Der Beladeplan für Luftfracht verständlich erklärt

Ein Frachtflugzeug hat zehn feste Plätze im Laderaum, aber es warten mehr Container. Wer sie einfach nach Gewicht einsortiert, muss später Fracht wieder ausladen, damit das Flugzeug im Gleichgewicht bleibt. Die Seite zeigt an einem Beispiel, was das kostet und was besser klappt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Wohin mit welchem Container?

Stellen Sie sich ein Frachtflugzeug vor. Im Laderaum gibt es 10 feste Plätze, hintereinander wie Parkbuchten. Auf jeden Platz passt ein Container. Fachleute sagen ULD, das steht für „Unit Load Device“, also genormte Ladeeinheit. Am Flughafen warten 12 Container, mal leichter, mal schwerer. Zwei müssen am Boden bleiben.

Die Fluggesellschaft will möglichst viel Gewicht mitnehmen, denn Fracht bringt Geld. Sie wählt also aus, welche Container fliegen, und gibt jedem einen Platz. Dabei gilt eine Bedingung, die vom Gleichgewicht handelt.

Denken Sie an ein Brett, auf dem Steine liegen. Der Schwerpunkt ist die Stelle, an der das Brett auf einer Fingerspitze im Gleichgewicht bleibt. Ein Stein am Rand verschiebt ihn stärker als ein gleich schwerer Stein nahe der Mitte. Das ist die Hebelwirkung.

Beim Flugzeug soll der Schwerpunkt nahe der Mitte liegen. Zu viel Gewicht in der Nase oder im Heck macht ein Flugzeug schwer steuerbar. Darum gibt es ein schmales Fenster um die Mitte, in dem der Schwerpunkt bleiben muss.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, kurz Demo. Ganz unten in diesem Teil gibt es zwei Knöpfe: Der erste öffnet es, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Zum Verstehen brauchen Sie es nicht. Alles hier beschreibt ein vereinfachtes Beispielmodell mit erfundenen Flugzeugdaten, nicht ein echtes Flugzeug. Es kennt nur vorn und hinten, nicht links und rechts, und alle Plätze tragen gleich viel.

Die einfache Regel und ihr Preis

Die einfachste Regel lautet: Die schwersten Container zuerst, jeder auf den vordersten freien Platz. Sie klingt vernünftig, denn sie lädt viel Gewicht und braucht keine Rechnung. Doch dann stehen die schwersten Container vorn und die leichteren hinten. Auf dem Brett lägen alle großen Steine an einem Ende. Der Schwerpunkt rutscht nach vorn.

Erst am Ende prüft jemand, ob er noch im Fenster liegt. Wenn nicht, werden Container wieder ausgeladen, bis es passt. Das ist die Korrektur. Zuerst muss der Container raus, der den größten Hebel hat: schwer und weit von der Mitte entfernt.

Wie oft das nötig ist, zeigt ein Rechenversuch mit zufälligen Ladungen. Er läuft für 45 Fälle. Ein Fall ist eine Mischung aus Fensterbreite, Zahl der Container und Gewichten (leichte, schwere oder gemischte Container). Zum Vergleich findet ein Rechner für jede Ladung die bestmögliche Beladung: die schwerste, die das Fenster einhält. Er beweist am Ende, dass keine schwerere erlaubt ist. Fachleute nennen das einen exakten Löser.

Nehmen wir den Fall mit 12 Containern, mal leicht, mal schwer, und einem Fenster, das einen halben Meter nach vorn und hinten reicht. Dort lag die einfache Regel bei gut zwei Dritteln der Ladungen außerhalb. Bei sonst gleichen Bedingungen und einem schmaleren Fenster waren es alle Ladungen.

Die Korrektur kostet Fracht. Im Mittel lud die einfache Regel in diesem Fall gut ein Zehntel weniger Gewicht als die bestmögliche Beladung. Je schmaler das Fenster, desto mehr, weil dann mehr Container wieder raus müssen. Im schlimmsten untersuchten Fall fehlte mehr als die Hälfte.

Voller Tank, leerer Tank

Ein Flugzeug wird beim Fliegen leichter, weil es Treibstoff verbraucht. Das Fenster muss deshalb zu zwei Zeitpunkten halten: beim Start mit vollem Tank und bei der Landung mit leerem Tank.

Auf dem Brett ist der Tank ein schwerer Stein in der Mitte. Er verschiebt den Schwerpunkt nicht, denn er liegt genau dort. Der Schwerpunkt ist aber ein Durchschnitt aller Steinlagen, und jeder Stein zählt so viel, wie er wiegt. Liegt in der Mitte viel Gewicht, fällt ein Stein am Rand in diesem Durchschnitt kaum auf. Ist der Tank leer, fehlt dieses Gewicht, und derselbe Randstein verschiebt den Schwerpunkt weiter.

Darum kam im Beispiel Folgendes vor. Eine Ladung der einfachen Regel passte beim Start, aber nicht bei der Landung. Das Umgekehrte kam im Beispielmodell nie vor, weil der Tank dort genau in der Mitte liegt. Im ungünstigsten Fall traf es mehr als ein Drittel der Ladungen dieses Falls.

Die Ausgleichsregel

Es geht besser. Die Ausgleichsregel nimmt ebenfalls die schwersten Container zuerst. Sie stellt aber jeden auf den freien Platz, der den Schwerpunkt der Mitte am nächsten bringt. Auf dem Brett wandern die großen Steine abwechselnd nach vorn und nach hinten, statt sich an einem Ende zu stapeln.

In 42 von 45 Fällen lud sie genauso viel wie die bestmögliche Beladung. Dort musste bei keiner Ladung etwas ausgeladen werden. Weil die Regel schon beim Einsortieren ausgleicht, passten alle Container ins Fenster, die überhaupt Platz hatten. Mehr kann auch die bestmögliche Beladung nicht laden.

In den übrigen drei Fällen, alle mit sehr schmalem Fenster, ging das nicht mehr ganz auf. Dort blieb sie unter dem Besten, im ungünstigsten Fall um gut zwei Prozent weniger Gewicht im Mittel. So ist sie sehr gut, aber nicht bestmöglich. Eine Deutung: Die Regel legt jeden Container sofort fest und schaut nie zurück. Bei einem Puzzle passt das letzte Teil manchmal nur, wenn man früher anders gelegt hätte.

Häufige Missverständnisse

• „Mehr Container zur Auswahl machen es schwerer.“ Für die einfache Regel war es umgekehrt: Bei gleichem Fenster und gleichem Gewichtsbereich lag sie mit mehr Containern nie öfter daneben als mit weniger. Eine Deutung: Die einfache Regel macht die Nase schwer, und zwar umso mehr, je verschiedener die Gewichte sind. Bei vielen Containern fliegen nur die schwersten mit, und die wiegen ähnlich viel. Bei wenigen bleiben hinten Plätze leer, und alles Gewicht liegt vorn.
• „Wenn das Gewicht stimmt, stimmt die Beladung.“ Beide Regeln laden zunächst dieselben schwersten Container. Nur die Plätze unterscheiden sich, und allein davon hängt ab, ob der Schwerpunkt im Fenster liegt.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Ihr Anhänger oder Ihr Kanu liegt schief, obwohl die Gesamtlast erlaubt ist, weil das Schwere an einem Ende liegt.
• Etwas verbraucht sich unterwegs, etwa das Wasser im Kanister. Was am Start ausgewogen war, ist es am Ziel nicht mehr.
• Es gibt mehr Gepäck als Platz, und Sie entscheiden, was zu Hause bleibt.

Wie ernst ist das Beispielmodell zu nehmen?

Das Beispielmodell zeigt, wie sich die Regeln zueinander verhalten. Wie ein echtes Flugzeug zu beladen ist, zeigt es nicht.

Was Sie mitnehmen

• Fragen Sie bei jeder Last nicht nur, wie schwer sie ist, sondern auch, wo sie liegt.
• Prüfen Sie den leichtesten Zustand, nicht nur den Start: Ändert sich die Last unterwegs?
• Eine Regel, die gut abschneidet, ist noch nicht die beste. Fragen Sie, wo sie versagt.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt ein Modell mit erfundenen Flugzeug- und Platzdaten; die Größenordnungen orientieren sich grob an schmalen Verkehrsflugzeugen, sind aber kein Zitat einer echten Gewichts-und-Schwerpunkt-Tabelle. Betrachtet wird nur der Längs-Schwerpunkt, keine Seitenlage.

• Flugzeug: Leergewicht 40.000 kg bei Hebelarm 17,0 m (Abstand in Längsrichtung vom Bezugspunkt), Treibstoff 8.000 kg ebenfalls bei 17,0 m. Das Schwerpunktfenster ist \([c - b;\ c + b]\) mit der Fenstermitte \(c = 17{,}0\) m und der Breite \(b\) (Stufen 0,08 / 0,15 / 0,3 / 0,5 / 1,0 m).
• Plätze: 10 Laderaumpositionen, gleichmäßig von Hebelarm 6,0 bis 28,0 m verteilt (Hebelarm \(\mathrm{arm}_j\) von Platz \(j\)), mit je 2.200 kg Gewichtsgrenze \(\mathrm{cap}_j\). Das Mittel der Hebelarme ist \(c\).
• Container (ULDs): 8, 12 oder 16 je Instanz; ihr Gewicht ist gleichverteilt in einem von drei Bereichen: leicht 200 bis 1.200 kg, gemischt 200 bis 2.200 kg, schwer 1.200 bis 2.200 kg.
• Ziel: das geladene Gesamtgewicht maximieren. Nebenbedingungen: höchstens ein ULD je Platz, höchstens ein Platz je ULD, die Gewichtsgrenze des Platzes und das Fenster an zwei Zeitpunkten, bei vollem Tank (Start) und bei leerem Tank (nach dem Verbrauch). Der Verbrauch ändert nur das Gesamtgewicht, nicht den Hebelarm des Tanks. Es ist ein Auswahlproblem: Nicht jedes ULD muss mitfliegen. Eine Reihenfolge oder ein Umstauen gibt es nicht.
• Einfache Regel (H_greedy): ULDs nach absteigendem Gewicht, jedes auf den ersten freien Platz von vorn nach hinten, dessen Gewichtsgrenze reicht. Das Fenster wird erst am Ende geprüft.
• Ausgleichsregel (H_balance): ULDs nach absteigendem Gewicht, jedes auf den freien Platz, der den Schwerpunkt, gerechnet ohne Treibstoff, der Fenstermitte am nächsten bringt. Das ist der Zustand mit leerem Tank, in dem das Fenster am strengsten ist (siehe unten).
• Korrektur: Solange die Zuordnung das Fenster oder eine Gewichtsgrenze verletzt, wird das ULD entfernt, bei dem das Produkt aus Gewicht und Betrag des Abstands seines Platzes von der Fenstermitte am größten ist. Auf welcher Seite der Mitte es steht und ob es die Verletzung verursacht, spielt dabei keine Rolle; es wird nur entfernt und nichts neu platziert. Sie gilt für beide Regeln und bildet nach, was ein Lademeister bei einem unzulässigen Plan tut.
• Exakter Löser: ein ganzzahliges Modell mit 0/1-Variablen (CP-SAT aus Google OR-Tools, Zeitlimit 2 s je Instanz), siehe die Formeln unten.
• Messgrößen: Ein Fall ist eine Kombination aus Fensterbreite, Gewichtsbereich und ULD-Zahl; es gibt 45 Fälle mit je 80 zufälligen Instanzen. Die Verletzungsrate ist der Anteil der Instanzen, in denen die unkorrigierte Zuordnung unzulässig ist. Die Lücke ist \(100\,(\bar G_{\mathrm{opt}} - \bar G)/\bar G_{\mathrm{opt}}\) mit dem mittleren Ladegewicht \(\bar G\) der korrigierten Regel und dem mittleren Optimum \(\bar G_{\mathrm{opt}}\): ein Verhältnis von Mittelwerten, kein Mittel von Verhältnissen. Der Standardfehler der Lücke ist die Streuung der Einzeldifferenzen (Optimum minus Ladegewicht der Regel, je Instanz) geteilt durch die Wurzel der Instanzzahl, bezogen auf das mittlere Optimum; die Streuung des Mittels der Optima ist nicht berücksichtigt.

Die Formeln

Es sei \(w_i\) das Gewicht von ULD \(i\) und \(x_{ij} = 1\), wenn \(i\) auf Platz \(j\) steht, sonst 0; \(x_i = \sum_j x_{ij}\) zeigt an, ob ULD \(i\) mitfliegt. Das Moment einer Last ist ihr Gewicht mal ihr Hebelarm. \((W_0, M_0)\) sind Gewicht und Moment des Flugzeugs ohne Fracht, in der Auswertung einmal mit vollem und einmal mit leerem Tank. Der Schwerpunkt-Index ist das Gesamtmoment geteilt durch das Gesamtgewicht, also der Schwerpunkt als Hebelarm in Metern (nicht der skalierte Index, den die Luftfahrt sonst so nennt):

\[\mathrm{cg}(W, M) = M / W\]

Eine Zuordnung ist zulässig, wenn in beiden Zuständen \(\mathrm{cg\_min} \le \mathrm{cg}(W, M) \le \mathrm{cg\_max}\) gilt, mit den Fenstergrenzen \(\mathrm{cg\_min} = c - b\) und \(\mathrm{cg\_max} = c + b\), dem Gesamtgewicht \(W = W_0 + \sum_{i,j} x_{ij} w_i\) und dem Gesamtmoment \(M = M_0 + \sum_{i,j} x_{ij} w_i\,\mathrm{arm}_j\). Für den Löser wird das linear in den Variablen \(x_{ij}\), indem man mit dem stets positiven Gesamtgewicht multipliziert. Die Bedingungen lauten, jeweils einmal für voll und einmal für leer:

• untere Grenze: \(\sum_{i,j} x_{ij}\, w_i\,(\mathrm{arm}_j - \mathrm{cg\_min}) \ge \mathrm{cg\_min}\, W_0 - M_0\)
• obere Grenze: \(\sum_{i,j} x_{ij}\, w_i\,(\mathrm{cg\_max} - \mathrm{arm}_j) \ge M_0 - \mathrm{cg\_max}\, W_0\)

Das Ziel ist:

\[\max \sum_i x_i w_i\]

unter \(\sum_j x_{ij} \le 1\) für jedes ULD \(i\), \(\sum_i x_{ij} \le 1\) für jeden Platz \(j\) und \(\sum_i x_{ij} w_i \le \mathrm{cap}_j\). Für den Löser werden die Koeffizienten auf ganze Zahlen gerundet: die Gewichte in Ziel und Gewichtsgrenze auf Hundertstel Kilogramm, die Momente der Schwerpunkt-Bedingungen auf Kilogramm mal Millimeter. Ob eine Lösung des gerundeten Modells auch im ungerundeten zulässig ist, prüft die Messreihe nicht je Instanz; nur auf kleinen Zufallsinstanzen wird es gegen eine Aufzählung geprüft.

Warum nur der leere Tank zählt

Dieser Abschnitt ist eine Rechnung dieser Seite, keine Messung der Demo. Voraussetzung: Leergewicht und Treibstoff haben beide den Hebelarm \(c\) der Fenstermitte, wie im Modell. Dann ist an beiden Zeitpunkten \(M_0 = c\,W_0\).

• Schritt 1, das Moment der Fracht um die Fenstermitte: \(\Delta = \sum_{i,j} x_{ij} w_i (\mathrm{arm}_j - c)\).
• Schritt 2, die Verschiebung: Aus der Definition des Index folgt \(\mathrm{cg} - c = \Delta / (W_0 + \sum_i x_i w_i)\). Das Fenster verlangt also \(|\Delta| \le b\,(W_0 + \sum_i x_i w_i)\).
• Schritt 3, die Folgerung: \(\Delta\) ist an beiden Zeitpunkten dasselbe, nur der Nenner unterscheidet sich, und er ist bei leerem Tank kleiner. Hält das Fenster bei leerem Tank, hält es bei vollem. Ein Verstoß nur bei vollem Tank ist ausgeschlossen. Das erklärt die Nullspalte „nur voll verletzt“ in den Befunden: Sie ist eine Eigenschaft des Modells, kein Messzufall.
• Schritt 4, ein Beispiel von Hand: Ein ULD mit 2.200 kg steht allein auf dem vordersten Platz (6,0 m), elf Meter vor der Mitte; das Fenster hat \(b = 0{,}5\) m. Bei leerem Tank ist der Betrag der Verschiebung \(11 \cdot 2.200 / (W_0 + 2.200)\) mit dem \(W_0\) des leeren Tanks, also etwas mehr als einen halben Meter: Das Fenster ist verletzt. Bei vollem Tank ist \(W_0\) um den Treibstoff größer und die Verschiebung etwas kleiner als ein halber Meter: Das Fenster hält. Dieselbe Zuordnung ist so nur am leeren Tank unzulässig.
• Schritt 5, die Grenze der Aussage: Hat der Tank einen anderen Hebelarm als die Fenstermitte, gilt \(M_0 = c\,W_0\) nicht mehr, und beide Zeitpunkte können einzeln binden. Der Löser enthält beide Bedingungen trotzdem.

Warum die einfache Regel nach vorn lädt

Auch dieser Abschnitt ist eine Rechnung dieser Seite. Jedes ULD wiegt höchstens 2.200 kg, so viel wie die Gewichtsgrenze jedes Platzes; die Prüfung der Gewichtsgrenze weist in diesem Modell also nie ein ULD ab. Die einfache Regel besetzt dann die ersten \(r = \min(n, 10)\) Plätze von vorn mit den \(r\) schwersten der \(n\) ULDs, absteigend nach Gewicht.

• Schritt 1: Seien \(w_{(1)} \ge \dots \ge w_{(r)}\) diese Gewichte und \(a_1 \le \dots \le a_r\) die Hebelarme der besetzten Plätze. Gegenläufig sortierte Folgen erfüllen die Summenungleichung von Tschebyschow: \(r \sum_k w_{(k)} a_k \le (\sum_k w_{(k)})(\sum_k a_k)\).
• Schritt 2: Daraus folgt \(\Delta \le (\sum_k w_{(k)})(\bar a_r - c)\) mit dem Mittel \(\bar a_r\) der \(r\) vordersten Hebelarme. Da die zehn Hebelarme gleichmäßig um \(c\) liegen, ist \(\bar a_r \le c\) für jedes \(r \le 10\), mit Gleichheit bei \(r = 10\).
• Schritt 3: Also ist \(\Delta \le 0\): Die Fracht liegt vor der Fenstermitte, und die einfache Regel kann das Fenster mit ihrer unkorrigierten Zuordnung nur nach vorn verlassen. \(|\Delta|\) ist klein, wenn alle zehn Plätze besetzt sind und die Gewichte fast gleich sind, und groß, wenn sie weit streuen oder die hinteren Plätze leer bleiben (\(r < 10\)).

Das passt zur Messreihe, ist aber eine Deutung dieser Seite. Bei gleicher Fensterbreite und gleichem Gewichtsbereich nimmt die Verletzungsrate der einfachen Regel mit der ULD-Zahl in allen fünfzehn Kombinationen ab oder bleibt gleich (Rechnung dieser Seite aus den Einzelwerten der Messreihe). Mit mehr ULDs liegen die zehn schwersten näher beieinander, mit 8 ULDs bleiben die hinteren Plätze leer.

Ausgleichsregel und obere Schranke

Rechnung dieser Seite: Mit höchstens einem ULD je Platz kann keine zulässige Zuordnung mehr laden als die Summe der \(r\) schwersten ULDs. Die Ausgleichsregel besetzt zunächst ebenfalls die \(r\) schwersten. Ist ihre unkorrigierte Zuordnung zulässig, erreicht sie diese Schranke und ist optimal; die Lücke ist dann null. Eine positive Lücke kann deshalb nur in Instanzen entstehen, in denen die Regel vor der Korrektur verletzt. Die Umkehrung gilt nicht: Eine Verletzung muss nicht zu Verlust führen.

In der Messreihe stimmt das mit den Einzelwerten überein. Die 42 Fälle mit Lücke null sind genau die Fälle, in denen die Ausgleichsregel vor der Korrektur nie verletzt; die drei Fälle mit Lücke sind genau die drei mit Verletzungen. In den 42 Fällen ist das Fenster also für alle ULDs erfüllbar, die überhaupt Platz haben, und die Regel findet eine passende Anordnung. Die Schwierigkeit liegt dann in der Anordnung, nicht in der Auswahl.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der Messreihe mit 45 Fällen (5 Fensterbreiten, 3 Gewichtsbereiche, 3 ULD-Zahlen) zu je 80 zufälligen Instanzen, zusammen 3.600. Die Lücken beziehen sich auf die jeweils korrigierte Regel und das Optimum des exakten Lösers im selben Fall.

Frage	Befund
Verletzt die einfache Regel das Fenster? (vor der Korrektur, Fall: gemischt, 12 ULDs)	Bei \(b = 0{,}5\) m in 68,8 % der 80 Instanzen. Bei \(b = 0{,}3\) m, sonst gleich, in 100 %.
Was kostet die Korrektur an Ladegewicht? (Lücke der korrigierten einfachen Regel)	Fall gemischt, 12 ULDs: 10,3 % bei \(b = 0{,}5\) m, 43,6 % bei \(b = 0{,}08\) m; die Zwischenstufen liegen dazwischen, die Lücke steigt mit engerem Fenster. Größter Wert der Reihe: 55,3 % (\(b = 0{,}08\) m, gemischt, 8 ULDs).
Trifft die Ausgleichsregel das Optimum? (Lücke der korrigierten Ausgleichsregel)	In 42 von 45 Fällen ist die Lücke 0,0 %. Die drei Ausnahmen liegen alle bei \(b = 0{,}08\) m mit gemischten Gewichten (8, 12 und 16 ULDs); die größte Lücke ist 2,4 % bei 12 ULDs. In diesen drei Fällen verletzt die Ausgleichsregel vor der Korrektur nur in wenigen Instanzen (fünf, fünf und eine der 80), die einfache Regel in allen. Rechnung dieser Seite aus der Messreihe: In dreiunddreißig der 45 Fälle verletzt die einfache Regel das Fenster mindestens einmal, in zwölf nie; die Ausgleichsregel trifft das Optimum in dreißig der dreiunddreißig. „42 von 45“ enthält also zwölf Fälle, in denen es nichts zu verbessern gab.
Wie belastbar ist diese Lücke?	Der Standardfehler ist der des Mittels der Einzeldifferenzen (siehe Messgrößen). Im Fall mit der größten Lücke beträgt er etwa die Hälfte der Lücke. Die kleinste von null verschiedene Lücke stammt aus einer einzigen der 80 Instanzen und ist so groß wie ihr Standardfehler: Die Lücke in dieser Instanz ist echt, ihr Mittel über die Instanzen von null kaum zu unterscheiden.
Welcher Zeitpunkt verletzt? (unkorrigierte einfache Regel, Verletzung an genau einem Zeitpunkt)	Nur der volle Tank: 0,0 % in jedem der 45 Fälle. Nur der leere Tank: im Mittel über die 45 Fälle 4,5 % der Instanzen, höchstens 37,5 % (\(b = 0{,}5\) m, leicht, 8 ULDs). In diesem Fall verletzt die einfache Regel insgesamt gut zwei Drittel der Instanzen (Rechnung dieser Seite aus der Messreihe), mehr als die Hälfte davon nur am leeren Tank; alle übrigen Verletzungen betreffen beide Zeitpunkte.
Ist der exakte Löser verlässlich?	In allen 3.600 Instanzen fand er die bewiesen optimale Lösung (Status OPTIMAL) innerhalb von 2 s.

Was die Messung zeigt und wo ihre Grenzen liegen

Das zeigt die Messung:

• Jede Zahl oben ist ein Anteil oder Mittel über 80 zufällige Instanzen, die der exakte Löser jeweils mit Optimalitätsnachweis löst. Laut Angabe der Demo liefert eine Wiederholung der Messreihe dieselben Werte (hier nicht selbst wiederholt); diese Werte enthalten nur Ladegewichte, nicht die vom Löser gewählten Zuordnungen.
• Der exakte Löser stimmt auf kleinen Zufallsinstanzen mit einer unabhängigen Aufzählung aller Zuordnungen überein.
• Dass die Ausgleichsregel in 42 Fällen das Optimum trifft, wurde laut Beschreibung der Demo vorab gegengeprüft (sehr enge Fenster, Stresstest mit nur 4 Plätzen) und zeigte echte Lücken. Diese Gegenprüfung gehört nicht zur Demo und ist hier nicht nachgerechnet.

Das zeigt sie nicht:

• Erfundene Daten, nur die Längslage: Es gibt keine Seitenlage und keine gemeinsamen Grenzen benachbarter Plätze, die reale Frachträume haben. Die Gewichtsgrenze je Platz bindet in diesem Modell nie (Rechnung oben).
• Neutraler Tank: Weil der Tank genau in der Fenstermitte liegt, ist der Zustand mit vollem Tank überflüssig. Der Befund „nur der leere Tank verletzt“ gilt nur für dieses Modell; bei anderem Tank-Hebelarm entfiele die Garantie.
• Ein Zufallsmodell: Die Gewichte sind gleichverteilt in drei Bereichen, mit 8, 12 oder 16 ULDs, 10 Plätzen und fünf Fensterbreiten. Aussagen zwischen oder außerhalb dieser Stufen und zu echten Ladelisten gibt es nicht.
• Die Lücke misst Regel plus Korrektur: Die Korrektur ist richtungsblind und lädt nur aus, ohne umzuordnen. Die Lücke der einfachen Regel (bis 55,3 %) ist deshalb der Preis dieser Ausladeregel, nicht der Preis von Balance an sich; eine klügere Korrektur würde weniger verlieren (nicht gemessen). Die Ausgleichsregel zeigt, dass Umordnen meist reicht.
• Die Ausgleichsregel ist nicht bewiesen optimal: Bei sehr engem Fenster öffnet sich eine kleine Lücke; eine dritte Regel mit Tauschschritten wurde nicht gebaut. Dass sie das Optimum verfehlen kann, ist durch einzelne Instanzen belegt, in denen der exakte Löser mehr lädt; wie groß die mittlere Lücke ist, lässt sich mit 80 Instanzen je Fall nur grob schätzen.
• Gleichstände beim exakten Löser: Mehrere Zuordnungen können dasselbe optimale Ladegewicht haben, und welche der Löser nennt, ist nicht festgelegt. Das Ladegewicht ist davon unberührt, die Schwerpunktlage der genannten Zuordnung nicht.

Erweiterungen und Verweise

Bewusst nicht gebaut sind eine Seitenlage, gemeinsame Gewichtsgrenzen für Gruppen von Plätzen, ein Tank mit anderem Hebelarm (dann binden beide Zeitpunkte einzeln), eine dritte Regel mit Tauschschritten, mehr als 10 Plätze und echte Flugzeugdaten. Nahe Fragen liegen in Nachbar-Demos:

• uld-gewicht-demo: die Volumenpackung eines einzelnen ULD gegen dessen eigenen Schwerpunkt.
• stauplanung-demo: Stauplanung eines Schiffs-Bays, bei der alle Container gestaut werden, mit Umstauen und Gleichgewicht einschließlich Seitenneigung zu einem Zeitpunkt.
• uld-gefahrgut-demo: baut auf diesem Beladeplan auf und ergänzt Trennregeln für Gefahrgut; dazu die Seite Gefahrgut im Laderaum verständlich erklärt.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/uld-beladeplan-demo.
• Löser: CP-SAT aus Google OR-Tools.
• Summenungleichung von Tschebyschow (gegenläufig sortierte Folgen), Standardwissen der Ungleichungslehre.

Die Quelle der Demo nennt keine Literatur. Die Summenungleichung von Tschebyschow ist aus dem Gedächtnis ergänzt und nicht nachgeschlagen. Die Rechnungen dieser Seite sind keine Messungen der Demo.