Warten oder abfahren verständlich erklärt

Ein Zug ist verspätet, und am Bahnsteig warten Umsteiger auf ihren Anschluss. Soll der Folgezug warten und die Fahrgäste an Bord aufhalten, oder abfahren und die Umsteiger zurücklassen? Diese Seite zeigt, wie man das abwägt und wie nah eine einfache Wartegrenze an die beste Entscheidung im Rückblick kommt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Der Zugführer am Bahnsteig

Stellen Sie sich einen Bahnhof vor, an dem zwei Züge aufeinandertreffen. Der eine, der Zubringer, bringt Reisende her, die in den anderen, den Folgezug, umsteigen wollen. Heute ist der Zubringer acht Minuten zu spät. Der Folgezug steht bereit, und der Zugführer muss entscheiden: warten oder abfahren?

Wartet er, erreichen die Umsteiger den Anschluss. Dafür kommen alle anderen Fahrgäste im Folgezug später an, und der Zug ist selbst verspätet. Das kann an späteren Bahnhöfen weitere Anschlüsse kosten. Fährt er pünktlich ab, bleiben die Umsteiger zurück. Fährt der nächste Zug nur einmal pro Stunde, verlieren sie eine Stunde.

Planer messen den Preis in Fahrgastminuten: Ein Fahrgast, der eine Minute später ankommt, zählt eine Fahrgastminute.

Eine Rechnung zum Abwägen

Nehmen wir ein Beispiel mit erfundenen Zahlen. 20 Umsteiger wollen in den Folgezug. Verpassen sie ihn, verlieren sie je eine Stunde, zusammen 1.200 Fahrgastminuten. Wartet der Folgezug acht Minuten, kommen die Fahrgäste an Bord acht Minuten später an. Sitzen 50 weitere Fahrgäste im Zug, kostet das Warten 400 Fahrgastminuten. Das ist weniger als 1.200, also lohnt sich das Warten.

Sitzen dagegen 200 weitere Fahrgäste im Zug, kostet das Warten mehr, als die Umsteiger verlieren würden, und Abfahren ist besser. Die Antwort kippt mit der Zahl der Fahrgäste an Bord. Die Rechnung ist vereinfacht: Die eigene Verspätung der Umsteiger und die Folgen an späteren Bahnhöfen fehlen darin.

Eine einfache Wartegrenze

Im Betrieb hilft dem Zugführer eine Regel. Sie kennt die Verspätung des Zubringers genau, sieht aber nur den eigenen Anschluss. Eine einfache Regel ist eine Wartegrenze (Fachwort: Wartezeitregel): Der Folgezug wartet, wenn er dadurch höchstens fünf Minuten später abfährt, sonst fährt er ab.

Wie gut solche Regeln sind, zeigt ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo (Knopf am Ende dieses Teils). Sie bildet den Betrieb vereinfacht im Computer nach (das Rechenbild, Fachwort: Modell): 28 erfundene Bahnnetze mit je 100 Störtagen, an denen einige Abfahrten verspätet starten. Alle Aussagen unten gelten für dieses Rechenbild, nicht für die Wirklichkeit.

Welche Grenze am besten ist, hängt davon ab, wie viel ein verpasster Anschluss kostet. Verlieren die Umsteiger 10 Minuten, war die beste Grenze in der Demo eine Minute. Verlieren sie 120 Minuten, waren es neun Minuten (Mittel über die 28 Netze). Eine feste Grenze von fünf Minuten passt am besten zu einem Verlust von einer Stunde; bei 10 und bei 120 Minuten lag sie am weitesten daneben. Im Betrieb kennt niemand den Verlust genau.

Die beste Entscheidung im Rückblick

Im Rückblick lässt sich für einen Störtag die beste Auswahl berechnen: welche Anschlüsse gehalten werden und welche nicht (Fachwort: Optimum). Dieses Verfahren kennt die ganze Störung des Tages im Voraus. Im Betrieb ist es deshalb nicht umsetzbar, aber es zeigt, was bestenfalls möglich ist.

Man sucht sich nachträglich die beste feste Wartegrenze aus. Bei einem Verlust von einer Stunde brauchte sie im Mittel über die 28 Netze etwa drei von hundert Fahrgastminuten mehr als das Optimum. Das Optimum selbst brauchte etwa ein Zehntel weniger Fahrgastminuten als die Regel „nie warten“.

Warum ein dichter Takt mehr Anschlüsse kritisch macht

Fahren die Verbindungen im Takt, also jede Stunde zur selben Minute, lässt sich die Umsteigezeit im Plan durch die Wahl der Startminuten und der Standzeit am Streckenende drücken (Standzeit: die Zeit, die ein Zug dort steht). Das hat einen Preis: Eine kurze Umsteigezeit im Plan lässt nur eine kleine Reserve (Fachwort: Puffer). Kommt der Zubringer zu spät, ist sie aufgebraucht, und der Anschluss wird kritisch: Nun muss jemand entscheiden.

In der Demo gab es beim Takt mit der kürzesten Umsteigezeit im Plan (in der Demo „Phasen + Aufteilung“, als Voreinstellung „Dichter Takt“) mehr als viermal so viele kritische Anschlüsse je Störtag wie bei einem Takt mit gewürfelten Startminuten. Ob sich der kürzere Plan trotzdem lohnt, hängt davon ab, wie oft Störtage vorkommen. Diese Häufigkeit ist in der Demo eine Annahme.

Häufige Missverständnisse

• „Wer immer wartet, lässt niemanden zurück, also ist das am besten.“ Nein. Bei einem Verlust von einer Stunde war „immer warten“ in der Demo in allen 28 Netzen schlechter als „nie warten“. Bei einem höheren Verlust kehrt es sich um: Eine Nachrechnung jenseits der Reglergrenze der Demo ergab bei 200 Minuten in 23 von 28 Netzen „immer warten“ billiger. Schon bei einem Verlust von zwei Stunden war es in einem Teil der Netze so.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Nach einer kleinen Verspätung an einem Knoten sind an späteren Bahnhöfen mehrere Anschlüsse zugleich in Gefahr, obwohl die Ursache längst behoben ist.
• Zählen Sie an einem Knoten eine Woche lang, wie viele Anschlüsse brechen und bei wie vielen davon der Folgezug gewartet hat.
• Im Fahrplan ist die Umsteigezeit nur so lang wie nötig, um den Bahnsteig zu wechseln. Dann bricht jede Verspätung des Zubringers den Anschluss.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Die Netze sind erfunden, der Verlust beim Verpassen ist angenommen, und der Folgezug würde ohne Warten pünktlich fahren. Die Zahlen zeigen Richtung und Größenordnung, keine Werte eines echten Betriebs.

Was Sie mitnehmen

• Fragen Sie bei jeder Wartegrenze: Wie viel kostet ein verpasster Anschluss?
• Fragen Sie bei einem Fahrplan mit kurzen Umsteigezeiten, wer die Verspätung auffängt, wenn der Zubringer zu spät kommt.
• Eine Regel, die im Rückblick am besten aussah, muss im Betrieb nicht die beste sein.

Die Demo erreichen Sie über den Knopf „Demo ausprobieren“. Der zweite Knopf führt zum Teil für Fachleute.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt ein Rechenmodell der Anschlussentscheidung am Betriebstag (Delay Management) auf erfundenen Netzen: Ein Zubringer ist verspätet, der Folgezug soll warten oder abfahren. Der Takt ist vorgegeben; entschieden wird nur, welche kritischen Anschlüsse gehalten werden.

• Ereignisnetz: Ereignisse sind Ankünfte und Abfahrten mit Planminute, Takt \(T = 60\) min, Horizont 240 min. Aktivitäten sind Fahren (Mindestfahrzeit = Plan − 7 % gerundet), Halten (Mindesthalt 1 min), Wende und Fahrzeugumlauf (Mindestwende 4 min) und Anschlüsse (Mindestumsteigezeit 3 min). Jede Aktivität trägt einen Puffer, die Planzeit minus Mindestzeit. Die Variante „knapp“ hat Fahrzeiten und Halte ohne Reserve und Wendepuffer von höchstens 10 min; „normal“ ist der Standard.
• Fortpflanzung: Verspätungen pflanzen sich per max-plus fort; die Entscheidung fällt zeitlich in Planreihenfolge. Ein Anschluss ist kritisch, wenn der Zubringer bei „immer halten“ über den Puffer hinaus verspätet ist; nur dort gibt es eine Entscheidung.
• Kosten: Fahrgastminuten Verspätung am Ziel, mit relativen Gewichten (Nachfrage-Generator mit zwei Hubs, keine echten Fahrgastzahlen). Der Verlust beim Verpassen beträgt genau \(M\) Minuten (Annahme, 10 bis 120 wählbar), der Folgezug fährt pünktlich. Eine Erweiterung lässt das Verpassen \(M + D'\) kosten, mit der Verspätung \(D'\) der nächsten Fahrt derselben Linie am Ziel.
• Regeln: „nie halten“, „immer halten“, \(c_W\) und \(p_W\) mit Schwelle \(W\), \(d_W\) (wie \(c_W\), nur für Anschlüsse ab dem 75-Prozent-Quantil des Umsteigergewichts), die Gegenrechnung im eigenen Zug (\(\text{bal}\) und die verfeinerte \(\text{bal2}\)) und das Optimum. Die Regeln kennen die Zubringerverspätung exakt (vollinformiert) und sehen nur den eigenen Anschluss. Das Optimum sieht alle Entscheidungen des Tages und die ganze Störung im Voraus, ist also kein online umsetzbares Verfahren, sondern der Maßstab.
• Optimum: CP-SAT mit einer Binärvariable je kritischem Anschluss. In der Messreihe gilt ein Zeitlimit von 60 s je Störtag, live in der Demo 10 s; nicht bewiesene Störtage werden gezählt.
• Netze und Störtage: 28 erfundene Netze (Zufalls-Seed 9000 bis 9027, 4 bis 10 Linien mit je 4 Netzen, 16 / 20 / 24 / 20 Haltestellen, jede Linie mit 6 Haltestellen); je Netz 100 Störtage mit 1 bis 8 Primärverspätungen von 3 bis 30 min (gleichverteilt) an Abfahrten der ersten zwei Stunden, also 2 800 Störtage je Experiment. Der Zufall in Netzen, Störtagen und Messreihe kommt nur aus dem ganzzahligen Generator SplitMix64 und hängt nie vom Ergebnis ab; nur die Schaltfläche „Neuen Störtag würfeln“ der Demo zieht ihren Seed mit Pythons random (das betrifft die Seed-Auswahl, keine Messung).
• Takt-Stufen (Netzgenerator, Linienkonstruktion und Takt-Suche aus der Taktfahrplan-Demo kopiert): zufällige Phasen, Greedy, Phasen-Optimum und Phasen mit Aufteilung der Wende-Standzeit. Eine Phase ist die Startminute einer Linie im Takt. In der Demo heißt die Stufe mit Aufteilung „Phasen + Aufteilung“, die zugehörige Voreinstellung „Dichter Takt“; „dichte Netze“ meint dagegen viele Linien. Die Umsteigeaktivitäten des Takts und die Anschlüsse des Ereignisnetzes stammen aus einer gemeinsamen Ableitung der Routen; bei Gleichstand der Umsteigehaltestelle gilt die kleinste Nummer.
• Abstand zum Optimum: je Netz das Verhältnis der Kosten einer Regel über die 100 Störtage minus 1; ausgewiesen wird das Netz-Mittel ± Standardfehler (Standardabweichung geteilt durch \(\sqrt{28}\)).

Die Formeln

Gegeben sind Ereignisse \(e\) mit Planminute, Aktivitäten \((s, e)\) mit Puffer \(p_{se}\), Primärverspätungen \(\delta_e \ge 0\), Anschlüsse \(c = (A_c, B_c)\) mit Puffer \(p_c\) (Zubringer-Ankunft \(A_c\), Folgezug-Abfahrt \(B_c\)), Gruppen \(g\) mit Gewicht \(w_g\) und Zielereignis \(z_g\) sowie der Verlust \(M\). Gesucht ist die Menge \(H\) gehaltener Anschlüsse mit den kleinsten Kosten; \(y_c \in \{0, 1\}\) sagt, ob \(c\) gehalten wird. Ohne Halten und für feste \(y\) pflanzt sich die Verspätung \(D_e\) des Ereignisses \(e\) so fort:

\[D_e = \max\Big(\delta_e,\ \max_{(s,e)} (D_s - p_{se}),\ \max_{c:\,B_c = e,\ y_c = 1} (D_{A_c} - p_c)\Big)\]

Erreicht ist ein Anschluss, wenn \(D_{B_c} \ge D_{A_c} - p_c\) gilt. Direkte Gruppen zahlen \(w_g D_{z_g}\); Umsteiger zahlen \(w_g \min(D_{z_g}, M)\), wenn sie den Anschluss erreichen, sonst \(w_g M\) (Erweiterung: \(M + D'_g\) statt \(M\)). Das Optimum löst damit ein gemischt-ganzzahliges Programm mit einer Binärvariable je kritischem Anschluss; die Verspätungen \(D_e\) sind ganzzahlig und nach unten durch die Fortpflanzung beschränkt:

\[\min_{y}\ \sum_{g\ \text{direkt}} w_g D_{z_g} + \sum_{g\ \text{Umsteiger}} w_g \cdot \begin{cases} \min(D_{z_g}, M) & \text{erreicht} \\ M & \text{verpasst} \end{cases}\]

Für die Regeln sei \(\text{need} = D_{A_c} - p_c\) die Abfahrtsverspätung, die der Folgezug annehmen müsste, \(b\) die Verspätung, die er ohnehin hat, und \(\text{extra} = \text{need} - b\). Die Regel \(c_W\) hält bei \(\text{extra} \le W\), die Regel \(p_W\) bei \(\text{need} \le W\). Die Namen \(c_W\) und \(p_W\) bezeichnen Regeln, nicht den Anschluss \(c\) oder den Puffer \(p_c\). Die Gegenrechnung wägt den Gewinn der Umsteiger \(w_c\) gegen die übrigen Fahrgäste an Bord ab, wobei \(n_{\text{an Bord}}\) alle Fahrgäste des Folgezugs einschließlich dieser Umsteiger zählt; sie hält, wenn gilt:

\[w_c M \ge \text{extra} \cdot (n_{\text{an Bord}} - w_c)\]

Die verfeinerte Gegenrechnung \(\text{bal2}\) ersetzt \(w_c M\) durch \(w_c \max(0, M - \text{need})\), denn die Verspätung \(\text{need}\) ist beim Halten schon angenommen; der Gewinn der Umsteiger ist nur noch \(M - \text{need}\).

Durchgerechnetes Beispiel der Gegenrechnung

Rechnung dieser Seite mit ausgedachten Zahlen, keine Messung der Demo. Ein kritischer Anschluss hat \(w_c = 20\) Umsteiger, es gilt \(M = 60\), der Folgezug ist selbst pünktlich (\(b = 0\)), und der Zubringer ist 8 min verspätet bei Puffer null, also \(\text{need} = 8\) und \(\text{extra} = 8\). Nur die Zahl der Fahrgäste an Bord ändert sich:

\(n_{\text{an Bord}}\)	Gewinn \(w_c M\)	Verfeinert \(w_c (M - \text{need})\)	Kosten \(\text{extra} \cdot (n_{\text{an Bord}} - w_c)\)	bal	bal2
70 an Bord	Gewinn 1.200	Verfeinert 1.040	Kosten 8 · 50 = 400	hält	hält
170 an Bord	Gewinn 1.200	Verfeinert 1.040	Kosten 8 · 150 = 1.200	hält (Gleichheit)	hält nicht
220 an Bord	Gewinn 1.200	Verfeinert 1.040	Kosten 8 · 200 = 1.600	hält nicht	hält nicht

Die Regel \(p_5\) fährt in allen drei Fällen ab, denn \(\text{need} = 8 > 5\); die Regel \(p_9\) wartet in allen dreien. Die Gegenrechnung entscheidet dagegen nach der Fahrgastzahl, bal2 hört wegen der Verfeinerung früher auf zu halten als bal. Sie sieht dabei nur den eigenen Zug: Folgeverspätungen an späteren Bahnhöfen kennt sie nicht.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo und ihrer vorgerechneten Messreihe. Wenn nichts anderes steht, gelten normale Puffer, \(M = 60\) min und das Phasen-Optimum als Takt; Abstände sind Netz-Mittel ± Standardfehler über die 28 Netze in Prozent der Optimumskosten (Basis: Optimum). Die Netze sind synthetisch; „knapp“ heißt knappe Puffer.

Frage	Befund
Wie nah kommt die beste feste Wartegrenze an das Optimum?	Die Grenze ist im Rückblick gewählt. \(p_5\) liegt im Netz-Mittel 3,1 ± 0,4 % über dem Optimum (2 605 von 2 605 Störtagen mit Entscheidung bewiesen); je Linienzahl 2,3 bis 4,2 %. Bei knappen Puffern \(p_3\) 3,0 ± 0,3 % (2 720 von 2 721 bewiesen).
Was spart das Optimum gegenüber „nie halten“?	Das Optimum liegt 10,4 % unter „nie halten“ (Basis: „nie halten“), bei knappen Puffern 5,7 %.
Wohin wandert das beste \(W\) mit dem Verlust \(M\)?	Bestes \(W\) (Netz-Mittel) für \(M\) = 10, 15, 20, 30, 45, 60, 90, 120: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 8, 9 min. Je Netz streut es (\(M = 60\): 4 bis 8, Median 5). Die Kurve ist flach um das Minimum: Bei 6 der 8 Werte von \(M\) liegt ein benachbartes \(W\) um weniger als 0,1 Prozentpunkte über dem besten \(W\); die Wanderung ist als Richtung belastbar, einzelne Werte liegen innerhalb des Standardfehlers. Eine feste Schwelle \(W = 5\) kostet gegenüber dem besten \(W\) bis zu 4,2 Prozentpunkte (bei \(M = 10\) und bei \(M = 120\)).
Ist „immer halten“ schlimmer als „nie halten“?	Ja für die gemessenen \(M\) von 10 bis 120 min, die Umkehr liegt außerhalb. Bei \(M = 60\) gilt es in allen 28 Netzen (normal und knapp), für die übrigen sieben \(M\) im Netz-Mittel; die Umkehr beginnt innerhalb der Messreihe in einem Teil der Netze: bei \(M = 60\) ist „immer halten“ in 0 von 28 Netzen billiger als „nie halten“, bei \(M = 120\) in 8 von 28. Wo im Netz-Mittel die Umkehr genau liegt, ist nicht gemessen. Bei \(M = 60\): 71,7 ± 6,0 % über dem Optimum gegen 11,2 ± 0,9 % für „nie halten“; über die Linienzahl steigt es von 28,7 % (4 Linien) auf 98,6 % (10 Linien), nicht streng monoton. Außerhalb der Messreihe und des Reglers der Demo nachgerechnet (normale Puffer, Phasen-Optimum, je 100 Störtage): Bei \(M = 200\) ist „immer halten“ in 23 von 28 Netzen billiger als „nie halten“, bei \(M = 300\) in 28 von 28.
Versagt die Gegenrechnung bei knappen Puffern und dichten Netzen?	Ja bei knappen Puffern, nicht trennbar bei normalen („dichte Netze“ heißt hier viele Linien). Knapp: bal2 8,6 ± 1,4 % gegen 3,0 ± 0,3 % für das im Rückblick beste \(W\), auch schlechter als „nie halten“ mit 5,8 %; die Differenz je Netz beträgt 5,6 ± 1,4 Prozentpunkte, in 6 von 28 Netzen ist bal2 besser. Normal: bal2 3,9 ± 0,7 % gegen 3,1 ± 0,4 %; die Differenz 0,7 ± 0,8 Prozentpunkte ist nicht von null trennbar (13 von 28 Netzen bal2 besser). Über die Linienzahl steigt bal2 von 1,4 % (4 Linien) auf 8,1 % (10 Linien) bei normalen und von 2,8 % auf 17,3 % bei knappen Puffern (nicht streng monoton). Der Mechanismus (Folgeverspätungen dritter Züge) ist vermutet, nicht durch einen Eingriff geprüft.
Rettet ein bekanntes \(M\) die Gegenrechnung?	Nicht neu gemessen. bal2 kennt \(M\) bereits; bei \(M\) = 10, 15 und 20 liegt sie gleichauf oder unter dem besten \(W\).
Wie streut die Lücke je Störtag? (normale Puffer, Störtage mit Optimumskosten größer null)	Basis jeder Lücke ist das Optimum des Störtags. \(p_5\) trifft das Optimum in 39,5 % der Störtage (35,1 % der Störtage mit mindestens einem kritischen Anschluss); die Lücke liegt im Median bei 0,8 %, im P90 bei 8,1 %, im P99 bei 26,6 % und im Maximum bei 91,5 %. bal2 trifft es in 49,7 % (46,0 %), im Median 0,02 %, aber im P99 54,3 % und im Maximum 250,7 %. Der Mittelwert von bal2 liegt etwas höher (nicht von \(p_5\) trennbar); bal2 trifft häufiger, hat aber den dickeren Tail. Bei knappen Puffern trifft \(p_5\) das Optimum in 17,4 % der Störtage (15,0 % der Störtage mit mindestens einem kritischen Anschluss).
Macht ein Takt mit kürzerer Planwartezeit mehr Anschlüsse kritisch?	Ja, zwischen Greedy und Phasen-Optimum ist der Unterschied aber gering. Kritische Anschlüsse je Störtag bei zufälligen Phasen 7,8, Greedy 16,4, Phasen-Optimum 16,6, Phasen + Aufteilung 35,5 (Phasen-Optimum gegen Greedy in 17 von 28 Netzen höher); Plan-Umsteigezeit 31,2, 23,3, 22,8, 17,9 min je Umsteiger. Der Anteil des Umsteigergewichts mit Puffer ≤ 5 min liegt bei zufälligen Phasen bei 0,117, beim Phasen-Optimum bei 0,266 und mit Aufteilung bei 0,447.
Zahlt sich der bessere Takt trotzdem aus?	Nur, wenn Störtage selten genug sind; die Häufigkeit ist eine Annahme, nicht gemessen. Zufällige Phasen → Phasen-Optimum: Plan-Umsteigezeit −22,7 %, Verspätungskosten je Störtag +17,9 % (Basis: Takt davor), Gleichstand bei 8,6 Störtagen je Horizont; Phasen-Optimum → Aufteilung: −17,8 % und +25,6 %, Gleichstand bei 3,1. Jeder Prozentwert ist der Mittelwert der je Netz gepaarten Differenzen geteilt durch den Mittelwert der Ausgangsstufe, nicht das Mittel der Netz-Prozente; die Plan-Umsteigezeit ist dabei als Gewicht mal Minuten, summiert über alle Anschlüsse im Horizont, gerechnet und nicht je Umsteiger wie in der Zeile davor. Die Verspätungskosten steigen in 27 von 28 Netzen; es sind die des Optimums (bestmögliche Disposition), nicht die einer Regel. Greedy → Phasen-Optimum: Verspätungskosten −2,1 ± 1,7 % (nicht von null trennbar; in 17 von 28 Netzen billiger, in 11 teurer).
Trägt „Folgezug pünktlich“ den Befund?	Ja, soweit die Erweiterung reicht. Beste Regel in der Erweiterung \(p_5\) 3,2 ± 0,4 %; die Entscheidung des Grundmodell-Optimums ist im erweiterten Modell nur 0,03 % (knapp 0,05 %, dort in 17 von 2 721 Störtagen das erweiterte Optimum nicht bewiesen) schlechter als das erweiterte Optimum. Der Test ist schwach: \(D'\) ist im Mittel 0,49 min (knapp 1,38), nur 4,9 % (11,9 %) des Gewichts haben \(D'\) größer null, und 32,1 % des Umsteigergewichts haben keine nächste Fahrt im Horizont.
Ist das Optimum je Störtag live rechenbar?	Ja für fast alle Störtage der Messreihe (1 bis 8 Primärverspätungen). Im vorgerechneten Lauf blieb bei normalen Puffern kein Störtag nach 60 s unbewiesen, bei knappen Puffern einer von 2 721; live gilt ein Limit von 10 s, danach die Anzeige „nicht bewiesen“. Die Messreihe deckt das Reglermaximum von 16 Primärverspätungen nicht ab: Bei knappen Puffern und 10 Linien blieb dort in einer Stichprobe der unabhängigen Prüfung etwa jeder dritte bis zweite Störtag unbewiesen (nicht Teil der Messreihe).
Hängt die Lücke der Regel an der Linienzahl?	Offen. Normale Puffer: Rangkorrelation (Spearman, mittlere Ränge bei gleicher Linienzahl) zwischen Linienzahl und Abstand von \(p_5\) über die 28 Netze −0,12 (kein Trend); knappe Puffer +0,45.
Ändert die Wahl der Umsteigehaltestelle bei Gleichstand den Befund?	Nein laut Vormessung (\(p_5\) 2,81 → 2,77 %); in der Demo nicht neu gemessen, die Ableitung ist dort nur einmal vorhanden.
Ist die Rechnung korrekt?	Der Kern stimmt mit einer Handrechnung an einer Mini-Instanz mit 6 Ereignissen und 3 Anschlüssen überein: alle acht Mengen gehaltener Anschlüsse (600 / 405 / 420), Regel \(p_5\) 420, Gegenrechnung 405, Optimum 405. Das Optimum stimmt mit der Aufzählung aller Teilmengen aller Anschlüsse auf 60 Zufalls-Mini-Netzen × 3 Störtagen × 3 Werten von \(M\) überein.

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

Was sie belegt:

• Größenordnungen und Richtungen für diese 28 synthetischen Netze mit diesem Generator, als Netz-Mittel; je Linienzahl stehen nur 4 Netze hinter einem Wert.
• Die Wanderung des besten \(W\) mit \(M\) als Richtung; einzelne Werte liegen innerhalb des Standardfehlers.

Was sie nicht belegt:

• \(M\) ist eine Annahme. Wer den Anschluss verpasst, verliert genau \(M\) Minuten, und der Folgezug fährt pünktlich. Die Erweiterung (Folgezug verspätet) verschiebt den Abstand der besten festen Regel zum Optimum nur von 3,1 auf 3,2 %, ersetzt aber keine Betriebsdaten.
• Keine Trassenkonflikte: Ein wartender Zug blockiert keine anderen Züge, es gibt keine Überholungen, Kapazitäten oder Zugfolgezeiten. Reale Kettenwirkungen sind vermutlich eher unterschätzt; das ist im Modell nicht messbar.
• Keine Umlegung der Fahrgäste auf andere Wege, keine Wartezeitobergrenze, relative Gewichte statt echter Fahrgastzahlen. Verspätungen treten nur als Primärverspätungen an Abfahrten der ersten zwei Stunden auf.
• Die „beste“ Regel ist im Rückblick gewählt (Minimum über \(W\) auf denselben Störtagen); im Einsatz kennt niemand \(M\). Die Streuung je Störtag ist groß (siehe die Zeile zur Streuung).
• Das Optimum ist der Maßstab, kein Verfahren für den Betrieb: Es kennt die ganze Störung im Voraus; die Regeln kennen die Zubringerverspätung exakt und sehen nur den eigenen Anschluss. Die Verspätungskosten in der Bilanz des Takts sind die des Optimums, also der Bestfall der Disposition.
• Gegenrechnung: Der Mechanismus ihres Versagens bei knappen Puffern (Folgeverspätungen dritter Züge) ist vermutet, nicht durch einen Eingriff geprüft. Bei normalen Puffern ist ihr Abstand zur festen Regel nicht von null trennbar.
• Störhäufigkeit: Wie oft ein Störtag je Horizont vorkommt, ist eine Annahme; nur die Bilanz zwischen Takt und Verspätungskosten hängt daran.
• Rechenzeit: Das Optimum läuft live mit Zeitlimit; danach zeigt die Demo die beste gefundene Entscheidung und „nicht bewiesen“. Rechenzeiten hängen von Maschine und Last ab und sind nicht gemessen.

Erweiterungen und Verweise

Nicht umgesetzt sind Online-Regeln ohne Kenntnis der Zubringerverspätung, Verfahren mit rollierendem Horizont, die Folgezug-Verspätung von außen, der Fahrzeugumlauf im Detail und die Fahrgastumlegung. Verwandte Seiten und Demos:

• Takt: Wie der Takt die Wartezeit der Umsteiger bestimmt, behandelt die Seite zum Taktfahrplan.
• Pufferzeit auf einer Strecke: Die Seite zur Fahrzeitreserve legt Zeitpuffer ohne Umsteiger fest und nennt Dispositionseingriffe als nicht umgesetzt; die vorliegende Demo setzt dort an.
• Ringlinie ohne Anschlüsse: Die Seite zum Bus Bunching behandelt das Halten von Fahrzeugen auf einer Ringlinie.
• Ein anderes Modell: Die Seite zu Warten oder Fahren behandelt das Warten, um Aufträge zu sammeln.
• Trassenkonflikte: Dass ein wartender Zug andere blockiert, gehört laut Demo in einen eigenen Baustein, den Trassenkonflikt.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/anschluss-halten-demo.

Die Demo nennt keine Literatur: Autoren und Jahre zum Delay Management sind dort nicht im Volltext geprüft. Die Einordnung als gemischt-ganzzahliges Programm auf dem Ereignis-Aktivitäten-Netz und als NP-schwer stammt aus der Demo und ist hier nicht an der Quelle geprüft. Das Zahlenbeispiel ist eine Rechnung dieser Seite und keine Messung.