Der Vorhersagehorizont verständlich erklärt

Stellen Sie sich eine Kugel vor, die zwischen runden Pfosten hin und her springt. Stößt man sie zweimal fast gleich an, sehen die ersten Sprünge ähnlich aus, doch bald laufen die Kugeln ganz verschieden. Diese Seite zeigt an einer einzigen Rechenregel, wie man diese Empfindlichkeit mit einer Zahl misst und warum daraus folgt, wie weit eine Vorhersage reicht.

Zuletzt aktualisiert: 15. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Zwei fast gleiche Starts, zwei verschiedene Wege

Stellen Sie sich einen Billardtisch vor, auf dem in der Mitte runde Pfosten stehen. Eine Kugel rollt los und prallt an den Pfosten ab. Weil die Pfosten gewölbt sind, wird eine Kugel, die ein wenig weiter links auftrifft, auch ein wenig anders zurückgeworfen. Der kleine Unterschied im Winkel wird beim nächsten Pfosten größer.

Nun stoßen Sie zwei Kugeln fast gleich an, der Unterschied ist mit bloßem Auge nicht zu sehen. Nach dem ersten Pfosten liegen sie noch dicht beieinander, nach dem zweiten schon etwas weiter auseinander, nach vielen Pfosten laufen sie ganz verschieden. Der kleine Unterschied am Start hat sich Schritt für Schritt aufgeschaukelt. Das ist ein Gedankenbild, keine Messung: Wie stark es bei einem echten Tisch ausfiele, sagt diese Seite nicht.

Wer vorhersagen will, wo die Kugel nach vielen Pfosten liegt, muss den Start also sehr genau kennen. Wie genau, und was eine noch genauere Messung bringt, lässt sich mit einer einzigen Zahl beantworten.

Dasselbe mit einer Rechenregel

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Sie braucht keinen Billardtisch, sondern eine einzige Rechenregel. Man wählt eine Startzahl zwischen null und eins und rechnet daraus eine neue Zahl aus. Die neue Zahl setzt man wieder in die Regel ein, und so weiter. Jede Anwendung heißt ein Schritt, die Folge der entstehenden Zahlen heißt Bahn.

Die Regel selbst: Startzahl mal „eins minus Startzahl“, und das Ergebnis mal einer festen Zahl r. Diese Zahl r stellt man vor dem Start ein; sie bestimmt, wie unruhig die Bahnen werden. Wenn nichts anderes dasteht, gilt in diesem Teil r = 4.

Beispiel zum Rechnen: Wir schreiben die Zahlen zwischen null und eins mit Prozentzeichen: 100 % ist die Eins. Bei der Startzahl 20 % ist „eins minus Startzahl“ gleich 80 %. Rechnet man 20 % von 80 % und das Ergebnis mal 4, erhält man 64 %. Das ist die nächste Zahl der Bahn.

Man startet mit zwei Startzahlen, die sich nur ein wenig unterscheiden. Dieser kleine Unterschied heißt Anfangsfehler. Dann vergleicht man Schritt für Schritt den Abstand der beiden Bahnen.

Eine Zahl für das Aufschaukeln

Wie schnell wächst der Abstand? Mal wird er in einem Schritt mehr als verdoppelt, mal schrumpft er, denn wie stark die Regel einen Abstand streckt, hängt davon ab, wo die Zahl gerade liegt. Es zählt der Durchschnitt über viele Schritte, wie bei einem Kapital, dessen Zins von Jahr zu Jahr schwankt und manchmal negativ ist: Man rechnet mit dem durchschnittlichen Zuwachs je Jahr. Bei r = 4 wächst der Abstand im Durchschnitt so, als verdoppelte er sich in jedem Schritt.

Lyapunov-Exponent heißt diese durchschnittliche Wachstumsrate je Schritt im Fachjargon. Ist sie positiv, wachsen kleine Fehler. In der Demo nennt man eine Einstellung chaotisch, wenn die Wachstumsrate größer ist als eine kleine feste Schwelle, kleine Fehler also wirklich wachsen. Ist sie negativ, schrumpfen kleine Fehler, und die Bahn läuft in einen festen Kreislauf.

Dass die Verdopplung bei r = 4 stimmt, lässt sich ohne Messung zeigen: Man rechnet die Regel mathematisch in eine einfachere um, in der sich ein kleiner Abstand in jedem Schritt genau verdoppelt. Die Demo prüft ihre Messungen mit dieser Umrechnung nach.

Wie weit reicht eine Vorhersage?

Aus der Wachstumsrate lässt sich ausrechnen, wie lange eine Vorhersage hält. Dazu legt man eine Toleranz fest: den Abstand der beiden Bahnen, bei dem man sagen würde, die Vorhersage liegt zu weit daneben. Der Vorhersagehorizont ist die Zahl der Schritte, bis dieser Abstand erreicht ist.

Beispiel zum Rechnen: Angenommen, der Abstand verdoppelt sich in jedem Schritt, er startet als ein Tausendstel, und die Toleranz ist ein Zehntel, also 100 Tausendstel. Nach 7 Verdopplungen sind aus einem Tausendstel 128 Tausendstel geworden, mehr als die Toleranz. Der Horizont liegt dann bei etwa 7 Schritten. Die Zahl der nötigen Verdopplungen bestimmt also die Schrittzahl.

Die Demo hat das nachgemessen, bei r = 4 und der Toleranz ein Zehntel. Als Wahrheit dient eine Rechnung mit 130 Dezimalstellen, gemittelt wurde über 100 Startzahlen. Ist der Anfangsfehler ein Tausendstel, dauert es im Mittel rund 8 Schritte. Ist er ein Milliardstel, sind es im Mittel gut 27 Schritte; einzelne Startzahlen brauchen zwischen 26 und 32. Der Mittelwert beschreibt also das Typische, aber nicht jede einzelne Startzahl.

Der Anfangsfehler ist dabei millionenfach kleiner geworden, der Horizont aber nur um etwa 20 Schritte länger. Als Faustregel gilt in dieser Messung: Misst man den Anfangswert zehnmal genauer, gewinnt man im Mittel gut 3 Schritte. Das ist für Anfangsfehler vom Millionstel bis zum Billionstel gemessen, im Mittel über die Startzahlen.

Der Rechner setzt selbst eine Grenze

Ein Rechner speichert Zahlen nur mit endlich vielen Stellen und rundet bei jedem Schritt. Jede Rundung wirkt wie ein winziger Anfangsfehler, auch wenn man den Start exakt angibt. Die Demo rechnet deshalb dieselbe Bahn auf zwei Arten: mit der Zahlenart, die viele Programme standardmäßig benutzen (Fachname Float64), und mit einer Rechnung, die jede Zahl mit 130 Dezimalstellen führt und als Wahrheit gilt.

Beispiel aus der Demo: Bei r = 4 und der Toleranz ein Zehntel stimmt die Float64-Bahn im Mittel über 100 Startzahlen nur gut fünfzig Schritte lang mit der genauen überein. Für eine andere Regel oder Toleranz kann diese Zahl anders ausfallen.

Wie genau lässt sich die Zahl schätzen?

Die Wachstumsrate liegt nicht fertig vor: Man schätzt sie, indem man eine Bahn eine Weile beobachtet und den durchschnittlichen Zuwachs je Schritt bildet. Je länger man beobachtet, desto kleiner der Schätzfehler. Bei r = 4 gilt in der Demo: Beobachtet man zehnmal so viele Schritte, sinkt der typische Fehler auf etwa ein Zehntel. Gemessen ist das für Bahnlängen zwischen hundert und hunderttausend Schritten. „Typisch“ heißt hier Median, der mittlere Wert, wenn man die Fehler vieler Startzahlen der Größe nach ordnet. Bei einer anderen Einstellung sank der Fehler in der Demo langsamer.

Häufige Missverständnisse

• „Wer genauer misst, sagt viel weiter voraus.“ Nein. In der Demo bringt zehnfache Genauigkeit des Anfangswerts im Mittel nur gut 3 Schritte (r = 4, Anfangsfehler vom Millionstel bis zum Billionstel), und der Rechner rundet ohnehin.
• „Chaotisch heißt zufällig.“ Nein. Die Regel enthält keinen Zufall: Aus derselben Startzahl entsteht jedes Mal dieselbe Bahn.
• „Dann ist alles unvorhersagbar.“ Nein. Für die ersten Schritte stimmt die Vorhersage, und bei manchen Einstellungen schrumpfen kleine Fehler.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Zwei fast gleiche Rechnungen laufen nach kurzer Zeit auseinander.
• Eine Vorhersage wird schon nach kurzer Zeit schlecht, obwohl die Messwerte sehr genau sind.
• Ein besseres Messgerät verlängert die Reichweite nur um ein kleines Stück.

Das sind nur Hinweise auf einen empfindlichen Vorgang. Ob er wirklich so reagiert, zeigt erst eine Messung an diesem Vorgang, nicht diese Seite.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Es ist ein Spielmodell mit einer einzigen Gleichung, keine Wettervorhersage und kein Billardtisch. Die Aussagen gelten für diese Regel bei den gemessenen Einstellungen und Startzahlen, nicht für Chaos allgemein.

Was Sie mitnehmen:

• Die mittlere Wachstumsrate kleiner Fehler bestimmt zusammen mit dem Anfangsfehler und der Toleranz, wie weit eine Vorhersage reicht.
• Genauere Anfangswerte kaufen wenig: In der Demo bringt zehnfache Genauigkeit gut 3 Schritte (r = 4, Anfangsfehler vom Millionstel bis zum Billionstel).
• Schon die Rundung im Rechner begrenzt die Reichweite: in der Demo bei r = 4 und der Toleranz ein Zehntel auf gut fünfzig Schritte.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Vehikel ist die logistische Abbildung \(f(x) = r\,x\,(1-x)\) auf \([0,1]\) mit \(f'(x) = r(1-2x)\) und einem Startwert \(x_0\). Gesucht sind die mittlere Wachstumsrate kleiner Fehler (der Lyapunov-Exponent \(\lambda\)) und die Schrittzahl, nach der ein Anfangsfehler eine Vorhersage unbrauchbar macht (der Vorhersagehorizont). Das Modell ist vollständig für diese Abbildung und die untersuchten Fälle; für andere Systeme folgt aus ihm nichts.

• Rechnung: Die Exponenten stammen aus Float64-Bahnen. Der Vorhersagehorizont wird mit Decimal-Arithmetik und 130 Stellen als Wahrheit gerechnet: zwei Bahnen im Abstand \(\delta_0\) (10⁻³ bis 10⁻³⁰); Horizont ist der erste Schritt, an dem der Abstand die Toleranz \(\varepsilon\) überschreitet, gemittelt über 100 Startwerte, gleichverteilt in (0,05; 0,95) und mit dem Zufallsgenerator SplitMix64 gezogen. Nur der Rechner mit 130 Stellen gilt als Wahrheit.
• Zwei Messmethoden: die Ableitungsmethode (Mittel von \(\ln\lvert f'(x_i)\rvert\) längs der Bahn) und das Zweibahn-Verfahren nach Benettin: Nach jedem Schritt wird die zweite Bahn auf den Abstand \(d_0\) zurückgesetzt, \(y \leftarrow x + d_0\,(y - x)/\lvert y - x \rvert\), und \(\lambda \approx \frac1N \sum_k \ln(\lvert y_k - x_k \rvert / d_0)\).
• Wann „chaotisch“? Hier heißt „chaotisch“ nur: \(\lambda\) über der Schwelle 0,003 auf einem Raster von 3000 r-Werten zwischen 2,5 und 3,9999 (Einschwingen 3000 Schritte, N = 30000). Die Zählung hängt an Schwelle, Rasterdichte, \(N\) und Einschwingen.

Die Formeln

Exponent und Schätzung. Für kleine Fehler gilt \(\delta_k \approx \delta_0\, e^{\lambda k}\), mit

\[\lambda = \lim_{N\to\infty} \frac1N \sum_{i=0}^{N-1} \ln \lvert f'(x_i) \rvert , \qquad \lambda_N = \frac1N \sum_{i=0}^{N-1} \ln \lvert f'(x_i) \rvert\]

\(\lambda_N\) ist die Schätzung aus einer Bahn der Länge \(N\). Bei stabilen Zyklen der Länge \(p\) ist \(\lambda = \frac1p \ln \lvert \prod_{j} f'(x_j) \rvert\); für den Fixpunkt folgt \(\ln\lvert 2 - r\rvert\), für den 2-Zyklus \(\tfrac12 \ln(4 + 2r - r^2)\).

Vorhersagehorizont. Wächst der Abstand wie \(\delta_0 e^{\lambda n}\), ist die Toleranz \(\varepsilon\) erreicht nach

\[n \approx \frac{\ln(\varepsilon / \delta_0)}{\lambda}\]

Ein zehnmal kleineres \(\delta_0\) kauft deshalb \(\ln(10)/\lambda\) Schritte (3,32 bei r = 4). Die Formel gilt im Mittel über Startwerte, denn der Faktor \(\lvert f' \rvert\) hängt von \(x\) ab; für den einzelnen Start gilt sie nicht, die Spannweite über die Starts ist in den Befunden angegeben.

r = 4. Mit \(x = \sin^2(\pi\theta/2)\) wird \(f\) zur Zeltabbildung \(T(\theta) = 1 - \lvert 1 - 2\theta \rvert\) (eine Konjugation, also ein Koordinatenwechsel, der beide Abbildungen ineinander überführt):

\[f(x) = 4\sin^2\!\Big(\tfrac{\pi\theta}{2}\Big)\cos^2\!\Big(\tfrac{\pi\theta}{2}\Big) = \sin^2(\pi\theta) = \sin^2\!\Big(\tfrac{\pi\, T(\theta)}{2}\Big) \quad (\theta \le \tfrac12)\]

Also ist \(\lvert T' \rvert = 2\) und \(\lambda = \ln 2\). Wegen \(1 - f(x) = (1-2x)^2\) gilt \(\lvert f'(x) \rvert = 2\sqrt{f(x)(1-f(x))}\,/\sqrt{x(1-x)}\) und damit die Teleskopsumme

\[\sum_{i=0}^{N-1} \ln\lvert f'(x_i)\rvert = N \ln 2 + \tfrac12 \ln\big(x_N(1-x_N)\big) - \tfrac12 \ln\big(x_0(1-x_0)\big)\]

Daraus folgt der Schätzfehler:

\[\lambda_N - \ln 2 = \frac{\ln\big(x_N(1-x_N)\big) - \ln\big(x_0(1-x_0)\big)}{2N}\]

Der Fehler fällt deshalb wie \(1/N\), solange \(x_N\) nicht an 0 oder 1 liegt. Bei r = 3,9 gibt es diese Identität nicht; der Fehler fällt dort gemessen wie \(1/\sqrt N\) (Messung, keine Herleitung).

Befunde

Alle Zahlen sind Messungen der Demo mit der logistischen Abbildung in Float64 (Horizont: Decimal, 130 Stellen), mit den genannten Starts und den Startwerten aus SplitMix64, gleichverteilt in (0,05; 0,95). Die Zufalls-Seeds der vorgerechneten Messungen sind fest: 31 für die Schätzfehler an 3000 Starts, 4 für den Horizont an 100 Starts, 41 für das Zweibahn-Verfahren an 20 Starts.

Frage	Befund
Exponent bei r = 4 (Konjugation mit der Zeltabbildung)	λ = ln 2, exakt. Teleskop-Identität: x₀ = 0,3, N = 10: Σ ln|f′| = 6,12120307, gleich der Formel (Handbeispiel); N = 10⁶: λ_N − ln 2 = −1,49·10⁻⁶, gleich dem Randterm auf 10⁻⁸; beides gilt für die berechnete Float64-Folge, für die exakte Bahn von x₀ = 0,3 wären die Zahlen andere.
Exakte Exponenten stabiler Zyklen	r = 2,8 (Fixpunkt): −0,223144; 3,2 (2-Zyklus): −0,916291; 3,83 (3-Zyklus): −0,369674; die Schätzung aus der Bahn ist gleich auf 10⁻⁹.
λ(r) auf 3000 r-Werten von 2,5 bis 3,9999 (Einschwingen 3000, N = 30000, Schwelle 0,003)	Oberhalb von 3,5699456 liegen 860 Werte: 773 (89,9 %) mit λ über 0,003, 3 nahe null, 84 negativ; unterhalb (r ≥ 2,5) ist das größte λ −0,0003, kein Wert über der Schwelle. Gegenprobe mit 6000 r-Werten: 1720 oberhalb, davon 1540 (89,5 %) über der Schwelle. Im Fenster 3,8284 bis 3,857 haben 44 von 57 r-Werten λ < 0.
Schätzfehler: Median \(\lvert \lambda_N - \lambda \rvert\) bei N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵ (3000 Starts)	r = 4: 3,26·10⁻³; 3,22·10⁻⁴; 3,33·10⁻⁵; 3,42·10⁻⁶, Steigung im log-log-Bild −0,992. r = 3,9: 2,68·10⁻²; 7,92·10⁻³; 2,55·10⁻³; 8,23·10⁻⁴, Steigung −0,503. Referenz bei r = 4 ist ln 2, bei r = 3,9 das Mittel der Schätzungen bei N = 10⁵, selbst eine Schätzung.
Quadratisches Mittel statt Median	r = 3,9: Steigung −0,500; r = 4: −0,194, weil eine der 3000 Float64-Bahnen bei r = 4 in 10⁵ Schritten exakt auf 0 fällt (Start 770, Schritt 62305); deshalb Median.
Vorhersagehorizont, Decimal, Toleranz 0,1, 100 Starts, δ₀ = 10⁻³ / 10⁻⁶ / 10⁻⁹ / 10⁻¹² / 10⁻¹⁵ / 10⁻³⁰	r = 4: 7,6 / 17,5 / 27,5 / 37,3 / 47,4 / 97,4 (Spannweite bei 10⁻⁹: 26 bis 32, bei 10⁻¹⁵: 46 bis 51); r = 3,9: 9,9 / 23,7 / 37,5 / 51,2 / 66,1 / 136,4.
Horizont gegen die Formel ln(ε/δ₀)/λ	Das Mittel liegt über der Formel: bei r = 4 (λ = ln 2) um 0,76 bis 1,05 Schritte über die sechs δ₀; bei r = 3,9 um 0,10 bis 1,80.
Schritte je Zehnerpotenz kleineres δ₀ (Mittel zwischen 10⁻⁶ und 10⁻¹²)	r = 4: 3,31 gegen ln(10)/ln 2 = 3,32; r = 3,9: 4,57 gegen ln(10)/0,49602 = 4,64.
Toleranz, r = 4, δ₀ = 10⁻⁹	Toleranz 0,01 / 0,1 / 0,5: 24,2 / 27,5 / 30,3 Schritte (log₂-Formel 23,3 / 26,6 / 28,9).
Float64-Bahn gegen Decimal-Bahn, r = 4, Toleranz 0,1, 100 Starts	Mittlerer Horizont 52,66 (44 bis 59); nach der Formel einem Anfangsfehler von 1,4·10⁻¹⁷ gleichwertig, nach log-linearer Interpolation in der Tabelle 2,6·10⁻¹⁷; beide unter 2⁻⁵³ = 1,1·10⁻¹⁶. Gerechnete Größe, nicht direkt gemessen.
Zweibahn-Verfahren, 20 Starts, N = 10⁵	r = 3,9: endliche Ergebnisse bei d₀ = 10⁻³ / 10⁻⁶ / 10⁻⁹ / 10⁻¹²: 20 / 20 / 20 / 6; größte Abweichung je Start gegen die Ableitungsmethode 3,1·10⁻⁴ / 9,0·10⁻⁶ / 2,0·10⁻⁷. r = 4: 20 / 20 / 8 bei 10⁻⁶ / 10⁻⁹ / 10⁻¹², Abweichung gegen ln 2 bei 10⁻⁹ 2,8·10⁻⁵.

Die 89,9 % gelten für dieses Raster, diese Schwelle und diese Einstellungen, nicht für „fast alle r“.

Grenzen

• Nur die logistische Abbildung bei den gemessenen r und Startwerten, in Float64 oder Decimal mit 130 Stellen. Nichts davon gilt für Chaos allgemein.
• Die Zählung „chaotisch“ hängt an Schwelle, Rasterdichte, N und Einschwingen (89,9 % gegen 89,5 % bei doppelter Dichte); Werte nahe null und Fenster sind Teil der Zählung.
• Die Referenz bei r = 3,9 ist selbst eine Schätzung (Mittel der Schätzungen bei N = 10⁵, Standardfehler 2,3·10⁻⁵). Die Steigung 1/√N bei r = 3,9 ist eine Messung, keine Herleitung.
• Median statt quadratisches Mittel für den Fehler, weil bei r = 4 eine Bahn von 3000 exakt auf 0 fällt; die Aussage über den Median gilt für diese Starts.
• Der Mittelwert des Horizonts hängt an der Verteilung der Startwerte (hier gleichverteilt in (0,05; 0,95)); die Spannweite über die Starts ist groß (r = 3,9, δ₀ = 10⁻⁹: 29 bis 57).
• Rundung im Rechner: Sie wirkt wie ein Anfangsfehler von etwa 1,4·10⁻¹⁷ bis 2,6·10⁻¹⁷, gerechnet aus dem Float64-Horizont, nicht direkt gemessen. Eine Float64-Bahn ist trotzdem periodisch, und bei r = 4 fällt gelegentlich eine auf 0.
• Das Zweibahn-Verfahren braucht ein passendes d₀; die Aussage „10⁻⁹ ist passend“ gilt für diese Abbildung und N = 10⁵, nicht allgemein. Warum bei 10⁻¹² viele Ergebnisse nicht endlich sind (Abstand 0 nach Rundung, Division durch 0), ist eine Vermutung und wurde nicht einzeln nachgeprüft.
• Bei r = 3 konvergiert die Bahn nur langsam; λ_N ist dort nicht entschieden (Betrag unter 0,02 bei N = 30000).
• Nicht behandelt: Messrauschen und die Schätzung aus Daten, Float16 und Float32, das Verfahren nach Wolf im Wortlaut und mehrdimensionale Systeme.

Quellen

• Lyapunov-Exponent und die Verfahren nach Benettin und Wolf: Lehrbuchwissen, nur aus dem Gedächtnis genannt und nicht anhand einer Quelle geprüft.
• Der Wert \(\ln 2\) bei r = 4 und die Konjugation mit der Zeltabbildung: hergeleitet (siehe oben) und numerisch bestätigt, keine Literaturwerte.
• R. M. Corless, Numerical Methods for Chaotic ODE, arXiv 2501.06123 (Wortlaut gelesen, nicht in der Quelle der Demo genannt): Alle in IEEE-Arithmetik berechneten Bahnen der Gauß-Abbildung bleiben nahe einer wahren Bahn (Beschattung), jede berechnete Bahn ist zugleich periodisch, weil es nur endlich viele Gleitkommazahlen gibt; dasselbe gelte für die logistische Abbildung. Das ordnet die Grenze durch die Rundung ein, die Demo misst es nicht.

Stufen: Corless im Wortlaut gelesen; Lyapunov, Benettin und Wolf aus dem Gedächtnis, nicht geprüft. Zahlen und Formeln dieser Seite stammen aus den Messungen und der mathematischen Formulierung der Demo.