Spektral- und Wavelet-Analyse erklärt
Sechzehn Stücke mit derselben Grundfrage: Aus einer endlichen, verrauschten Aufzeichnung soll man erkennen, welche Frequenzen darin stecken und wie sie sich mit der Zeit ändern. Das Orakel ist ein simuliertes Signal mit bekanntem wahren Spektrum: Jedes Verfahren wird an ihm gemessen, nie an einem einzelnen Zufallslauf. Die Wurzel ist das Periodogramm; jedes Folgestück behebt eine Schwäche seines Vorgängers, vom Fenster über Mittelung, Modell und Unterraum bis zu Zeit-Frequenz-Bildern und Wavelets.
Mehrere Stücke enden mit einem Negativbefund: Mehr Daten machen das Periodogramm nicht ruhiger, ein Modell gewinnt nur, solange es stimmt, der höchste Gipfel ist ohne passende Schwelle kein Befund, und die Phasenableitung ist bei zwei Komponenten keine Frequenz. Ehrliche Einschränkung: Alles ist simuliert, die Signale sind eindimensional, die Verfahren laufen mit festen Einstellungen, und die Aussagen gelten für diese Generatoren mit ihren Annahmen. Alle Stücke teilen denselben Generator; die Demos prüfen ihren Kern gegen eine unabhängige Referenz (Orakel-Tests), messen auf festen Zufallsströmen, und ihre Texte sind vor der Veröffentlichung von Prüfern ohne Vorwissen gegen Code und Messung gelesen worden.
In short: Covers spectral estimation and time-frequency analysis of finite noisy records: periodogram, windows, Welch, multitaper, autoregressive and subspace methods, Lomb-Scargle, spectrograms, wavelets, wavelet shrinkage, coherence, checked against simulated signals with known truth.
Diese Seite gehört zu Algorithmen und Verfahren erklärt. So lesen Sie sie: Das Diagramm zeigt, wie die Stücke zusammenhängen. Jede Kachel darunter öffnet eine interaktive Demo, wo es eine gibt, mit einer Erklärseite für Einsteiger und Fachleute. Auf der Suche nach einer Lösung für ein konkretes Problem? Zu den Interaktiven Demos.
Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.
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Die 16 Stücke im Überblick
Das Periodogramm ist die Wurzel: Es ist schnell und unverzerrt, aber je Frequenz so unruhig wie am ersten Tag. Daraus folgt zuerst das Fenster (Leckage und Lage einer Linie), dann das Mitteln über Segmente (Bartlett und Welch), das die Streuung senkt und Auflösung kostet. Dagegen setzt das Multitaper mehrere orthogonale Fenster auf die ganze Aufzeichnung und liefert einen Linientest; das AR-Spektrum ersetzt die Mittelung durch ein Modell, und MUSIC und ESPRIT trennen Linien jenseits der Auflösung. Lomb-Scargle löst die Annahme gleicher Abstände, und Peak oder Rauschen fragt, ob ein Gipfel überhaupt ein Befund ist.
Zweiter Strang: Die Momentanfrequenz leitet aus dem analytischen Signal eine Frequenz je Zeitpunkt ab und scheitert bei mehreren Komponenten. Das Spektrogramm löst das mit Fenstern, die Fensterlänge entscheidet; Wavelets nehmen statt einer festen Länge eine feste Periodenzahl, die diskrete Variante zerlegt exakt, und die Wavelet-Schrumpfung entrauscht damit. Reassignment und Synchrosqueezing schärfen das Spektrogramm. Die Kohärenz verbindet zwei Signale. Mehrere Stränge münden im Verfahrensvergleich: Welches Verfahren ist in welchem Szenario gut, und was bleibt robust?
Die Kästen sind klickbar und öffnen die jeweilige Demo direkt.
- behebt eine Schwäche des Vorgängers oder baut darauf auf
- Gegenstück: derselbe Zweck, andere Bauweise (kein Fix)
- übernimmt nur eine Idee
- Zusammenfluss mehrerer Stränge
- Baustein aus einer anderen Linie
Gestrichelt umrandete Knoten sind Demos aus anderen Linien: das ARIMA-Modell der Zeitreihen-Prognose, SOBI der Quellentrennung, die Sparsity-Demo der Inversen Probleme, das multiple Testen der Wirkungsmessung und das Kalman-Filter der Zustandsschätzung.
Verwandt in anderen Linien
- Zeitreihen-Prognose — Das AR-Modell des AR-Spektrums ist dasselbe wie in ARIMA, nur wird es hier nicht zum Prognostizieren benutzt, sondern liest aus den Koeffizienten ein Spektrum ab.
- Quellentrennung — Die Quellen der SOBI-Demo unterscheiden sich im Spektrum ihrer Autokorrelation; hier steht, wie sich ein Spektrum aus kurzen, verrauschten Daten schätzen lässt und wann zwei Linien getrennt sind.
- Inverse Probleme und Regularisierung — Das Schwellen der Wavelet-Koeffizienten in der Wavelet-Schrumpfung ist die weiche Schwelle, mit der in der Sparsity-Demo die L1-Strafe iterativ gelöst wird (ISTA); dort wirkt sie auf ein Signal auf dem Gitter, hier auf Wavelet-Koeffizienten.
- Experimente und Wirkungsmessung — Eine Schwelle über viele Frequenzen ist ein Mehrfachtest: Wie oft man bei vielen Vergleichen etwas findet, das nicht da ist, zeigt die Mehrfachtest-Demo; hier ist es der höchste Gipfel eines Spektrums.
- Zustandsschätzung und Filter — Das Spektrogramm schätzt die Frequenz in jedem Fenster für sich; das Kalman-Filter führt dagegen einen Zustand über die Zeit und gewichtet jede Messung nach ihrer Unsicherheit.
Das Periodogramm: je mehr Daten, desto feiner, aber nicht ruhiger
Sehen Sie, wie aus einer kurzen, verrauschten Aufzeichnung ein Spektrum geschätzt wird: die Fourier-Zerlegung, jedes Frequenzfach als Leistung. Gemessen wird gegen ein simuliertes Signal mit bekannter Wahrheit. Das Überraschende: Mit mehr Daten wird das Bild feiner, aber nicht ruhiger, die Streuung je Frequenz bleibt bei 1,00. Nur eine echte Linie wächst mit den Daten.
Demo starten →Fenster und Linienlage: das Fenster tauscht Auflösung gegen Leckage
Verfolgen Sie, wie ein Fenster vor der Fourier-Zerlegung entscheidet, was man sieht: Das Rechteck trennt eng liegende Linien, lässt starke Linien aber in die Nachbarschaft auslaufen; andere Fenster drücken das Auslaufen und verlieren Schärfe. Zwei gleich starke Linien im Abstand von einem Bin trennt das Rechteck in rund 53 %, Hann in 1 % der Läufe. Der Haken: Auffüllen mit Nullen macht das Bild glatter, nicht schärfer.
Demo starten →Bartlett und Welch: Mitteln beruhigt das Spektrum, kostet aber Schärfe
Sehen Sie, wie das Mitteln über Segmente das unruhige Periodogramm beruhigt: Bei 64 Segmenten sinkt die Streuung je Frequenz auf 0,13, der Preis ist eine gröbere Auflösung. Ein Regler für die Segmentlänge zeigt das Optimum; zu kurze und zu lange Segmente schaden. Der Haken: Wer eine schwache Linie sucht, gewinnt durch Mitteln wenig und verliert bei zu vielen Segmenten sogar.
Demo starten →Multitaper: orthogonale Fenster auf der ganzen Aufzeichnung
Verfolgen Sie, wie mehrere zueinander passende Fenster (Taper) dieselbe Aufzeichnung mehrfach nutzen und daraus einen Linientest bauen. Bei gleicher Rauschbandbreite senkt das Multitaper die Streuung nicht stärker als Welch; sein Vorteil ist der F-Test auf Linien mit 0,5 % Falschalarm bei Resonanz-Hintergrund. Der Haken: Bei sehr scharfen Resonanzen im Hintergrund steigt der Falschalarm auf rund 22 % statt 1 %.
Demo starten →AR-Spektrum: ein Modell statt einer Mittelung
Sehen Sie, wie ein Modell, das jeden Wert aus den letzten Werten vorhersagt, bei kurzen Daten ein schärferes Spektrum liefert als Mitteln: Bei 64 Werten liegt der Fehler bei 1,56 dB (Burg) gegen 6,08 dB bei Welch mit fester Segmentlänge. Der Haken: Das gilt nur, solange das Modell stimmt; mit weißem Rauschen über dem Signal verfehlt die niedrige Ordnung den Gipfel um 5,0 dB.
Demo starten →Unterraumverfahren: MUSIC und ESPRIT trennen Linien jenseits des Periodogramms
Verfolgen Sie, wie MUSIC und ESPRIT Linien trennen, die das Periodogramm nicht mehr auseinanderhält: Bei einem Bin Abstand und bekannter Linienzahl findet ESPRIT beide Linien in 100 % der Läufe, das Hann-Periodogramm in 20 %. Der Haken: Für eine einzelne Linie gewinnen die Unterraumverfahren gegenüber dem Rechteck-Periodogramm nichts, und bei gefärbtem Rauschen fällt die Trefferquote ab.
Demo starten →Lomb-Scargle: Spektrum aus unregelmäßigen Zeitpunkten
Sehen Sie, wie sich ein Spektrum aus Messungen zu unregelmäßigen Zeitpunkten schätzen lässt, etwa bei Lücken oder Nachtmessungen. Das Alias-Muster steckt im Abtastmuster: Eine Linie weit über der mittleren Nyquist-Frequenz erkennt das Verfahren bei zufälligen Zeiten in 100 % der Läufe, bei regelmäßigen in 16,5 %. Der Haken: Bei Zeiten an den Enden landen 11 % der gefundenen Läufe auf dem falschen Zahn.
Demo starten →Peak oder Rauschen? Ein höchster Gipfel ist noch kein Befund
Verfolgen Sie, warum der höchste Gipfel eines Spektrums noch kein Befund ist: Bei reinem weißem Rauschen täuscht er mit der Schwelle für eine einzelne Frequenz bei 128 Werten in 98,9 % der Läufe, Fishers Test hält 5 % ein. Bei rotem Rauschen mit φ = 0,8 schlägt der Test auf weißes Rauschen in 99,4 % an. Der Haken: Die Schwelle muss zum Hintergrund passen.
Demo starten →Momentanfrequenz und analytisches Signal
Sehen Sie, wie sich aus dem analytischen Signal für jeden Zeitpunkt eine Frequenz ableiten lässt, etwa bei einem Chirp, dessen Tonhöhe steigt. Mit Rauschen wächst der Fehler ungefähr proportional zum Rauschpegel. Der Haken: Bei zwei Komponenten ist die Phasenableitung keine Frequenz mehr; bei gleich starken Tönen wird sie zeitweise negativ, hier in 5,1 % der Zeit.
Demo starten →Spektrogramm: Zeit gegen Frequenz
Verfolgen Sie, wie das Spektrogramm Frequenz gegen Zeit zeichnet und die Fensterlänge entscheidet, was man sieht: Ein kurzes Fenster trennt Zeitpunkte, ein langes Frequenzen. Für den gemessenen Chirp war die Länge 128 bei jedem Rauschabstand von 0 bis 60 dB die beste. Der Haken: Zwei Töne sind erst ab 2,5 Bins Abstand in jedem Fall getrennt, für jede Fensterlänge gleich.
Demo starten →Kontinuierliche Wavelets: gleiche Zahl von Perioden statt gleicher Fensterlänge
Sehen Sie, wie Wavelets statt eines Fensters fester Länge Wellen mit fester Periodenzahl benutzen: Bei hohen Frequenzen werden sie kurz, bei tiefen lang. Zwei gleich starke Töne trennt das Wavelet bei ω₀ = 6 immer ab dem Frequenzverhältnis 1,65, das Spektrogramm hat eine feste absolute Grenze. Der Haken: Die Leistung wächst mit der Skala, und eine einzelne 5-%-Schwelle löst bei so vielen Zellen praktisch in jedem Lauf aus.
Demo starten →Diskrete Wavelets und Mehrskalenanalyse
Verfolgen Sie, wie die diskrete Wavelet-Transformation ein Signal Stufe für Stufe verlustfrei in Glättung und Details zerlegt. Der Haken ist die Verschiebung: Verschiebt man einen Impuls, ändert sich der Energieanteil einer Stufe um bis zu 0,53; die verschiebungsfreie Variante (MODWT) bleibt gleich. Als Skalenspektrum dient die Wavelet-Varianz, die einen Exponenten mit weniger Streuung schätzt als das Periodogramm mit 64 Bins.
Demo starten →Wavelet-Schrumpfung: Schwellwerte entscheiden
Sehen Sie, wie Rauschen aus einem Signal verschwindet, indem man kleine Wavelet-Koeffizienten auf null setzt. Beim Sprungsignal Blocks sinkt der Fehler von 1,007 (verrauscht) auf 0,365 mit der SURE-Schwelle; die universale weiche Schwelle liegt mit 1,662 darüber, weil sie zu vorsichtig ist. Der Haken: Selbst bei reinem Rauschen setzt die universale Schwelle alle Details nur in etwa 82 % der Läufe auf null.
Demo starten →Neu zuordnen statt verschmieren: Reassignment und Synchrosqueezing
Verfolgen Sie, wie Reassignment die Energie jedes Spektrogrammpunkts an ihren Schwerpunkt verschiebt: Beim linearen Chirp sinkt die wirksame Breite von 24,9 auf 1,1 Rasterpunkte. Die Wigner-Ville-Verteilung bleibt mit 5,7 weniger scharf und erzeugt Kreuzterme zwischen Tönen. Der Haken: Zwei nahe Töne trennt das neu zugeordnete Bild nicht besser, und Synchrosqueezing bricht bei Rauschen von 0 dB ein.
Demo starten →Kohärenz: was zwei Signale verbindet
Sehen Sie, wie das Kreuzspektrum zweier Reihen zeigt, bei welchen Frequenzen sie zusammenhängen. Aus wenigen Segmenten ist die Kohärenz nach oben verzerrt: Bei einem Segment ist sie bei jeder Frequenz 1, auch bei unabhängigen Reihen. Der Haken: Eingangsrauschen verfälscht die Übertragungsfunktion, bei Eingangsrauschen von der Größe des Eingangs liegt sie um 50 % zu tief, und eine Verzögerung kostet Kohärenz durch das Fenster.
Demo starten →Welches Verfahren, gemessen woran?
Verfolgen Sie, wie die Verfahren der Reihe an sieben Aufgaben mit bekannter Wahrheit gegeneinander antreten und was ein Vergleich eigentlich entscheidet. Der Reuegrad misst, wie viel schlechter ein Verfahren als das beste im Szenario ist: Das AR-Spektrum gewinnt jedes Szenario mit autoregressivem Hintergrund, aber kaum eines mit Kerbe oder Bandpass. Der Haken: Nach Siegen kippt es erst ab 26 % autoregressivem Anteil; der größte Reuegrad zeigt, was robust ist.
Demo starten →Welches Stück passt zu meiner Frage?
Ein Entscheidungsbaum über alle sechzehn Stücke: Er fragt nach dem, was man aus der Aufzeichnung wissen will, nicht nach dem Verfahren.
Beige Kästen sind Fragen (nicht klickbar), weiße Kästen sind Ergebnisse (klickbar, sie öffnen die jeweilige Demo).
Weitere Linien in diesem Bereich
Quellentrennung
Aus gemischten Messungen die Quellen zurückgewinnen, am Beispiel Spike-Sorting: ICA, SOBI, SCA, NMF, Pipeline, Vorlagenabgleich und der Verzögerungsgraph aus meiner Dissertation.
Zustandsschätzung und Filter
Ein Lieferfahrzeug, das nur über verrauschte Messungen bekannt ist, neun Stücke: vom Kalman-Filter über Glätter, Ausreißerschutz und HMM bis zu Partikelfilter, Mehrzielverfolgung, IMM und Baum-Welch.
Inverse Probleme und Regularisierung
Eine unscharfe, verrauschte Messung und eine bekannte Wahrheit, sechzehn Stücke: vom schlecht gestellten Problem über Strafterm, Abbruch und Parameterwahl, Vorwissen und Bayes-Sicht bis zu gelernten Priors und dem Vergleich der Verfahren.