Immortal Time verständlich erklärt

Ein Kühlcontainer wird erst gewartet, wenn ein Techniker Zeit hat. Zählt man ihn schon ab der Ankunft als gewartet, sieht eine Wartung schützend aus, die nichts bewirkt. Diese Seite erklärt den Grund, zwei Auswege und die Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Der Container, der auf den Techniker wartet

Stellen Sie sich einen Hafen vor, in dem Kühlcontainer ankommen. Bei jedem fällt irgendwann das Kühlaggregat aus; gezählt werden die Tage von der Ankunft bis dahin. Ein Techniker soll das Aggregat warten, aber erst, wenn er Zeit hat. Wer vorher ausfällt, wird nie gewartet.

Schützt die Wartung vor dem Ausfall? Man teilt die Container in „je gewartet“ und „nie gewartet“ und vergleicht, wie lange beide Gruppen durchhielten, jeweils ab der Ankunft.

Wer gewartet wurde, musste bis zur Wartung durchhalten

Ein Beispiel mit ausgedachten Tagen: Container A fällt am Tag 2 aus; der Techniker wäre erst am Tag 5 gekommen. A steht deshalb in der Gruppe „nie gewartet“. Container B wird am Tag 2 gewartet und fällt am Tag 9 aus. B steht in der Gruppe „gewartet“, und alle 9 Tage werden dieser Gruppe gutgeschrieben, auch die 2 Tage vor der Wartung.

Wer in die Gruppe „gewartet“ gelangen will, muss also bis zum Beginn der Wartung durchhalten. In der Wartezeit der gewarteten Gruppe kann darum nichts ausfallen: Diese Tage sind geschenkt, mit der Wartung haben sie nichts zu tun. Fachleute nennen das immortal time, unsterbliche Zeit. Der Name bezeichnet, so lesen wir ihn, die Rechnung, nicht die Container: Es wird nur so gezählt, als wären sie unverwundbar.

Was dabei herauskommt

Die Zahlen in diesem Teil stammen aus einer Demo, einem Programm zum Ausprobieren im Browser. Es rechnet mit einer ausgedachten Welt. In dieser Welt bewirkt die Wartung ausdrücklich nichts. Der Techniker kommt im Mittel nach 4 Tagen, und 62 % der Container zählen als gewartet. Trotzdem zeigt der Vergleich „gewartet gegen nie gewartet“ einen Schutz, der nur Schein ist, kurz Scheinschutz: Die Ausfallrate, also wie schnell Container ausfallen, scheint bei den gewarteten auf weniger als ein Drittel zu sinken.

Jeder Container wird in dieser Welt bis zum Ausfall beobachtet; die sonst nötige Annahme, dass vorzeitiges Ausscheiden aus der Beobachtung nichts mit dem Ausfall zu tun hat, wird hier nicht gebraucht.

Zwei Auswege

Erstens: ein Stichtag. Man wählt einen Tag, etwa Tag 2, und nimmt nur Container, die ihn erleben. Wer bis dahin gewartet wurde, zählt als „gewartet“, alle anderen als „nicht gewartet“, auch spätere Gewartete. Verglichen wird ab dem Stichtag. Fachleute nennen das eine Landmarke.

Wirkt die Wartung in der Demo nicht, zeigt der Stichtag keinen Schutz. Wirkt sie wirklich, findet er bei im Mittel 4 Tagen Wartezeit nur 38 % (Tag 2) beziehungsweise 40 % (Tag 4) der echten Wirkung, bei anderer Wartezeit einen anderen Anteil; das ist ein Ergebnis der Demo, kein Wert aus der Fachliteratur. Der Grund, so lesen wir es: Wer erst nach dem Stichtag gewartet wird, bleibt bei den „nicht gewartet“ und verwischt den Unterschied.

Zweitens: die Zeit aufteilen. Derselbe Container zählt erst als „nicht gewartet“, nach seiner Wartung als „gewartet“. Am Tag 1 zählen A und B aus unserem Beispiel beide als „nicht gewartet“; am Tag 3 ist A ausgefallen, und B zählt als „gewartet“. Fachleute nennen das zeitabhängige Auswertung.

In der Demo legt man die „wahre“ Wirkung der Wartung selbst fest. Diese Auswertung findet sie, ob die Wartung nichts bewirkt oder schützt. Bei echten Daten gilt das nur, wenn die Annahmen der Demo stimmen.

Wie lange der Techniker braucht

Man könnte erwarten, dass der Scheinschutz mit längerer Wartezeit wächst. Wirkt die Wartung nicht, zeigt die Demo das Gegenteil: Bei sehr schnellem Techniker (kürzeste untersuchte Wartezeit) ist er am größten, bei 16 Tagen im Mittel am kleinsten. Gemessen ist nur dieses Muster. Unsere Erklärung: Bei schnellem Techniker sind fast alle gewartet, und die wenigen anderen fielen vorher aus.

In der Demo entsteht kein Scheinschutz, wenn per Los bei der Ankunft feststeht, wer gewartet wird, unabhängig von der Lebenszeit (gemessen nur für diese Zuteilung ohne Wirkung der Wartung); wird nach dem Zustand gewartet, ist es etwas anderes.

Häufige Missverständnisse

• „Die Gewarteten halten länger durch, also hilft die Wartung.“ Der Schluss ist nicht gedeckt, wenn man die Gruppen erst im Rückblick bildet: Wer gewartet wurde, hat die Wartezeit überlebt.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Ein ausgedachtes Beispiel: Fahrzeuge bekommen erst nach einigen Monaten einen Wartungsvertrag, aber nur, wenn sie bis dahin gelaufen sind. Vergleicht man „mit Vertrag“ gegen „ohne Vertrag“ ab der Anschaffung, haben die Vertragsfahrzeuge die Monate bis zum Vertrag schon ohne Ausfall hinter sich. Der Vertrag kann besser aussehen, als er ist. Fragen Sie:

• Wird die Gruppe nach etwas gebildet, das erst nach dem Start der Beobachtung eintritt, etwa ein Vertrag oder der Beginn einer Behandlung?
• Zählt die Zeit vor diesem Ereignis schon zur Gruppe?
• Kann in dieser Zeit nach der Regel niemand ausfallen oder abspringen?

Bei Verdacht fragen Sie die auswertende Person, ab wann die Zeit zur Gruppe zählt und ob mit Stichtag oder aufgeteilter Zeit gerechnet wurde.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo ist eine ausgedachte Welt: Die Wartung beginnt, ohne auf den Zustand des Containers zu achten, und ihre Wirkung bleibt gleich, solange sie besteht. Holt der Techniker dagegen zuerst die schlechtesten Container, kommt ein weiterer Störfaktor hinzu; ob und wie stark ihn eine der drei Auswertungen beseitigt, hat die Demo nicht gemessen.

Was Sie mitnehmen

• Wer erst nach einer Wartezeit in eine Gruppe kommt, musste sie erleben; zählt man sie der Gruppe gut, sieht die Gruppe besser aus.
• Erkennungsmerkmal: Stand am Anfang des Vergleichs schon fest, in welche Gruppe ein Container gehört?

Selbst ausprobieren

In der Demo stellen Sie Wirkung, Wartezeit und Zahl der Container selbst ein.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Alle Zahlen der Befunde sind Eigenmessungen der Demo an einer ausgedachten Welt von Kühlcontainern, keine Literaturwerte; die Literaturzahlen unter „Quellen“ und das Durchgerechnete Beispiel sind gekennzeichnet. Es werden keine Zahlen aus echten Terminals behauptet.

• Lebenszeit und Beginn: Container \(i\) hat die Lebenszeit \(T_i\) (Tage bis zum Ausfall des Kühlaggregats, alle Ausfälle beobachtet) und den Behandlungsbeginn \(S_i\). Die Behandlung, hier eine Wartung, wirkt nur, wenn \(S_i < T_i\).
• Rate: \(h_0(t)\) bis \(S_i\), danach \(h_0(t)\,e^{\beta}\). \(\beta\) ist das wahre log-Hazard-Verhältnis (0 heißt keine Wirkung, positive Werte schaden; einstellbar von −1,0 bis +0,5). Die Grundrate \(h_0\) gehört zu einer Lognormalverteilung (Median 4 Tage, \(\sigma = 0{,}9\)) für die Lebenszeit ohne Behandlung.
• Behandlungsbeginn: \(S_i\) ist exponentialverteilt (Mittel einstellbar, Voreinstellung 4 Tage), unabhängig von der Lebenszeit, die der Container ohne Behandlung hätte (der Erzeuger zieht \(S_i\) und die Zufallszahl \(E_i\) der Formeln unten unabhängig voneinander), und vom Zustand des Containers. Fällt ein Container vorher aus, wird er nie behandelt.
• Konstante Wirkung, eine Behandlung: Ab dem Beginn gilt die Rate mal \(e^{\beta}\); einmal begonnen, bleibt die Behandlung bis zum Ausfall. Die Container sind unabhängig voneinander, es gibt keine unbeobachtete Anfälligkeit und keine weiteren Merkmale.
• Annahme „Zensierung unabhängig vom Ereignis“: In dieser Welt gibt es keine Zensierung, jeder Container wird bis zum Ausfall beobachtet. Die Annahme wird hier nicht gebraucht und nicht geprüft; mit Zensierung ist nichts gemessen.

Die Formeln

Ein Container fällt aus, sobald seine kumulierte Rate den Wert \(E_i \sim \mathrm{Exp}(1)\) erreicht. Mit der kumulierten Grundrate \(H_0\) folgt die Zeitumrechnung, die der Erzeuger der Demo benutzt:

\[H_0(T_i) = \begin{cases} E_i & E_i < H_0(S_i) \\ H_0(S_i) + \big(E_i - H_0(S_i)\big)\,e^{-\beta} & \text{sonst} \end{cases}\]

Ohne Wirkung (\(\beta = 0\)) ist \(H_0(T_i) = E_i\) in beiden Fällen: Die Lebenszeit hängt dann nicht an \(S_i\). Die Auswertung ist eine Cox-Regression mit einem 0/1-Merkmal, die partielle Likelihood (Breslow) und ihre Ableitung über die Ausfallzeiten \(t_{(k)}\) sind

\[\ell(\beta) = \sum_k \Big( \beta\, x_{(k)} - \ln \sum_{i \in R(t_{(k)})} e^{\beta\, x_i(t_{(k)})} \Big), \qquad U(\beta) = \sum_k \Big( x_{(k)} - \frac{\sum_{i \in R} x_i\, e^{\beta x_i}}{\sum_{i \in R} e^{\beta x_i}} \Big)\]

Dabei ist \(x_{(k)}\) der Status des ausfallenden Containers (1 = behandelt), \(x_i(t)\) der Status des Containers \(i\) zur Zeit \(t\) und \(R(t)\) die Risikomenge, also die Container, die zur Zeit \(t\) noch da sind. \(\hat\beta\) löst \(U(\hat\beta) = 0\) (Newton-Verfahren); der Standardfehler ist \(1/\sqrt{I(\hat\beta)}\) mit der beobachteten Information \(I\). Die drei Auswertungen unterscheiden sich nur in den Zeilen und im Status:

• naiv: eine Zeile \((0, T_i]\) je Container, Status \(x_i = \mathbf 1[S_i < T_i]\) für die ganze Zeit;
• Landmarke \(\tau\): nur Container mit \(T_i > \tau\), Zeile \((\tau, T_i]\), Status \(x_i = \mathbf 1[S_i \le \tau]\); spätere Behandlungen bleiben unbeachtet;
• zeitabhängig: Zeile \((0, S_i]\) mit \(x = 0\) ohne Ausfall und Zeile \((S_i, T_i]\) mit \(x = 1\) mit Ausfall, wenn \(S_i < T_i\); sonst eine Zeile \((0, T_i]\) mit \(x = 0\) und Ausfall.

Herleitung Schritt für Schritt

Dieser Block ist eine Überlegung dieser Seite, keine Messung; die Zahlen stehen im Abschnitt „Befunde“.

• Schritt 1, ohne Wirkung ist die Lebenszeit unabhängig vom Beginn. Für \(\beta = 0\) liefert die Zeitumrechnung in beiden Fällen \(H_0(T_i) = E_i\). Jede Abhängigkeit zwischen \(T_i\) und \(S_i\), die eine Auswertung findet, ist dann ein Fehler der Auswertung.
• Schritt 2, warum die naive Einteilung einen Schutz zeigt. Der naive Status \(x_i = \mathbf 1[S_i < T_i]\) benutzt \(T_i\), also die Zukunft. Von Tag 0 bis \(S_i\) steht der Container auf „behandelt“, obwohl er noch unbehandelt ist, und kann dort nicht ausfallen, weil \(T_i > S_i\) die Voraussetzung für Status 1 ist. Diese Person-Zeit enthält durch die Einteilung selbst kein Ereignis. An einer Ausfallzeit \(t\) hat der ausfallende Container nur dann Status 1, wenn \(S_i < t\). In der Risikomenge zählt dagegen auch jeder Container mit \(t \le S_j < T_j\) als „behandelt“, obwohl er noch nicht behandelt ist. Unter den Ausfällen ist der Anteil „behandelt“ deshalb kleiner als in der Risikomenge, und \(U(0)\) ist negativ; weil \(\ell\) konkav ist, liegt \(\hat\beta\) unter 0, obwohl \(\beta = 0\). Das Vorzeichen folgt aus dieser Überlegung, die Größe nur aus der Messung.
• Schritt 3, die Landmarke. Der Status wird bei \(\tau\) festgehalten, bevor die Risikomenge beginnt: Container mit \(T_i \le \tau\) fallen heraus, und keine Person-Zeit trägt einen Status, der von der Zukunft abhängt. Der Preis ist ein Verlust an Containern und eine andere Zielgröße (nur wer \(\tau\) erlebt, bedingt auf den Status bei \(\tau\)). Wer erst nach \(\tau\) behandelt wird, bleibt in der Vergleichsgruppe; unsere Lesart („Verdünnung“) ist, dass das den gefundenen Betrag der Wirkung mindert. Die Messung stützt diese Lesart: Eine Variante, die später Behandelte bei ihrem Beginn zensiert, findet die Wirkung (Abschnitt „Befunde“).
• Schritt 4, die zeitabhängige Auswertung. Mit \(x_i(t) = \mathbf 1[t \ge S_i]\) hängt der Status zur Zeit \(t\) nur von der Vergangenheit ab. In dieser Welt ist die Rate des Containers \(i\) zur Zeit \(t\) genau \(h_0(t)\,e^{\beta\,x_i(t)}\), und die partielle Likelihood vergleicht in jedem Ausfallzeitpunkt die dann noch vorhandenen Container nach ihrem Status zu diesem Zeitpunkt. Das genügt in dieser Welt, weil der Beginn nicht auf den Zustand des Containers achtet. Wird nach einem Zustand begonnen, der auch die Ausfallrate bestimmt und nicht im Modell steht, kommt ein Störfaktor hinzu; das hat die Demo nicht gemessen.

Durchgerechnetes Beispiel

Sechs ausgedachte Container mit Lebenszeit \(T\) und Behandlungsbeginn \(S\) (ein Strich heißt: nie behandelt). Die Landmarke ist \(\tau = 3{,}5\):

Container	T	S	naiv	Landmarke 3,5
1	2	1	behandelt	fällt heraus (T ≤ τ)
2	3	5	nicht behandelt	fällt heraus (T ≤ τ)
3	4	2,5	behandelt	bleibt, behandelt (S ≤ τ)
4	6	–	nicht behandelt	bleibt, nicht behandelt
5	8	7	behandelt	bleibt, nicht behandelt (S > τ)
6	10	3	behandelt	bleibt, behandelt (S ≤ τ)

Naiv sind die Container 1, 3, 5 und 6 behandelt: Das Mittel ihrer Lebenszeit ist 6,0, das der unbehandelten (2 und 4) 4,5. Mit der Landmarke 3,5 bleiben die Container 3, 4, 5 und 6; behandelt sind 3 und 6 mit dem Mittel 7,0, unbehandelt 4 und 5 mit ebenfalls 7,0. Dieselben sechs Container ergeben also naiv einen Vorsprung der Behandelten und mit der Landmarke keinen (Rechnung dieser Seite aus den Angaben der Demo; die Mittel nennt die Dokumentation der Demo). Sechs Container sagen nichts über eine Welt; das Beispiel zeigt nur, wie die Einteilung rechnet.

Befunde

Welt, wenn nichts anderes steht: Lebenszeit lognormal (Median 4 Tage, \(\sigma = 0{,}9\)), Behandlungsbeginn Exp (Mittel 4 Tage), 1000 Container, Zufalls-Seed 35, 200 Läufe, keine Zensierung. \(\hat\beta\) ist das Mittel über die Läufe ± Standardfehler des Mittels. „Überdeckung“ ist der Anteil der Läufe, in denen \(\hat\beta\) ± 1,96·Standardfehler (Modell) den wahren Wert \(\beta\) der Welt enthält. „Bleiben“ ist die mittlere Zahl verbleibender Container der Landmarke, erst bei \(\beta = 0\), dann bei \(\beta\) = −0,5.

Auswertung	Wahrheit β = 0: β̂ (Mittel ± Standardfehler)	Überdeckung	Wahrheit β = −0,5: β̂	Überdeckung
naiv (je behandelt, ab Tag 0)	−1,278 ± 0,006	0 %	−1,720 ± 0,006	0 %
Landmarke Tag 2 (bleiben: 779 / 801)	0,005 ± 0,005	97 %	−0,190 ± 0,005	0 %
Landmarke Tag 4 (bleiben: 500 / 567)	−0,010 ± 0,007	95 %	−0,201 ± 0,007	10 %
zeitabhängig (aufgeteilte Person-Zeit)	−0,006 ± 0,005	97 %	−0,507 ± 0,005	96 %

Naiv entspricht \(\hat\beta\) = −1,278 ± 0,006 einem Hazard-Verhältnis von 0,28 ohne Wirkung; mit Wirkung \(\beta\) = −0,5 ist es −1,720 ± 0,006 (Hazard-Verhältnis 0,18). Das Intervall enthält die Wahrheit in keinem der 200 Läufe. Die Landmarke findet ohne Wirkung 0,005 ± 0,005 (Tag 2) und −0,010 ± 0,007 (Tag 4), jeweils innerhalb von 2 Standardfehlern des Mittels von 0. Mit Wirkung (Wahrheit β = −0,5, Wartezeit 4 Tage) findet sie nur einen Teil: 38 % bzw. 40 % der Wirkung (\(\hat\beta\) geteilt durch \(\beta\), Verhältnis der Mittel; Eigenmessung). Die zeitabhängige Auswertung findet −0,006 ± 0,005 ohne und −0,507 ± 0,005 mit Wirkung (Wahrheit −0,5). Die Landmarke schätzt streng genommen eine andere Größe als \(\beta\) (siehe Grenzen); die Überdeckung gegen \(\beta\) ist deshalb nur ein Maß für den Abstand.

Reihe über die mittlere Wartezeit, Wahrheit β = 0 (100 Läufe je Wartezeit, 1000 Container, Zufalls-Seed 35; „behandelt“ ist der Anteil der Container mit Behandlungsbeginn vor dem Ausfall):

Mittlere Wartezeit (Tage)	behandelt (naiv)	naiv β̂	Landmarke Tag 2: β̂ (bleiben)	Landmarke Tag 4: β̂ (bleiben)	zeitabhängig β̂
0,5	97 %	−2,75	−0,01 (778)	−0,53 (501), 83 Läufe ohne Ergebnis	−0,01
1,0	91 %	−2,09	0,01 (778)	−0,03 (501)	−0,01
2,0	79 %	−1,59	0,00 (778)	0,00 (501)	−0,02
4,0	62 %	−1,28	0,01 (778)	−0,01 (501)	−0,01
8,0	43 %	−1,06	0,01 (778)	0,00 (501)	0,00
16,0	27 %	−0,93	0,00 (778)	0,00 (501)	−0,01

Dieselbe Reihe, Wahrheit β = −0,5 (gleiche Voraussetzungen):

Mittlere Wartezeit (Tage)	behandelt (naiv)	naiv β̂	Landmarke Tag 2: β̂ (bleiben)	Landmarke Tag 4: β̂ (bleiben)	zeitabhängig β̂
0,5	97 %	−3,23	−0,05 (850)	−0,71 (649), 83 Läufe ohne Ergebnis	−0,51
1,0	91 %	−2,56	−0,07 (834)	−0,11 (633)	−0,51
2,0	79 %	−2,06	−0,13 (816)	−0,13 (602)	−0,52
4,0	62 %	−1,73	−0,19 (800)	−0,20 (568)	−0,51
8,0	43 %	−1,48	−0,26 (790)	−0,26 (540)	−0,50
16,0	27 %	−1,31	−0,33 (784)	−0,33 (522)	−0,51

Das naive \(\hat\beta\) verschwindet bei keiner der sechs Wartezeiten. Bei Wahrheit β = 0 ist die Scheinwirkung bei der kürzesten gemessenen Wartezeit (0,5 Tage) am größten; bei noch kürzerer Wartezeit sind fast alle Container behandelt, und die Auswertung hat in einem Teil der Läufe kein Ergebnis (nur in einem Test der Demo mit noch kürzerer Wartezeit angesehen, unterhalb dessen, was sich einstellen lässt). Die Lesart (Deutung, nicht gemessen): Bei kurzer Wartezeit zählen fast alle Container als behandelt, und die wenigen unbehandelten sind genau die, die vor ihrem Beginn ausfallen. Dass die Verzerrung mit der Wartezeit wächst, zeigt die Messung nicht; gemessen ist das Gegenteil. Bei Wartezeit 0,5 Tage hat die Landmarke Tag 4 in 83 von 100 Läufen kein Ergebnis (perfekte Trennung: fast alle Container sind bis dahin behandelt); die Zahl in der Tabelle mittelt dann nur 17 Läufe und ist entsprechend unsicher.

Frage	Befund
Wie hängt der Verlust der Landmarke von τ ab? (β = −0,5, Wartezeit 4 Tage, 200 Läufe)	Über alle 16 Landmarken von τ = 0,5 bis 8 Tage liegt das mittlere β̂ nur zwischen −0,201 und −0,166; die Streuung zwischen den Läufen liegt bis τ = 3,5 bei 0,07 bis 0,09 und wächst danach bis 0,21, die Zahl der verbleibenden Container fällt von 990 auf 324, die Überdeckung liegt bis τ = 3,5 zwischen 0 % und 6 % und steigt danach auf 56 %. Der Verlust hängt in dieser Welt kaum an τ, aber an der Wartezeit (siehe Reihe oben).
Ist die Deutung „Verdünnung“ geprüft? (200 Läufe, Wahrheit −0,5)	Zensiert man die bei τ noch Unbehandelten, die später behandelt werden, bei ihrem Beginn, findet die Landmarke die Wirkung: Tag 2 −0,501 ± 0,007, Tag 4 −0,509 ± 0,009 (Eigenmessung).
Wie gut deckt das Intervall die Wahrheit? (β = −0,5)	Das 95-%-Intervall der Landmarke enthält die Wahrheit in 0 % (Tag 2) und 10 % (Tag 4) der Läufe, das der zeitabhängigen Auswertung in 96 % (Eigenmessung; die Landmarke schätzt eine andere Größe).
Und bei schädlicher Behandlung? (β = +0,5)	Naiv −0,866 ± 0,006 (scheinbarer Schutz), Landmarke Tag 2 0,283 ± 0,005, Tag 4 0,261 ± 0,007, zeitabhängig 0,496 ± 0,005.
Wie stabil sind die Zahlen über Zufalls-Seeds? (6 Zufalls-Seeds, je 200 Läufe)	Das naive β̂ liegt bei β = 0 zwischen −1,279 und −1,269, die Landmarke Tag 2 bei β = −0,5 zwischen −0,197 und −0,186, die zeitabhängige Auswertung bei β = −0,5 zwischen −0,512 und −0,491.
Wie hängt es von der Zahl der Container ab? (β = −0,5, Wartezeit 4 Tage)	Bei n = 200 ist das naive β̂ −1,729 ± 0,014, bei n = 2000 −1,713 ± 0,004; die Überdeckung der zeitabhängigen Auswertung liegt bei 94 % (n = 200) und 96 % (n = 500, 1000, 2000).
Entsteht der Schein auch ohne Wartezeit? (Vorab-Zuteilung)	Wird die Hälfte der Container zufällig am Tag 0 behandelt, unabhängig von der Lebenszeit, ohne Wirkung (n = 1000, 200 Läufe), findet die naive Auswertung −0,001 ± 0,004: Wo der Status am Beginn der Nachbeobachtung zufällig und unabhängig von der Lebenszeit feststeht, entsteht keine Scheinwirkung (gemessen für diese Zuteilung).

Was die Messung zeigt und was nicht

• Belegt, in dieser Welt: Die naive Einteilung zeigt einen Schutz, obwohl die Wirkung null ist; Landmarke und zeitabhängige Auswertung liegen dort bei 0. Mit Wirkung (β = −0,5, Wartezeit 4 Tage) trifft die zeitabhängige Auswertung die Wahrheit, die Landmarke findet 38 % bzw. 40 % der Wirkung (bei anderer Wartezeit einen anderen Anteil). Die Deutung „Verdünnung“ wird durch eine Variante gestützt (Eigenmessung).
• Belegt nicht: eine Behandlung nach dem Zustand des Containers. Dann kommt ein Störfaktor hinzu; er ist nicht gemessen, und ob eine der drei Auswertungen ihn beseitigt, ebenfalls nicht. Ebenfalls nicht gemessen: andere Formen der Wirkung oder der Grundrate, andere Verteilungen der Wartezeit als die Exponentialverteilung, Zensierung, unbeobachtete Anfälligkeit, mehrere oder abgebrochene Behandlungen.
• Belegt nicht: dass die Wartezeit-Lesart („die Unbehandelten sind die frühen Ausfälle“) stimmt; gemessen ist nur das Muster der Zahlen.
• Die Landmarke schätzt eine andere Größe als \(\beta\). Sie vergleicht „bis \(\tau\) behandelt“ mit „bis \(\tau\) nicht behandelt“ unter den Überlebenden bis \(\tau\). Ein Abstand zu \(\beta\) ist deshalb kein Fehler der Rechnung allein; die Überdeckung gegen \(\beta\) misst nur den Abstand, sie testet die Landmarke nicht gegen ihre eigene Zielgröße.
• Wahl der Landmarke: Gemessen sind zwei Landmarken (Tag 2 und Tag 4) und eine Reihe über 16 Tage; wie man \(\tau\) wählt, zeigt die Demo nicht.
• Streuung der Messung: Die Reihe über die Wartezeit mittelt je Wartezeit nur 100 statt 200 Läufe, der Standardfehler ist dort größer. Läufe ohne Ergebnis (perfekte Trennung) gehen nicht in das Mittel ein.
• Eigener Code: Die Cox-Anpassung (Breslow) ist eigener Code, geprüft gegen unabhängige Rechenwege (eine Schleifen-Cox mit Nullstellensuche, die kopierte Anpassung), nicht gegen ein Fremdpaket wie lifelines oder statsmodels.

Quellen und offene Fragen

Die beiden gelesenen Quellen betrachten Verschiedenes: Die eine vergleicht Auswertungsverfahren in Simulationen, die andere beschreibt, wie Immortal Time entsteht. Welches Verfahren vorzuziehen ist, entscheidet diese Seite nicht. Wang u. a. halten die Wahl der Landmarke für schwierig und subjektiv und die zeitabhängige Modellierung für den Goldstandard, wenn sie sauber ausgeführt wird. Hernán u. a. nennen im Abstract die Zielstudien-Emulation als Vorbeugung; ihre Aussagen zur Landmarke konnten nicht gelesen werden.

• Wang, Peduzzi, Wininger und Ma: Statistical Methods for Accommodating Immortal Time: A Selective Review and Comparison, arXiv:2202.02369. Lesestufe: im Volltext gelesen. Die Landmarke bedingt auf den Status bei \(\tau\) und verliert Zielpopulation und Präzision; die Wahl ist schwierig und subjektiv; ohne die Annahmen einer gültigen Karenzzeit sei sie eher beschreibend als kausal (sinngemäß); die zeitabhängige Modellierung gilt als Goldstandard. In ihrer Simulation (n = 5 000, wahres log-Hazard-Verhältnis +0,5, Landmarken 3, 6, 9 Monate) haben alle Verfahren mit neu gesetztem Nullpunkt negativen Bias, die Landmarke am wenigsten (etwa −0,05 bis −0,17); die Überdeckung der Intervalle liegt bei der Landmarke oft nur bei 57 bis 93 %. Das stützt die Richtung der Eigenmessung (die Landmarke mindert die Verzerrung, unterschätzt aber den Betrag der echten Wirkung), nicht die Größe: −0,19 statt −0,50 ist Eigenmessung in einer anderen Welt und kein Literaturwert.
• Hernán, Sterne, Higgins, Shrier und Hernández-Díaz: A structural description of biases that generate immortal time, Epidemiology (online 4. 11. 2024, DOI 10.1097/EDE.0000000000001808). Lesestufe: nur der Abstract gelesen. Immortal Time entsteht demnach durch Auswahl nach Kriterien, die erst nach der Zuteilung gelten, oder durch Fehlklassifikation; Zielstudien-Emulation verhindert das. Aussagen zur Landmarke im Volltext konnten nicht gelesen werden.
• Zielstudien-Emulation (Klonen, Zensieren, Gewichten) als weiterer Weg, den Hernán u. a. im Abstract als Vorbeugung nennen: Lesestufe: nur Suchtreffer, nicht gelesen.
• Zum Namen (eigene Lesart): „Immortal Time“ beschreibt die Auswertung, nicht die Container: Sie sind in dieser Zeit sterblich, es zählt nur so, als wären sie es nicht. Dass jemand den Namen „irreführend“ nennt, steht im gelesenen Abstract nicht (im Volltext nicht geprüft); der Mechanismus ist real und in der Demo gemessen.

Erweiterungen und Verweise

• Der Aufhänger Containerverweilzeit ist derselbe wie in der Verweilzeit-Demo, dort ohne Behandlung und ohne Zensierung.
• Die Kante in der Linie führt von der Cox-Regression zu einem Merkmal, dessen Wert sich im Lauf der Zeit ändert.
• Bewusst nicht umgesetzt: die Zielstudien-Emulation (Klonen, Zensieren, Gewichten) und Verfahren mit Karenzzeit, eine Behandlung nach dem Zustand des Containers, Zensierung und unbeobachtete Anfälligkeit, mehrere oder abgebrochene Behandlungen, eine zeitlich veränderliche Wirkung, eine automatische Wahl der Landmarke und der Vergleich der Cox-Anpassung mit einem Fremdpaket.

Die beiden Arbeiten sind so wiedergegeben, wie sie in der Dokumentation der Demo mit ihrer Lesestufe stehen; Wang u. a. wurden im Volltext gelesen, Hernán u. a. nur im Abstract. Die Herleitung und das Durchgerechnete Beispiel sind Überlegungen und Rechnungen dieser Seite aus den Angaben der Demo, keine Messungen.