Lieferzeit und Schwingen verständlich erklärt

Sie bestellen Nachschub, doch die Ware kommt erst später. Schauen Sie jede Woche in den Bestand und bestellen nach, was fehlt, kann das Lager bei längerer Lieferzeit anfangen zu schwingen: mal zu viel, mal zu wenig. Die Seite zeigt zuerst ohne Formeln, wann das in einem einfachen Rechenmodell geschieht, dann mit Formeln und Messwerten.

Zuletzt aktualisiert: 15. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Lager, das nachbestellt

Stellen Sie sich den Getränkekeller eines Vereins vor. Jeden Montag schauen Sie nach, wie viele Kisten gegenüber dem Soll fehlen, und bestellen davon einen festen Anteil nach. Der Lieferant braucht eine Woche: Was Sie heute bestellen, steht erst nächsten Montag im Keller. Das ist ein Lager mit Nachbestellregel und Lieferzeit.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Sie rechnet ein solches Lager Periode für Periode nach (eine Periode ist ein Zeitabschnitt wie die Woche im Bild). Der Anteil des Fehlbestands, der je Periode nachbestellt wird, heißt Anpassung (Zeichen α). Eine Anpassung von 1 heißt: Man bestellt den ganzen Fehlbestand nach. Bei 2 bestellt man das Doppelte dessen, was fehlt. Die Lieferzeit heißt L und zählt in Perioden.

Im Modell darf die Bestellung auch negativ werden: Dann gibt das Lager Ware zurück oder storniert. Alle Aussagen dieser Seite gelten für dieses Rechenmodell, nicht für ein echtes Lager.

Ein Stoß, und was danach kommt

Das Lager liegt auf seinem Sollbestand. Dann wird einmal mehr verbraucht als sonst, ein Bedarfsstoß: Der Bestand fällt unter Soll, es fehlt etwas. Die Regel bestellt nach. Entweder werden die Abweichungen vom Soll mit der Zeit kleiner, der Stoß klingt ab. Oder der Bestand wechselt dauerhaft zwischen zu wenig und zu viel, und die Ausschläge bleiben oder wachsen: Er schwingt.

Warum es schwingt: die Ware ist unterwegs

Die Regel sieht nur, was im Keller liegt, nicht, was schon bestellt und noch unterwegs ist. Je länger die Lieferzeit, desto später merkt sie, dass sie zu viel bestellt hat. Dann ist der Keller voll, die Regel bestellt weniger, und bald fehlt wieder etwas. So entsteht das Auf und Ab. In der Demo ist das eine Deutung, keine Messung.

Eine Grenze für die Anpassung

Gemessen hat die Demo in diesem Modell: Bei allen geprüften Lieferzeiten (bis 60 Perioden) gibt es eine Grenze. Liegt die Anpassung darunter, klingt ein Stoß ab, darüber nicht mehr. Bewiesen ist das nicht, nur geprüft.

Beispiel aus der Demo: Bei einer Periode Lieferzeit liegt die Grenze bei 2. Bei einer Anpassung von 2 bestellt das Lager das Doppelte des Fehlbestands, schießt damit über das Soll hinaus und liegt danach in jeder Periode gleich weit auf der anderen Seite: Der Stoß klingt nicht mehr ab. Bei zwei Perioden Lieferzeit liegt die Grenze bei 1, also halb so hoch. In den Messungen wird sie mit jeder weiteren Periode kleiner.

Das ist die Kernbotschaft in diesem Modell: Schon mit einer Periode Lieferzeit schwingt eine einfache Nachbestellregel, wenn die Anpassung die Grenze überschreitet. Je länger die Lieferzeit, desto kleiner ist die Grenze.

Die Grenze ist keine gute Einstellung

Man könnte meinen, knapp unter der Grenze sei die beste Wahl, weil dann am kräftigsten nachbestellt wird. Die Messungen der Demo sprechen dagegen: Der Bestand kehrt dort zwar zum Soll zurück, aber langsam und mit Auf und Ab.

Beispiel aus der Demo bei drei Perioden Lieferzeit: Bei 95 % der Grenze dauert die Rückkehr 317 Perioden, bei der günstigsten Anpassung 11. Die Zahlen vergleichen Einstellungen in der Modellrechnung; sie sind keine Prognose, und eine Periode muss keine Woche sein. Als zurückgekehrt gilt, wenn die Abweichung unter 1 % ihrer größten Höhe liegt, eine Wahl der Demo. Die günstigste Anpassung lag in den geprüften Fällen bei etwa einem Drittel der Grenze oder knapp darunter. Bei noch kleinerer Anpassung wird die Rückkehr nach der Abklingrate der Demo wieder langsamer.

Vorsicht hat ihren Preis

Wer sehr vorsichtig nachbestellt, hat nach einem Stoß insgesamt mehr Fehlbestand. In der Demo gilt bei kleiner Anpassung, solange der Bestand unter dem Soll bleibt: Bei halber Anpassung ist der Fehlbestand, über alle Perioden zusammengezählt, doppelt so groß, unabhängig von der Lieferzeit.

Häufige Missverständnisse

• „Eine Periode Lieferzeit heißt: Die Ware ist sofort da.“ Nein. In der Demo steht, was in einer Periode bestellt wird, erst in der nächsten im Bestand. Null Perioden gibt es in dieser Zählung nicht. Zählt man anders, verschiebt sich jedes L um eins.
• „Das gilt für jedes Lager.“ Nein. Es gilt für das Modell der Demo: feste Lieferzeit, der Bestand wird ohne Verzug gesehen, Bestellungen dürfen negativ werden. Bei anderen Annahmen ändert sich die Grenze.

Woran man es im Modell erkennt

In den Rechnungen der Demo zeigt sich eine zu große Anpassung so; ob echte Lager sich ebenso verhalten, zeigt die Demo nicht:

• Der Bestand wechselt regelmäßig zwischen zu viel und zu wenig, und die Ausschläge werden nicht kleiner.
• An der Grenze dauert ein Auf und Ab in der Demo 2 Perioden bei einer Periode Lieferzeit und 6 bei zwei. Das ist nur ein Hinweis: Andere Ursachen, etwa Saison, hat die Demo nicht untersucht.
• Kehrt der Bestand nach einem Stoß erst viel später zum Soll zurück als bei kleinerer Anpassung, kann die Anpassung zu nah an der Grenze liegen.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet nur das einfachste Lager: feste Lieferzeit, der Bestand wird ohne Verzug gesehen, keine Zufallsschwankung im Bedarf. Die Fachliteratur zu solchen Regeln wurde für diese Seite nicht gelesen. Vermutlich ist das Verhalten dort bekannt; neu ist es nicht.

Was Sie mitnehmen:

• Braucht die Ware Zeit, schwingt in diesem Modell eine einfache Nachbestellregel ab einer Grenze für die Anpassung, schon bei einer Periode Lieferzeit.
• Je länger die Lieferzeit, desto kleiner die Grenze.
• Knapp unter der Grenze klingt ein Stoß nur langsam ab. Vorsichtiger nachzubestellen hilft bis zu einem Punkt, kostet aber Fehlbestand.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo. Alle Zahlen gelten nur in diesem Modell: Leitungsgewicht \(\beta = 0\) (die bestellte, noch unterwegs befindliche Ware wird nicht mitgerechnet), kein Meldeverzug (\(s = 0\)), keine Klemmung der Bestellung, feste Lieferzeit, Bedarfsstoß \(e_0 = 1\) in Periode 0 (also \(i_1 = -1\)), Anfangszustand 0, Zähleinheit Periode.

• Größen: \(i_t\) ist der Bestand minus Soll, \(u_t\) die Bestellung minus Mittelbedarf, \(e_t\) die Bedarfsabweichung in Periode \(t\); \(i_t = 0\) für \(t \le 0\). Die Regel ist \(u_t = -\alpha\, i_t\) mit der Anpassung \(\alpha > 0\).
• Zeitlage: Eine Bestellung der Periode \(t\) steht im Bestand der Periode \(t + L\). \(L = 1\) heißt „eine Periode Wirkverzug“, nicht „keine Lieferzeit“; \(L = 0\) gibt es in dieser Zählung nicht. Eine andere Zählung verschiebt \(L\) um eins; die Zahlen dieser Seite gehören zur Zählung der Demo.
• Abklingzeit: die letzte Periode \(t\) mit \(|i_t|\) über einer Schwelle (0,5 / 1 / 2 / 5 %, Voreinstellung 1 %) der Spitze \(\max|i|\). Die Schwelle ist eine Wahl, keine Naturgröße.
• Bedarfsformen: der Stoß und ein dauerhaft verschobener Bedarf \(e\).
• Rechenwege: Rekursion in Gleitkomma (der Horizont wächst, bis die Antwort sicher unter der Schwelle liegt, Obergrenze 40 000 Perioden, danach „noch nicht abgeklungen“; Abbruch, wenn \(|i|\) 10¹² übersteigt) und Eigenwerte der Zustandsmatrix (\(L \times L\)) für den Spektralradius \(\rho\), den größten Wurzelbetrag. An der Doppelwurzel verlieren Eigenwerte etwa 8 Stellen (gemessen bis 1,6·10⁻⁸); dort gelten nur Bänder.
• Zufall: Die Demo hat keine Zufallsgröße, also keinen Zufalls-Seed. Die Gegenproben mit Zufallspaaren (nur in Werkzeugen und Tests der Demo) benutzen einen ganzzahligen SplitMix64 mit Zufalls-Seed.

Die Formeln

Das Modell ist eine lineare Rekursion mit Verzögerung:

\[i_{t+1} = i_t - \alpha\, i_{t+1-L} - e_t .\]

Der Ansatz \(i_t = z^t\) ohne Bedarf gibt das charakteristische Polynom

\[P(z) = z^L - z^{L-1} + \alpha = 0 .\]

Der Stoß klingt ab, wenn \(\rho = \max |z| < 1\) ist.

Grenze (eigene Herleitung in diesem Modell). Eine Wurzel \(z = e^{\mathrm{i}\theta}\) auf dem Kreis verlangt \(z^{L-1}(z - 1) = -\alpha\). Der Betrag gibt \(|z - 1| = 2\sin(\theta/2) = \alpha\), die Phase \((L-1)\theta + \theta/2 + \pi/2 = \pi\), also \((L - \tfrac12)\,\theta = \tfrac{\pi}{2}\):

\[\theta = \frac{\pi}{2L - 1}, \qquad \alpha_{krit} = 2\sin\frac{\pi}{4L - 2}, \qquad \text{Periode } \frac{2\pi}{\theta} = 4L - 2 .\]

Dass der Stoß genau für \(0 < \alpha < \alpha_{krit}\) abklingt, ist gemessen (Befund B2), nicht bewiesen.

Doppelwurzel. Wegen \(P'(z) = z^{L-2}\,(Lz - (L-1))\) ist \(z^* = (L-1)/L\) die Stelle, an der \(P\) und \(P'\) zugleich verschwinden, wenn

\[\alpha^* = \frac{1}{L}\left(\frac{L-1}{L}\right)^{L-1} \quad (L = 1:\ \alpha^* = 1) .\]

Dort ist \(\rho = (L-1)/L\); dass \(\rho(\alpha)\) bei \(\alpha^*\) sein Minimum hat, ist für \(L = 2\) bis \(12\) im Gitter gemessen.

Summenregeln. Summiert man die Rekursion über alle \(t\) und nutzt \(i_0 = i_\infty = 0\) und \(\sum e_t = 1\), so folgt für stabile \((L, \alpha)\)

\[\sum_t i_t = -\frac{1}{\alpha}, \qquad \sum_t u_t = 1 ,\]

unabhängig von \(L\) (es ist \(P(1) = \alpha\)). Die Summe ist vorzeichenbehaftet: Fehlbestand (negativ) und Überbestand (positiv) gleichen sich aus; als reine Fehlbestandssumme gilt sie nur, solange der Bestand nicht über Soll geht (nach Befund B9 in den geprüften Fällen bis 0,99 · α* der Fall; bei 1,1 · α* wechselt das Vorzeichen). Bei dauerhaft verschobenem Bedarf \(e\) sitzt der Bestand bei \(i_\infty = -e/\alpha\) (stationär: \(u = e\)).

Abklingzeit. \(t_{ab}\) ist die letzte Periode mit \(|i_t| > s \cdot \max |i|\) (Schwelle \(s\), eine Wahl). Die Schätzung \(\ln s / \ln \rho\) ist nur eine Schätzung (Befund B6).

Stetige Grenze. \(i_{t+1} = i_t - \alpha\, i_{t-(L-1)}\) ist das Euler-Verfahren für \(x'(t) = -a\,x(t-\tau)\) mit \(m = L - 1\) Schritten je Verzögerung und \(\alpha = a h\), \(h = \tau / m\); \(\alpha_{krit}\,(L-1) = 2m\sin\frac{\pi}{4m+2}\). Die Rechnung dazu steht als Befund B4 in der Demo zur stetigen Gleichung mit Verzögerung (Verweis unten).

Durchgerechnet: zwei Fälle von Hand

Rechnung dieser Seite, von Hand nachprüfbar (Stoß \(e_0 = 1\), \(i_t = 0\) für \(t \le 0\), Rekursion von oben). Beide Fälle sind Handbeispiele der Tests der Demo.

Fall	t = 1	2	3	4	5	6	7
L = 2, α = 1 (genau α_krit)	−1	−1	0	1	1	0	−1
L = 3, α = 3/5	−1	−1	−1	−2/5	1/5	4/5	26/25

Für \(L = 2\) und \(\alpha = 1\) wiederholt sich die Folge \(-1, -1, 0, 1, 1, 0\) mit der Periode \(6 = 4L - 2\), ohne abzuklingen: \(\rho = 1\) an der Grenze. Für \(L = 3\) und \(\alpha = 3/5\) (0,971 · α_krit, Befund B8) wird der Stoß zunächst verstärkt: \(i_7 = 26/25\) hat einen größeren Betrag als der Stoß selbst. Die Folge klingt danach dennoch ab (\(\rho = 0{,}99145\), Abklingzeit 542). Für \(L = 3\) ist \(\alpha_{krit}\) die positive Lösung von \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) (Goldener Schnitt).

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der Messreihe der Demo und gelten für dieses Modell (\(\beta = 0\), \(s = 0\), ohne Klemmung, Stoß \(e_0 = 1\)). „Zufalls-Seeds“ sind die Seeds der Zufallspaare der Gegenproben; Bänder dort, wo Plattformen abweichen können.

Frage	Befund
B1: Formel gegen Eigenwerte	Die Formel α_krit = 2 sin(π/(4L − 2)) weicht von der Grenze aus den Eigenwerten (Bisektion auf ρ = 1) um höchstens 10⁻⁹ ab (L = 1 bis 40; gemessen 5·10⁻¹⁵). Das Residuum |P(e^(iθ))| bei θ = π/(2L − 1) ist höchstens 10⁻¹³ (gemessen 3,6·10⁻¹⁶). Die Periode aus dem Wurzelwinkel weicht in 0 von 39 Fällen (L = 2 bis 40) um mehr als 0,1 % von 4L − 2 ab.
B2: Stabilitätsgebiet = (0, α_krit)?	Gitter 8 000 α in (0, 4), L = 1 bis 12: 11 559 Punkte unterhalb, 84 441 oberhalb, 0 Ausnahmen (ρ < 1 unterhalb, ρ > 1 oberhalb). Gegenprobe mit 20 000 Zufallspaaren (L gleichverteilt 1 bis 60, α gleichverteilt in (0, 4), Zufalls-Seed 15): 696 unterhalb, 19 304 oberhalb, 0 Ausnahmen. Für L > 60 nicht gemessen.
B3: Stetige Grenze	α_krit · L = 2,000 (L = 1, 2), 1,854 (3), 1,708 (6), 1,638 (12) gegen π/2 = 1,571: relativer Abstand +27,3 % (L = 1, 2), +18,0 % (3), +4,27 % (12), +0,501 % (100). Er gleicht 1/(2L − 1) (0,00503 bei L = 100); Steigung im Log-Log-Bild −1,00 (L = 100 bis 3 200). Dauerhaft innerhalb 1 % von π/2: α_krit · L ab L = 51, α_krit · (L − ½) ab L = 4; innerhalb 0,1 %: ab L = 501 bzw. 11 (geprüft bis L = 200 000).
B4: Euler-Bezug	α_krit(L) · (L − 1) ist die Zahl 2m sin(π/(4m + 2)) mit m = L − 1: 1,000 (L = 2), 1,236 (3), 1,423 (6), 1,495 (11), 1,563 (101). Aus den Eigenwerten gefunden, nicht aus der Formel.
B5: Doppelwurzel, kleinster Spektralradius	Bei α* = (1/L)((L − 1)/L)^(L−1) hat P eine Doppelwurzel z* = (L − 1)/L (P(z*) = P′(z*) = 0 exakt in Brüchen, L = 2 bis 12; α* = 1/4, 4/27, 27/256, …). Das Gitterminimum von ρ(α) liegt bei α* (auf zwei Gitterschritte) und hat den Wert (L − 1)/L (auf 10⁻³) in 11 von 11 Fällen (L = 2 bis 12, 3 000 Punkte). ρ fällt streng links und steigt streng rechts von α* (2 × 2 000 Punkte je L, L = 2 bis 12; vorgerechnet). α*/α_krit = 0,2500 (L = 2), 0,2397 (3), 0,2353 (6), 0,2345 (12), gegen 2/(eπ) = 0,2342 für große L. L = 1: α* = 1, ρ = 0 (Totbeat).
B6: Abklingzeit gegen Schätzung	Die Schätzung ln 0,01/ln ρ trifft die gemessene Abklingzeit in 29 von 35 Zellen (L = 1, 2, 3, 6, 12 × α = 0,11 / 0,26 / 0,52 / 0,77 / 0,91 / 0,95 / 0,99 · α_krit, Schwelle 1 %) auf ±10 %; Verhältnis gemessen/Schätzung 0,954 bis 1,463, Mittel 1,055. In den sechs übrigen Zellen liegt die Messung 12 % bis 46 % darüber; fünf davon bei 0,26 · α_krit (nahe α*, wo die Antwort t · ρ^t statt ρ^t folgt), die sechste bei L = 1, 0,52 · α_krit.
B7: Das ρ-Minimum ist nicht die kürzeste Rückkehr	Kleinste gemessene Zeit (Schwelle 1 %, 4 000 Punkte) gegen die Zeit bei α*: L = 2: 7 gegen 11; L = 3: 11 gegen 18; L = 4: 16 gegen 26; L = 6: 25 gegen 40; L = 12: 53 gegen 84; L = 24: 109 gegen 172 (Verhältnis 0,61 bis 0,64). Der günstigste Punkt liegt bei 1,14 bis 1,20 · α* (L = 2 bis 24), also bei 0,28 bis 0,30 · α_krit. Die Zeit ist keine glatte Funktion von α: L = 3, α = 0,1769: 11 Perioden, α = 0,1772: 15 (die Nachschwingung kreuzt die 1 %-Linie). Der Wert hängt an der Schwelle: 0,5 / 1 / 2 / 5 %: kleinste Zeit L = 3: 13 / 11 / 10 / 8, L = 12: 61 / 53 / 46 / 37. Gemessen ist auch, dass die kleinste Zeit nahe bei ln(Schwelle)/ln((L − 1)/L) liegt (L = 12: 60,9 / 52,9 / 45,0 / 34,4; L = 3: 13,1 / 11,4 / 9,6 / 7,4; in diesen acht Fällen weicht die gemessene Zeit um höchstens rund 8 % vom Formelwert ab). Ein Mechanismus ist nicht hergeleitet.
B8: Nahe der Grenze	Abklingzeit (Schwelle 1 %) bei 0,91 / 0,95 / 0,99 · α_krit: L = 1: 24 / 44 / 228; L = 3: 172 / 317 / 1 582; L = 6: 379 / 697 / 3 534; L = 12: 792 / 1 479 / 7 413. Beispiel L = 3, α = 0,6 (0,971 · α_krit): ρ = 0,99145, Abklingzeit 542, Schätzung 536,3; der Stoß wird erst verstärkt (i₇ = 26/25 von Hand), max|i| = 1,04.
B9: Schwingen und Verstärken	Der Bestand wird bei 0,9 · α* nie positiv (kein Vorzeichenwechsel der Antwort, L = 1 bis 12, bis |i| < 10⁻⁹), bei 1,1 · α* wechselt das Vorzeichen dreimal (L = 2 bis 12, bis |i| < 10⁻⁹), bei L = 1 neunmal; die Antwort schwingt weiter (komplexes Wurzelpaar), die Zahl hängt an der Schwelle, bei kleinerer Schwelle sind es mehr. 5 000 Zufallspaare (L = 2 bis 40, α zufällig in (0, 0,99 α*), Zufalls-Seed 16): 0 mit Bestand über Soll (vorgerechnet). Erster Überschwinger bei 0,236 bis 0,252 · α_krit, Verstärkung (max|i| über 1) erst ab 0,948 bis 0,960 · α_krit (L = 3 bis 12, Gitter 20 000; L = 2 und L = 1 nie); max|i| = 1,052 bis 1,073 bei 0,99 · α_krit und 1,069 bis 1,095 bei 0,999 · α_krit (L = 3 bis 12).
B10: Summenregeln	Nach dem Stoß gilt Σ u = 1 und Σ i = −1/α, unabhängig von L (Herleitung: Rekursion über alle t summieren, i₀ = i_∞ = 0). Gemessen in 36 Fällen (L = 1 bis 12, α = 0,21 / 0,47 / 0,83 · α_krit): größte Abweichung unter 10⁻⁹ (gemessen 7,8·10⁻¹⁶). Grenzwert der Formel 1/α für α → α_krit (an der Grenze selbst existiert die Summe nicht): 0,500 (L = 1), 1,000 (2), 1,618 (3, Goldener Schnitt), 3,513 (6), 7,327 (12). Bei dauerhaft verschobenem Bedarf e sitzt der Bestand bei −e/α, unabhängig von L.
B11: Zwei Rechenwege	Rekursion gegen Zustandsmatrixpotenz und gegen scipy.signal.lfilter mit der Übertragungsfunktion: 60 Fälle (L = 1 bis 12, 5 α, 300 Perioden), Abweichung höchstens 10⁻¹² (Messung 8,3·10⁻¹⁷).

Grenzen

• Nur dieses Modell: \(\beta = 0\), \(s = 0\), ohne Klemmung, feste Lieferzeit. Jede Zahl gilt nur hier; eine andere Zählung der Lieferzeit verschiebt \(L\) um eins.
• Das Stabilitätsgebiet \((0, \alpha_{krit})\) ist gemessen, nicht bewiesen (B2: 96 000 Gitterpunkte für \(L \le 12\) und 20 000 Zufallspaare für \(L \le 60\); für \(L > 60\) nichts). Ebenso ist die strenge Monotonie von \(\rho(\alpha)\) links und rechts von \(\alpha^*\) nur im Gitter gemessen (\(L = 2\) bis \(12\)).
• Die Abklingzeit ist eine Wahl der Schwelle. Die kleinste Zeit und ihre Lage hängen an Schwelle und Gitter (B7); die Zeit ist keine glatte Funktion von \(\alpha\). Die Schätzung \(\ln s/\ln\rho\) trifft nicht überall (B6). Ein Mechanismus für „kleinste Zeit \(\approx \ln s/\ln((L-1)/L)\)“ ist nicht hergeleitet: Es ist eine Messung für \(L = 2\) bis 24 und vier Schwellen. Dass die Rückkehr beim Minimum von \(\rho\) nicht die kürzeste ist, deutet auf das schnellste Abklingen ohne Nachschwinger über der Schwelle; das ist eine Deutung, nicht gemessen.
• Nur Stoß und dauerhafte Verschiebung. Saison, Rampe und Rauschen sind nicht gemessen. Die Summenregeln sind der Frequenzgang bei der Frequenz 0.
• Rechner: Eigenwerte am Doppelwurzelpunkt gelten nur als Bänder. Wer \(\alpha\) auf eine Zweierpotenz stellt (1/4, 1, 2), rechnet exakt in Dualbrüchen; an der Grenze (\(L = 1\), \(\alpha = 2\); \(L = 2\), \(\alpha = 1\)) liegt \(\rho = 1\) bis auf Rundung.
• Keine Echtdaten: Das Lager ist ein Rechenmodell, kein gemessener Betrieb. Die fünf Diagramme und die Formeln der Demo wurden in einem Browser mit einer Fenstergröße angesehen, nicht auf dem Telefon und nicht in beiden Designs; Streamlits AppTest sieht Diagramme nicht.

Verweise

• Mit Klemmung (Bestellung mindestens 0) gibt es hinter der Grenze Grenzzyklen und je nach \(\alpha\) und \(L\) Chaos: lager-chaos-demo. Sie benutzt dasselbe Lager ohne Leitungsgewicht; die Grenze \(\alpha_{krit} = 2\sin(\pi/(4L - 2))\) und die Periode \(4L - 2\) sind dort Ausgangspunkt und Testwerte, die lineare Hälfte steht hier.
• Die stetige Gleichung mit Verzögerung rechnet verzoegerung-hopf-demo; hier steht nur die Brücke dorthin (Befund B3 und B4).
• Leitungsgewicht \(\beta\), Meldeverzug \(s\), streuende Lieferzeit sowie Saison und Rauschen ändern je genau eine Annahme dieses Modells und sind eigene Demos.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/lager-lieferzeit-demo. Die Orakel-Tests rechnen \(\alpha_{krit}\) gegen Eigenwerte und numpy.roots nach und die Stoßantwort gegen numpy.linalg.matrix_power und scipy.signal.lfilter.
• Keine Fachliteratur gelesen: Stabilitätsgrenze, Wurzeln auf dem Einheitskreis, Doppelwurzel und Summenregeln sind eigene Herleitung in diesem Modell. Dass sie in der Fachliteratur zu Bestandsregeln mit Verzögerung bekannt sind, ist wahrscheinlich, aber ungeprüft. Eine Neuheitsaussage gibt es nicht; Quellenbelege zu den Grundlagen sind noch offen.

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo; die Folgen im Block „Durchgerechnet“ sind Rechnungen dieser Seite.