Der Preis der Fairness verständlich erklärt

Wenn Arbeit gerechter verteilt wird, trägt die am stärksten belastete Person weniger. Dafür kann die Arbeit aller zusammen mehr werden. Was diese Fairness kostet und warum der Aufschlag davon abhängt, wie man zwischen gleich gerechten Verteilungen wählt, erklärt diese Seite.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Drei Fahrer, drei Touren

Stellen Sie sich einen Betrieb mit drei Fahrern vor, die drei Touren unter sich aufteilen. Jeder Fahrer übernimmt genau eine Tour. Wie lange eine Tour dauert, hängt vom Fahrer ab: Was dem einen leichtfällt, kostet den anderen viel Zeit. Diese Dauer in Stunden nennen wir Belastung. Eine Verteilung der Touren nennen wir Plan.

Ein Beispiel mit erfundenen Belastungen in Stunden:

Fahrer	Tour 1	Tour 2	Tour 3
Anna	1	3	5
Ben	4	1	6
Cora	5	4	8

Der sparsame und der faire Plan

Wer die Arbeitszeit aller zusammen so klein wie möglich halten will, wählt den sparsamsten Plan: Anna fährt Tour 1, Ben Tour 2, Cora Tour 3. Das macht 1 + 1 + 8 = 10 Stunden zusammen. Aber Cora arbeitet allein 8 Stunden, die höchste Belastung im Team.

Wir nennen einen Plan fairer, wenn er genau diese höchste Belastung senkt. Im Beispiel geht das, indem Cora die Tour 1 übernimmt und Anna die Tour 3. Dann arbeiten Anna 5, Ben 1 und Cora 5 Stunden. Die höchste Belastung sinkt von 8 auf 5 Stunden, die Arbeitszeit aller zusammen steigt von 10 auf 11 Stunden.

Das ist der Preis der Fairness: eine Stunde mehr Arbeitszeit insgesamt, das sind 10 Prozent mehr als vorher. Der Gewinn: Die am stärksten belastete Person arbeitet 3 Stunden weniger.

Gleich fair, aber verschieden teuer

Im Beispiel gibt es noch einen zweiten Plan mit der höchsten Belastung 5. Alle drei Pläne nebeneinander, jeweils mit Tour und Stunden:

Plan	Anna	Ben	Cora	Alle zusammen	Höchste Belastung
Sparsamster Plan	Tour 1: 1	Tour 2: 1	Tour 3: 8	zusammen 10 Stunden	höchstens 8 Stunden
Fairer Plan A	Tour 3: 5	Tour 2: 1	Tour 1: 5	zusammen 11 Stunden	höchstens 5 Stunden
Fairer Plan B	Tour 3: 5	Tour 1: 4	Tour 2: 4	zusammen 13 Stunden	höchstens 5 Stunden

Wer nur auf die höchste Belastung schaut, sieht zwischen A und B keinen Unterschied: Beide sind gleich fair. Plan B verlangt aber 3 Stunden mehr als der sparsamste Plan, Plan A nur 1 Stunde. Wenn mehrere Pläne gleich fair sind, spricht man von einem Gleichstand.

Wie teuer die Fairness aussieht, hängt demnach davon ab, welchen der gleich fairen Pläne man nimmt. Dafür braucht es eine Regel für Gleichstände: Unter den gleich fairen Plänen wählt man den mit der kleinsten Arbeitszeit aller zusammen. Fehlt die Regel, entscheidet die Willkür des Verfahrens, das den Plan sucht.

Solche Gleichstände entstehen, weil bei der höchsten Belastung nur die eine Person zählt, die am meisten trägt. Wie sich die anderen die übrigen Touren teilen, ändert diesen Wert nicht, wohl aber die Arbeitszeit aller zusammen.

Was Rechnungen mit erfundenen Daten zeigen

Ein Rechenprogramm zum Ausprobieren (kurz Demo) hat solche Fälle mit zufällig erzeugten Belastungen durchgerechnet. Sie erreichen es über den ersten Knopf am Ende dieses Teils. Bei 50 Personen mit gleichmäßig zufälligen Belastungen lag die Mehrbelastung in der Mitte der Ergebnisse (Fachwort: Median) bei etwa 54 Prozent, wenn zwischen gleich fairen Plänen willkürlich gewählt wurde, und bei etwa 3 Prozent mit der Regel „kleinste Arbeitszeit aller zusammen“. Die höchste Belastung ist in beiden Fällen dieselbe.

Mit dieser Regel lag die Mehrbelastung bei Teams ab 10 Personen in der Mitte der Ergebnisse unter 5 Prozent, bei vier verschiedenen Arten, die Belastungen zufällig zu erzeugen. Einzelne Fälle lagen höher. Es gibt auch Fälle, in denen der sparsamste Plan schon die kleinstmögliche höchste Belastung hat; dann kostet Fairness nichts und bringt nichts.

Was hilft?

• Die Regel für Gleichstände festlegen: Sagen Sie vor dem Vergleich der Pläne, wie unter gleich fairen Plänen gewählt wird.
• Die Grenze vorher prüfen: Im Beispiel braucht Cora für ihre leichteste Tour 4 Stunden. Wer auch immer fährt: Der längste Arbeitstag im Team kann nicht unter 4 Stunden sinken (Fachwort: untere Schranke). Erreicht wird die Grenze nicht immer, denn im Beispiel liegt der kleinstmögliche längste Arbeitstag bei 5 Stunden.
• Die Strenge dosieren: Man kann große Belastungen überproportional stark zählen lassen, statt nur die allergrößte zu beachten. Das ist ein Mittelweg zwischen „kleinste Arbeitszeit aller zusammen“ und „kleinste höchste Belastung“. Er wägt alle Belastungen gegeneinander ab und kann deshalb die höchste Belastung auch steigern; in einem Beispiel der Demo geschah das. Prüfen Sie also, was ein Mittelweg im eigenen Fall tut.

Woran Sie das im Betrieb erkennen

Anzeichen, wenn Arbeit gerechter verteilt werden soll:

• Mehrere Pläne haben dieselbe höchste Belastung, aber verschiedene Arbeitszeit aller zusammen. Dann kommt es auf die Regel für Gleichstände an.
• Zwei Teams, die beide die höchste Belastung senken, nennen verschiedene Mehrkosten. Fragen Sie nach der Regel für Gleichstände, bevor Sie die Zahlen vergleichen.
• Nachdem jemand entlastet wurde, ist die Arbeitszeit aller zusammen gestiegen. Prüfen Sie, ob ein anderer Plan dieselbe höchste Belastung mit weniger Arbeitszeit erreicht; falls ja, war der Aufschlag nicht nötig.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Belastungen im Programm sind erfunden und auf vier verschiedene Arten zufällig erzeugt, nicht in einem Betrieb gemessen. Fair heißt hier nur, die höchste Belastung zu senken; andere Vorstellungen von Gerechtigkeit führen zu anderen Plänen.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Modell: \(n\) Personen, \(n\) Aufgaben, Belastungen \(c_{ij} \ge 0\). Ein Plan ist eine Permutation \(\pi\); Person \(i\) trägt \(b_i = c_{i,\pi(i)}\). Summe \(S(\pi) = \sum_i b_i\), Maximum \(M(\pi) = \max_i b_i\). Der effiziente Plan \(\pi^{\Sigma}\) minimiert \(S\) und dient als Maßstab (im Einsteigerteil: sparsamster Plan).
• Faire Pläne: die Quadratsumme \(\min \sum_i b_i^2\); „Maximum, dann Summe“ (kleinstes Maximum, unter allen Plänen damit die kleinste Summe); „Maximum mit zufälligem Gleichstand“ (derselbe Engpass, aber unter den gleich guten Plänen gewinnt der mit der kleinsten Summe reeller Zufallszusatzkosten, fester Seed); Leximax (der absteigend sortierte Belastungsvektor wird lexikographisch minimiert, aufgezählt nur bis \(n = 8\)). Dazu die \(p\)-Familie \(\sum_i b_i^p\) für \(p = 1\) bis \(\infty\).
• Instanzen: vier Familien: ganze Zahlen 1 bis 9 (viele Gleichstände), gleichverteilt 0 bis 100, mit Personeneffekt (manche Personen sind systematisch stärker belastet) und schwerer Schwanz (log-normal mit den Parametern 3 und 1 der zugrunde liegenden Normalverteilung; die Belastungen selbst haben ein Mittel von etwa 33, Rechnung dieser Seite am Generator der Demo). Bis \(n = 8\) werden alle Pläne aufgezählt. Darüber rechnen die Ungarische Methode (Summe, Quadratsumme, \(p\)) und ein Engpassverfahren (Maximum) das Optimum exakt.
• Messung: Die Sweeps der Demo laufen über je 20 feste Instanzen (Seeds 100000 bis 100019) je Instanzgröße. Die Zahlen unten sind Mediane und Spannen über diese Instanzen, kein Satz über andere Instanzen. Größen \(n\) = 10 / 20 / 50 / 100 / 200, soweit nicht anders angegeben. Beim zufälligen Gleichstand zählt je Instanz der Median über fünf Gleichstands-Seeds (Quelltext der App, nicht in der README).

Die Formeln

Preis und Gewinn eines Plans \(\pi\) gegen den effizienten Plan \(\pi^{\Sigma}\). Der Preis sind die Mehrkosten der Summe, der Gewinn der Rückgang des Maximums, jeweils relativ; der Gewinn ist negativ, wenn das Maximum wächst (beim Quadrat-Optimum möglich):

\[\text{Preis}(\pi) = \frac{S(\pi)}{S(\pi^{\Sigma})} - 1, \qquad \text{Gewinn}(\pi) = 1 - \frac{M(\pi)}{M(\pi^{\Sigma})}.\]

Die Quadratsumme ist der Fall \(p = 2\) der Familie \(\min \sum_i b_i^p\), exakt lösbar über die Ungarische Methode mit Kosten \(c_{ij}^p\). Das Maximum bestimmt die kleinste Schwelle \(t\), bei der die Kanten mit \(c_{ij} \le t\) ein perfektes Matching enthalten. Unter allen Plänen mit \(M(\pi) = t\) entscheidet dann die Gleichstandsregel: die kleinste Summe („dann Summe“) oder die kleinste Summe reeller Zufallszusatzkosten (zufälliger Gleichstand). Der zufällige Gleichstand ist damit ein Rechenmodell der Willkür, kein gleichverteiltes Ziehen aus der Optimalmenge.

Die Gewinnschranke: Für jeden Plan gilt \(M(\pi) \ge \max_i \min_j c_{ij}\), denn die zäheste Person trägt mindestens ihre billigste Aufgabe. Unter dieser Schranke gewinnt kein Plan; erreicht wird sie nicht in jeder Instanz (siehe Befunde).

Aus den Definitionen folgt (Rechnung dieser Seite, keine Messung): Der Preis ist nie negativ, weil \(\pi^{\Sigma}\) die Summe minimiert. Der Gewinn von „Maximum, dann Summe“ ist nie negativ, weil dieser Plan das Maximum minimiert. Das Quadrat kann „Maximum, dann Summe“ nicht dominieren: Dieser Plan hat unter allen Plänen das kleinste Maximum und unter diesen die kleinste Summe.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus den Auswertungsfunktionen der Demo; die README führt sie auf tests/test_claims.py zurück. Für zwei Zahlen (größter Einzellauf 260,2 %, Gewinn null gegen den Summen-Optimalplan mit kleinstem Maximum: 17 / 20 / 20 / 20 / 20) fehlt dort ein Test; eine Nachrechnung für diese Seite ergab dieselben Werte. Die Voraussetzungen stehen jeweils in der Zeile; Spannen über Instanzen sind kein Satz über andere Instanzen.

Frage	Befund
Handbeispiel (n = 4, ganze Zahlen, Seed 358; 24 Pläne)	Quadratsumme: Preis 7,1 %, Gewinn 14,3 %. Maximum, dann Summe: Preis 14,3 %, Gewinn 28,6 % (Summe 16 statt 14, Maximum 5 statt 7). Das Maximum 5 ist die untere Schranke, Leximax ist derselbe Plan.
Preis von „Maximum, dann Summe“ (Median über je 20 Instanzen; n = 10 / 20 / 50 / 100 / 200)	Gleichverteilt 0,4 / 2,3 / 3,0 / 1,9 / 0,6 %, Personeneffekt 4,2 / 2,3 / 1,4 / 0,9 / 0,6 %, schwerer Schwanz 0,8 / 1,9 / 0,9 / 1,1 / 0,9 %, ganze Zahlen 0,0 / 0,0 / 0,0 / 0,0 / 0,0 %: meist klein, fällt aber nicht in jeder Familie mit n.
Größter Preis unter den 20 Instanzen („Maximum, dann Summe“)	Gleichverteilt 17,0 / 25,6 / 14,2 / 8,6 / 5,0 %, schwerer Schwanz 37,1 / 6,9 / 4,2 / 3,1 / 2,9 %: Die Spitzen sind groß.
Preis desselben Engpasses mit zufälligem Gleichstand (Median; n = 10 / 20 / 50 / 100 / 200)	Gleichverteilt 12,5 / 39,6 / 54,1 / 60,2 / 90,9 %, Personeneffekt 16,1 / 21,0 / 23,9 / 22,9 / 22,2 %, schwerer Schwanz 14,1 / 21,1 / 31,4 / 31,7 / 32,6 %. Der größte Instanz-Median ist 218,7 % (gleichverteilt, n = 50); der größte Einzellauf 260,2 %.
Instanzen mit Preis über 5 % (gleichverteilt, von 20)	Mit zufälligem Gleichstand 15 / 19 / 20 / 20 / 20, mit der Regel „dann Summe“ 8 / 7 / 4 / 3 / 1.
Gewinn am Maximum (Median, „Maximum, dann Summe“)	Gleichverteilt 2,5 / 12,4 / 16,3 / 21,0 / 9,1 %, Personeneffekt 12,9 / 11,2 / 19,1 / 20,9 / 24,3 %, schwerer Schwanz 0,5 / 8,5 / 9,3 / 16,6 / 15,0 %. Ganze Zahlen: Gewinn null gegen den von der Ungarischen Methode gewählten Summen-Optimalplan in 13 / 16 / 20 / 20 / 20 von 20 Instanzen (gegen den Summen-Optimalplan mit kleinstem Maximum: 17 / 20 / 20 / 20 / 20; bei Gleichständen ist die Referenz nicht eindeutig).
Wie weit reicht der Gewinn? Der Engpassplan erreicht die untere Schranke (n = 10 / 50 / 200; von 20)	Gleichverteilt 8 / 6 / 9, Personeneffekt 17 / 16 / 15, schwerer Schwanz 9 / 12 / 7, ganze Zahlen 14 / 20 / 20.
„Maximum, dann Summe“ dominiert das Quadrat (Preis und Gewinn mindestens gleich gut, in einem besser; n = 10 / 50 / 200; von 20)	Gleichverteilt 1 / 7 / 18, Personeneffekt 4 / 12 / 20, schwerer Schwanz 2 / 10 / 4, ganze Zahlen 0 / 0 / 0. Das Quadrat dominiert in 0 von 240 Instanzen, wie es die Definition verlangt.
Kann das Quadrat das Maximum vergrößern?	Ja: Gleichverteilt, n = 20, ist der kleinste Gewinn des Quadrats unter den 20 Instanzen −4,1 % (Preset „Quadrat vergrößert das Maximum“).
Leximax (aufgezählt, n = 6 / 7 / 8; Preis, Median)	Gleichverteilt 0,0 / 0,0 / 6,7 %, Personeneffekt 4,0 / 5,5 / 5,7 %, schwerer Schwanz 1,3 / 0,6 / 1,0 %. Preis über 5 % bei Personeneffekt in 9 / 10 / 12 von 20 Instanzen.
Preset „Gleichstand kostet viel“ (n = 50, gleichverteilt, Seed 26)	Zufälliger Gleichstand 142,9 %, „dann kleinste Summe“ 1,2 %; Gewinn beider 23,5 %.
Preset „Kein Konflikt“ (n = 50, ganze Zahlen, Seed 0)	Preis und Gewinn von „Maximum, dann Summe“ null; der zufällige Gleichstand kostet dennoch 35,3 %. Das Preset ist ein gewählter Einzelfall; für ganze Zahlen nennt die README keinen Median des zufälligen Gleichstands.
Preset „Leximax zahlt mehr“ (n = 8, Personeneffekt, Seed 44)	Leximax 15,6 % Preis, „Maximum, dann Summe“ 5,9 %, beide Gewinn 6,1 %; die Optimalmenge beim Maximum hat 1356 Pläne.
Preset „Teurer Gewinn“ (n = 8, schwerer Schwanz, Seed 110)	Preis 28,9 %, Gewinn 14,4 %.
Preset „Viele Personen“ (n = 100, Personeneffekt, Seed 3), p = 1,5 / 2 / 3 / 5 / 10 / 20 / ∞	Preis 0,8 / 1,2 / 1,9 / 2,5 / 4,3 / 5,0 / 0,8 %, Gewinn 8,0 / 10,1 / 10,1 / 16,5 / 17,8 / 18,6 / 18,6 %. Der Preis fällt bei ∞, weil „dann Summe“ unter den Plänen mit dem kleinsten Maximum die billigste Summe wählt, während die p-Optima sich dem Leximax-Plan nähern (theoretisch, hier nicht gemessen).

Korrektur der Planungshypothese: Vor der Messung stand die Vermutung, der Preis sei klein und falle mit \(n\). Die Messung stützt nur den ersten Teil; mit \(n\) fällt der Preis bei Personeneffekt, in den anderen Familien nicht eindeutig. Die Demo behauptet keinen Trend.

Grenzen

• Vier Familien, nicht die Welt: Wie groß der Preis ist, hängt an der Familie; echte Belastungen können sich anders verhalten. „Schwerer Schwanz“ ist ein einfacher Generator (log-normal mit den Parametern 3 und 1 der zugrunde liegenden Normalverteilung, nicht Mittel und Streuung der Belastungen; deren Mittel liegt bei etwa 33).
• Die Gleichstandsregel gestaltet das Ergebnis: Der „zufällige“ Gleichstand ist ein Rechenmodell der Willkür (Zufallszusatzkosten), kein gleichverteiltes Ziehen aus der Optimalmenge. Die gemessenen Preise des zufälligen Gleichstands sind Preise dieses Modells.
• Leximax nur bis \(n = 8\): Es wird aufgezählt; für größere \(n\) fehlt ein sequenzielles Verfahren. Darüber gibt es nur die \(p\)-Familie als Annäherung.
• Fair heißt hier: das Maximum senken. Andere Fairnessbegriffe (proportional, nach Bedarf, Neidfreiheit) wählen andere Pläne; die Demo zeigt nur diese Auslegung.
• Belastungen bekannt und unabhängig je Paar: Wechselwirkungen oder Schätzfehler machen aus dem Optimum eine Näherung; Preis und Gewinn sind dann selbst unsicher.
• Keine Schranke aus der Literatur: Die Sätze von Bertsimas, Farias und Trichakis gelten für konvexe Nutzenmengen und sind für die diskrete Zuordnung nicht anwendbar. Ihr Maß gilt für Nutzen (Maximierung), liegt zwischen 0 und 1 und hat Schranken, die nur von der Spielerzahl abhängen, für konvexe Nutzenmengen bei gleichen maximalen Nutzen der Spieler (Fassung der README); Mehrkosten haben keine Obergrenze 1. Die Demo übernimmt keine Zahl daraus und nennt ihr Maß „Preis“ nur in Anlehnung an die Arbeit.
• Spannen, keine Trends: Je 20 Instanzen; Median und Spanne zeigen, was in diesen Instanzen geschieht, nicht was in anderen geschieht. Die Presets sind gewählte Beispiele, keine Stichprobe.
• Nicht enthalten: Zufallspläne (eine zufällige Zuordnung mit Erwartungsbelastung wäre konvex, dort griffen die Schranken der Literatur), eine Pareto-Front, eine Gewichtssumme und Leximax für große \(n\).

Quellen

• Bertsimas, D., Farias, V. F., Trichakis, N. (2011): The Price of Fairness. Operations Research 59(1) (Preis der Fairness als relative Effizienzeinbuße gegen den Plan mit der größten Nutzensumme; Schranken, die nur von der Spielerzahl abhängen, für kompakte und konvexe Nutzenmengen laut Expander; die README nennt konvexe Nutzenmengen bei gleichen maximalen Nutzen der Spieler).
• Kuhn (1955): Ungarische Methode (Rechenverfahren für die exakten Optima der Summe, Quadratsumme und \(p\)-Familie).
• Quelltext, Tests und Verfahren der Demo: github.com/sebastian-hanisch/preis-der-fairness-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen. Bertsimas, Farias und Trichakis (2011) stehen in der README und im Expander der Demo; Kuhn (1955) steht im Expander mit dem Vermerk „hier nicht an der Quelle geprüft“. Die Aussagen zu Bertsimas, Farias und Trichakis stammen aus README und Expander der Demo. Alle Zahlen dieser Seite stammen aus der README; der Einsteigerteil verwendet daneben erfundene Beispielzahlen. Die Sätze zur Dominanz und zum Vorzeichen von Preis und Gewinn sind eine Rechnung dieser Seite aus den Definitionen.