Bus-Bunching verständlich erklärt

Fahren Busse einer Linie zunächst im gleichen Abstand, hängen nach einiger Zeit oft mehrere dicht hintereinander, gefolgt von einer langen Lücke. Dieses Phänomen heißt Bus-Bunching. Diese Seite erklärt es zuerst ohne Formeln und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Warum kommen Busse im Pulk?

Eine Buslinie fährt im Kreis, die Busse starten in gleichen Abständen. Das ist der Soll-Takt: der geplante, gleiche zeitliche Abstand zwischen zwei Bussen. Nach einiger Zeit hängen aber oft mehrere Busse dicht hintereinander, danach klafft eine große Lücke. Der dichte Haufen heißt Pulk, das Phänomen Bus-Bunching.

Wer an der Haltestelle steht, wartet dann im Mittel ein Vielfaches der Zeit, die bei gleichmäßigem Takt nötig wäre. Die Demo zeigt diesen Vorgang auf einer Ringlinie, in der alle Busse im Kreis fahren.

Warum passiert das?

Es beginnt mit einer kleinen Störung: Ein Bus braucht für ein Stück Strecke etwas länger als geplant. An der nächsten Haltestelle haben sich in der Zwischenzeit mehr Fahrgäste angesammelt, weil der Abstand zum Vordermann größer geworden ist. Mehr Einsteigende bedeuten einen längeren Halt, und der Bus wird noch später.

Der Bus dahinter trifft auf weniger Wartende, hält kürzer und holt auf. Der Abstand zwischen beiden schrumpft, bis sie zusammen fahren. Der gleichmäßige Takt ist also von selbst instabil: Eine Rückkopplung verstärkt kleine Schwankungen der Fahrzeit.

Dass die Fahrgäste so lange warten, hat einen eigenen Grund, das Wartezeit-Paradox: Wer zu einem zufälligen Zeitpunkt an die Haltestelle kommt, trifft eher in eine große Lücke als in eine kleine. Je ungleicher die Abstände sind, desto länger ist die mittlere Wartezeit, obwohl gleich viele Busse fahren.

Eine scharfe Schwelle, ab der Bunching beginnt, gibt es in der Demo nicht: Je stärker die Rückkopplung, desto häufiger entsteht ein Pulk. Erst bei sehr hoher Last, wenn die Busse mit dem Einsteigen kaum noch nachkommen, bricht der Betrieb scharf zusammen.

Was hilft?

Die Demo vergleicht zwei Regeln, die Busse an Haltestellen bewusst warten lassen (englisch Holding, Halten). Beim Fahrplan-Holding darf ein Bus eine Haltestelle nicht vor dem Sollzeitpunkt verlassen, wobei ein kleiner Puffer, also ein Zeitzuschlag, eingeplant ist. Beim Headway-Holding (Headway heißt der zeitliche Abstand zum Vordermann) darf er nicht abfahren, bevor ein vorgegebener Abstand zum Bus vor ihm erreicht ist.

Beide Regeln lassen verspätete Busse wieder aufschließen und halten den Takt gleichmäßig. Die Wartezeit der Fahrgäste sinkt dadurch stark. Eine einfache Regel kommt im untersuchten Modellbereich nah an das beste Ergebnis heran; die Zahlen dazu stehen im Fachteil.

Wer zahlt den Preis, und wo liegt der Haken?

Das Warten kostet Zeit: Die Busse brauchen für einen Umlauf länger als geplant. In der Grundeinstellung der Demo lohnt sich das, weil die Gesamtreisezeit der Fahrgäste insgesamt sinkt. Bei sehr vielen Bussen oder bei voll besetzten Bussen kann Halten dagegen schaden.

Auch ein fester Puffer reicht nicht immer: Er muss mit der Last wachsen, sonst bricht die Regel früher zusammen. Eine Regel, die für alle Lagen am besten ist, gibt es nach den Messungen der Demo nicht.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo zeigt einen Mechanismus, keine Prognose für eine reale Linie. Sie nimmt unter anderem an, dass die Störungen der Fahrzeit voneinander unabhängig sind, dass an jeder Haltestelle nur ein Bus gleichzeitig halten kann und dass Fahrgäste nicht auf lange Wartezeiten reagieren. Die Aussagen gelten in diesem Modell, bei diesen Reglern.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Linie: Ring mit 24 Haltestellen, 2 bis 24 Busse (zu Beginn gleichmäßig verteilt), Soll-Umlaufzeit 60 min. Ein Bus fährt erst ein, wenn der Vorgänger abgefahren ist (Einzelsteg, plus 0,05 min).
• Fahrgäste: je Haltestelle ein Poisson-Strom mit 0,5 je Minute, Ziel gleichverteilt auf die übrigen Haltestellen (mittlere Fahrt 12 Halte). Haltezeit = Grundhalt 0,25 min + Zustiegszeit je einsteigendem Fahrgast; Aussteigezeit null. Last \(\sigma\) = Haltestellen · Zustiegszeit · Fahrgastrate (Standardfall \(\sigma\) 0,48, \(\kappa\) = Zustiegszeit · Rate = 0,02).
• Fahrzeit je Segment: Erlang-verteilt (Variationskoeffizient, also Standardabweichung durch Mittel: 0,2 / ≈ 0,41 / ≈ 0,58), unabhängig von Segment zu Segment, Mittel 2,1 min.
• Wartebuchhaltung (Rao-Blackwell): Gegeben die Zahl der Wartenden sind die Ankunftszeiten gleichverteilt, die Wartesumme ist \(n g / 2\); Wartende stehen in einer Warteschlange je Haltestelle, bei Platzgrenze steigen die ältesten ein.
• Strategien: Fahrplan-Holding (Abfahrt an jeder \(c\)-ten Haltestelle nicht vor dem Sollzeitpunkt, Puffer 5 bis 20 %), Headway-Holding (Abfahrt nicht vor Abfahrt des Vordermanns + \(\eta\) · Soll-Takt, Haltezeit höchstens 3 min) und die Feldregel als Gegenprobe (nur jede dritte Haltestelle, \(\eta\) 0,8, Obergrenze 2 min). Überspringen gibt es nicht.
• Zufall und Messung: plattformstabile SplitMix64-Ströme je Bus; die erste Zeit nach dem Start wird als Einschwingzeit verworfen.

Haltezeit, Rückkopplung und Halten

Ein Bus, der an einer Haltestelle \(n\) Wartende aufnimmt, hat bei Grundhalt \(d_0\) und Zustiegszeit \(s\) die Haltezeit \(D\); die Abfahrt ohne Regelung folgt der Ankunft \(t_{\text{an}}\):

\[D = d_0 + s\,n, \qquad t_{\text{ab}} = t_{\text{an}} + D\]

Mit der Fahrgastrate \(\lambda\) ist \(n \approx \lambda g\) für den Abstand \(g\) zum Vordermann: Ein größerer Abstand bringt mehr Wartende, einen längeren Halt und damit mehr Verspätung. Das ist die Rückkopplung, die kleine Störungen verstärkt; gemessen wird sie durch \(\kappa = s\lambda\) und die Last der ganzen Linie \(\sigma = N\kappa\) bei \(N\) Haltestellen. Das Fahrplan-Holding verlangt für den \(k\)-ten Halt eine Abfahrt nicht vor dem Sollzeitpunkt \(k\tau\) mit \(\tau = (1 + p)\,T_0 / N\) (Puffer \(p\), Soll-Umlaufzeit \(T_0\)). Das Headway-Holding hält einen Bus so lange, bis der Soll-Abstand \(\eta\,h_0\) zur Abfahrt \(t^{\text{Vorg}}\) des Vordermanns erreicht ist, höchstens aber um die Obergrenze \(H\):

\[t_{\text{ab}} = t_{\text{an}} + D + \min\bigl(H,\ \max(0,\ t^{\text{Vorg}} + \eta\,h_0 - t_{\text{an}} - D)\bigr)\]

Konvoi, Zusammenbruch und Wartezeit-Paradox

Fahren alle Busse zusammen (Konvoi), hat der erste bei reiner Fahrzeit \(m\) und dem Abstand \(\Delta\) des letzten Busses zum ersten die Umlaufzeit

\[T_c = \frac{N m + N (d_0 - \kappa \Delta) / (1 + \kappa)}{1 - \sigma / (1 + \kappa)}\]

Der Nenner wird bei \(\sigma = 1 + \kappa\) null: Zusammenbruch. Für die mittlere Wartezeit zufällig ankommender Fahrgäste gilt bei Abstandsmittel \(\bar h\) und Variationskoeffizient \(\mathrm{CV}\) der Abstände

\[\bar W = \bar h\,\frac{1 + \mathrm{CV}^2}{2}\]

Ungleiche Abstände erhöhen also die Wartezeit bei gleich vielen Bussen; bei gleichmäßigem Takt (\(\mathrm{CV}\) null) ist sie der halbe Abstand.

Befunde

Alle Zahlen stehen in der Messreihe der Demo und sind in deren Tests nachgerechnet. Sie gelten für diese Ringlinie mit unabhängiger Fahrzeitstörung (Mittel ± Standardfehler über 30 Zufalls-Seeds, 10-h-Schicht, Basiseinstellung 8 Busse, \(\sigma\) 0,48, Störung mittel, unbegrenzte Plätze). Ausnahmen sind genannt.

Frage	Befund
Was bringt Halten?	Wartezeit 14,6 ± 1,0 min ohne Regelung (gleichmäßiger Takt: 3,75 min), 4,1 ± 0,0 mit Fahrplan-Holding (Puffer 10 %), 3,9 ± 0,0 mit Headway-Holding (\(\eta\) 1,0); Variationskoeffizient der Abstände 1,68, 0,36 und 0,22. Der Preis ist die Umlaufzeit: 66,0 und 70,3 min statt 60 min Soll (+10 % und +17 %). Die Gesamtreisezeit (Warten plus Fahren) sinkt gepaart um 10,9 ± 1,4 bzw. 9,1 ± 1,3 min. Ohne Regelung bräuchte man für dieselbe Wartezeit etwa 17,5 (Fahrplan) bzw. 17,9 (Headway) statt 8 Busse (Interpolation über die Busanzahl).
Gibt es einen Kipppunkt der Entstehung?	Nein. Der Anteil der Zufalls-Seeds mit einem Variationskoeffizienten größer als 1,2 nach 7 h steigt ohne Regelung stetig mit der Last: 7 / 17 / 33 / 67 / 93 % bei \(\sigma\) 0,06 / 0,12 / 0,24 / 0,36 / 0,48; Mitte der Kurve bei \(\sigma\) ≈ 0,30. Selbst ohne Rückkopplung (\(\sigma = 0\)) wird der Variationskoeffizient 0,86 (unabhängige Busse: 0,88).
Wo bricht es scharf?	Bei \(\sigma\) ≈ 1: Ohne Regelung steigt die Umlaufzeit stationär von 60 min (\(\sigma\) 0,12) auf 328 min (\(\sigma\) 0,96); die Konvoi-Formel (Pol bei \(\sigma = 1 + \kappa\)) trifft den freien Betrieb dann nur zu 50 %. Headway-Holding hält die Wartezeit bei 3,9 min bis \(\sigma\) 0,96, bei 1,08 sind es 5,2 min, bei 1,20 schon 34,4 min. Fahrplan-Holding mit 10 % Puffer bricht früher (6,4 min bei \(\sigma\) 0,72, 22,5 bei 0,84, 54,9 bei 0,96), mit 20 % Puffer erst bei \(\sigma\) 1,44: Der nötige Puffer wächst mit der Last.
Wann schadet das Halten?	Bei 24 Bussen (ein Bus je Haltestelle) liegt die Gesamtreisezeit ohne Regelung bei 32,9 ± 0,1 min, mit Fahrplan-Holding bei 34,7 ± 0,1, mit Headway-Holding bei 38,4 ± 0,1. Bei 50 Plätzen (mittlere Besetzung 1,04) steigt die Wartezeit durch Headway-Holding von 11,2 auf 22,5 min.
Wie weit liegt eine einfache Regel vom Optimum?	Das Gitteroptimum des Fahrplan-Holdings liegt bei Kontrollhaltestelle jede 1. und 7,5 % Puffer (36,6 ± 0,1 min Gesamtreisezeit auf den Test-Zufalls-Seeds der Parametersuche, ohne Regelung 46,0 ± 0,9). Die Regel „Fahrplan, jede Haltestelle, 10 % Puffer“ erreicht 97 % des möglichen Gewinns, „Fahrplan jede dritte, 10 %“ 94 %, Headway (\(\eta\) 1,0) 76 %, die Feldregel 66 %. In 80 von 567 Zellen ist Halten schlechter als nichts tun.
Gilt das Wartezeit-Paradox?	Gemessene Wartezeit gegen \(\bar h\,(1 + \mathrm{CV}^2) / 2\) mit den gemessenen Abständen: Verhältnis 0,94 ohne Regelung. Nicht exakt, weil Haltezeit und Fahrgäste während des Halts hineinspielen; bei \(d_0 = s = 0\) gilt die Formel auf 2 %.

Grenzen

• Die Fahrzeitstörung ist unabhängig je Segment. In der Praxis sind Verspätungen korreliert (Ampeln, Verkehr), was das Bunching beschleunigen würde; das ist nicht gemessen.
• Stark stilisiert: Einzelsteg, Aussteigezeit null, gleichverteilte Ziele, keine Reaktion der Fahrgäste. Die Zahlen sind ein Mechanismus, keine Prognose für eine reale Linie und keine Euro-Aussage.
• Obergrenzen ohne Platzgrenze: Mit Platzgrenze sinkt der Gewinn des Haltens; bei Besetzung um 1 verschlechtert jede Strategie die Lage, und der Konvoi aus allen Bussen tritt nur ohne Grenze auf.
• Kein scharfer Kipppunkt, kein Optimierungsergebnis: Die Regeln R1, R3 und R4 der Optimum-Tabelle wurden nach Ansicht der Strategietabelle gewählt (nicht verblindet), nur R2 war vorab gesetzt. „Fahrplan, jede Haltestelle, 10 % Puffer“ ist faktisch das Optimum nur in diesem Modellbereich (Störung 0,2 bis 0,6, \(\kappa\) 0,02 bis 0,03, 10 h); bei hoher Last oder 40 h bricht ein fester Puffer.
• Streuung wirkt nicht monoton: Starke Störung bündelt in den ersten Stunden weniger, auf Dauer nicht. Eine Pauschalaussage „mehr Streuung, mehr Pulk“ gibt es deshalb nicht.
• Erlang statt Gamma: Variationskoeffizient 0,41 statt 0,40 und 0,58 statt 0,60, damit die Zufallsquelle auf jeder Plattform gleich rechnet.
• Nur 30 Zufalls-Seeds je Zelle: Standardfehler stehen überall dabei.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/bunching-demo.