Kingmans Formel verständlich erklärt

Zwei Schalter arbeiten im Durchschnitt gleich schnell und sind gleich ausgelastet. Trotzdem wartet man am einen länger. Diese Seite zeigt, warum Unregelmäßigkeit Wartezeit kostet und wie weit eine bekannte Rechenregel dabei reicht.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Zwei Ämter, gleicher Durchschnitt

Stellen Sie sich zwei Bürgerämter vor, jedes mit einem einzigen Schalter. Dort kommen gleich viele Menschen an, und ein Vorgang dauert im Durchschnitt 3 Minuten. Der Schalter ist im Schnitt an 80 % der Zeit besetzt. Diesen Anteil nennt man Auslastung. Wartezeit heißt hier die Zeit von der Ankunft bis zum Beginn der Bearbeitung, im Durchschnitt über alle Leute.

Im ersten Amt dauert jeder Vorgang genau gleich lang. Im zweiten sind die meisten Vorgänge kurz, und einzelne dauern sehr lange. Der Durchschnitt ist derselbe. In welchem Amt wartet man länger?

Im zweiten. Die Seite erklärt, warum, und prüft eine bekannte Rechenregel dazu. Sie arbeitet mit einem vereinfachten Rechenbild eines Amtes, das Fachleute Modell nennen. Alle Aussagen in diesem Teil beschreiben dieses Rechenbild, nicht ein echtes Amt. Die Zahlen stammen aus Messungen. Dazu spielt ein Programm das Amt Kunde für Kunde am Rechner nach (Fachleute sagen Simulation) und misst die Wartezeit.

Dieses Programm lässt sich im Browser ausprobieren, kurz Demo. Der erste Knopf unten am Ende dieses Teils öffnet es, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Zum Verstehen brauchen Sie die Demo nicht.

Warum Unregelmäßigkeit Zeit kostet

Dass das zweite Amt langsamer wirkt, hat einen einfachen Grund: Zeit lässt sich nur in einer Richtung ausgleichen. Dauert ein Vorgang sehr lange, müssen alle dahinter warten. Geht ein Vorgang dagegen schnell, wird nichts nachgeholt. Wenn niemand wartet, bleibt der Schalter leer, und diese Zeit ist verloren.

Einen Rückstau kann man nicht vorarbeiten, man kann ihn nur abarbeiten. Bei 80 % Auslastung bleibt dafür nur wenig freie Zeit.

Das Rechenbild misst das so. Die Leute treffen nach Zufall ein, ohne Muster, und die Auslastung beträgt 80 %. Verglichen werden drei Fälle für die Dauer eines Vorgangs:

• Vergleichsfall, zufällige Dauer: Kurze und lange Vorgänge mischen sich nach Zufall, ohne Muster (Fachleute sagen exponentiell verteilt). Mit ihm werden die beiden anderen verglichen.
• Feste Dauer: jeder Vorgang gleich lang, wie im ersten Amt. Die Wartezeit ist halb so lang wie im Vergleichsfall.
• Sehr streuende Dauer: die meisten Vorgänge kürzer als im Vergleichsfall, einzelne viel länger, wie im zweiten Amt. Die Wartezeit ist etwa zweieinhalbmal so lang wie im Vergleichsfall.

Der Durchschnitt der Dauer ist in allen drei Fällen derselbe. Allein die Unregelmäßigkeit, bei Fachleuten Streuung genannt, ändert die Wartezeit.

Auch das Eintreffen kann unregelmäßig sein

Bisher kamen die Leute nach Zufall. Es gibt zwei andere Muster. Mit Terminen kommt in gleichen Abständen jemand. In Pulks kommen viele auf einmal und dann lange niemand, etwa nach der Ankunft eines Busses.

Eine bekannte Rechenregel, benannt nach dem Mathematiker Kingman, überschlägt die durchschnittliche Wartezeit aus der Auslastung und der Unregelmäßigkeit. Sie ist eine Näherung, also ein Überschlag, der nicht genau stimmt. Sie nimmt die Wartezeit des Vergleichsfalls (zufälliges Eintreffen, zufällige Dauer) und rechnet sie hoch oder herunter: Je unregelmäßiger Eintreffen und Dauer zusammen sind, desto länger wird die Wartezeit. Beide Unregelmäßigkeiten gehen gleich stark ein. Tauscht man sie aus, sagt die Regel dieselbe Wartezeit voraus. Gemeint ist: Termine mit zufälliger Dauer ergeben für die Regel dasselbe wie zufälliges Eintreffen mit fester Dauer.

Die Messung zeigt: Das stimmt nur teilweise. Bei Terminen mit zufälliger Dauer ist die gemessene Wartezeit nur etwa halb so lang wie bei zufälligem Eintreffen mit fester Dauer. Bei einer Auslastung von 50 % sagt die Regel für die Termine fast doppelt so viel Wartezeit voraus, wie gemessen wird. Ein Bild dazu: Bei Terminen in gleichen Abständen entsteht kein Pulk. Gestaut wird nur, wenn ein Vorgang länger dauert als der Abstand zum nächsten Termin.

Bei hoher Auslastung stimmt die Regel besser. Im Beispiel mit Terminen liegt sie bei 95 % nur noch gut 2 % über der Messung. Ein Bild dazu: Ist der Schalter fast nie leer, zählt nur noch, wie viel Unregelmäßigkeit insgesamt anfällt, weil sich der Rückstau selten ganz abbaut.

Mehrere Schalter

Für vier Schalter mit einer gemeinsamen Schlange gibt es eine ähnliche Regel. Bei 50 % Auslastung liegt sie prozentual teils weit daneben, in Minuten aber um weniger als eine halbe Minute, weil die Wartezeiten dort ohnehin winzig sind.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Das Rechenbild kennt keine Stoßzeiten im Tagesverlauf, keine Eiligen, die vorgelassen werden, und keine Serien langer Vorgänge hintereinander. Solche Serien würden die Wartezeit verlängern. Auch ein einzelner Rechenlauf ist wie ein einzelner Tag: Er kann vom richtigen Wert abweichen, und je unregelmäßiger die Dauer, desto mehr Kunden braucht man für ein sicheres Ergebnis.

Häufige Missverständnisse

• „Feste Dauer heißt: Niemand wartet.“ Nein. Kommen die Leute nach Zufall, staut es sich trotzdem, weil mal mehrere kurz hintereinander eintreffen. Die Wartezeit ist kürzer, aber nicht null.
• „Die Rechenregel stimmt immer.“ Nein. Genau stimmt sie nur in Sonderfällen: bei einem Schalter und zufällig eintreffenden Leuten, und bei vier Schaltern, wenn Eintreffen und Dauer beide nach Zufall schwanken. Sonst ist sie ein Überschlag.
• „Ein großer prozentualer Fehler macht eine Regel unbrauchbar.“ Nein. Bei kurzen Wartezeiten ist schon ein kleiner Fehler in Minuten prozentual groß. Wichtig ist, wie viele Minuten die Regel danebenliegt.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• An der Kasse hält ein einzelner Kunde mit einer Reklamation die ganze Reihe auf, obwohl die anderen schnell fertig sind.
• Im Rechenbild hat eine Arztpraxis mit Terminen ein ruhigeres Wartezimmer als eine ohne, denn ohne Termine kommen eher mehrere gleichzeitig.
• Ist ein Amt fast immer voll besetzt, gibt es keine freie Zeit, um eine entstandene Schlange abzubauen.

Was Sie mitnehmen

• Fragen Sie nicht nur nach dem Durchschnitt, sondern auch danach, wie unterschiedlich die Vorgänge sind.
• Wer Wartezeit kürzen will, hat zwei Hebel: schneller arbeiten oder gleichmäßiger arbeiten, zum Beispiel mit Terminen und festen Abläufen.
• Fragen Sie bei jeder Zahl zur Wartezeit, ob sie ein Durchschnitt ist. Er zeigt nicht, wie lange die Längstwartenden stehen.

Selbst ausprobieren

Mit dem ersten Knopf öffnen Sie die Demo und stellen Auslastung, Zahl der Schalter und Unregelmäßigkeit selbst ein.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Betrachtet wird ein Gate mit \(c\) gleich schnellen Spuren, einer gemeinsamen FIFO-Schlange und unendlichem Warteraum (Kendall-Notation G/G/c). Das Anwendungsbild ist ein Terminal-Gate, an dem Lkw abgefertigt werden; „feste“ Ankünfte meinen Termine in gleichen Abständen. Zwischenankunftszeiten und Abfertigungsdauern sind je unabhängig und untereinander unkorreliert. Die Näherungen unten (und Pollaczek-Khinchine) benutzen von den Verteilungen nur den quadrierten Variationskoeffizienten; die exakte G/M/1-Formel braucht die ganze Laplace-Transformierte der Zwischenankunftszeit.

• Streuung: \(c_a^2\) und \(c_s^2\) sind die quadrierten Variationskoeffizienten (Varianz geteilt durch Mittelwert zum Quadrat) der Zwischenankunftszeit bzw. der Abfertigungsdauer. Die Indizes \(a\) und \(s\) stehen für Ankunft und Service; mit der Spurzahl \(c\) haben die Kennzahlen nichts zu tun.
• Werte: \(c_s^2\) = 0 (fest), 0.25 (Erlang-4), 1 (exponentiell) oder 4 (hyperexponentiell mit gleichen Phasenanteilen am Mittel: mit Wahrscheinlichkeit \(p_1 = \tfrac12\bigl(1+\sqrt{(v-1)/(v+1)}\bigr)\) Phase 1 mit Rate \(2p_1/m\), sonst Phase 2 mit Rate \(2(1-p_1)/m\); \(v\) ist der gewünschte Wert von \(c_s^2\), \(m\) das Mittel). \(c_a^2\) = 0 (fest, wie Termine), 1 (Poisson) oder 4 (stoßweise, ebenfalls hyperexponentiell).
• Skalen: Die Zeiteinheit ist die mittlere Abfertigungsdauer (3 min). Die Zwischenankunftszeiten haben das Mittel \(1/(c\rho)\), \(\rho\) ist die Auslastung je Spur, und ein Gleichgewicht gibt es nur für \(\rho < 1\). Wartezeiten stehen in Abfertigungsdauern, wo nicht Minuten angegeben sind.
• Bereiche: \(c\) = 1 oder 4 Spuren, Auslastung 50 bis 95 % in Schritten von 5 %. Die Voreinstellung ist eine Spur, 80 %, Poisson-Ankünfte, \(c_s^2\) = 4 und ein Lauf mit 150 000 Kunden.

Die Formeln

Alle Formeln liefern die mittlere Wartezeit \(W_q\) in der Schlange. Für eine Spur und Poisson-Ankünfte (M/G/1) gilt die Formel von Pollaczek und Khinchine exakt. Dabei ist \(\lambda\) die Ankunftsrate, \(S\) die Abfertigungsdauer, \(E[S] = 1\) und \(E[S^2] = 1 + c_s^2\):

\[W_q = \dfrac{\lambda\,E[S^2]}{2(1-\rho)} = \dfrac{\rho\,(1 + c_s^2)}{2(1 - \rho)}\]

Bei beliebigen Ankünften, aber exponentieller Dauer (G/M/1) gilt exakt der folgende Ausdruck. Hier ist \(A^*(s) = E[e^{-sT}]\) die Laplace-Transformierte der Zwischenankunftszeit \(T\), und \(\sigma\) ist die Lösung der zweiten Gleichung in \((0, 1)\):

\[W_q = \dfrac{\sigma}{1 - \sigma}\]

\[\sigma = A^*(1 - \sigma)\]

Für beliebige Streuung auf beiden Seiten und eine Spur (G/G/1) ist die Näherung von Kingman gedacht. Für Poisson-Ankünfte (exponentielle Zwischenankunftszeiten, \(c_a^2 = 1\)) ist sie identisch mit der Pollaczek-Khinchine-Formel:

\[W_q \approx \dfrac{\rho}{1 - \rho}\cdot\dfrac{c_a^2 + c_s^2}{2}\]

Für \(c\) Spuren (G/G/c) ersetzt die Näherung von Allen und Cunneen den ersten Faktor durch die Wartezeit der M/M/c-Schlange. \(C(c, c\rho)\) ist die Erlang-C-Wahrscheinlichkeit zu warten. Für \(c = 1\) ist das Kingman:

\[W_q \approx W_q^{M/M/c}\cdot\dfrac{c_a^2 + c_s^2}{2}\]

\[W_q^{M/M/c} = \dfrac{C(c, c\rho)}{c(1-\rho)}\]

Herleitung: warum die Streuung linear eingeht

Dieser Abschnitt ist Standardstoff und Rechnung dieser Seite, keine Messung der Demo. Ein ankommender Kunde findet bei Poisson-Ankünften den Zeitmittelzustand vor. Mit Wahrscheinlichkeit \(\rho\) ist die Spur belegt, und er wartet auf die Restdauer \(R\) der laufenden Abfertigung. Deren Mittel ist \(E[R] = E[S^2]/(2E[S])\) und damit mindestens so groß wie die halbe mittlere Dauer (größer, sobald die Dauer streut), weil lange Vorgänge mit größerer Wahrscheinlichkeit gerade laufen. Die Kunden vor ihm in der Schlange tragen \(L_q\,E[S]\) bei, und mit dem Gesetz von Little \(L_q = \lambda W_q\) folgt \(W_q = \rho\,E[R] + \rho\,W_q\), also \(W_q = \rho\,E[R]/(1-\rho)\).

Mit \(E[S] = 1\) ist das die Formel oben. Die Streuung geht nur über das zweite Moment \(E[S^2] = 1 + c_s^2\) ein, und zwar linear. Die Wartezeit ist daher die M/M/1-Wartezeit \(\rho/(1-\rho)\) mal dem Faktor \((1 + c_s^2)/2\). Kingman ersetzt den Wert 1 der Poisson-Ankünfte in diesem Faktor durch \(c_a^2\). Die Näherung ist deshalb in \(c_a^2\) und \(c_s^2\) symmetrisch.

Beispiel bei Auslastung 80 % (Rechnung dieser Seite): Der Vorfaktor \(\rho/(1-\rho)\) ist 4 Abfertigungsdauern. Der Faktor \((1 + c_s^2)/2\) ist 1/2, 5/8, 1 und 5/2 für \(c_s^2\) = 0, 0.25, 1 und 4. Das ergibt 2.0, 2.5, 4.0 und 10.0 Abfertigungsdauern. Feste Dauer halbiert also die Wartezeit gegenüber exponentieller Dauer, und \(c_s^2 = 4\) verfünffacht sie gegenüber fester Dauer.

Die Symmetrie ist zugleich die Schwäche der Näherung bei geringer Last. Bei Auslastung 50 % liefert Kingman für Termine mit exponentieller Dauer (D/M/1) und für Poisson-Ankünfte mit fester Dauer (M/D/1) denselben Wert, 0.500 Abfertigungsdauern. Im zweiten Fall ist das nach Pollaczek-Khinchine exakt. Für D/M/1 ist \(A^*(s) = e^{-s/\rho}\) und damit \(\sigma = e^{-(1-\sigma)/\rho}\). Die Lösung \(\sigma\) ist etwa ein Fünftel; erst \(W_q = \sigma/(1-\sigma)\) ergibt 0.255, also etwa die Hälfte von 0.500. Für \(\rho \to 1\) strebt das Verhältnis aus Näherung und exaktem Wert gegen 1 (Schwerverkehrsgrenze von Kingman); die Näherung ist darum für starke Auslastung gedacht.

Simulation und Gegenproben

Die Simulation nutzt die Kiefer-Wolfowitz-Rekursion über die Zeitpunkte, zu denen die Spuren frei werden (Heap). Der Zufall kommt aus SplitMix64 mit getrennten Strömen für Zwischenankunft und Dauer, und die ersten 5 % der Kunden werden nicht ausgewertet. Für eine Spur ist das die Lindley-Rekursion, mit \(S_n\) der Dauer des \(n\)-ten Kunden, \(A_{n+1}\) dem Abstand zum nächsten und \(W_n\) der Wartezeit des \(n\)-ten:

\[W_{n+1} = \max(0, W_n + S_n - A_{n+1})\]

Fünf Gegenproben sichern die Rechnung ab:

• Für eine Spur liefert die Lindley-Rekursion aus denselben Strömen denselben Pfad wie Kiefer-Wolfowitz, bis auf Rundung, in fünf Kombinationen.
• Die Simulation stimmt mit den exakten Formeln überein: Pollaczek-Khinchine für alle vier \(c_s^2\), G/M/1 für drei \(c_a^2\), Erlang C für vier Spuren samt Wartewahrscheinlichkeit.
• Die Laplace-Transformierten haben das Mittel \(1/\rho\) und die verlangte Streuung (numerische Ableitungen).
• Die Sampler haben das Mittel 1 und die verlangte Streuung.
• Von Hand gerechnete Mini-Instanzen mit einer und zwei Spuren, auch für das Einschwingen.

Die vorgerechnete Studie umfasst 2 Spurzahlen × 3 Auslastungen (50, 80, 95 %) × 3 Werte von \(c_a^2\) × 4 Werte von \(c_s^2\), je 6 Läufe zu 1 500 000 Kunden. Dazu kommt eine Aufwandsmessung mit Poisson-Ankünften und je 48 Läufen zu 100 000 Kunden. Die Streuung eines Laufs aus nur 6 Läufen war zu unsicher: Eine erste Auswertung lieferte für Erlang-4-Dauer einen kleineren Aufwand als für feste Dauer, obwohl Erlang-4 mehr streut.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der Studie. Sie gelten bei 3 min mittlerer Abfertigung, mit den Voraussetzungen der jeweiligen Zeile. Wartezeiten stehen in Abfertigungsdauern, wo nicht Minuten angegeben sind. Es gibt zwei Bezüge der Prozentzahlen. Abweichungen der Simulation sind auf den exakten Wert bezogen (Simulation geteilt durch exakt minus 1). Fehler der Näherungen sind auf die Simulation bezogen (Näherung geteilt durch Simulation minus 1), auch dort, wo ein exakter Wert existiert; gegen den exakten Wert fiele der Fehler bei D/M/1 und 95 % etwas größer aus als gegenüber der Simulation (Nachrechnung dieser Seite).

Frage	Befund
Wie hängt die Wartezeit von \(c_s^2\) ab? (eine Spur, Poisson-Ankünfte, Auslastung 80 %)	Formel 2.0 / 2.5 / 4.0 / 10.0 für \(c_s^2\) = 0 / 0.25 / 1 / 4. Simulation 2.004 / 2.500 / 3.987 / 9.878, also das 0.50- / 0.62- / 1.00- / 2.47-Fache von M/M/1.
Stimmt die Simulation mit den exakten Formeln?	In allen 21 Zellen mit exakter Formel (Pollaczek-Khinchine, G/M/1, Erlang C) weicht sie vom exakten Wert höchstens 3.7 % ab, im Mittel 0.6 %.
Ist Kingman bei Poisson-Ankünften exakt?	Ja, für eine Spur ist es die Pollaczek-Khinchine-Formel. Die zwölf Zellen sind Teil der 21 oben. Die Formel weicht dort von der Simulation höchstens 3.9 % ab (Rauschen); dieselbe Zelle mit dem größten Wert ergibt, auf den exakten Wert bezogen, die 3.7 % der Zeile darüber.
Wie gut ist Kingman bei anderen Ankünften? (eine Spur, Auslastung 50 / 80 / 95 %)	Glatte Ankünfte, exponentielle Dauer (D/M/1): +96 / +18 / +2.4 %. Stoßweise Ankünfte, feste Dauer: +52 / +7.6 / +0.7 %. Stoßweise Ankünfte, exponentielle Dauer: +16 / +1.6 / −0.1 %. Der Fehler sinkt mit der Auslastung.
D/M/1 gegen die exakte G/M/1-Formel (Auslastung 50 / 80 / 95 %)	Simulation 0.255 / 1.694 / 9.281 gegen exakt 0.255 / 1.693 / 9.172.
Wie gut ist Allen-Cunneen? (vier Spuren)	Relativ ungenau bei geringer Last: bis +2552 % bei 50 % (feste Ankünfte, Erlang-4-Dauer, Zuordnung nach Nachrechnung dieser Seite) und bis 77 % bei 80 %. Absolut ist der Fehler winzig: höchstens 0.3 min bei 50 % und 0.9 min bei 80 %. Bei 95 % liegen alle Zellen mit Wartezeit innerhalb von ±11.1 %. M/M/4 (Erlang C) stimmt auf −0.1 / +0.3 / −1.7 %.
In welche Richtung irrt Allen-Cunneen? (vier Spuren, Auslastung 50 %)	Feste Ankünfte mit exponentieller Dauer: +323 % (0.043 gegen 0.010). Stoßweise Ankünfte mit exponentieller Dauer: −26 %; bei den anderen drei Dauern ist der Fehler schwächer (Nachrechnung dieser Seite). Stark streuende Dauer bei Poisson-Ankünften: +30 %. Die Näherung überschätzt also die wahre Wartezeit bei glatten Ankünften und unterschätzt sie bei stoßweisen Ankünften.
Wie viele Kunden braucht ein Lauf für ±5 %? (eine Spur, Poisson-Ankünfte, \(c_s^2\) = 0 / 0.25 / 1 / 4, in Tausend)	Bei 50 %: 8 / 9 / 15 / 41. Bei 80 %: 18 / 30 / 41 / 145. Bei 95 %: 305 / 361 / 800 / 1546. Stark streuende Dauer (\(c_s^2\) = 4) braucht gegenüber fester Dauer bei 80 % das 8.2-Fache und bei 95 % das 5.1-Fache an Kunden.
Wie verlässlich sind die Studienzahlen?	Die relative Streuung eines Laufs mit 1 500 000 Kunden beträgt höchstens 8.2 %, für das Mittel aus 6 Läufen höchstens 3.3 %, meist unter 3 %.
Wie weit liegt der kurze Lauf der Voreinstellung vom exakten Wert? (150 000 Kunden)	Eine Spur, 80 %, Poisson-Ankünfte, \(c_s^2\) = 4: Simulation 32.01 min gegen exakt 30.00 min (+6.7 %), das 2.67-Fache von M/M/1. 81.2 % der Kunden warten; theoretisch sind es bei einer Spur und Poisson-Ankünften 80 %, die Differenz ist Rauschen des kurzen Laufs.

Aufwand: wie die Hochrechnung entsteht

Die Aufwandszahlen sind eine Hochrechnung, keine Messung mit so vielen Kunden. Sei \(s\) die relative Standardabweichung der Wartezeit-Mittel von Läufen mit \(n_0 = 100\,000\) Kunden, geschätzt aus 48 Wiederholungen, und \(z\) das Ziel von 5 %. Unter der Annahme, dass die Streuung wie \(1/\sqrt{n}\) fällt, braucht ein Lauf \(n \approx n_0\,(s/z)^2\) Kunden.

Das „±5 %“ ist damit eine einfache Standardabweichung des Laufmittels, kein 95-%-Intervall (Rechnung dieser Seite). Für ein Intervall zum Niveau 95 % wäre der Aufwand etwa um das Vierfache größer. Ob die Streuung bei hoher Auslastung schon bei 100 000 Kunden diesem Gesetz folgt, ist nicht geprüft.

Grenzen und was die Messung zeigt

Gemessen, also simuliert, sind Wartezeiten auf einem festen Raster. Formelwerte sind Rechnung, keine Messung.

• Rauschgrenze: Weil die Zellen nur aus 6 Läufen bestehen, sind Abweichungen von höchstens wenigen Prozent (etwa −0.1 % bei stoßweisen Ankünften, exponentieller Dauer und 95 %) kaum von null zu unterscheiden. Auf die Vorzeichen so kleiner Werte ist kein Verlass.
• Schwere Ausläufer: Bei 95 % und \(c_s^2\) = 4 liegt die Simulation trotz kleinem Standardfehler unter dem exakten Wert (−3.7 %). Ein kurzer Lauf kann bei stark streuender Dauer um Zehntel des Wertes streuen.
• Raster: Gemessen sind nur 1 und 4 Spuren, die Auslastungen 50, 80 und 95 % sowie vier Werte von \(c_s^2\) und drei von \(c_a^2\). Andere Verteilungen gleicher Streuung (etwa lognormal) sind nicht gerechnet, die exakten G/M/1-Werte gelten nur für exponentielle Dauer.
• Mittelwerte: Es wird nur die mittlere Wartezeit betrachtet. Quantile (90 % der Lkw warten höchstens …) brauchen die ganze Verteilung und fehlen.
• Unabhängigkeit: Wellen, Pulks von Fähren und Serien langer Abfertigungen (Autokorrelation) machen die Wartezeit länger, als eine Formel sagt, die nur die Varianz kennt.
• Rahmen: Unendlicher Warteraum und unendliche Geduld, ein Gate, gleiche Priorität für alle. Mit Abwanderung oder begrenzten Stellplätzen ändert sich die Kennzahl.
• Mehrere Spuren: Allen-Cunneen ist bei geringer Last relativ ungenau. Bessere Näherungen oder eine exakte Lösung für G/G/c sind nicht gerechnet.
• Gegenproben: Sie zeigen, dass Formeln und Simulation dasselbe Modell richtig rechnen, nicht, dass ein echtes Gate sich so verhält. Echte Gate-Daten gehen nicht ein.

Quellen

• Pollaczek, F. (1930): Mittlere-Wartezeit-Formel für die M/G/1-Schlange; Khinchine fand sie wenig später unabhängig.
• Kingman, J. F. C. (1961): The single server queue in heavy traffic. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 57(4), 902–904.
• Allen-Cunneen-Näherung für G/G/c (Wartezeit der M/M/c-Schlange mal \((c_a^2 + c_s^2)/2\)); ohne Einzelnachweis.

Die Literaturangaben sind aus der README der Demo übernommen und nicht einzeln nachgeschlagen. Für Pollaczek, Khinchine und Allen-Cunneen nennt sie keine genauen Fundstellen.