Die Pareto-Dominanz verständlich erklärt

Wer unter mehreren Wohnungen wählt, kann manche sofort streichen: Eine andere ist billiger, größer und näher. Wie viele sich so ausscheiden lassen, ohne zu entscheiden, was einem wichtiger ist, zeigt diese Seite. Bei vielen Merkmalen scheiden nur wenige aus.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Fünf Wohnungen, drei Merkmale

Stellen Sie sich eine Wohnungssuche vor. Fünf Wohnungen sind in der engeren Wahl, A bis E. Sie vergleichen drei Merkmale: die Miete, die Größe und den Weg zur Arbeit. Besser sind eine niedrige Miete, mehr Platz und ein kurzer Weg. Das Beispiel ist ausgedacht. Jedes Merkmal gibt es nur in drei Stufen.

Wohnung	Miete	Größe	Weg zur Arbeit
A	mittel	groß	mittel
B	günstig	klein	lang
C	teuer	groß	kurz
D	mittel	mittel	lang
E	teuer	mittel	mittel

Wohnung D können Sie sofort streichen. Gegenüber A ist die Miete gleich, aber D ist kleiner und weiter weg. Wer A haben kann, nimmt D nicht, egal was ihm wichtiger ist. Man sagt: A dominiert D. Das heißt, A ist in keinem Merkmal schlechter und in mindestens einem besser. Auch E scheidet aus: A ist billiger und größer, und der Weg ist gleich.

Bei A, B und C geht das nicht. B ist billiger als A, aber kleiner und weiter weg. C ist näher als A, aber teurer. Solche Wohnungen lassen sich nicht vergleichen, denn jede punktet irgendwo. Diese drei bleiben übrig. Fachleute nennen sie die Front, die Unbesiegten.

Warum dieses Streichen unstrittig ist

Für das Streichen muss niemand sagen, was ihm wichtiger ist, die Miete oder der Platz. Es ist für jeden sicher, dem jedes Merkmal in der genannten Richtung nützt. Wer niedrige Miete, mehr Platz und kurzen Weg mag, wählt A vor D. Für die Reihenfolge von A, B und C reicht das nicht. Dafür müsste man gewichten, also entscheiden, wie viel einem die Miete gegen die Größe wert ist.

Das Programm zum Ausprobieren

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Der erste Knopf unten öffnet es, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Zum Verstehen brauchen Sie die Demo nicht.

Die Demo erzeugt erfundene Tabellen wie die der Wohnungen, mit Zufallswerten statt echter Angebote. Das ist ein vereinfachtes Rechenbild (Fachwort: Modell). Sie spricht von Alternativen statt Wohnungen und von Kriterien statt Merkmalen. Dazu erfindet sie einen Entscheider mit geheimen Vorlieben, eine Figur im Programm. Er gewichtet die Merkmale auf eine Weise, die nur das Programm kennt. So lässt sich prüfen, ob das Streichen je seine Lieblingswohnung trifft. Die Zahlen unten sind Mittelwerte über viele Tabellen.

Die Lieblingswohnung geht beim Streichen nicht verloren

Der erfundene Entscheider ist so gebaut, dass ihm jedes Merkmal in seiner Richtung nützt. Seine Lieblingswohnung lag in allen gemessenen Tabellen unter den Unbesiegten. Eine gestrichene Wohnung ist bei jedem Merkmal höchstens so gut wie eine andere und bei einem schlechter. Für ihn kann sie deshalb nicht die beste sein.

Die Sicherheit hat eine Bedingung. Wünscht sich der Entscheider bei einem Merkmal einen Wert in der Mitte, etwa genau mittlere Größe, kann das Streichen seine Lieblingswohnung treffen. In der Messung mit drei Merkmalen und einem solchen Wunschwert lag sie nur in 83 % der Tabellen unter den Unbesiegten. In den übrigen wurde sie gestrichen.

Warum bei vielen Merkmalen so wenig ausscheidet

Je mehr Merkmale, desto weniger Wohnungen lassen sich streichen. Die Messung nahm 20 Wohnungen mit voneinander unabhängigen Zufallswerten. Bei 2 Merkmalen blieben im Mittel 18 % unbesiegt, bei 5 Merkmalen schon 71 %.

Der Grund: Eine Wohnung kann eine andere nur streichen, wenn sie bei allen Merkmalen mindestens gleichauf liegt. Denken Sie an einen Münzwurf je Merkmal, der entscheidet, wer vorn liegt. Eine Wohnung streicht eine andere nur, wenn sie bei allen Würfen vorn liegt oder gleichauf. Mit jedem Wurf mehr gelingt das seltener. In der Messung ließ sich bei 2 Merkmalen knapp jedes zweite Paar vergleichen, bei 5 Merkmalen etwa jedes sechzehnte. Der Münzwurf ist nur ein Bild für unabhängige Zufallswerte.

Auch der Zusammenhang der Merkmale spielt mit. Geht ein Vorteil bei einem Merkmal meist mit einem Nachteil bei einem anderen einher, etwa billig und klein, dann punktet jede Wohnung irgendwo, und nur wenige werden gestrichen. Laufen die Merkmale gleich, ist eine gute Wohnung überall gut, und viele lassen sich streichen. Die Messung zeigt dieses Gefälle: Je gleichläufiger die Merkmale, desto weniger Wohnungen blieben unbesiegt.

Die Unbesiegten sind noch keine Rangfolge

Streicht man die Unbesiegten gedanklich und sucht unter dem Rest wieder die Unbesiegten, bilden diese die zweite Reihe, und so fort. Das ergibt eine grobe Rangfolge in Reihen. Wie gut sie die Rangfolge des erfundenen Entscheiders trifft, wurde mit einem Maß gemessen, das angibt, wie ähnlich zwei Rangfolgen sind (Fachwort: Rangkorrelation). Gemessen wurde bei zwei, drei, fünf und acht Merkmalen. Je mehr Merkmale, desto schlechter traf sie.

Ein schlichter Durchschnitt über alle Merkmale, bei dem jedes gleich zählt, traf bei jeder dieser vier Merkmalszahlen besser. Eine Erklärung, kein Teil der Messung: Die Reihen sagen über nicht vergleichbare Paare nichts, der Durchschnitt wertet dagegen jedes Merkmal. Er hat außerdem einen Heimvorteil: Der erfundene Entscheider bildet sein Urteil selbst als Summe der gewichteten Merkmale, und der Durchschnitt ist dieselbe Summe mit gleichen Gewichten.

Zwei Fallen: grobe Skala und wackelige Werte

Erstens die Skala. Bei groben Stufen wie in der Tabelle oben gibt es viele Gleichstände, und ein Gleichstand zählt als „nicht schlechter“. So scheiden mehr Wohnungen aus. In der Messung mit drei Merkmalen blieben bei nur drei Stufen im Mittel 13 % unbesiegt, bei feinen Werten ohne Stufen 37 %. Die Wohnungen sind dadurch nicht besser unterscheidbar geworden.

Zweitens wackelige Werte. Schon ein leichtes Schwanken der Werte, etwa durch Messfehler, ließ in der Messung bei drei und bei fünf Merkmalen rund 10 % der Wohnungen zwischen den Unbesiegten und den Gestrichenen wechseln. Vermutlich liegen viele Wohnungen nur knapp neben der Grenze, und ein kleines Plus bei einem Merkmal genügt. Das ist eine Vermutung, nicht gemessen.

Häufige Missverständnisse

• „Was nicht gestrichen wird, ist gut.“ Nein. Unbesiegt heißt nur, dass keine andere Wohnung überall besser ist. B steht in der Tabelle bei Größe und Weg auf der schlechtesten Stufe und bleibt doch übrig, weil sie billig ist.
• „Zwei gleiche Wohnungen werfen sich gegenseitig hinaus.“ Nein. Wer nirgends besser ist, dominiert nicht. Zwei Wohnungen mit gleichen Werten bleiben beide.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Vergleichen Sie bei Gebrauchtwagen nur Alter und Kilometer, laufen die Merkmale gleich: Ein jüngeres Auto hat meist weniger Kilometer. Dann sind viele Angebote bei beidem schlechter als ein anderes und lassen sich streichen. Kommt der Preis dazu, läuft er meist dagegen, und es bleiben mehr übrig.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Die Tabellen sind erfunden, und der Entscheider ist eine Formel, kein Mensch. Die Zahlen gelten für diese Zufallstabellen, nicht für Ihre Wohnungssuche. Echte Merkmale sind selten voneinander unabhängig.

Was Sie mitnehmen:

• Streichen Sie zuerst, was überall höchstens gleich gut und irgendwo schlechter ist. Das geht ohne Streit darüber, was wichtiger ist.
• Rechnen Sie bei vielen Merkmalen damit, dass danach noch viele Möglichkeiten übrig sind.
• Die eigentliche Entscheidung, was Ihnen wichtiger ist, beginnt erst nach dem Streichen.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt eine Beziehung zwischen Alternativen, die Pareto-Dominanz, und misst an einer simulierten Entscheidungsmatrix, wie viel sie ausscheidet und wie viel Ordnung sie liefert. Verfahren mit Gewichten werden nicht verglichen.

• Matrix: \(n\) Alternativen (Bereich der Demo: 5 bis 60) und \(m\) Kriterien (2 bis 8). \(g_{ik}\) ist die Güte der Alternative \(i\) im Kriterium \(k\), so gepolt, dass höher besser ist: Bei Kriterien mit der Richtung „weniger ist besser“ steht das Negative des Rohwerts.
• Generator: Die Güten sind gleichverteilt auf \([0, 1]\) und über eine Gauß-Copula mit Gleichkorrelation \(\rho\) verbunden, zulässig für \(\rho > -1/(m-1)\). Die Rohwerte entstehen über eine streng monotone Abbildung je Kriterium (Punkte, Euro, Minuten), auf Anzeigegenauigkeit gerundet. Auf Wunsch gibt es Bewertungsstufen 1 bis \(L\), alle mit „höher ist besser“.
• Dominanz (schwach): Identische Alternativen dominieren sich nicht und bleiben beide in der Front. Zwei Alternativen, von denen keine die andere dominiert, heißen nicht vergleichbar.
• Front und Schichten: Die Front (Schicht 1) enthält die Alternativen, die keine andere dominiert. Entfernt man sie, bildet die nächste Front die Schicht 2, und so weiter.
• Entscheider: Er hat verborgene Gewichte \(w_k\), gleichverteilt über dem Simplex (\(w_k \ge 0\), Summe 1; gezogen als normierte Exponentialverteilte), und eine Nutzenform: linear (\(v\) ist die Identität), konkav (Wurzel der Güten), Cobb-Douglas (gewichtetes Mittel der Logarithmen) oder Zielwert. Beim Zielwert wird die Güte \(g\) des ersten Kriteriums durch \(1 - |2(g - 0{,}5)|\) ersetzt: Das Optimum liegt in der Mitte der Skala, das Kriterium ist nicht monoton.
• Ordnungsmaß: Kendalls \(\tau_b\) zwischen der Schichtenordnung (niedrigere Schicht ist besser, das Vorzeichen so gewählt, dass 1 volle Übereinstimmung mit dem Nutzen heißt) und dem verborgenen Nutzen. Es berücksichtigt Gleichstände in beiden Rangfolgen; 1 heißt gleiche Ordnung, 0 keinen Zusammenhang. Maßstab ist die gleichgewichtete Summe der Güten, der einfachste Skalarwert ohne Wissen über die Gewichte.
• Rauschen: Zu jeder Güte wird eine normalverteilte Zufallszahl mit Mittelwert 0 und Standardabweichung \(\sigma\) addiert, ohne Zuschneiden auf \([0, 1]\). Gemessen wird der Anteil aller Alternativen, deren Front-Zugehörigkeit sich gegenüber der Front ohne Rauschen ändert.
• Rahmen der Messungen: Mittel über 200 feste Matrizen, wenn nicht anders vermerkt mit 20 Alternativen, unabhängigen stetigen Kriterien und linearem Entscheider. Das Experiment zur Front-Größe rechnet mit 10, 20 und 50 Alternativen.

Die Formeln

Die Alternative \(i\) dominiert \(j\), geschrieben \(i \succ j\), genau dann, wenn \(g_{ik} \ge g_{jk}\) für alle \(k\) und \(g_{ik} > g_{jk}\) für mindestens ein \(k\). Die Relation ist transitiv und hängt nur von den beiden Alternativen ab; Front und Schichten dagegen hängen von der ganzen Menge ab. Die Front ist die Menge \(\{j : \nexists\, i \succ j\}\). Die Schicht von \(j\) ist die Länge der längsten Dominanzkette, die in \(j\) endet, plus eins.

Der Nutzen des Entscheiders ist \(u_i = \sum_k w_k\, v(g_{ik})\) mit \(v\) als Identität, Wurzel oder Logarithmus:

\[u_i = \sum_k w_k\, v(g_{ik})\]

Bei unabhängigen stetigen Kriterien hat \(g_{ik} \ge g_{jk}\) für alle \(k\) die Wahrscheinlichkeit \(2^{-m}\). Ein Paar ist also mit der Wahrscheinlichkeit \(2 \cdot 2^{-m}\) vergleichbar:

\[2 \cdot 2^{-m} = 2^{1-m}\]

Die erwartete Zahl unbesiegter Alternativen bei \(n\) unabhängigen Alternativen mit unabhängigen stetigen Kriterien folgt der Rekursion mit \(A(n,1) = 1\):

\[A(n,m) = \sum_{k=1}^{n} A(k,m-1)/k\]

Für \(m = 2\) ist \(A(n,2) = H_n\), die harmonische Zahl. Die Rekursion ist gegen die Aufzählung aller Rangkonfigurationen für \(n = 4\) geprüft (25/12 und 415/144; nach Nachrechnung dieser Seite sind das die Werte für \(m = 2\) und \(m = 3\)) und gegen Simulation. Die Größenordnung \(O((\ln n)^{m-1})\) steht bei Bentley, Kung, Schkolnick und Thompson. Die Rekursion wurde für diese Seite nicht mit der Herleitung in der Quelle abgeglichen; die Quelle selbst wurde nicht gelesen.

Herleitungen Schritt für Schritt

Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo. Wo die Demo dieselbe Aussage misst, steht es dabei.

Der Beste eines monotonen Entscheiders liegt in der Front. Voraussetzung: \(u\) ist in jedem Kriterium streng wachsend, das heißt \(v\) streng wachsend und alle Gewichte positiv.

• Schritt 1: Aus \(i \succ j\) folgt \(g_{ik} \ge g_{jk}\) für alle \(k\), also \(v(g_{ik}) \ge v(g_{jk})\), und für mindestens ein \(k\) gilt „größer“.
• Schritt 2: Dann ist \(u_i - u_j = \sum_k w_k\,(v(g_{ik}) - v(g_{jk}))\) eine Summe nichtnegativer Terme, von denen einer positiv ist. Also gilt \(u_i > u_j\).
• Schritt 3: Eine dominierte Alternative \(j\) ist deshalb nie ein Maximierer von \(u\). Die Gewichte brauchen dafür nicht bekannt zu sein. Die Demo bestätigt es: Bei linearer, konkaver und Cobb-Douglas-Form lag der Beste in allen 200 Matrizen in der Front.
• Wo es endet: Beim Zielwert-Kriterium ist \(v\) nicht wachsend, Schritt 1 gilt nicht mehr. Liegt die Güte von \(i\) im ersten Kriterium weit über der Mitte, die von \(j\) genau in der Mitte, und sind die übrigen Kriterien gleich, dann ist \(i \succ j\), aber \(j\) hat den größeren Nutzen.

Invarianz. Ist \(f_k\) streng wachsend, dann gilt \(g_{ik} \ge g_{jk}\) genau dann, wenn \(f_k(g_{ik}) \ge f_k(g_{jk})\), und ebenso für „größer“. Dominanz, Front und Schichten ändern sich also unter beliebigen streng wachsenden Umskalierungen je Kriterium nicht. Es zählt nur die Ordnung innerhalb jedes Kriteriums, nicht der Abstand; Einheiten und Normierung spielen keine Rolle.

Front-Größe bei zwei Kriterien. Mit \(A(n,2) = H_n\) ist der erwartete Anteil \(H_n/n\). Für \(n = 20\) rundet das auf 18 %, und die Messung nennt dasselbe. Die Rekursion liefert für \(n = 20\) und 5 Kriterien rund 71 %, auch das stimmt mit der Messung überein.

Die Rekursion für \(A(n,m)\). Ordne die \(n\) Alternativen nach dem letzten Kriterium absteigend. Die Alternative auf Rang \(r\) kann nur von den \(r-1\) Alternativen über ihr dominiert werden. Die übrigen \(m-1\) Kriterien sind von dieser Rangfolge unabhängig. Unter diesen \(r\) Alternativen ist die auf Rang \(r\) also mit Wahrscheinlichkeit \(A(r,m-1)/r\) unbesiegt: Von \(r\) gleichartigen Alternativen bleiben im Mittel \(A(r,m-1)\) unbesiegt, und jede ist aus Symmetrie gleich wahrscheinlich dabei. Die Summe über alle Ränge ergibt die Rekursion; in ihr steht \(k\) für einen Rang, nicht für ein Kriterium. Das ist ein Standardargument und eine Rechnung dieser Seite, nicht der Quelle entnommen.

Eine hinzugefügte oder entfernte Alternative kippt die Schichtenordnung nie. Sei \(L(a)\) die Schicht von \(a\). Kippen heißt: Für ein altes Paar gilt \(L(a) < L(b)\), nach der Änderung aber \(L'(a) > L'(b)\).

• Schritt 1: Kommt eine Alternative \(x\) hinzu, bleiben alle alten Ketten erhalten, also \(L'(a) \ge L(a)\).
• Schritt 2: Eine neue Kette durch \(x\) bis \(a\) ist nach Streichen von \(x\) wieder eine Dominanzkette der alten Menge, denn aus \(y \succ x\) und \(x \succ z\) folgt \(y \succ z\). Sie ist um ein Glied kürzer. Also gilt \(L'(a) \le L(a) + 1\).
• Schritt 3: Aus \(L(a) < L(b)\) folgt wegen der ganzen Zahlen \(L(a) + 1 \le L(b)\). Dann ist \(L'(a) \le L(a) + 1 \le L(b) \le L'(b)\), also kein Kippen.
• Entfernen: Mit vertauschten Rollen von \(L\) und \(L'\) gilt \(L'(a) \le L(a) \le L'(a) + 1\), und derselbe Schluss greift.
• Zwei und mehr Alternativen: \(L'(a)\) kann dann um mehr als eins steigen, die Schranke aus Schritt 2 entfällt, und Kippen ist möglich. Die Demo misst es bei fünf hinzugefügten Alternativen. Die Front kann schon bei einer hinzugefügten Alternative ein Mitglied verlieren, denn \(x\) kann ein altes Mitglied dominieren. Beim Entfernen kann sie keines verlieren.

Durchgerechnet: das Beispiel aus dem ersten Teil

Rechnung dieser Seite, keine Messung der Demo. Die drei Stufen jedes Merkmals sind geordnet (günstig vor mittel vor teuer, groß vor mittel vor klein, kurz vor mittel vor lang), das Beispiel hat also drei Kriterien auf einer groben Skala mit Gleichständen.

Wohnung	dominiert von	Schicht
A	keiner	1
B	keiner	1
C	keiner	1
D	A	2
E	A und C	2

Die Front ist {A, B, C}. D wird nur von A dominiert (gleiche Miete, A größer und näher), E von A und von C. Drei der zehn Paare sind vergleichbar: A und D, A und E, C und E. B ist weder mit A noch mit C vergleichbar, weil B in der Miete vorn, in Größe und Weg aber hinten liegt. Mit den Gleichständen der groben Skala ist das Beispiel zugleich ein Fall für den Befund zur Skala weiter unten.

Befunde

Alle Zahlen sind Mittel über 200 feste Matrizen, wenn nicht anders vermerkt. Die Prozentwerte sind auf Zehntelprozent berechnet und hier gerundet.

Frage	Befund
Liegt der Beste des Entscheiders in der Front? (20 Alternativen, unabhängig, lineare, konkave und Cobb-Douglas-Form)	Ja, in allen 200 Matrizen, bei 3 und bei 5 Kriterien und in jeder der drei Formen. Das folgt aus der strengen Monotonie und wird hier bestätigt.
Wie viel der Alternativen bleibt unbesiegt? (unabhängig)	Bei 20 Alternativen: 2 Kriterien 18 %, 3 Kriterien 37 %, 4 Kriterien 55 %, 5 Kriterien 71 %, 6 Kriterien 82 %, 8 Kriterien 94,5 %. Bei 50 Alternativen: 9 %, 22 %, 55 % und 89 % (2, 3, 5 und 8 Kriterien).
Wie viele Paare sind vergleichbar? (20 Alternativen, unabhängig)	Gemessen 49 % (2 Kriterien), 25 % (3), 6 % (5), 0,8 % (8). Die Formel \(2^{1-m}\) gibt für unabhängige stetige Kriterien ein Halb, ein Viertel, ein Sechzehntel und ein Hundertachtundzwanzigstel (Rechnung dieser Seite).
Welche Rolle spielt die Korrelation \(\rho\)? (20 Alternativen, Anteil unbesiegt)	3 Kriterien: \(\rho = -0{,}4\): 70 %, \(\rho = 0\): 37 %, \(\rho = 0{,}6\): 18 %, \(\rho = 0{,}9\): 10 %. 5 Kriterien: \(\rho = -0{,}2\): 97 %, \(\rho = 0\): 71 %, \(\rho = 0{,}6\): 26 %, \(\rho = 0{,}9\): 12 %. Der Anteil fällt mit wachsendem \(\rho\).
Wie viel Ordnung steckt in den Schichten? (linearer Entscheider, 20 Alternativen)	\(\tau\) gegen den verborgenen Nutzen bei 2, 3, 5 und 8 Kriterien: Schichten 0,67 / 0,55 / 0,40 / 0,16, gleichgewichtete Summe 0,72 / knapp unter 0,64 / 0,58 / 0,58 (der Wert für 3 Kriterien ist nachgerechnet, nicht aus der Demo-Beschreibung übernommen). In allen vier Zeilen ordnet die Summe besser.
Wie oft liegen die besten zwei bzw. drei in der Front? (linearer Entscheider, 20 Alternativen)	Beide besten bzw. alle drei besten: 64 % bzw. 34 % bei 2 Kriterien, 95,5 % bzw. 90,5 % bei 5 Kriterien.
Gröbere Skala (3 Kriterien, 20 Alternativen)	Front 37 % (stetig), 25 % (10 Stufen), 17 % (5 Stufen), 13 % (3 Stufen). Vergleichbare Paare: 25 %, 33 %, 41 %, 51 %. Gleichstände erzeugen zusätzliche Dominanz, ohne dass sich die Alternativen besser unterscheiden.
Messrauschen \(\sigma = 0{,}05\) auf der Güte (20 Alternativen)	10,5 % (3 Kriterien) bzw. 10,0 % (5 Kriterien) der Alternativen wechseln die Front-Zugehörigkeit. Bei 5 Kriterien rücken 19,5 % der übrigen Alternativen in die Front ein.
Eine Alternative kommt hinzu oder fällt weg (3 Kriterien; 15 Alternativen vor dem Hinzufügen bzw. nach dem Entfernen)	Hinzufügen einer Alternative: Die Schichtenordnung kippt in 0,0 % der Matrizen, die Front verliert aber in 13,5 % der Matrizen ein Mitglied. Bei 5 hinzugefügten Alternativen kippt die Ordnung in 4,5 %, die Front verliert in 42 %. Entfernen: kippt nie.
Gilt die Sicherheit ohne Monotonie? (20 Alternativen, Zielwert-Kriterium)	Nein: Der Beste liegt bei 3 Kriterien nur in 83 % der Matrizen in der Front, bei 5 Kriterien in 98,5 %. Der höhere Wert bei 5 Kriterien passt dazu, dass das Zielwert-Kriterium dort im Mittel nur ein Fünftel des Gewichts ausmacht (Deutung, nicht gemessen).
Stimmt der Kern?	Front und Schichten sind gleich Definitionsschleifen in reinem Python (200 Instanzen mit Gleichständen) und gleich der Tiefe im Dominanz-Graphen (ebenfalls geprüft, auf weniger Instanzen). Die erwartete Front-Größe ist gleich der Aufzählung für \(n = 4\), \(\tau_b\) gleich einer Bibliotheksfassung. Die Erzeugung der Zufallszahlen ist gegen eine unabhängige Python-Fassung geprüft.

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

Was sie belegt: Die Aussage zur Front gilt für jede Instanz mit streng wachsendem Nutzen, sie ist bewiesen und nicht nur gemessen. Die Anteile, die Ordnung, das Rauschen und die Änderungen durch Hinzufügen oder Entfernen sind Mittelwerte über 200 feste Matrizen eines bestimmten Generators. Nur die Front-Größe und der Anteil vergleichbarer Paare bei unabhängigen stetigen Kriterien folgen der Rekursion bzw. der Formel \(2^{1-m}\).

Was sie nicht belegt:

• Alles ist simuliert. Der Generator ist eine Gauß-Copula mit Gleichkorrelation. Echte Kriterien haben Blockstruktur, Ausreißer und Ordinalskalen. Die Aussagen gelten für diesen Generator. Genannt sind Mittelwerte, die Streuung zwischen den Matrizen ist nicht angegeben.
• Der Entscheider ist eine Formel. Seine Gewichte sind gleichverteilt über dem Simplex gezogen; ein Mensch mit extremen oder inkonsistenten Gewichten fehlt. Die Ordnungsaussage hängt an dieser Verteilung. Der Maßstab Summe hat außerdem dieselbe Form wie der lineare Entscheider, nur mit gleichen statt verborgenen Gewichten, und rechnet kardinal mit den auf \([0, 1]\) gleichverteilten Güten. Die Schichten sind dagegen ordinal und unter Umskalierung unveränderlich. Der Vergleich begünstigt die Summe; das ist eine Deutung dieser Seite. Gemessen ist er nur für die lineare Form.
• „Unbesiegt“ ist keine Empfehlung. Eine große Front heißt nicht, dass die Entscheidung schwer wäre, nur dass die Dominanz nichts ausscheidet.
• Die Front ist unscharf. Schon geringes Rauschen verschiebt Mitglieder; \(\sigma = 0{,}05\) ist ein Zwanzigstel der Spannweite der Güte \([0, 1]\).
• Kleine Instanzen. Gemessen sind 20 Alternativen, das Experiment zur Front-Größe reicht bis 50. Bei einigen hundert Alternativen ändern sich die Absolutwerte. Die Front-Größe wächst höchstens in der Größenordnung \((\ln n)^{m-1}\), der Anteil sinkt also bei festem \(m\) mit \(n\): Bei 8 Kriterien sind es 94,5 % bei 20 Alternativen und 89 % bei 50. „Bei vielen Kriterien scheidet wenig aus“ hängt damit an \(n\).
• Keine Rangfolge aus Gewichten. Gewichtete Summe und Normierung sind nicht umgesetzt; als Maßstab dient nur die gleichgewichtete Summe.

Erweiterungen und Verweise

Was diese Demo auslässt, behandeln andere Demos dieser Website:

• Welche Unbesiegten bei irgendeiner linearen Gewichtung Sieger sein können (Konvexhülle): nicht Teil dieser Demo. Das Mehrkriterien-Routing erzeugt die Pareto-Front über Pfade (Fahrzeit und CO₂) und zeigt, welchen Teil der Front eine gewichtete Summe verfehlt.
• Evolutionäre Suche: Hier ist die Menge gegeben. Die NSGA-III-Demo misst NSGA-II gegen NSGA-III bei vier Zielen.
• Nicht umgesetzt: Hypervolumen und Referenzpunkte, unsichere Gewichte, Lernen aus Beispielurteilen und mehrere Entscheider. Der Entscheider ist hier ein einzelnes, verborgenes Orakel.

Quellen

• Bentley, J. L., Kung, H. T., Schkolnick, M., Thompson, C. D. (1978): On the Average Number of Maxima in a Set of Vectors and Applications. Journal of the ACM 25(4), 536–543.
• Barndorff-Nielsen, O., Sobel, M. (1966): On the Distribution of the Number of Admissible Points in a Vector Random Sample. Theory of Probability and its Applications 11(2), 249–269.
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/pareto-dominanz-demo.

Die beiden Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen. Die Demo nennt sie als bibliografisch geprüft, den Inhalt nur anhand der Zusammenfassung. Das Wohnungsbeispiel im ersten Teil ist erdacht und stammt nicht aus der Demo; die Herleitungen und das durchgerechnete Beispiel sind Rechnungen dieser Seite und keine Messungen.