Die Croston-Prognose verständlich erklärt

Ein Laden führt ein Ersatzteil, das an den meisten Tagen niemand kauft. Wenn doch, dann gleich mehrere Stück. Wie viele sollte er vorrätig haben? Diese Seite zeigt, warum das schwer zu schätzen ist und worauf man dabei achten muss.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Ersatzteil, das selten gekauft wird

Stellen Sie sich eine kleine Eisenwarenhandlung vor. Sie führt eine Spezialdichtung für einen alten Wasserhahn. An den meisten Tagen kauft sie niemand. Dann kommt ein Handwerker und nimmt gleich drei Stück mit.

Der Großhändler liefert erst nach einer Woche. Die Inhaberin muss also vorher wissen, wie viele Dichtungen in dieser Lieferzeit gebraucht werden (Fachwort: Wiederbeschaffungszeit). Zu wenige heißt: Kunden gehen leer aus. Zu viele heißt: Das Geld liegt im Regal.

Dafür braucht sie eine Prognose, eine begründete Schätzung der künftigen Nachfrage. Sie schätzt zuerst, wie viele Dichtungen im Durchschnitt pro Tag gefragt sind. Das ist die Tagesschätzung. Die Tagesschätzung mal die Zahl der Tage der Lieferzeit ergibt die Prognose für die ganze Lieferzeit.

Woher die Zahlen stammen

Die Zahlen auf dieser Seite stammen aus einem Programm zum Ausprobieren im Browser, kurz Demo. Es erzeugt Lagerartikel mit drei Jahren Verkäufen und prüft daran mehrere Prognoseverfahren. Das ist ein vereinfachtes Rechenbild (Fachwort: Modell).

Sie brauchen die Demo zum Verstehen nicht. Der erste Knopf unten öffnet sie, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Alle Aussagen beschreiben die erzeugten Artikel, nicht die Wirklichkeit.

Erster Versuch: eine Zahl mit Gedächtnis

Die Inhaberin führt als Tagesschätzung eine einzige Zahl. Jeden Abend schiebt sie die Zahl ein Stück in Richtung der heutigen Verkäufe. Das heißt einfache Glättung. Wie groß das Stück ist, bestimmt das Lerntempo (Fachwort: Glättungsparameter).

Bei seltener Nachfrage taugt das schlecht. Nach dem Dreierkauf springt die Zahl hoch. An den leeren Tagen danach sinkt sie wieder. Kurz nach einem Kauf ist sie also zu hoch, vor dem nächsten zu niedrig.

Je höher das Lerntempo, desto mehr zählt der einzelne Tag und desto stärker zackt die Zahl.

Zwei Zettel statt einer: das Verfahren von Croston

Das Verfahren von Croston führt zwei Zettel. Auf dem ersten steht, wie groß ein Kauf typischerweise ist. Auf dem zweiten steht, wie viele Tage typischerweise zwischen zwei Käufen liegen. Beide Zettel ändern sich nur an Kauftagen.

Die Tagesschätzung ist die Größe geteilt durch den Abstand. Kaufen Kunden im Schnitt drei Stück alle sechs Tage, ergibt das jeden zweiten Tag ein Stück. Zwischen zwei Käufen bleibt die Schätzung stehen, denn es gab nichts Neues zu notieren.

Die erste Falle: Croston schätzt zu hoch

Nehmen wir ein Beispiel. Ein Artikel wird abwechselnd nach zwei und nach sechs Tagen wieder gekauft. Im Schnitt ist das ein Kauf alle vier Tage, also anderthalb Käufe in sechs Tagen. Das wäre die richtige Schätzung.

Croston teilt durch den Abstand auf seinem Zettel. Steht dort zwei Tage, ergibt das drei Käufe in sechs Tagen, anderthalb zu viel. Steht dort sechs Tage, ergibt es einen Kauf, nur einen halben zu wenig. Im Mittel beider Zettel ergibt das zwei Käufe in sechs Tagen. Das ist zu viel, denn durch einen kleinen Abstand zu teilen schlägt stärker aus als durch einen großen.

Weil der geschätzte Abstand in Wirklichkeit schwankt, schätzt Croston im Mittel zu viel. Gemessen lag es bei sehr seltenem Bedarf und hohem Lerntempo bis zu 17 % der mittleren Nachfrage zu hoch. Eine Korrektur zieht dafür von Crostons Schätzung einen festen Abschlag ab (Fachname: SBA).

Die zweite Falle: der Artikel, den niemand mehr kauft

Läuft ein Artikel aus, kauft ihn irgendwann niemand mehr. Croston merkt das nicht. Seine Zettel ändern sich nur an Kauftagen, und die kommen nicht mehr. Solange kein Kauf kommt, bleibt die Tagesschätzung auf dem letzten Stand.

Eine Abwandlung (Fachname: TSB) lässt den Abstandszettel weg. Stattdessen führt es die Wahrscheinlichkeit, dass heute gekauft wird. Die Tagesschätzung ist die typische Kaufmenge mal diese Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit wird jeden Tag angepasst, auch an leeren Tagen. Jeder leere Tag drückt sie nach unten, denn er spricht gegen weiteren Bedarf.

Die Messung betrachtete Artikel, die gerade ausliefen. Gegen Ende schätzte Croston dort 53 Mal so viel, wie noch gekauft wurde. Die einfache Glättung und TSB lagen nur wenig über der tatsächlichen Nachfrage. Bei Artikeln mit gleichbleibender Nachfrage war Croston dagegen besser als die einfache Glättung.

Woran man misst: die Falle der Null

Die dritte Falle liegt im Fehlermaß. Es beantwortet die Frage: Wie weit liegt die Vorhersage im Schnitt daneben, ob zu hoch oder zu niedrig? Nach diesem Maß kann die Prognose „es wird nichts gebraucht“ gut abschneiden. Bei einem Tag Lieferzeit hatte sie in der Messung den kleinsten Fehler. Sie schlug sogar eine Vergleichsprognose, die den tatsächlichen Durchschnitt der erzeugten Nachfrage kennt.

Der Grund: An den meisten Tagen wird nichts gekauft. Dort trifft die Null genau. Der Durchschnitt liegt dagegen an jedem Tag etwas daneben, zum Beispiel bei einem halben Stück pro Tag. Gekauft werden aber nur null oder ganze Stücke, nie ein halbes.

Brauchbar ist die Null deshalb nicht. Sie sagt für die ganze Lieferzeit nichts voraus und läuft in jeden Engpass. Je länger die Lieferzeit, desto eher fällt in ihr doch ein Kauf. Bei 28 Tagen war ihr Fehler mehr als dreimal so hoch wie der der Prognose mit dem tatsächlichen Durchschnitt.

Braucht man das Spezialverfahren?

Bei einem festen Lerntempo, das für alle Artikel gleich und nicht sehr klein ist, ja: SBA machte in der Messung weniger Fehler als die einfache Glättung. Bei sehr kleinem Tempo gab es keinen Unterschied. Wählt man das Tempo je Artikel aus vergangenen Daten, sind einfache Glättung, SBA und TSB praktisch gleich gut.

Die einfache Glättung wählte dann im Mittel ein sehr niedriges Tempo, nahe am kleinsten zur Wahl stehenden Wert. Bei seltenen Käufen ist niedriges Tempo sinnvoll, denn dann zählt ein einzelner Kauf wenig. Das legt nahe: Der Vorsprung kam großteils daher, dass die einfache Glättung zu schnell lernte.

Häufige Missverständnisse

• „SBA macht Croston richtig.“ Nicht ganz. Der Abschlag ist fest, der Fehler von Croston hängt aber davon ab, wie oft gekauft wird. Bei häufigem Bedarf zog SBA in der Messung zu viel ab und lag zu niedrig.
• „Die Tagesschätzung sagt, wie viel ich bestellen muss.“ Nein. Sie ist ein Durchschnitt. Wer nie ausverkauft sein will, braucht zusätzlich einen Puffer. Die Verfahren liefern nur die eine Zahl, nicht, wie stark die Nachfrage schwankt.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Eine Zahlenreihe besteht überwiegend aus Nullen, etwa die Käufe eines Ersatzteils. Dann sagt der Fehler an einem einzelnen Tag wenig. Fragen Sie nach der Menge in der ganzen Lieferzeit.
• Etwas wird seit Langem nicht mehr gebraucht, aber die Planung rechnet weiter damit. Dann lernt die Schätzung nur an Tagen mit Bedarf und merkt das Ende nicht.
• Die Abstände zwischen zwei Käufen schwanken stark, mal zwei Tage, mal Wochen. Dann ist jede Schätzung aus Abständen unsicher, weil schon ein langer Abstand sie verschiebt.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Die Artikel sind erzeugt: Käufe fallen zufällig, Mengen schwanken, manche Artikel laufen aus. Echte Läden sind unordentlicher, etwa durch Aktionen oder Jahreszeiten. Was Sie mitnehmen:

• Fragen Sie bei jeder Schätzung, was am Ende zählt: die Menge in der ganzen Lieferzeit, nicht der einzelne Tag.
• Fragen Sie, ob die Schätzung auch an Tagen ohne Kauf dazulernt. Sonst glaubt sie weiter an einen Bedarf, der vielleicht erloschen ist.
• Prüfen Sie vor dem Spezialverfahren, ob die einfache Methode ein vernünftiges Lerntempo hat.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt das Messmodell der Demo und die Prognoseverfahren für sporadische Nachfrage; die Herleitungen weiter unten sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo.

• Portfolio: Artikel \(i\) mit 1 095 Tagen (drei Jahre); die Prognoseursprünge liegen im letzten Jahr, ab Tag 730. Am Tag \(t\) fällt Bedarf mit der Wahrscheinlichkeit \(\pi_i(t) = \pi_i\,e^{W_i(t)}\,\delta_i(t)\) an. \(W_i\) ist eine Irrfahrt, deren Schritt der Einstellung „Drift“ entspricht, und \(\delta_i\) das Auslaufen: \(e^{-(t-t_0)/60}\) nach einem Tag \(t_0\) um den Beginn des Testjahres (nur bei auslaufenden Artikeln, sonst 1). Die Menge an einem Bedarfstag ist ganzzahlig, mindestens 1 und log-normal mit Mittel \(m_i\) und Variationskoeffizient CV. Die Artikel streuen log-normal um die eingestellten Werte für Bedarfshäufigkeit und Menge. Ein Prognoseursprung ist der Tag, an dem eine Prognose erstellt wird.
• Ausgangswerte: 200 Artikel, Bedarfshäufigkeit als Reglerwert an etwa jedem siebten Tag (Median der Artikel; im Testjahr hat ein Artikel wegen der Streuung und der Drift im Mittel an rund jedem fünften Tag Bedarf), mittlere Menge 5, CV 0,6, Drift 0,02, kein Auslaufen, \(\alpha = 0{,}1\), Wiederbeschaffungszeit \(h = 7\) Tage.
• Orakel: eine Vergleichsprognose, die die wahren Erwartungswerte kennt. Der Erwartungswert je Tag ist \(\mu_i(t) = \pi_i(t)\,\mathbb{E}[\mathrm{Menge}_i]\). Rundung und Mindestmaß 1 heben \(\mathbb{E}[\mathrm{Menge}_i]\) über \(m_i\) (bei Mittel 5 und CV 0,6 um weniger als 0,1 %, bei Mittel 1 und CV 1,5 um 40 %); die Demo rechnet ihn exakt aus.
• Verfahren: naiv (letzter Tag), Null, Mittel der Historie, einfache Glättung, Croston, SBA und TSB; dazu für einfache Glättung, SBA und TSB je eine Variante mit je Artikel gewähltem \(\alpha\) (nicht für Croston). Die Anfangswerte kommen aus den ersten 180 Tagen. Alle Verfahren sind deterministisch; trainiert wird nur die Wahl von \(\alpha\).
• Messreihen: sechs feste Zufallsportfolios mit je 200 Artikeln; Fehlerbalken sind Standardfehler über die sechs Portfolios.

Die Formeln

Jedes Verfahren liefert am Tag \(t\) eine Rate \(\hat r_t\), die erwartete Nachfrage je Tag, gebildet nur aus den Tagen vor \(t\). In den Aktualisierungen steht \(y\) für den Bedarf des gerade beobachteten Tages. Die einfache Glättung schreibt ein Niveau \(\ell\) fort: Es sinkt an Nulltagen und springt an einem Bedarfstag, bei großem \(\alpha\) kräftig.

\[\ell_t = \ell_{t-1} + \alpha\,(y_{t-1} - \ell_{t-1})\]

Croston führt zwei Schätzer, die nur an Bedarfstagen angepasst werden: die geglättete Menge \(z\) und den geglätteten Abstand \(p\) zwischen zwei Bedarfstagen in Tagen. \(q\) ist der Abstand in Tagen zum vorigen Bedarf, gezählt bis einschließlich des aktuellen Tages; nach der Aktualisierung an einem Bedarfstag wird \(q\) auf 1 gesetzt und zählt an Nulltagen weiter. An Nulltagen bleiben \(z\) und \(p\) unverändert.

\[z \leftarrow z + \alpha\,(y - z)\]

\[p \leftarrow p + \alpha\,(q - p)\]

\[\hat r = z/p\]

SBA (Syntetos-Boylan-Näherung) multipliziert Crostons Rate mit \(1 - \alpha/2\), um dessen Überschätzung auszugleichen:

\[\hat r = (1 - \alpha/2)\,z/p\]

TSB glättet statt des Abstands die Bedarfswahrscheinlichkeit \(d\) in jedem Tag, auch an Nulltagen (\(\mathbb 1[y > 0]\) ist 1 an Bedarfstagen, sonst 0), und die Menge \(z\) nur an Bedarfstagen. Die Demo setzt \(\beta = \alpha\).

\[d \leftarrow d + \beta\,(\mathbb 1[y > 0] - d)\]

\[\hat r = d\,z\]

Anfangswerte aus den ersten 180 Tagen: \(z\) ist die mittlere Menge, \(p\) der mittlere Abstand, \(d = 1/p\) und \(\ell\) das Tagesmittel. Das je Artikel gewählte \(\alpha\) stammt aus \(\{0{,}01; 0{,}02; 0{,}05; 0{,}1; 0{,}2; 0{,}3\}\) und minimiert den mittleren quadrierten Ein-Schritt-Fehler (Rate gegen Tagesnachfrage) auf den Trainingstagen, das sind die Tage nach den ersten 180 bis zum Beginn des Testjahres (Tag 730). Geprüft wird die Nachfrage in der Wiederbeschaffungszeit \(h\): die Summe der nächsten \(h\) Tage gegen \(h\) mal die Rate.

\[\hat S_t = h\,\hat r_t\]

\[S_t = \sum_{j=0}^{h-1} y_{t+j}\]

Kennzahlen sind der mittlere absolute Fehler MAE und die Wurzel des mittleren quadrierten Fehlers RMSE (beide in Stück), die Verzerrung (mittlerer Fehler Prognose minus Ist, in Prozent der mittleren Nachfrage; positiv heißt Überschätzung) und der skalierte Fehler RMSSE. Dessen Skala \(s_i\) ist die Wurzel des mittleren quadrierten Fehlers der Prognose „die vorige Wiederbeschaffungszeit wiederholt sich“ auf den Trainingstagen, mindestens 1 Stück. \(\mathrm{MSE}_i\) ist der mittlere quadrierte Fehler des Artikels \(i\), \(n\) die Zahl der Artikel:

\[\mathrm{RMSSE} = \sqrt{\tfrac1n \sum_i \mathrm{MSE}_i / s_i^2}\]

Das Orakel prognostiziert die Summe der wahren Erwartungswerte \(\mu_i\) über die nächsten \(h\) Tage. Es kennt die Rate, nicht den Zufall des Tages. In den unten genannten Zeilen, in denen es vorkommt, hat es den kleinsten RMSSE oder RMSE; nach dem MAE gewinnt es nicht immer (siehe unten).

Herleitungen Schritt für Schritt

Die folgenden vier Herleitungen sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo. Wo eine Messung dieselbe Aussage stützt, steht es dabei.

1. Croston steht zwischen Bedarfen still, TSB klingt ab.

• Schritt 1: Bei \(y = 0\) ändert Croston weder \(z\) noch \(p\). Also bleibt \(\hat r = z/p\) über jede Folge von Nulltagen gleich.
• Schritt 2: Kommt nie wieder ein Bedarf, bleibt die Rate für immer auf dem Stand des letzten Bedarfs, während die tatsächliche Nachfrage gegen null geht. Die Prognose \(h\,z/p\) bleibt dann dauerhaft zu hoch.
• Schritt 3: TSB aktualisiert \(d\) auch an Nulltagen: \(d \leftarrow (1-\beta)\,d\). Nach \(k\) Nulltagen ist \(d_{t+k} = (1-\beta)^k\,d_t\), das fällt geometrisch gegen null, und \(\hat r = d\,z\) mit ihm. Die Demo misst diesen Unterschied bei auslaufenden Artikeln (siehe Befunde).

2. Crostons Rate ist im Mittel zu hoch (Jensen-Ungleichung). Annahmen: stabile Nachfrage, die Abstände \(q_k\) zwischen Bedarfstagen sind unabhängig und geometrisch verteilt mit Bedarfshäufigkeit \(\pi\) (Mittel \(1/\pi\), Varianz \((1-\pi)/\pi^2\)), die Mengen sind unabhängig von den Abständen. Die wahre Rate ist dann \(\pi\,\mathbb{E}[\mathrm{Menge}]\).

• Schritt 1: \(p\) ist ein exponentiell geglättetes Mittel der Abstände. Im Gleichgewicht gilt \(\mathbb{E}[p] = 1/\pi\) und \(\mathrm{Var}(p) = \tfrac{\alpha}{2-\alpha}\cdot\tfrac{1-\pi}{\pi^2}\) (stationäre Varianz eines exponentiell geglätteten Mittels unabhängiger Größen). Ebenso gilt \(\mathbb{E}[z] = \mathbb{E}[\mathrm{Menge}]\).
• Schritt 2: \(z\) und \(p\) sind unabhängig, also ist \(\mathbb{E}[z/p] = \mathbb{E}[z]\,\mathbb{E}[1/p]\). Weil \(1/x\) konvex ist, gilt \(\mathbb{E}[1/p] > 1/\mathbb{E}[p] = \pi\), sobald \(p\) streut. Also liegt \(\mathbb{E}[\hat r]\) über der wahren Rate.
• Schritt 3: In zweiter Ordnung ist \(\mathbb{E}[1/p] \approx \pi\,(1 + \pi^2\,\mathrm{Var}(p))\). Die relative Überschätzung ist näherungsweise \(\tfrac{\alpha}{2-\alpha}\,(1-\pi)\): Sie wächst mit \(\alpha\) und fällt mit steigender Bedarfshäufigkeit.
• Probe: Für Bedarfshäufigkeit 0,03 und \(\alpha = 0{,}3\) liefert die Näherung etwa 17 %, die Messung zeigt +17,4 %. In den übrigen elf Zellen der Messreihe liegen die gemessenen Werte unter der Näherung (nachgerechnet mit dem Code der Demo, nicht Teil ihrer Dokumentation). Bei \(\alpha = 0{,}05\) und Häufigkeit 0,03 ist die gemessene Verzerrung von Croston sogar leicht negativ. Die Näherung gilt also nur für das idealisierte Modell; Anfangswerte, Streuung der Häufigkeit zwischen den Artikeln und Mengenschwankung kommen in der Demo hinzu und wirken vermutlich dagegen (nicht untersucht).

3. Warum der Faktor von SBA nicht für alle Häufigkeiten passt. Der Faktor \(1-\alpha/2\) stammt aus der SBA-Arbeit; diese Seite leitet ihn nicht her. Er hängt nicht von der Bedarfshäufigkeit ab, die Überschätzung aus Herleitung 2 aber schon (Faktor \(1-\pi\)). Bei seltenem Bedarf gleicht er die Überschätzung ungefähr aus, bei häufigem Bedarf zieht er zu viel ab. Das passt zur gemessenen Unterschätzung von SBA bei Häufigkeit 0,3 und \(\alpha = 0{,}3\). Es ist eine Deutung, die Näherung allein beweist sie nicht.

4. Die Null-Prognose gewinnt den MAE, solange die Null ein Median ist.

• Schritt 1: Unter allen festen Prognosen \(c\) minimiert ein Median der Nachfrage \(S\) den Erwartungswert \(\mathbb{E}\,|S - c|\); der Mittelwert minimiert dagegen \(\mathbb{E}\,(S-c)^2\).
• Schritt 2: Für einen Artikel mit konstanter Häufigkeit \(\pi\) ist \(P(S = 0) = (1-\pi)^h\) (unabhängige Tage). Die Null ist ein Median, wenn \((1-\pi)^h \ge 1/2\) gilt.
• Schritt 3: Bei \(h = 1\) gilt das für jede Häufigkeit bis 1/2, bei den Ausgangswerten also für etwa neun von zehn Artikel-Tagen (Rechnung dieser Seite aus der Streuung der Häufigkeit zwischen den Artikeln und der Drift; ein Median ist die Null nur dort, wo die Häufigkeit unter 1/2 liegt). Die Null ist dann MAE-optimal unter den festen Prognosen und schlägt das Orakel, das den Mittelwert prognostiziert; beim RMSE ist es umgekehrt. Mit wachsendem \(h\) sinkt \((1-\pi)^h\), irgendwann ist die Null kein Median mehr, und sie verliert auch den MAE.
• Probe: Das passt zu den Messungen: Bei einem Tag Wiederbeschaffungszeit hat die Null den kleineren MAE und das Orakel den kleineren RMSE, bei 28 Tagen verliert die Null auch den MAE.

Durchgerechnet: fünf Tage eines Artikels

Rechnung dieser Seite, keine Messung der Demo: ein Artikel mit dem Bedarf 0, 3, 0, 0, 1 an fünf aufeinanderfolgenden Tagen, \(\alpha = 1/2\) und den Anfangswerten \(z = 2\), \(p = 2\), \(q = 1\) (Rate 1). Gezeigt sind die Werte nach dem jeweiligen Tag.

Tag	Bedarf \(y\)	\(z\)	\(p\)	\(q\) nach dem Tag	Rate \(\hat r = z/p\)
1	0	\(2\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)
2	3	\(5/2\)	\(2\)	\(1\)	\(5/4\)
3	0	\(5/2\)	\(2\)	\(2\)	\(5/4\)
4	0	\(5/2\)	\(2\)	\(3\)	\(5/4\)
5	1	\(7/4\)	\(5/2\)	\(1\)	\(7/10\)

An Tag 2 (Bedarf) war \(q = 2\) vor der Aktualisierung (der Abstand zum vorigen Bedarf), danach 1. Also \(p \leftarrow 2 + 1/2\,(2-2) = 2\) und \(z \leftarrow 2 + 1/2\,(3-2) = 5/2\). Tage 3 und 4 ändern nichts: Die Rate bleibt stehen. An Tag 5 war \(q = 3\), also \(p \leftarrow 2 + 1/2\,(3-2) = 5/2\) und \(z \leftarrow 5/2 + 1/2\,(1-5/2) = 7/4\). Der kleine Bedarf nach dem längeren Abstand lässt die Rate auf sieben Zehntel fallen. SBA wäre hier jeweils das Dreiviertelfache dieser Raten.

Zum Vergleich TSB mit \(\beta = 1/2\) und \(d = 1/2\) zu Beginn: An einem Nulltag halbiert sich \(d\), nach drei Nulltagen in Folge also auf ein Achtel des Ausgangswerts. Die Rate fällt mit \(d\), während Croston stehen bleibt.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus den Messungen der Demo. Zeilen mit „sechs Portfolios“ sind Mittel über sechs feste Zufallsportfolios und belastbar. Zeilen mit „Einzelportfolio“ gelten für ein einziges Portfolio (Zufallsstart 3) und zeigen vor allem, dass die Geschichte in einem Einzelfall sichtbar wird. Der RMSSE ist ohne Einheit, kleiner ist besser.

Frage	Befund
Woran misst man? (sechs Portfolios, Wiederbeschaffungszeit 1 / 7 / 28 Tage)	Ein Tag: Null-Prognose MAE 1,11 Stück gegen 1,46 beim Orakel, aber RMSE 3,08 gegen 2,63 und Verzerrung −100 %. Sieben Tage: naiv (letzter Tag) RMSE 19,6 gegen 7,0 beim Orakel, das schlechteste Verfahren. 28 Tage: Null MAE 31,1 gegen 9,8, sie verliert dann auch nach MAE.
Verzerrung (sechs Portfolios, stabile Nachfrage, Häufigkeit 0,03 / 0,1 / 0,3, α von 0,05 bis 0,3)	Croston überschätzt bis zu +17,4 % (Häufigkeit 0,03, α = 0,3), bei α ≥ 0,1 in allen Zellen. SBA liegt bis −7,2 % darunter (Häufigkeit 0,3, α = 0,3). Einfache Glättung und TSB liegen unter ±1 %.
Croston gegen einfache Glättung (sechs Portfolios, RMSSE, α 0,02 / 0,05 / 0,1 / 0,2 / 0,3)	Einfache Glättung 0,756 / 0,789 / 0,849 / 0,966 / 1,08. SBA bei α = 0,2: 0,786, das sind 19 % weniger Fehler als die einfache Glättung mit 0,966. Croston bei α = 0,05: 0,750. Mit je Artikel gewähltem α: einfache Glättung 0,750, SBA 0,756, TSB 0,747 (gewähltes α im Mittel 0,012 / 0,050 / 0,013). Mittel der Historie 0,793, Orakel 0,725.
Auslaufende Artikel (sechs Portfolios, 30 % der Artikel, α = 0,1, sonst stabil)	RMSE in Stück für auslaufende Artikel: TSB 2,9, einfache Glättung 3,0, SBA 3,9, Croston 4,1, Mittel der Historie 7,0. Für aktive Artikel: Mittel 6,8, SBA 7,05, Croston 7,1, TSB 7,7, einfache Glättung 7,9. Prognose im Verhältnis zur tatsächlichen Nachfrage der auslaufenden Artikel in den letzten 100 Ursprüngen: Croston 53, SBA 51, einfache Glättung 1,1, TSB 1,1, Mittel 98.
Ausgangswerte (Einzelportfolio, h = 7 Tage, α = 0,1 für einfache Glättung, Croston, SBA)	RMSSE (TSB mit je Artikel gewähltem α, die übrigen mit α = 0,1, also kein Vergleich bei gleichem α): TSB 0,756, SBA 0,770, Croston 0,773, Mittel der Historie 0,791, einfache Glättung 0,856, Null 1,24, naiv 2,04; Orakel 0,733. Verzerrung: Croston +2,8 %, SBA −2,3 %. Im Testjahr 78 % Nulltage.
Sehr sporadisch (Einzelportfolio, Häufigkeit 0,03, h = 7 Tage, α = 0,1)	95 % Nulltage. RMSSE: Croston und SBA 0,793 vor der einfachen Glättung mit 0,907. Nach MAE gewinnt dagegen die Null: 1,85 Stück gegen 2,23 beim Orakel.
Klumpige Mengen (Einzelportfolio, CV 1,5, h = 7 Tage, α = 0,1)	RMSSE: Croston 0,879, SBA 0,875, einfache Glättung 0,982, TSB mit gewähltem α 0,852; Orakel 0,839.
Auslaufende Artikel (Einzelportfolio, 30 %, Drift 0,02, h = 7 Tage, α = 0,1)	64 auslaufende Artikel. Verzerrung: Croston +16,5 %, SBA +10,7 %, einfache Glättung +0,7 %, TSB +0,5 %. RMSSE: TSB mit gewähltem α 0,662, einfache Glättung 0,740, SBA 0,688, Croston 0,694.
Grobes α = 0,3 (Einzelportfolio, h = 7 Tage)	RMSSE: einfache Glättung 1,085, TSB 1,026, Croston 0,859 (Verzerrung +10,4 %), SBA 0,827. Mit je Artikel gewähltem α liegen alle drei zwischen 0,756 und 0,764.

Was die Messung zeigt und was nicht

Was sie belegt:

• Die Rangfolge der Verfahren, soweit die Abstände deutlich sind, und die Richtung der Verzerrungen in den Zeilen über sechs Portfolios. Kleine Abstände wie 0,747 / 0,750 / 0,756 sind als gleichauf zu lesen, denn die Fehlerbalken der sechs Portfolios sind nicht ausgewiesen. Die Verfahren sind deterministisch, ihr Rechenkern ist gegen unabhängige Schleifen je Artikel geprüft, die einfache Glättung zusätzlich gegen eine Bibliothek (statsmodels) auf 1e-9.
• Den Ablauf der drei Fallen: Verzerrung von Croston, Stillstand bei auslaufenden Artikeln, Kennzahl. Die Herleitungen 1, 2 und 4 erklären die Richtung, die Messung bestätigt sie für diese Portfolios.
• Den Vorsprung der Familie bei festem α und das Verschwinden dieses Vorsprungs bei je Artikel gewähltem α: Die drei Verfahren liegen dann zwischen 0,747 und 0,756 RMSSE. Dass der Vorsprung „großteils“ vom zu großen α der einfachen Glättung kommt, ist eine Deutung, gemessen ist der Unterschied zwischen den beiden Wegen. Das gewählte α der einfachen Glättung liegt im Mittel nahe am Rand des Gitters; ein noch kleineres α stand nicht zur Wahl.

Was sie nicht belegt:

• Aussagen über echte Artikel. Das Modell erzeugt genau die Muster Bernoulli-Bedarf, log-normale Mengen, Drift und Auslaufen; echte Artikel sind unordentlicher. Die Zahlen gelten für diese Portfolios.
• Die Einzelportfolio-Zeilen als Häufigkeiten. Sie sind ein Beispiel, kein Mittel.
• Die Verhältniszahlen für auslaufende Artikel als genaue Werte. Der Nenner (tatsächliche Nachfrage der auslaufenden Artikel am Ende des Jahres) ist klein, das Verhältnis daher empfindlich; die Prüfungen der Demo lassen für 53 und 51 ein breites Band zu. Als Größenordnung (Croston und SBA etwa fünfzigmal, einfache Glättung und TSB etwa einmal die tatsächliche Nachfrage) belegt die Messung sie.
• Kosten und Sicherheitsbestände. Alle Verfahren liefern nur eine Rate je Tag, nicht die Verteilung der Nachfrage in der Wiederbeschaffungszeit; der RMSE misst die Güte der Rate, nicht die Kosten von Fehl- und Überbeständen.
• Kalender, Aktionen und Saison: Ein Artikel mit solchem Muster bekommt eine glatte Rate, das Muster bleibt im Fehler.
• Voneinander lernen: Jeder Artikel wird für sich geschätzt, und α und die Anfangswerte stammen aus den Trainingstagen und werden nicht nachgeführt.
• Eine Verfahrenswahl nach Klasse (mittlerer Abstand ADI und quadrierter Variationskoeffizient der Mengen \(\mathrm{CV}^2\)): Beide werden berechnet, aber eine Wahl danach ist nicht getestet.
• Zahlen auf anderen Rechnern: Bei einer anderen Version der Zufallsbibliothek numpy können Portfolios und damit die letzten Stellen abweichen; die Prüfungen der Demo lassen deshalb Bänder um die Zahlen zu.

Quellen

• Croston, J. D. (1972): Forecasting and stock control for intermittent demands. Operational Research Quarterly 23(3).
• Syntetos, A. A.; Boylan, J. E. (2005): The accuracy of intermittent demand estimates. International Journal of Forecasting 21(2).
• Teunter, R. H.; Syntetos, A. A.; Babai, M. Z. (2011): Intermittent demand: Linking forecasting to inventory obsolescence. European Journal of Operational Research 214(3).
• Hyndman, R. J.; Koehler, A. B. (2006): Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting 22(4). Die Arbeit führt skalierte Fehler ein; der hier verwendete RMSSE mit dieser Skala ist eine Variante dieser Idee.

Die vier Arbeiten und ihre Jahre nennt die Dokumentation der Demo; die vollständigen Angaben (Titel, Zeitschrift, Band) stammen aus dem Gedächtnis und sind nicht geprüft. Die Demo baut die Arbeiten nicht nach.