Schmutzige Kinder und Zwei Generäle verständlich erklärt

Alle drei Kinder haben Schmutz auf der Stirn. Jedes sieht die Stirn der beiden anderen und weiß damit: Mindestens ein Kind ist schmutzig. Trotzdem bleibt es still, bis der Vater genau das ausspricht. Diese Seite erklärt, warum „alle wissen es“ etwas anderes ist als „es ist gemeinsames Wissen“, und was zwei Generäle damit zu tun haben.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Drei Kinder und ein Satz des Vaters

Stellen Sie sich vor: Drei Kinder haben beim Spielen Schmutz auf die Stirn bekommen, alle drei. Einen Spiegel gibt es nicht: Jedes Kind sieht die Stirn der beiden anderen, aber nicht die eigene. Wir nehmen an, die Kinder sind ehrlich, denken fehlerfrei und antworten gleichzeitig. Der Vater sagt: „Mindestens eines von euch ist schmutzig.“ Dann fragt er alle: „Weißt du, ob du schmutzig bist?“ Jedes Kind sagt Ja oder Nein, und alle hören alle Antworten. „Nein“ heißt: Ich weiß es nicht. Es heißt nicht: Ich bin sauber. Danach fragt der Vater noch einmal, und so weiter.

In den ersten beiden Runden sagen alle Nein. In der dritten Runde rufen alle drei gleichzeitig Ja.

Das Rätsel: Der Satz sagt nichts Neues

Jedes Kind sieht zwei schmutzige Stirnen und weiß deshalb schon vor dem Satz, dass mindestens ein Kind schmutzig ist. Der Satz teilt ihm nichts mit, was es nicht selbst sieht. Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren, die Demo. Sie hat die Szene ohne den Satz für bis zu 6 Kinder durchgerechnet: Dort meldet sich nie ein Kind. Mit dem Satz „Mindestens eines“ melden sich die schmutzigen Kinder in der Runde, die ihrer Zahl entspricht (in den durchgerechneten Fällen). Warum macht der Satz einen Unterschied?

Warum der Satz doch etwas ändert

Manchmal sagt der Satz etwas Neues: Ein einziges schmutziges Kind sieht nur saubere Stirnen, weiß nach dem Satz sofort, dass es selbst gemeint ist, und meldet sich in der ersten Runde.

Bei zwei schmutzigen Kindern, Anna und Ben, reicht ein Gedanke. Anna überlegt: „Wäre ich sauber, sähe Ben nur saubere Stirnen, wüsste nach dem Satz sofort, dass er schmutzig ist, und würde in Runde eins Ja rufen.“ Ben schweigt. Also ist Anna schmutzig und ruft in Runde zwei Ja. Ben denkt dasselbe über Anna.

Bei drei schmutzigen Kindern geht derselbe Gedanke eine Stufe tiefer. Anna überlegt: „Wäre ich sauber, wären nur Ben und Clara schmutzig. Dann hätten sich die beiden nach dem Muster von eben in der zweiten Runde gemeldet.“ Nach zwei stillen Runden weiß Anna: Ich bin schmutzig. In Runde drei meldet sie sich, und mit ihr die beiden anderen.

Ohne den Satz fehlt der Boden dieser Kette. Ein einzelnes schmutziges Kind wüsste nichts über sich, also würden sich auch zwei nie melden, und so weiter. Das Schweigen der anderen verrät dann keinem etwas.

Lesen wir das als Treppe. Stufe 1: Jeder weiß, dass mindestens ein Kind schmutzig ist. Stufe 2: Jeder weiß, dass jeder es weiß. Stufe 3: Jeder weiß, dass jeder weiß, dass jeder es weiß. Bei drei schmutzigen Kindern gelten vor dem Satz die Stufen 1 und 2. Stufe 3 fehlt: Anna kann sich vorstellen, sie sei sauber und Ben halte sich für sauber. Dann sähe Clara nur saubere Stirnen und wüsste nicht, dass jemand schmutzig ist.

Der Satz des Vaters füllt alle Stufen auf einmal, denn er fällt laut vor allen: Jeder hört ihn und weiß, dass jeder ihn hört, und so weiter. Das ist gemeinsames Wissen (Fachwort: common knowledge). Je mehr schmutzige Kinder, desto mehr Stufen gelten vorher schon, und desto später melden sie sich: In den durchgerechneten Fällen (bis zu 6 Kinder) in der Runde nach der letzten Stufe, die schon galt, und gilt keine, in Runde eins.

Das zweite Rätsel: Zwei Generäle

Zwei Generäle wollen eine Stadt angreifen, aber nur gemeinsam; greift einer allein an, verliert er. Plant General A einen Angriff, schickt er einen Boten zu B: „Wir greifen an.“ Plant er keinen, darf keiner angreifen. Boten können unterwegs verloren gehen. Darum bestätigt B den Empfang, A bestätigt die Bestätigung, und so weiter (die Kette). Eine Lage ist die Zahl der angekommenen Nachrichten. Ein Alltagsbild: Sie schreiben „Ich komme Montag“ und bekommen „Ok“. Wissen Sie nun, dass die andere Person weiß, dass Ihr „Ok“ angekommen ist?

Der Haken: Wer die letzte Nachricht abgeschickt hat, weiß nicht, ob sie ankam. Jeder General entscheidet nur nach dem, was er selbst erlebt hat (seine Regel). Sollen beide in jeder Lage dasselbe tun, folgt: Ging Bote 1 verloren, hat B nichts gehört und kann das nicht von „kein Befehl“ unterscheiden. B greift nicht an, und damit auch A nicht, sonst stünde er allein. Kam Nachricht 1 an, ging aber die Bestätigung verloren, erlebt A dasselbe wie eben, nämlich keine Bestätigung. A greift nicht an, und damit auch B nicht. So geht es Lage für Lage weiter, auch wenn alle Nachrichten ankommen: In jeder Lage ist einer unsicher, ob die letzte Nachricht ankam, und handelt wie in der Lage davor.

Die Demo hat in den durchgezählten Fällen alle Regeln geprüft, die ohne Befehl nicht angreifen und nur vom eigenen Erleben abhängen. Genau eine lässt beide in jeder Lage dasselbe tun, nämlich „nie angreifen“.

Das passt zur Treppe: Jede angekommene Nachricht bringt eine Stufe mehr. Kam nur Nachricht 1 an, gilt Stufe 1. Kam die Bestätigung auch an, gilt Stufe 2; Stufe 3 fehlt, denn B weiß nicht, ob seine Bestätigung ankam. In der Kette der Demo gibt es nie alle Stufen. Eine Ansage vor beiden füllt alle auf einmal; ein Bote schafft das nicht.

Was das Verhältnis von Uneinigkeit (nur einer greift an) zu gemeinsamem Angriff verbessert, sind mehr Boten je Nachricht. Schickt man jede Nachricht mit mehreren Boten, geht sie nur verloren, wenn alle gefangen werden. Eine einfache Regel hat eine Schwelle: Angriff, sobald ich mindestens so viele Nachrichten gesehen habe, wie die Schwelle verlangt. Für solche Regeln gilt in der Demo: Das Verhältnis hängt nur von der Verlustchance einer Nachricht ab, nicht von der Kettenlänge oder der Schwelle.

Angenommen, jeder Bote geht mit 50 % Wahrscheinlichkeit verloren. Mit einem Boten je Nachricht kommt auf jeden gemeinsamen Angriff ein Fall von Uneinigkeit. Mit zwei Boten geht eine Nachricht nur in 25 % der Fälle verloren, und auf drei gemeinsame Angriffe kommt ein Fall von Uneinigkeit. Mehr Boten senken das Verhältnis, aber nicht auf null.

Häufige Missverständnisse

• „Mehr Boten machen die Uneinigkeit immer seltener.“ Das Verhältnis zum gemeinsamen Angriff fällt mit jedem Boten. Die Uneinigkeit selbst nicht immer: Bei 50 % Verlust je Bote und Schwelle drei kommt sie in der Demo mit zwei Boten häufiger vor als mit einem.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Anzeichen für diese Art von Lage:

• Alle wissen etwas, aber keiner handelt, weil keiner sicher ist, dass die anderen es wissen.
• Das Verhalten ändert sich erst, wenn jemand es vor allen ausspricht, obwohl der Inhalt bekannt war.
• Zwei Seiten stimmen sich ab, und die letzte Bestätigung bleibt unbestätigt.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Kinder und die Generäle sind Rätsel mit gewählten Annahmen: Die Kinder denken fehlerfrei, die Boten gehen unabhängig voneinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit verloren. Die Demo sagt nichts über echte Kinder, Menschen oder Funknetze.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst Modell, Rechnung und Zählungen der Demo zusammen. Beide Rätsel haben keine Auszahlungen und keinen Eigennutz: Gefragt ist nur, was jemand aus dem schließen kann, was er sieht und hört.

• Schmutzige Kinder, Welten: Eine Welt ist ein Bitvektor \(w \in \{0, 1\}^n\) über \(n\) Kinder (\(w_i = 1\): Kind \(i\) schmutzig); \(|w|\) ist die Zahl der schmutzigen Kinder, in der wirklichen Welt \(k\). Mit \(e_i\) (eine 1 an Stelle \(i\), sonst 0) ist \(w \oplus e_i\) die Welt \(w\) mit gekipptem Bit \(i\). Kind \(i\) sieht alle anderen, nicht sich selbst; es kann \(w\) und \(w \oplus e_i\) nicht unterscheiden.
• Ansage und Antwortrunden: Der Vater sagt öffentlich „mindestens \(a\) Kinder sind schmutzig“ (\(a = 0\): er schweigt). Dann antworten in jeder Runde alle Kinder gleichzeitig auf „weißt du, ob du schmutzig bist?“, und alle hören alle Antworten. Es bleiben jeweils die Welten, in denen dieselben Antworten gefallen wären.
• Annahmen zu den Kindern: Die Kinder sehen alle anderen, sind ehrlich, schließen fehlerfrei und wissen das voneinander; die Ansage ist wahr (\(k \ge a\)). Die Kinder sind austauschbar, die schmutzigen sind in der Demo die ersten \(k\). Die Demo rechnet bis zu 10 Kinder (1.024 Welten); Voreinstellung sind drei schmutzige und ein sauberes Kind mit \(a = 1\).
• Zwei Generäle, Kette: General A hat einen Befehl und sendet Nachricht 1 an B. Jede angekommene Nachricht wird bestätigt (Nachricht \(u\) wird nur gesendet, wenn Nachricht \(u-1\) ankam), höchstens \(m\) Nachrichten. Welt \(t \in \{0, \dots, m\}\): Die ersten \(t\) Nachrichten kamen an. Welt \(\mathrm{NO}\): Es gibt keinen Befehl. Die Demo rechnet \(m\) bis 10, Voreinstellung \(m = 5\).
• Sichten und Regeln: Jeder General entscheidet nur aus seiner Sicht, also der Menge der Welten, die er nicht unterscheiden kann. A unterscheidet \(t\) und \(t+1\) für gerades \(t\) nicht, B für ungerades \(t\); außerdem kann B die Welten \(\mathrm{NO}\) und 0 nicht unterscheiden, denn er sieht ohne Nachricht nichts. Eine Regel ordnet jeder Sicht Angriff oder Warten zu und heißt gültig, wenn ohne Befehl keiner angreift. Die Regeln hängen nur von der eigenen Sicht ab und enthalten keinen Zufall. Als einig gilt eine Regel, wenn in jeder Welt beide angreifen oder beide warten.
• Verlust und Boten: Jede Nachricht geht unabhängig mit Wahrscheinlichkeit \(\varepsilon\) verloren (Voreinstellung 20 %). Tragen \(b\) Boten dieselbe Nachricht, geht sie nur mit \(\varepsilon^b\) verloren; dann steht \(\varepsilon^b\) statt \(\varepsilon\) in allen Formeln. Voreinstellung der Schwelle ist \(c = 3\), der Botenzahl \(b = 1\).
• Regler der Demo: schmutzige Kinder \(k\) 1 bis 6, saubere Kinder 0 bis 4, Ansage \(a\) 0 bis 3, Nachrichten \(m\) 1 bis 10, Schwelle \(c\) 1 bis 11, Verlust je Bote \(\varepsilon\) 5 bis 50 % in Schritten von 5, Boten \(b\) 1 bis 5. Die Zahl der Kinder ist \(n = k\) + saubere Kinder, höchstens 10.
• Rechenweg: Gerechnet wird durch Aufzählung ohne Zufall: Bitmasken und Weltenmengen für die Kinder, Sichten als Klassen und alle Regeln für die Generäle. Nur das Spiel „Nachricht für Nachricht“ und die Simulation ziehen Zufall (festes Zufalls-Seed). Alle Zahlen sind eigene Rechnung an erfundenen Parametern, keine Messung an Menschen oder Netzen.

Die Formeln

Kripke-Modell der Kinder. Kind \(i\) unterscheidet \(w\) nicht von \(w \oplus e_i\):

\[w \sim_i w \oplus e_i\]

Die Ansage „mindestens \(a\)“ schneidet die Menge der möglichen Welten auf

\[W_a = \{ w : |w| \ge a \}\]

Kind \(i\) weiß seinen Zustand in \(w\) genau dann, wenn die Nachbarwelt nicht mehr möglich ist; \(W\) ist dabei die Menge der noch möglichen Welten:

\[K_i\text{(Zustand)} \iff w \oplus e_i \notin W\]

Nach einer Runde ohne „Ja“ bleiben nur Welten, in denen niemand es gewusst hätte. Alle Antworten sind öffentlich; so entsteht aus Schweigen Wissen.

Wissensleiter. Sei \(\varphi\) eine Aussage über die Welt und \(K_i \varphi\) heiße: \(\varphi\) gilt in allen Welten, die Kind \(i\) von der wirklichen nicht unterscheidet. Mit \(E\varphi = \bigwedge_i K_i \varphi\) („alle wissen \(\varphi\)“) gilt \(E^j\varphi\) in \(w\) genau dann, wenn \(\varphi\) in allen Welten im Abstand höchstens \(j\) von \(w\) gilt; der Abstand zählt Schritte mit je einem gekippten Bit. Für \(\varphi\) = „mindestens \(a\) schmutzig“ mit \(a \ge 1\) in der Welt mit \(k\) schmutzigen Kindern ist das

\[E^j\varphi \iff j \le k - a\]

Gemeinsames Wissen \(C\varphi\) in \(w\) heißt: \(\varphi\) gilt in der ganzen von \(w\) aus erreichbaren Komponente, also \(E^j\varphi\) für jedes \(j\). Vor der Ansage enthält sie (für \(a \ge 1\)) die Welt \(w = 0\), in der \(\varphi\) falsch ist; nach der Ansage liegt sie in \(W_a\), wo \(\varphi\) überall gilt.

Rundenzahl. Für \(a \ge 1\) wissen die schmutzigen Kinder es in Runde

\[r = k - a + 1\]

und die sauberen Kinder, sofern es welche gibt, in Runde \(r + 1\). Alle \(n\) Kinder schmutzig und \(a = 1\): Nach \(s\) stillen Runden sind noch \(\sum_{q > s} \binom{n}{q}\) Welten möglich, nämlich genau die mit mehr als \(s\) schmutzigen Kindern.

Zwei Generäle. Bei Verlust \(\varepsilon\) je Nachricht kommen genau die ersten \(t\) Nachrichten mit Wahrscheinlichkeit \(P(t) = (1-\varepsilon)^t \varepsilon\) an, solange \(t < m\), und alle \(m\) mit \(P(m) = (1-\varepsilon)^m\). Die Schwellenregel \(c\) (\(1 \le c \le m\)) liefert

\[P(\text{beide greifen an}) = (1-\varepsilon)^c, \qquad P(\text{genau einer greift an}) = \varepsilon (1-\varepsilon)^{c-1}\]

Das Verhältnis beider ist \(\varepsilon/(1-\varepsilon)\), unabhängig von \(c\) und \(m\). Hinweis zur Notation: Die Buchstaben sind dieselben wie in der Demo: \(k\) nur für die Zahl der schmutzigen Kinder, \(j\) nur für die Tiefe von \(E^j\), \(r\) für die Runde der Meldung, \(t\) für die Weltnummer der Generäle, \(q\) für die Laufzahl der Summe und \(s\) für die Zahl stiller Runden, damit kein Buchstabe zwei Dinge bedeutet.

Herleitungen Schritt für Schritt

Die folgenden Herleitungen sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo. Wo die Demo dieselbe Aussage zählt, steht es dabei.

Die Rundenformel \(r = k - a + 1\) (Induktion über \(k\), \(a \ge 1\)).

• Schritt 1, \(k = a\): Ein schmutziges Kind sieht \(a - 1\) schmutzige. Wäre es sauber, gäbe es nur \(a - 1\), im Widerspruch zur Ansage. Es weiß also in Runde 1 Bescheid, und \(k - a + 1 = 1\).
• Schritt 2, \(k > a\): Ein schmutziges Kind sieht \(k - 1\) schmutzige und erwägt, selbst sauber zu sein. Dann gäbe es \(k - 1\) schmutzige Kinder, die nach der Induktionsannahme in Runde \((k-1) - a + 1 = k - a\) Ja gerufen hätten.
• Schritt 3: In der wirklichen Welt ruft in Runde \(k - a\) niemand Ja (die schmutzigen Kinder wissen es erst eine Runde später). Das Schweigen schließt die erwogene Welt aus, also weiß jedes schmutzige Kind in Runde \(k - a + 1\), dass es schmutzig ist.
• Schritt 4, saubere Kinder: Ein sauberes Kind sieht \(k\) schmutzige. Wäre es selbst schmutzig, gäbe es \(k + 1\), die in Runde \(k - a + 2\) Ja gerufen hätten. Es hört aber die Meldung der \(k\) schmutzigen Kinder schon in Runde \(k - a + 1\); damit ist die erwogene Welt ausgeschlossen, und es weiß in Runde \(k - a + 2\), dass es sauber ist.
• Probe: Die Demo rechnet das Kripke-Modell, ein Tupel-Orakel (Weltenmengen als Tupelmengen mit eigener Eliminationsschleife), die Induktion ohne Welten und die Formel getrennt und vergleicht sie.

Durchgerechnet: drei Kinder, alle schmutzig, \(a = 1\). Von den acht Welten bleiben nach der Ansage sieben, denn die Welt ohne schmutziges Kind fällt weg. Runde 1: In den drei Welten mit genau einem schmutzigen Kind weiß dieses Kind sofort Bescheid, denn sein gekipptes Bit führt in die ausgeschlossene Welt. In der wirklichen Welt antwortet jedes Kind mit Nein; das schließt diese drei Welten aus, vier bleiben. Runde 2: In den drei Welten mit genau zwei schmutzigen Kindern wüssten diese Kinder es jetzt. In der wirklichen Welt antworten alle wieder mit Nein, das schließt diese drei aus, eine Welt bleibt. Runde 3: Alle drei wissen es. Das passt zu \(r = 3 - 1 + 1 = 3\).

Ohne Ansage. Mit \(a = 0\) bleiben alle \(2^n\) Welten möglich. Dann ist für jedes Kind \(i\) und jede Welt \(w\) auch \(w \oplus e_i\) möglich, also weiß kein Kind etwas, jede Antwort lautet „weiß nicht“, und das Hören der Antworten ändert die Weltenmenge nicht. Das gilt für jedes \(n\); die Demo zählt es für \(n \le 6\).

Weltenzahl nach stillen Runden. Alle \(n\) Kinder sind schmutzig, \(a = 1\). In Runde \(s\) wüssten in den Welten mit genau \(s\) schmutzigen Kindern alle schmutzigen Kinder Bescheid (Rundenformel mit \(k = s\)). Das Schweigen schließt diese Welten aus. Nach \(s\) stillen Runden bleiben also die Welten mit mehr als \(s\) schmutzigen Kindern. Für \(n = 6\) gibt es \(\binom{6}{q}\) Welten mit \(q\) schmutzigen Kindern:

Stille Runden \(s\)	Dabei ausgeschlossen	Verbleibende Welten
0	die Welt ohne schmutziges Kind (durch die Ansage; 1 von 64)	63
1	\(\binom{6}{1} = 6\)	57
2	\(\binom{6}{2} = 15\)	42
3	\(\binom{6}{3} = 20\)	22
4	\(\binom{6}{4} = 15\)	7
5	\(\binom{6}{5} = 6\)	1

Die Kette: Wissensebene und gemeinsames Wissen. Die Welten \(\mathrm{NO}, 0, 1, \dots, m\) bilden eine Kette: B kann \(\mathrm{NO}\) und 0 nicht unterscheiden, A kann 0 und 1 nicht unterscheiden, B 1 und 2, und so weiter. Die Aussage „ein Befehl liegt vor“ ist in allen Welten außer \(\mathrm{NO}\) wahr. Die Welt \(t\) ist \(t + 1\) Schritte von \(\mathrm{NO}\) entfernt, und jeder Schritt ist eine Welt, die ein General nicht unterscheidet. Also gilt „Befehl liegt vor“ in der Welt \(t\) genau als \(E^t\). Auch bei allen \(m\) angekommenen Nachrichten ist es nur \(E^m\). Gemeinsames Wissen gibt es nirgends, weil die erreichbare Komponente jeder Welt \(\mathrm{NO}\) enthält. Die Demo zählt das für \(m = 1\) bis 10 über alle Welten.

Wie viele Regeln gibt es? Beide Generäle zusammen haben \(m + 3\) Sichten (A: \(\lceil m/2 \rceil\) Verbindungen von Nachbarwelten, B: \(1 + \lfloor m/2 \rfloor\); von den \(2(m+2)\) Welten-Plätzen verschmelzen so \(m + 1\) Paare). Zwei dieser Sichten enthalten \(\mathrm{NO}\), dort muss die Regel warten. Die übrigen \(m + 1\) Sichten sind frei: \(2^{m+1}\) gültige Regeln. Die Demo zählt das für \(m = 1\) bis 10.

Durchgerechnet: \(m = 1\). Welten \(\mathrm{NO}\), 0, 1. A hat die Sichten \(\{\mathrm{NO}\}\) und \(\{0, 1\}\), B die Sichten \(\{\mathrm{NO}, 0\}\) und \(\{1\}\). Gültig verlangt Warten in \(\{\mathrm{NO}\}\) und \(\{\mathrm{NO}, 0\}\); frei sind A in \(\{0, 1\}\) und B in \(\{1\}\), also \(2^2 = 4\) Regeln:

Regel (A in {0, 1}; B in {1})	Welt 0	Welt 1	einig?
warten; warten	keiner greift an	keiner greift an	ja
warten; angreifen	keiner greift an	nur B greift an	nein
angreifen; warten	nur A greift an	nur A greift an	nein
angreifen; angreifen	nur A greift an	beide greifen an	nein

Warum genau eine Regel einig ist (für jedes \(m\)). Gültigkeit verlangt Warten beider Generäle in \(\mathrm{NO}\). Einigkeit in Welt 0 verlangt, dass auch A in 0 wartet, denn B wartet dort wegen der gemeinsamen Sicht mit \(\mathrm{NO}\). Dann wartet A auch in 1 (gleiche Sicht), Einigkeit in 1 verlangt B wartet in 1, und so fort bis zur Welt \(m\). Die einzige einige Regel lautet also „nie angreifen“, und keine einige Regel greift bei allen \(m\) Nachrichten an. Die Demo zählt das für \(m = 1\) bis 10.

Die Schwellenregel. Der General, der die Welten \(c - 1\) und \(c\) nicht unterscheiden kann, greift an, wenn seine Sicht nur Welten ab \(c - 1\) enthält; der andere, wenn seine Sicht nur Welten ab \(c\) enthält. In den Welten ab \(c\) greifen deshalb beide an, in Welt \(c - 1\) genau einer, darunter keiner. Mit \(P(t)\) von oben folgt \(P(\text{beide}) = \sum_{t \ge c} P(t) = (1-\varepsilon)^c\) und \(P(\text{genau einer}) = P(c-1) = \varepsilon(1-\varepsilon)^{c-1}\). Der Quotient ist \(\varepsilon/(1-\varepsilon)\).

Durchgerechnet: Voreinstellung \(\varepsilon = \tfrac{1}{5}\), \(m = 5\), \(c = 3\), \(b = 1\). \(P(\text{beide}) = (4/5)^3 = 64/125\), \(P(\text{genau einer}) = \tfrac{1}{5} \cdot (4/5)^2 = 16/125\), der Quotient \(\tfrac{16}{64} = \tfrac{1}{4}\), und \(\varepsilon/(1-\varepsilon) = \tfrac{1/5}{4/5} = \tfrac{1}{4}\). Die Prozentwerte stehen in der Befundtabelle.

Mehr Boten, nicht monotone Uneinigkeit. Mit \(b\) Boten steht \(x = \varepsilon^b\) an der Stelle von \(\varepsilon\). Das Verhältnis \(x/(1-x)\) fällt mit wachsendem \(b\) und bleibt für jedes \(b\) größer als 0. Die Uneinigkeit \(f(x) = x(1-x)^{c-1}\) hat die Ableitung \(f'(x) = (1-x)^{c-2}(1 - c\,x)\): Sie wächst für \(x < 1/c\) und fällt für \(x > 1/c\), das Maximum liegt bei \(x = 1/c\). Da \(x\) mit \(b\) sinkt, gilt für einen Schritt von \(b\) auf \(b+1\): Liegen \(\varepsilon^b\) und \(\varepsilon^{b+1}\) beide über \(1/c\), steigt die Uneinigkeit; liegen beide darunter, fällt sie. Führt der Schritt über das Maximum hinweg, kann sie steigen oder fallen. Die Uneinigkeit ist in der Botenzahl also nicht monoton; ein Beispiel steht in der Befundtabelle.

Befunde

Alle Zahlen der Tabelle sind Zählungen oder Rechnungen der Demo ohne Stichprobenfehler, außer der letzten Zeile. Wo eine Zahl nur für ein Raster gilt, steht es in der linken Spalte.

Frage	Befund
Wann melden sich die schmutzigen Kinder? (\(n \le 8\), \(a \in \{1, 2, 3\}\), \(a \le k \le n\): 85 Fälle)	Bei Ansage „mindestens \(a\)“ in Runde \(k - a + 1\), die sauberen Kinder eine Runde später. Kripke-Modell und Formel stimmen in allen 85 Fällen überein; ein Tupel-Orakel und die Induktion ohne Welten bestätigen sie bis \(n \le 6\).
Was geschieht ohne Ansage? (\(n \le 6\), \(k = 1 \dots n\): 21 Fälle)	In diesen Fällen weiß kein Kind etwas, die Weltenmenge ändert sich nicht.
Wie tief reicht „alle wissen es“ vor der Ansage? (\(n \le 7\), \(a \in \{1, 2, 3\}\), \(a \le k \le n\): 64 Fälle)	„Mindestens \(a\) schmutzig“ gilt als \(E^j\) genau für \(j \le k - a\). Gemeinsames Wissen ist es in keinem dieser Fälle. Nach der Ansage ist es gemeinsames Wissen in allen.
Wie hängen Tiefe und Rundenzahl zusammen? (dieselben Fälle)	Die Meldung kommt in der Runde nach der Tiefe: Runde = Tiefe + 1.
Wie schrumpft die Weltenmenge? (\(n = 6\), alle schmutzig, \(a = 1\))	63, 57, 42, 22, 7, 1 Welten nach 0, 1, …, 5 stillen Runden, gleich \(\sum_{q > s} \binom{6}{q}\).
Gibt es gemeinsames Wissen in der Kette? (\(m = 1 \dots 10\), alle Welten)	Nirgends. In Welt \(t\) gilt „Befehl liegt vor“ genau als \(E^t\); auch bei allen \(m\) angekommenen Nachrichten nur \(E^m\).
Wie viele Regeln gibt es, wie viele genügen? (\(m = 1 \dots 10\))	Beide Generäle haben zusammen \(m + 3\) Sichten. Gültige Regeln: \(2^{m+1}\), also 4 bei \(m = 1\) bis 2.048 bei \(m = 10\) (4.092 zusammen). Davon ist genau 1 in allen Welten einig („nie angreifen“), und keine dieser einigen Regeln greift bei allen \(m\) angekommenen Nachrichten an.
Was ist die beste Regel bei Verlust \(\varepsilon\)? (\(\varepsilon \in \{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{10}, \tfrac{1}{20}\}\), \(m \in \{3, 5, 7, 9\}\): 16 Zellen)	Die Pareto-Menge der Paare (P(beide greifen an), P(genau einer greift an)) aller gültigen Regeln ist in allen 16 Zellen genau die Schwellenfamilie \(((1-\varepsilon)^c,\ \varepsilon(1-\varepsilon)^{c-1})\), \(c = 1 \dots m\), plus „nie angreifen“. Das Verhältnis Uneinigkeit zu gemeinsamem Angriff ist \(\varepsilon/(1-\varepsilon)\), für jede Schwelle und jedes \(m\) dasselbe.
Voreinstellung (\(\varepsilon = 20\,\%\), \(m = 5\), \(c = 3\), \(b = 1\))	Beide greifen an mit 51,2 %, genau einer mit 12,8 %, Verhältnis 0,25.
Was bringen Boten? (Verlust 20 % je Bote, \(c = 3\); \(b = 1\) / 2 / 5)	Genau einer greift an mit 12,8 % / 3,69 % / 0,032 %, beide in 51,2 % / 88,5 % / 99,9 %. Das Verhältnis Uneinigkeit zu Angriff fällt von 0,25 auf unter 0,001 (\(b = 5\)), bleibt aber größer als 0.
Ist die Uneinigkeit in der Botenzahl monoton? (Verlust 50 % je Bote, \(c = 3\))	Nein: 12,5 % mit einem Boten, 14,1 % mit zwei Boten. Der Verlauf folgt \(f(x) = x(1-x)^{c-1}\) mit Maximum bei \(x = 1/c\).
Stimmt die Formel mit dem Spiel überein? (Simulation, 20.000 Ketten, Zufalls-Seed 35, \(m = 5\), \(c = 3\), \(\varepsilon = 20\,\%\))	Alle 3 Ausgänge (beide, nur einer, keiner) liegen innerhalb von 4 Standardfehlern um die Formel.

Grenzen und was die Messung zeigt

Was sie belegt:

• Aufzählungen über das ganze genannte Raster, nicht Stichproben: Rundenformel, Wissensleiter, Weltenzahlen, Regelzahlen und Pareto-Mengen. Der Kern ist gegen unabhängige Rechenwege geprüft (Tupelmengen mit eigener Eliminationsschleife, eine Induktion ohne Welten, der Abstand zwischen Welten, Sichten aus den Nachrichtenlisten selbst, alle Regeln per Produktaufzählung in exakten Brüchen).
• Die Simulation prüft nur, dass das Ziehen Nachricht für Nachricht zur Formel passt; sie liefert keinen zweiten Beleg für die Aufzählung.

Was sie nicht belegt, und die Grenzen:

• „Nie“ und „keine“ gelten nur in den gezählten Fällen: Dass ohne Ansage nie ein Kind etwas weiß, ist für \(n \le 6\) gezählt; dass keine einige Regel bei allen \(m\) Nachrichten angreift, für \(m \le 10\); dass die Pareto-Menge die Schwellenfamilie ist, in den 16 Zellen. Die Herleitungen oben belegen die ersten beiden Aussagen für jedes \(n\) und \(m\) (Rechnung dieser Seite); für die Pareto-Menge gibt diese Seite keinen Beweis und damit keine Aussage zwischen den gezählten Werten von \(\varepsilon\) und \(m\).
• Rundenformel nur bei vollständiger Sicht: Sie gilt für ehrliche, fehlerfrei schließende Kinder, die alle anderen sehen, gleichzeitig antworten und eine wahre Ansage hören. Gezählt ist sie für \(n \le 8\) und \(a \le 3\); die Induktion oben gilt für jedes \(a \ge 1\). Bei unvollständiger Sicht (nur Nachbarn) oder bei Fehlern gilt sie nicht; das ist nicht gerechnet. Auch lügende Kinder und eine falsche Ansage sind nicht modelliert, die Demo lässt nur wahre Ansagen zu.
• Kettenmodell: Andere Kommunikationsmuster (parallele Boten ohne Bestätigung, Zeitschranken, Wiederholungen, mehrere Nachrichten gleichzeitig) sind nicht gerechnet. Der Verlust ist unabhängig und gleich groß; bei gegnerischem Verlust gelten die Verlustzahlen nicht, die Aufzählung über Welten gilt weiter.
• Regeln ohne Zufall: Gerechnet sind nur Regeln, die allein von der eigenen Sicht abhängen. Wählen beide Generäle vorab nach einem gemeinsamen Münzwurf eine Regel \(\ell\) mit Wahrscheinlichkeit \(\lambda_\ell\), so hat die Mischung die Wahrscheinlichkeiten \(\sum_\ell \lambda_\ell B_\ell\) für gemeinsamen Angriff und \(\sum_\ell \lambda_\ell D_\ell\) für Uneinigkeit (\(B_\ell\), \(D_\ell\): die Werte der Regel \(\ell\)); ihr Verhältnis liegt zwischen den Verhältnissen \(D_\ell/B_\ell\) der Einzelregeln und damit nicht unter dem kleinsten (Mediantenregel, Rechnung dieser Seite; die Demo nennt sie, testet sie aber nicht). Die Demo rechnet solche Mischungen nicht, auch keine anderen Regeln mit geteiltem Zufall. Verräter unter den Generälen (byzantinische Generäle) sind ein anderes Problem.
• Kein E-Mail-Spiel, keine Auszahlungen: Ob ein Betrieb bei Verlustrisiko angreift, ist eine Gleichgewichtsfrage mit Auszahlungen, das E-Mail-Spiel von Rubinstein. Es wird hier weder nachgerechnet noch bestätigt, und die Stufen des Wissens erscheinen dort nur als Wahrscheinlichkeit \((1-\varepsilon)^v\) für gegenseitiges Wissen der Stufe \(v\), nicht als Zahl von Kindern.
• Lehrbuchkerne: Die Rätsel, die Lösung der Schmutzigen Kinder nach \(k\) Runden und die Unmöglichkeit garantierter Koordination über unzuverlässige Boten sind bekannte Ergebnisse. Die Demo rechnet sie in diesen Modellen nach und zählt dabei alle Regeln auf. Ob die Aufzählung und das Verhältnis \(\varepsilon/(1-\varepsilon)\) in der Literatur schon stehen, ist nicht nachgeschlagen; Neuheit behauptet diese Seite nicht.
• Erfundene Parameter: Alles ist an erfundenen Parametern geprüft, nicht an Menschen oder Netzen. Die Kinder und die Generäle sind Modelle, keine Aussagen über Menschen oder echte Netze.

Quellen

• Aumann (1976), „Agreeing to Disagree“, Annals of Statistics 4(6), 1236–1239: Definition gemeinsamen Wissens als unendliche Kette (jeder weiß, jeder weiß, dass der andere es weiß, …).
• Halpern und Moses (1990), „Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment“, Journal of the ACM 37(3), 549–587: Ein korrektes Protokoll für den koordinierten Angriff greift nur an, wenn der Angriff gemeinsames Wissen ist; bei nicht garantierter Kommunikation ist gemeinsames Wissen unerreichbar.
• Rubinstein (1989), „The Electronic Mail Game“, American Economic Review 79(3): nur als Verweis auf das E-Mail-Spiel, nicht nachgelesen. Die Rätsel selbst sind Sammlungswissen.
• Quelltext, Zählungen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/gemeinsames-wissen-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht im Volltext gelesen; die Angaben beruhen auf der Zusammenfassung bzw. Einleitung (Websuche der Demo vom 8. November 2026). Die Zahlen und Zählungen sind eigene Rechnung der Demo und stammen aus keiner dieser Arbeiten. Die Herleitungen und durchgerechneten Beispiele sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo.