Sebastian Hanisch
Rückkopplung und Verzögerung · Verständlich erklärt

Die Ware unterwegs mitzählen verständlich erklärt

Ein Lager bestellt nach, doch die Ware braucht Zeit. Wer nur aufs Regal schaut, übersieht, was schon unterwegs ist. Er bestellt es ein zweites Mal, und das Lager kann sich aufschaukeln. Die Seite zeigt zuerst ohne Formeln, was es bringt, die Ware unterwegs mitzuzählen, und dann mit Messwerten, was es kostet und wo es endet.

Für Einsteiger Für Fachleute Zur Demo

Zuletzt aktualisiert:

Teil 1 · Für Einsteiger

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Wer bestellt, obwohl noch Ware unterwegs ist

Stellen Sie sich ein Lager vor. In jeder Periode (etwa einer Woche) wird verkauft, und jemand entscheidet, wie viel nachbestellt wird. Das Lager hat einen Zielbestand, das Soll. Fehlen im Regal 10 Stück bis zum Soll, ist die Lücke 10 Stück. Die Ware kommt nicht sofort, sondern nach einer festen Lieferzeit. In dieser Zeit liegt sie auf dem Weg, nicht im Regal. Diese schon bestellte, noch nicht gelieferte Menge heißt hier die Ware unterwegs (offene Bestellungen; Fachwort: Leitung).

Beispiel mit ausgedachten Zahlen: Die Lücke ist 10 Stück, also bestellt das Lager 10 nach. Eine Periode später fehlen im Regal noch immer 10 Stück, denn die bestellten 10 sind unterwegs, aber nicht da. Schaut die Regel nur aufs Regal, bestellt sie dieselben 10 ein zweites Mal. Kommt alles an, ist zu viel da, das Lager bestellt danach zu wenig, und das Hin und Her kann sich aufschaukeln.

Der Ausweg liegt nahe: Die Regel zählt die Ware unterwegs mit, als läge sie schon im Regal. Wie weit sie das tut, lässt sich einstellen. Diese Einstellung heißt hier Gewicht (in der Demo: Leitungsgewicht). 0 heißt, die Ware unterwegs bleibt unbeachtet, 1 heißt, sie zählt voll mit.

Ein Rechenmodell dazu

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Sie rechnet ein einfaches Modell nach: ein Lager, eine feste Lieferzeit, eine Bestellregel mit zwei Einstellungen. Das Gewicht kennen Sie schon. Die Anpassung ist der Anteil der Lücke, den das Lager je Periode nachbestellt: 1 heißt die ganze Lücke, weniger als 1 nur einen Teil. Das Modell erlaubt auch Werte über 1, dann bestellt die Regel mehr, als fehlt. So lässt sich finden, wann das Lager überschießt.

Das Modell meldet den Bestand ohne Verzögerung, kennt keine Untergrenze für Bestellungen und beschreibt kein Verhalten von Menschen.

Was das Mitzählen bringt

Das Modell fragt: Kommt das Lager zur Ruhe, und wie schnell? Dazu gibt es einen einmaligen Stoß, eine Periode mit ungewöhnlich hohem Bedarf. Die Abklingzeit ist die Zahl der Perioden, bis der Ausschlag (die Abweichung vom Soll) fast verschwunden ist, nämlich unter 1 % des größten Ausschlags.

Ein Vergleich zweier festgelegter Einstellungen bei Lieferzeit 12: Ohne Mitzählen und mit einer rechnerisch ausgezeichneten Anpassung (im zweiten Teil: Doppelwurzel) klingt der Stoß nach 84 Perioden ab. Mit vollem Gewicht und einer Anpassung unter 1 sind es 14. Das ist ein Vergleich dieser beiden Einstellungen, keine Aussage über die beste mögliche. In diesem Modell kommt mit vollem Gewicht die Lieferzeit in der Stabilitätsrechnung nicht mehr vor, nur noch die Anpassung.

Die Schwelle bei halbem Gewicht

Wie groß darf die Anpassung sein, ohne dass sich das Lager aufschaukelt? In diesem Modell gibt es dafür eine Grenze. Ohne Mitzählen sinkt sie mit längerer Lieferzeit. Mit dem Gewicht steigt sie bis zum halben Gewicht. Dort lag sie in den geprüften Fällen bei 2, auch bei verschiedenen Lieferzeiten. Warum, zeigt die Rechnung im zweiten Teil.

Über dem halben Gewicht hängt die Grenze davon ab, ob die Lieferzeit eine gerade oder ungerade Zahl von Perioden ist. Dieses Muster haben wir gemessen, nicht erklärt.

Volles Gewicht ist eine scharfe Spitze

Bei Lieferzeit 12 und einer Anpassung unter 1 klang der Stoß mit vollem Gewicht nach 14 Perioden ab, mit einem Gewicht, das nur eine Spur darunter liegt, erst nach 24. Und volles Gewicht war nicht überall am schnellsten: Bei Lieferzeit 3 und vorsichtiger Anpassung war ein Gewicht etwas unter 1 mit acht Perioden schneller als das volle mit zehn.

Der Haken: die Lieferzeit muss stimmen

Die Regel braucht eine Vorstellung davon, wie viel Ware unterwegs sein sollte. Dafür muss das Lager Lieferzeit und mittleren Bedarf schätzen. Schätzt es die Lieferzeit falsch, bleibt der Bestand in der Demo dauerhaft neben dem Soll, und zwar umso weiter, je mehr Gewicht die Ware unterwegs hat. Bei Gewicht 0 entsteht diese Abweichung nicht.

Beispiel in den Zahlen der Demo: Die wahre Lieferzeit ist 4 Perioden, das Gewicht ist 1. Schätzt das Lager 3, bleibt der Bestand dauerhaft um den Bedarf einer Periode unter dem Soll. Schätzt es 4, ist die Abweichung 0. Sie gleicht sich nicht mit der Zeit aus und hängt in diesem Modell nicht an der Anpassung, solange das Lager stabil ist.

Häufige Missverständnisse

  • „Mit Mitzählen kann sich nichts mehr aufschaukeln.“ Nein. Reagiert das Lager zu stark, schwingt es auch dann auf; die Grenze lag bei halbem Gewicht in den geprüften Fällen bei 2.
  • „Mehr Gewicht ist besser.“ Nicht durchgehend: Volles Gewicht war nicht in jedem geprüften Fall am schnellsten, und die Dauerabweichung bei falscher Lieferzeit wächst mit dem Gewicht.
  • „Eine falsch geschätzte Lieferzeit gleicht sich aus.“ Nein. In diesem Modell bleibt die Abweichung dauerhaft.

Fragen an eine Behauptung und Zeichen im Betrieb

Hören Sie, ein Lager „zähle die offenen Bestellungen mit“, fragen Sie: Mit welchem Gewicht, und wie genau sind Lieferzeit und mittlerer Bedarf geschätzt? Zwei Zeichen, die in diesem Modell auf Ursachen deuten:Bleibt der Bestand bei stimmendem Durchschnittsbedarf dauerhaft über oder unter dem Soll, liegt es nahe, die Schätzung der Lieferzeit zu prüfen. Wechseln die Bestellungen zwischen zu viel und zu wenig und werden nicht kleiner, kann das an einer Anpassung über der Grenze liegen.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Es ist eine einzige Bestellregel in einem Lager mit fester Lieferzeit, ohne Meldeverzug und ohne Untergrenze, kein Befund über echte Lager oder Menschen. Es liefert Fragen für die Praxis, keine Antworten.

Was Sie mitnehmen:

  • Zählt die Regel die Ware unterwegs mit, bleibt das Lager in diesem Modell bei stärkerer Reaktion ruhig, als es ohne Mitzählen möglich wäre.
  • Eine falsch geschätzte Lieferzeit hinterlässt dauerhaft eine Abweichung, die mit dem Gewicht wächst.
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Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Teil 2 · Für Fachleute

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst das Modell der Demo zusammen; die vollständige Formulierung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo. Alle Formeln und Befunde sind eigene Herleitung und Messung in diesem Modell, ob sie in der Fachliteratur zu Regeln mit Leitungsrückführung stehen, ist nicht geprüft.

  • Größen: Alle Größen sind Abweichungen vom Gleichgewicht, Zähleinheit ist die Periode. \(i_t\) ist der Bestand minus Soll, \(u_t\) die Bestellung minus mittlerer Bedarf \(d\), \(e_t\) die Bedarfsabweichung, \(L\) die Lieferzeit, \(\alpha\) die Anpassung und \(\beta\) das Leitungsgewicht. Der Mittelbedarf \(d = 10\) ist fest und nur eine Skala.
  • Annahmen: Meldeverzug 0, keine Klemmung (Bestellungen dürfen unter den Mittelbedarf fallen), konstanter Mittelbedarf, feste Lieferzeit.
  • Soll-Leitung: \(W^{*} = \hat d\,(\hat L - 1)\) mit geschätzter Lieferzeit \(\hat L\) und geschätztem Mittelbedarf \(\hat d\). \(\Delta W = d\,(L-1) - W^{*}\) ist der Fehler der Soll-Leitung und gleich 0, wenn sie stimmt.
  • Stabilität: Stabil heißt, alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms \(P\) liegen im Einheitskreis, der Spektralradius \(\rho\) ist kleiner als 1. Die Grenze \(\alpha_{\mathrm{krit}}\) ist das kleinste \(\alpha\) mit einer Wurzel außerhalb des Einheitskreises, also das erste Überschreiten.
  • Abklingzeit: Bedarfsstoß \(e_0 = 1\), danach nichts mehr; gezählt wird die letzte Periode \(t\), in der \(\lvert i_t\rvert\) noch über 1 % von \(\max\lvert i\rvert\) liegt. \(\rho\) gleich 1 heißt hier \(\lvert\rho - 1\rvert \le 10^{-9}\): Die Schwingung klingt weder ab noch wächst sie, und die Rundung entscheidet über Bruchteile von 10⁻⁹.

Die Formeln

Das Modell besteht aus Bestandsbilanz und Bestellregel:

\[i_{t+1} = i_t + u_{t+1-L} - e_t\]

\[u_t = -\alpha\Bigl(i_t + \beta\bigl(\textstyle\sum_{j=1}^{L-1} u_{t-j} + \Delta W\bigr)\Bigr)\]

Der Bestand steigt um die ankommende Bestellung \(u_{t+1-L}\) und fällt um den Bedarf \(e_t\). Die Bestellung gleicht den Bestand zu einem Anteil \(\alpha\) aus und rechnet die Ware unterwegs, die Summe der letzten \(L-1\) Bestellungen, mit dem Gewicht \(\beta\) mit. Für \(L = 1\) ist die Summe leer.

Mit dem Zustand \((i_t, u_{t-1}, \dots, u_{t-L+1})\) hat die Zustandsmatrix für \(\Delta W = 0\) das charakteristische Polynom

\[P(z) = z^{L} - (1-\alpha\beta)\,z^{L-1} + \alpha\,(1-\beta)\]

Die Übertragungsfunktion vom Bedarf zum Bestand ist

\[I(z) = -\frac{N(z)}{P(z)}\,E(z),\qquad N(z) = z^{L-1} + \alpha\beta\,\bigl(z^{L-2} + \dots + 1\bigr)\]

Es gilt \(P(1) = \alpha\): Für \(\alpha \ne 0\) liegt keine Wurzel bei \(z = 1\), der Bestand verliert die Stabilität also nicht über \(z = 1\). Außerdem gilt

\[P(-1) = (-1)^{L}\,(2-\alpha\beta) + \alpha\,(1-\beta)\]

Bei ungeradem \(L\) ist das \(\alpha - 2\), also hat \(P\) bei \(\alpha = 2\) für jedes \(\beta\) eine Wurzel bei \(-1\).

Sonderfälle. Bei \(\beta = 1\) ist \(P(z) = z^{L-1}\bigl(z-(1-\alpha)\bigr)\): Die Lieferzeit steht nicht mehr im Spektralradius \(\rho = \lvert 1-\alpha\rvert\). Bei \(\beta = \tfrac12\) und \(\alpha = 2\) ist \(P(z) = z^{L} + 1\), alle Wurzeln liegen auf dem Einheitskreis. Ohne Leitung (\(\beta = 0\)) hat \(P\) bei \(\alpha^{*} = \tfrac1L\bigl(\tfrac{L-1}{L}\bigr)^{L-1}\) eine Doppelwurzel bei \(z^{*} = \tfrac{L-1}{L}\) (exakt in Brüchen geprüft); gemessen ist dort auch der kleinste Spektralradius über \(\alpha\), \(1 - \tfrac1L\). Für \(L = 2\) ist die Grenze geschlossen (Jury-Bedingungen): \(\alpha_{\mathrm{krit}} = \min\bigl(\tfrac{1}{1-\beta},\ \tfrac{2}{2\beta-1}\bigr)\) für \(\beta > \tfrac12\) (\(\tfrac{2}{2\beta-1}\) entfällt bei \(\beta \le \tfrac12\), \(\tfrac{1}{1-\beta}\) bei \(\beta \ge 1\)).

Dauerfehler. Bei konstantem Fehler \(\Delta W\) ist im Gleichgewicht \(u = 0\) und

\[i^{*} = -\beta\,\Delta W\]

unabhängig von \(\alpha\), solange das Gleichgewicht existiert (\(\rho\) unter 1).

Streuung bei weißem Bedarf. Mit der Zustandsmatrix \(A\) und \(b = (-1, 0, \dots, 0)^{\top}\) löst die stationäre Kovarianz \(\Sigma = A\,\Sigma\,A^{\top} + b\,b^{\top}\); es ist \(\operatorname{var}(i)/\operatorname{var}(e) = \Sigma_{11}\) und \(\operatorname{var}(u)/\operatorname{var}(e) = c\,\Sigma\,c^{\top}\) mit \(c = (-\alpha, -\alpha\beta, \dots, -\alpha\beta)\). Bei \(\beta = 1\):

\[\frac{\operatorname{var}(u)}{\operatorname{var}(e)} = \frac{\alpha}{2-\alpha},\qquad \frac{\operatorname{var}(i)}{\operatorname{var}(e)} = (L-1) + \frac{1}{\alpha\,(2-\alpha)}\]

Nachgerechnet

Die folgenden Schritte rechnet diese Seite nach, sie sind keine Messung der Demo. Einsetzen von \(z = 1\) gibt \(P(1) = 1 - (1-\alpha\beta) + \alpha(1-\beta) = \alpha\beta + \alpha - \alpha\beta = \alpha\). Bei \(\beta = 1\) fällt das konstante Glied \(\alpha(1-\beta)\) weg, \(z^{L-1}\) lässt sich ausklammern, und es bleibt die einfache Wurzel \(1-\alpha\) neben der \((L-1)\)-fachen Wurzel 0. Bei \(\beta = \tfrac12\), \(\alpha = 2\) ist \(1-\alpha\beta = 0\) und \(\alpha(1-\beta) = 1\), also \(P(z) = z^{L} + 1\); die Wurzeln sind die \(L\)-ten Wurzeln aus \(-1\) und liegen auf dem Einheitskreis.

Zur Grenze: Stellt man \(P(z) = 0\) nach \(\alpha\) um, ergibt sich für \(z = e^{i\theta}\) auf dem Einheitskreis \(\alpha(\theta) = -z^{L-1}(z-1)/\bigl(\beta z^{L-1} + 1 - \beta\bigr)\). Die Demo sucht die Nullstellen des Imaginärteils von \(\alpha(\theta)\) und prüft dahinter, ob dort die Stabilität endet; sie braucht dafür kein Gitter in \(\alpha\) und keine Obergrenze. Als zweiten Weg prüfen die Tests ein Gitter in \(\alpha\) mit Bisektion auf dem Spektralradius und, für \(L = 2\), die Jury-Bedingungen.

Befunde

Alle Zahlen gelten in diesem Modell (Meldeverzug 0, ohne Klemmung) bei den genannten Parametern; Zählungen sind „k von n“ über die genannten Zellen. Die Demo prüft Zählungen und Bänder, kein Zahlenwert hängt an der letzten Stelle.

FrageBefund
Stimmen die Rechenwege?Koeffizienten von P gegen das charakteristische Polynom der Zustandsmatrix: größte Abweichung 3,0·10⁻¹⁴ in 275 Fällen (L = 2 bis 12). P(1) = α und die Formel für P(−1): 1,8·10⁻¹⁵ und 8,9·10⁻¹⁶ in je 2000 Zufallsfällen. Spektralradius aus den Wurzeln gegen Eigenwerte: größte Abweichung 1,9·10⁻¹⁴ in 1680 Fällen (L = 2 bis 8, β von −1,5 bis 2,5, α von 0,054 bis 2,97).
β = ½: wo liegt die Grenze?α_krit = 2 für 10 von 10 Lieferzeiten (L = 1 bis 8, 12, 13). ρ < 1 auf allen 5970 Gitterpunkten (L = 1 bis 30, 199 Werte von α zwischen 0,0137 und 1,9871); dazu 3000 Zufallspaare bis L = 60 ohne Gitter. Bei α = 2 ist P = z^L + 1: A^(2L) = I exakt in Brüchen für 8 von 8 (L = 2 bis 9, kleinste Potenz 2L), alle Wurzeln auf dem Einheitskreis für 8 von 8 (L = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 25). β = ½ ± 10⁻⁹ ändert die Grenze für L = 2 bis 8 um weniger als 10⁻³.
Unterhalb von ½?Die Grenze steigt mit β, und je größer L, desto steiler: β = 0,49: 1,889 (L = 3), 1,612 (L = 6), 1,149 (L = 12), 0,697 (L = 24); β = 0,495 bei L = 24: 0,920; β = 0,5: 2,000.
Parität oberhalb von ½β = 0,6 und 0,8: ungerades L: α_krit = 2,000 in 38 von 38 Zellen (L = 3, 5, …, 39), gerades L: über 2 in 40 von 40 Zellen (L = 2, 4, …, 40), mit L fallend: β = 0,8: 3,333 (L = 2), 2,395 (4), 2,168 (6), 2,044 (12), 2,004 (40). Für L = 2 ist die Grenze exakt min(1/(1 − β), 2/(2β − 1)) (Jury): 14 von 14 Werten von β zwischen −2 und 3 auf 10⁻⁸, Maximum 4 bei β = ¾. Gegenprobe: ungerades L bis 39, 2000 zufällige Paare (L, β in [½, 1]) mit je 12 zufälligen α ohne Gitter: stabil unter 2, instabil knapp über 2. Warum sich gerades und ungerades L trennen, ist nicht erklärt (gemessen: bei ungeradem L ist P(−1) = α − 2).
β unter 0α_krit fällt unter den Wert bei β = 0 und mit |β|: L = 3: 0,618 (β = 0), 0,469 (−0,25), 0,274 (−1), 0,177 (−2); L = 12: 0,136 (β = 0), 0,054 (−1). Kein stabiles Stück oberhalb der Grenze in 140 von 140 Zellen (14 Werte von β, 10 Werte von L; je 4000 Punkte bis α = 8); Gegenprobe 5000 zufällige α (500 Paare).
β über 1Gerades L: α_krit = 2/(2β − 1) in 25 von 25 Zellen (L = 2, 4, 6, 8, 12; β = 1,1, 1,25, 1,5, 2, 3), unter 2. Ungerades L liegt über dieser Kurve 2/(2β − 1) in 12 von 12 Zellen (L = 3, 5, 7, 13; β = 1,1, 1,5, 3): L = 3: 2,000 (β = 1,1), 1,281 (1,5), 0,432 (3); L = 13: 1,747, 1,013, 0,401; L = 7, β = 1,1: 1,914. Eine geschlossene Formel für den ungeraden Fall ist nicht hergeleitet. Für L = 1 ist ρ = |1 − α| für jedes β (größte Abweichung unter 10⁻¹² auf 750 Paaren).
Wie schnell klingt es ohne Leitung ab, wie mit?Einstellung ohne Leitung mit der Doppelwurzel (Einstellung mit dem kleinsten Spektralradius; Doppelwurzel bei z* = (L−1)/L, α* = ((L−1)/L)^(L−1)/L, exakt in Brüchen für 29 von 29, L = 2 bis 30; der kleinste Spektralradius auf einem Gitter von 2000 Werten von α ist dort 1 − 1/L, geprüft für L = 2, 3, 6, 12): Abklingzeit 11 (L = 2), 18 (3), 40 (6), 84 (12), 172 (24) Perioden, das 5,5- bis 7,2fache von L. Mit β = 1 und α = 1 (gerechnet mit α = 1 + 10⁻⁹) genau L Perioden in 14 von 14 Lieferzeiten (L = 2 bis 12, 16, 20, 24); in Brüchen ist der Bestand bei α = 1 für L Perioden −1 und ab t = L + 1 exakt 0 (L = 1 bis 7).
Handbeispiel (L = 2, α = 1,2)Ohne Leitung ρ = 1,095 (+9,5 % je Periode); mit β = 0,55 ρ = 0,735, Abklingzeit 16 Perioden; mit β = ½ ρ = 0,775 und 19 Perioden (Handwert in Brüchen: i₁ bis i₈ = −1, −1, 1/5, 17/25, 19/125, −217/625, −719/3125, 1817/15625).
Spitze bei β = 1Abklingzeit bei α = 0,8 für β = 1 / 0,99 / 0,9 / 1,1: L = 3: 5 / 5 / 7 / 8; L = 6: 8 / 12 / 18 / 14; L = 12: 14 / 24 / 36 / 26 Perioden (gleiche Werte bei α·(1 ± 10⁻⁶)). ρ bei L = 12: 0,200 (β = 1), 0,688 (0,99), 0,837 (0,9). Nicht überall ist β = 1 am schnellsten: L = 3, α = 0,45: 8 Perioden bei β = 0,9 gegen 10 bei β = 1.
β = ½ nahe α = 2„Stabil“ heißt hier „klingt kaum ab“: α = 1,99, β = ½: 5842 Perioden (L = 3, ρ = 0,999164), 43 208 (L = 6), 338 186 (L = 12), 1858 (L = 2). Die Schätzung ln 0,01 / ln ρ liegt in 12 von 12 Zellen mit Abklingzeit über 100 (L = 2, 3, 6, 12; α = 1,01, 1,51, 1,91, 1,99) um 1,0 bis 5,9 % darunter (die Zellen mit kürzerer Abklingzeit sind nicht gezählt; α = 1,01, L = 2: 10,1 % darunter bei 15 Perioden).
Dauerfehler bei falscher Lieferzeiti* = −β·ΔW exakt in 720 von 720 Fällen (Gauß mit Brüchen; L = 1 bis 6, α ∈ {3/10, 3/5, 9/10, 7/5}, β ∈ {−1/3, 0, 1/3, 3/5, 1, 3/2}, fünf Soll-Leitungen darunter „Mittelbedarf 7 statt 10“; alle gespeicherten Bestellungen 0). Beispiel L = 4, d = 10, in Perioden Bedarf für L̂ = 2 bis 6: β = 1: −2, −1, 0, 1, 2; β = 3/5: −1,2, −0,6, 0, 0,6, 1,2; β = 0: überall 0. Simulation gegen den exakten Wert: 9 von 9 stabilen Fällen, größte Abweichung 8,9·10⁻¹⁵ nach 20 000 Perioden. Mit Bedarfsrauschen (Standardabweichung 0,2 d, 400 000 Perioden, Batch-Mittel 40 × 10 000): drei Zufalls-Seeds (16, 17, 18) mit je vier Einstellungen, Abstand des Mittels zum exakten Wert höchstens 0,82 Standardfehler (die vier Einstellungen eines Seeds teilen sich die Rauschfolge: es sind drei unabhängige Läufe). Zeit bis auf 1 % von |i*| (L = 4, α = 0,4, L̂ = 3): 19 Perioden bei β = 0,55, 13 bei β = 1.
Preis der Ruhe (weißer Bedarf, L = 3)var(u)/var(e) und var(i)/var(e) für β = 0 / 0,55 / 1: α = 0,45: 1,042 und 5,147 / 0,400 und 3,407 / 0,290 und 3,434; α = 0,3: 0,350 und 3,889 / 0,222 und 3,763 / 0,176 und 3,961; α = 0,6: 13,286 und 36,905 / 0,636 und 3,373 / 0,429 und 3,190; α = 0,8 ohne Leitung instabil. Bei α = 0,45 ist die Bestandsstreuung unter den drei β der Tabelle bei β = 0,55 am kleinsten (3,407 gegen 3,434 bei β = 1); das Minimum über alle β liegt bei etwa β = 0,72. Bei β = 1 gilt var(u)/var(e) = α/(2 − α) und var(i)/var(e) = (L − 1) + 1/(α(2 − α)): größte Abweichung 8,2·10⁻¹⁴ (L = 1, 3, 8; 19 Werte von α zwischen 0,113 und 1,887); Minimum der Bestandsstreuung L bei α = 1. Simulation (400 000 Perioden, Zufalls-Seed 5, α = 0,45) liegt höchstens 1,4 % neben der Lyapunov-Lösung.

Durchgerechnet: das Handbeispiel mit L = 2

Bei \(L = 2\) und \(\alpha = 1{,}2\) ist \(P(z) = z^2 - (1 - \alpha\beta)\,z + \alpha\,(1-\beta)\). Mit \(\beta = 0{,}55\) ist \(1 - \alpha\beta = 0{,}34\) und \(\alpha(1-\beta) = 0{,}54\). Die Diskriminante ist negativ, die beiden Wurzeln sind ein komplexes Paar mit Betrag \(\sqrt{0{,}54}\), also \(\rho \approx 0{,}735\), das ist der Messwert der Tabelle. Ohne Leitung (\(\beta = 0\)) ist das konstante Glied \(\alpha = 1{,}2\), also \(\rho = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}095\): Die Schwingung wächst je Periode um 9,5 %. Rechnung dieser Seite; die Messreihe der Demo bestätigt beide Werte (Zeile „Handbeispiel“ oben).

Lesart: Die Leitung ändert hier die Determinante von \(\alpha\) auf \(\alpha(1-\beta)\) und die Spur von 1 auf \(1 - \alpha\beta\). Die Brüche in der Zeile „Handbeispiel“ gehören zu \(\beta = \tfrac12\) und sind exakt in Brüchen gerechnet, nicht in Gleitkomma.

Grenzen

  • Ein Modell: Meldeverzug 0, feste Lieferzeit, ohne Klemmung, konstanter Mittelbedarf. Schon eine Periode Meldeverzug hebt die Grenze 2 bei \(\beta = 1\) nicht mehr (Vormessung für \(L = 3\) und 6: rund 0,7); das ist in der Demo nicht gerechnet.
  • Erstes Überschreiten: \(\alpha_{\mathrm{krit}}\) ist das kleinste \(\alpha\) mit einer Wurzel außerhalb des Einheitskreises. Dass oberhalb nichts wieder stabil wird, ist nur für \(\beta\) unter 0 gemessen (140 von 140 Zellen, 5000 Zufalls-\(\alpha\)); für die übrigen \(\beta\) wird es nicht behauptet.
  • Parität nur gemessen: Die Trennung von geradem und ungeradem \(L\) ist nicht erklärt. Für gerades \(L\) zwischen ½ und 1 und für ungerades \(L\) über 1 gibt es keine geschlossene Formel, nur Zahlen; für ungerades \(L\) zwischen ½ und 1 folgt aus \(P(-1) = \alpha - 2\) nur, dass die Grenze höchstens 2 ist; dass sie genau 2 ist, ist gemessen (38 von 38 Zellen, 2000 zufällige Paare).
  • ρ gleich 1: Bei \(\alpha = 2\), \(\beta = \tfrac12\) klingt die Schwingung nicht ab und wächst nicht; nahe daran heißt „stabil“ nur „klingt kaum ab“ (338 186 Perioden bei \(L = 12\), \(\alpha = 1{,}99\)). Die Schätzung \(\ln 0{,}01 / \ln\rho\) ist ein Vergleichswert, kein Gesetz; für die Doppelwurzel ohne Leitung klingt der Stoß langsamer ab als die Schätzung.
  • Abklingzeit ist eine Wahl: 1 % der Spitze, ein Bedarfsstoß; bei anderen Schwellen oder Stößen anderer Form ist nichts gemessen. An der Schwelle (\(\rho^2 = 0{,}01\) bei \(\beta = 1\), \(\alpha = 0{,}9\)) entscheidet die Rundung.
  • Dauerfehler: nur für konstanten Mittelbedarf, einmal geschätzte Soll-Leitung und ohne Klemmung; nachgeführte Schätzer, ein sich ändernder Mittelbedarf und Klemmung sind nicht gemessen. Der Fehler hängt in diesem Modell nicht an \(\alpha\), solange das Gleichgewicht existiert (\(\rho\) unter 1).
  • Rauschen: weißes Bedarfsrauschen; Saison und Resonanz sind nicht Teil der Demo. Der Zielkonflikt ist nur für \(L = 3\) in der Tabelle geprüft; die Demo rechnet \(L\) frei, geprüft sind die Zahlen oben und die Formel bei \(\beta = 1\).
  • Streuende Lieferzeit: Ob die Leitungsrechnung bei streuender Lieferzeit noch wirkt, ist nicht gemessen.
  • Eine Regel, kein Verhalten von Menschen: Die Voreinstellung „Leitung zu wenig“ der Demo zeigt nur, was das Modell bei \(\beta = 0{,}3\) tut.
  • Rechenzeit und Plattform: Zahlen mit sehr langen Läufen (Abklingzeiten über 10 000 Perioden, Simulationen mit 400 000 Perioden) und Gleitkomma-Summen stehen in der Demo als Band oder mit Toleranz; die Zahlen oben sind die des Entwicklungsrechners.
  • Nicht mit echtem Mausklick getestet: Die App ist mit Streamlits AppTest und im Browser über die Voreinstellungen geprüft; die Diagramme haben keine Auswahl.

Nachbar-Demos

Was diese Demo ausklammert, behandeln Nachbarn desselben Themenfelds (nur genannt, hier nicht gerechnet):

Quellen

  • Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/leitung-mitrechnen-demo. Die Tests rechnen jede Größe auf mindestens zwei Wegen nach (Wurzeln gegen Eigenwerte, Rekursion gegen Filter, Brüche, Lyapunov-Gleichung gegen Simulation).
  • Hamiche u. a., arXiv 1903.04256 (CoDIT 2019): im Wortlaut gelesen; nur als Umgebung genannt, kein Wert dieser Seite stammt daraus.
  • Yü, Cai, Gao, arXiv 2208.04459: nur der Anfang gelesen; die Formel dort gehört zu einem anderen Modell und wird nicht nachgebaut.
  • Sterman 1989, Management Science 35(3): nur das Abstract gelesen. Es beschreibt Fehlwahrnehmungen der Rückkopplung, vor allem eine Unempfindlichkeit gegen die Rückwirkung der eigenen Entscheidungen. Eine Gleichsetzung mit einem Leitungsgewicht unter 1 ist nicht untersucht.
  • Disney und Towill, Dejonckheere u. a. 2003, Croson u. a. 2014: nicht gelesen und deshalb nicht zitiert; ob dort ein Gewicht ½, die Parität oder der Dauerfehler vorkommen, ist offen. Eine Neuheit der Ergebnisse wird nicht behauptet.

Die Literaturhinweise sind für diese Seite nicht nachgeschlagen, soweit sie nicht als gelesen vermerkt sind; sie belegen hier nichts. Die Abschnitte „Nachgerechnet“ und „Durchgerechnet“ sind Rechnungen dieser Seite, keine Messung der Demo. Alle übrigen Zahlen stammen aus der README der Demo.

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