor + 1\), nicht die Zahl der Freiheitsgrade je Bin. Deshalb gibt es keine Mittelung je Bin.
• Randbins: Dort ist \(X\) reell, also ein Freiheitsgrad. Dann ist Standardabweichung durch Mittelwert gleich \(\sqrt{2}\). Die Experimente der Demo schließen Randbins aus; dieser Wert ist nicht gemessen.

Wachstum einer Linie (Linie genau auf einem Gitterpunkt, Amplitude \(A\), weißes Rauschen der Varianz 1).

• Schritt 1: Der Linienanteil ist \(|S|^2 = n^2 A^2/4\), der Gipfel also \(n A^2/(4 f_s)\). Der Untergrund ist \(1/f_s\). Mit der Linienleistung \(P = A^2/2\) je Abtastwert ist das Verhältnis \(nP/2\). (Die Linienleistung verteilt sich auf \(\pm f\); eine einseitige Dichte hätte 3 dB mehr.)
• Schritt 2: Es wächst proportional zu \(n\), je Vervierfachung also um \(10\log_{10} 4\), rund 6 dB. Das passt zu den gemessenen Werten für große \(n\).
• Schritt 3: Gemessen wird der höchste Wert unter den drei Bins um die Linie, linear gemittelt über die Läufe, gegen das lineare Mittel der übrigen inneren Bins ohne zwei Nachbarbins beidseits der Linie. Der erwartete Gipfel ist Linie plus Rauschen, also das Verhältnis \(nP/2 + 1\). Für \(P\) von −10 dB liegt diese Rechnung bei großem \(n\) etwa 1 dB über den gemessenen Werten und bei \(n = 64\) nahe an der gemessenen; dort hebt zusätzlich die Maximumsauswahl über drei verrauschte Bins den Messwert. Eine mögliche Ursache der Lücke: Die Linie liegt in der Messung zufällig zwischen zwei Bins; der mittlere Verlust (siehe die Rechnung zum Verlust zwischen zwei Bins) beträgt rund 1 dB. Das ist eine Deutung, nicht gemessen.

Warum die Leckage mit \(n\) fällt. Die Seitenzipfel des Fejér-Kerns sind bei festem Abstand von der Linie proportional zu \(1/n\). Die Leistung, die aus dem hohen Bereich des Spektrums ins Tal strahlt, sollte also ebenso mit \(1/n\) fallen. Prüfung an den gemessenen Werten (Hintergrund „Steil“, Tal bei \(0{,}49\,f_s\)): Die Überschüsse von 17,9 / 11,9 / 6,7 dB bei \(n = 128\) / 512 / 2048, als Verhältnis zur wahren Dichte minus eins gerechnet, sinken bei jeder Vervierfachung von \(n\) um einen Faktor nahe vier. Das ist mit \(1/n\) vereinbar.

Der Verlust zwischen zwei Bins. Liegt die Linie \(\delta\) Bins neben einem Gitterpunkt, so sinkt der Gipfel auf \(\big(\sin(\pi\delta)/(\pi\delta)\big)^2\), das ist \(\mathrm{sinc}^2\). Das gibt für \(\delta = \tfrac14\) etwa −0,9 dB und für \(\delta = \tfrac12\) etwa −3,9 dB, in Übereinstimmung mit der Messung. Gemittelt über eine gleichverteilte Lage zwischen zwei Gitterpunkten ergibt sich ein Verlust von rund 1 dB.

Rauschen beim Abtasten. Am oberen Rand des neuen Bands haben \(f\) und die erste Spiegelkopie \(f - f_s\) fast denselben Betrag, ihre Dichten sind dort also fast gleich. Allein das erlaubt eine Anhebung bis nahe 3 dB. Weitere Kopien kommen mit wachsendem \(q\) hinzu. Das ist mit den gemessenen 2,2 / 2,8 / 3,1 dB für \(q = 2, 4, 8\) vereinbar; die Demo bestätigt, dass das gemessene Niveau mit der gefalteten Dichte übereinstimmt.

Rechenaufwand. Die direkte Summe braucht \(n^2\) komplexe Multiplikationen, eine Radix-2-FFT \((n/2)\log_2 n\), nur für Zweierpotenzen. Für \(n = 1024\) sind das 1.048.576 gegen 5.120, über zwei Größenordnungen weniger. Gezählt werden Operationen, keine Sekunden.

Befunde

Voraussetzungen aller Zahlen: simulierte Signale, feste Zufallsströme, 100 bis 800 Läufe je Länge.

Frage	Befund
Sinkt die Streuung je Bin mit \(n\)? (weißes Rauschen, \(n\) von 64 bis 4096, innere Bins)	Nein. Std/Mittel von \(I/\Phi\) beträgt 1,00 bei allen untersuchten Längen (Exponentialverteilung); \(P(I > 3\,\Phi)\) liegt bei 5,0 %.
Wie liegt das Periodogramm im Logarithmus? (dieselbe Messung)	Mittel −2,5 dB unter dem Erwartungswert, Streuung 5,6 dB (Theorie: −2,51 und 5,57 dB), unabhängig von \(n\).
Was wächst mit \(n\)? (Linie mit −10 dB je Abtastwert in weißem Rauschen, zufällige Lage und Phase)	Die Linie steht 6 / 10 / 16 / 22 dB über dem Untergrund bei \(n = 64 / 256 / 1024 / 4096\). Für große \(n\) sind es rund 6 dB mehr je Vervierfachung, bei kleinem \(n\) etwas weniger. Sie ist in rund 45 / 90 / 100 / 100 % der Läufe der höchste Wert.
Wo liegt der Mittelwert falsch? (Hintergrund „Steil“, 57 dB Spannweite, Rechteckfenster)	Im Tal bei \(0{,}49\,f_s\) liegt er um 17,9 / 11,9 / 6,7 dB über der wahren Dichte (\(n = 128 / 512 / 2048\)): Leckage, sie fällt mit \(n\). Am Resonanzgipfel bei \(0{,}2\,f_s\) liegt der Fehler ab \(n = 512\) unter 1 dB.
Wie viel verliert eine Linie zwischen zwei Bins?	Ein Viertel Bin neben dem Gitterpunkt −0,9 dB, ein halbes Bin −3,9 dB (\(\mathrm{sinc}^2\)).
Was tut zu langsames Abtasten mit dem Rauschen? (Hintergrund „Tiefpass“, oberes Band von 80 bis 95 % der neuen Nyquist-Frequenz)	Nach jedem 2. / 4. / 8. Wert ohne Tiefpass liegt das Band um 2,2 / 2,8 / 3,1 dB zu hoch. Das gemessene Niveau stimmt innerhalb von 0,35 dB mit der gefalteten Dichte überein.
Was kostet der Tiefpass? (129 Taps)	−6 dB bei dem 0,9-fachen der neuen Nyquist-Frequenz (Vorgabe). An der Nyquist-Frequenz selbst −29,9 dB beim Faktor 4 und −14,5 dB beim Faktor 8, weil die Länge fest ist. Deutung dieser Seite: Das Übergangsband wird, gemessen an der neuen Nyquist-Frequenz, mit \(q\) breiter.
Rechenaufwand (komplexe Multiplikationen)	\(n = 1024\): 1.048.576 bei direkter Summe, 5.120 mit Radix-2-FFT.

Grenzen und was die Messung zeigt

Was sie belegt:

• Die Aussagen für weißes Gauß-Rauschen, innere Bins, die genannten Längen und Läufe: Std/Mittel von 1,00, die Verteilung des Logarithmus und das Wachstum der Linie.
• Die Formel für den Erwartungswert: Er ist gegen Simulation geprüft, mit und ohne Tiefpass. Das Periodogramm ist gegen scipy.signal.periodogram für gerade und ungerade Längen geprüft, die Verteilung gegen \(\mathrm{Exp}(1)\) mit einem Kolmogorov-Smirnov-Test.
• Die Zahlen zu Leckage, Verlust zwischen Bins und Rauschfaltung für genau die angegebenen Hintergründe und Abtastungen.

Was sie nicht belegt:

• Echte Signale: Der Generator kennt eine Linie plus weißen oder AR-Hintergrund mit normalverteiltem Rauschen. Reale Spektren haben Linienscharen, Drift und Ausreißer. „Wahr“ heißt wahr im Modell.
• Farbiges Rauschen: Die Aussage Std/Mittel gleich 1 gilt nur für weißes Rauschen an inneren Bins. Bei stark farbigem Hintergrund und an Randbins weicht sie ab; für farbiges Rauschen ist sie nur eine Näherung für \(n \to \infty\) und in den Experimenten nicht gemessen.
• Nur das Rechteckfenster: Die Leckage ist hier ein Befund, kein Gegenmittel.
• Stationär und gleichmäßig abgetastet: Wandernde Frequenzen und unregelmäßige Zeitpunkte sind nicht abgedeckt.
• Genauigkeit: Bei einigen Prozent Standardfehler sind kleine Unterschiede zwischen Zahlen nicht belastbar. Die Zahl der Läufe je Länge ist klein (100 bis 800).
• Rechenzeit: Die Demo zählt Operationen und misst keine Sekunden.

Erweiterungen und Verweise

Was das Periodogramm nicht leistet, behandeln andere Demos dieser Website:

• Streuung senken: Die Demo „Bartlett und Welch: Mitteln beruhigt das Spektrum, kostet aber Schärfe“ mittelt über Segmente. Die Multitaper-Demo und die AR-Spektrum-Demo gehen andere Wege, jede auf eigene Kosten.
• Leckage und Fenster: Die Demo „Fenster und Linienlage“ untersucht, wie ein Fenster Auflösung gegen Leckage tauscht.
• Unregelmäßige Zeitpunkte: Die Lomb-Scargle-Demo schätzt ein Spektrum aus Messungen zu unregelmäßigen Zeitpunkten.
• Wandernde Frequenzen: Die Spektrogramm-Demo zeichnet Frequenz gegen Zeit.
• Gipfel oder Zufall: Die Demo „Peak oder Rauschen?“ fragt, wann ein höchster Gipfel ein Befund ist.

Quellen

• Percival, Walden: Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press 1993, als Lehrbuchwissen für die Formeln genannt.
• Schuster (1898) prägte den Namen Periodogramm.
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/periodogramm-demo.

Die Demo vermerkt zu Percival und Walden, dass die Quelle nicht gelesen wurde; ihre Formeln sind dort per Simulation und gegen scipy geprüft. Schuster (1898) steht nicht in der Demo und ist aus dem Gedächtnis, nicht geprüft.