Kipppunkte verständlich erklärt

Eine Kugel liegt in einer Mulde, und man neigt die Schale ganz langsam. Die Mulde wird flacher, und irgendwann rollt die Kugel hinaus. Diese Seite zeigt, wo das geschieht, warum der Weg zurück ein anderer ist und ob sich das Kippen vorher ankündigt.

„Kipppunkt“ heißt hier: ein stabiler Zustand verschwindet. Auf dieser Website bezeichnet das Wort an anderer Stelle auch eine Schwelle in einem Netz und den Wechsel eines besten Plans; beides ist hier nicht gemeint.

Zuletzt aktualisiert: 15. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Eine Kugel in einer Schale

Stellen Sie sich eine Schale mit zwei Mulden vor, wie ein Eierkarton mit zwei Fächern. In der linken Mulde liegt eine Kugel. Stößt man sie an, rollt sie zurück zum tiefsten Punkt. Einen solchen Ruhezustand nennt man stabil.

Nun neigt man die Schale sehr langsam nach rechts. Die linke Mulde wird flacher, und der Rand zur rechten Mulde sinkt. Die Kugel bleibt zunächst liegen und wandert nur ein Stück mit. Bei einer bestimmten Neigung ist der Rand verschwunden, und die Mulde gibt es nicht mehr. Die Kugel rollt in die rechte Mulde. Dieser Sprung ist der Kipppunkt.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Die Schale ist nur ein Bild. Wirklich rechnet die Demo eine Gleichung: Sie beschreibt, wie sich ein Zustand (im Bild die Lage der Kugel) entwickelt, solange ein Zahlenwert (im Bild die Neigung) langsam verstellt wird. Der Computer sucht, bei welchem Wert der Zustand springt. Das ist das Schalenmodell.

Zum Vergleich rechnet die Demo ein zweites Beispiel, das Erntemodell: einen Bestand, von dem ein Teil geerntet wird. Ab einer bestimmten Erntemenge bricht er in der Rechnung zusammen. Beide Modelle rechnet die Demo auch mit kleinen zufälligen Stößen (Fachwort: Rauschen), und zwar viele Male mit anderen Zufallsfolgen; jede Wiederholung heißt Lauf. Alle Aussagen dieser Seite gelten für diese Rechenmodelle, nicht für ein echtes System.

Der Kipppunkt liegt bei einem klaren Wert

Wo die Mulde verschwindet, lässt sich ausrechnen: Es ist ein fester Wert der Neigung. Ohne Zufallsstöße und bei sehr langsamem Neigen kippt die Kugel genau dort.

Wird die Neigung mit endlichem Tempo verstellt, kippt die Kugel etwas später. In der Demo gilt: Je schneller man neigt, desto weiter hinter dem Kipppunkt kippt die Kugel. Bei 120 geprüften Tempi, von sehr langsam bis recht schnell, kippte ohne Zufallsstöße keine Kugel davor.

Der Rückweg ist ein anderer

Jetzt liegt die Kugel in der rechten Mulde. Neigt man die Schale zurück bis zur Ausgangsneigung, bleibt sie dort, denn die rechte Mulde ist bei dieser Neigung noch tief. Erst wenn man weit über die Ausgangsneigung hinaus nach links neigt, verschwindet die rechte Mulde, und die Kugel rollt zurück.

Auf dem Hinweg kippt es also bei einer Neigung, auf dem Rückweg bei einer anderen. Dazwischen hängt der Zustand davon ab, woher man kommt. Diese Abhängigkeit vom Weg heißt Hysterese. Zeichnet man beide Kipporte in ein Bild, entsteht eine Schleife. In diesem Modell wird die Schleife breiter, je schneller man neigt. Soll die Kugel zurück, genügt es nicht, die Neigung auf den Ausgangswert zu stellen. Man muss sie noch weiter in die Gegenrichtung drehen. Gemessen ist die Hysterese in der Demo nur im Schalenmodell.

Je näher am Rand, desto langsamer die Erholung

Stößt man die Kugel an, rollt sie zum tiefsten Punkt zurück. In einer steilen, tiefen Mulde geht das schnell, in einer flachen dauert es lange. Je näher die Neigung dem Kipppunkt kommt, desto flacher wird die Mulde und desto langsamer erholt sich die Kugel von einem Stoß. Fachleute nennen das kritisches Verlangsamen. Die Demo zeigt es im Schalenmodell: Je näher am Kipppunkt, desto langsamer die Rückkehr.

Das hat eine messbare Folge. Stellen Sie sich vor, die Kugel wird dauernd von kleinen Zufallsstößen getroffen. In einer steilen Mulde rollt sie nach jedem Stoß schnell zurück und hat ihn bald vergessen. In einer flachen Mulde bleibt sie nach einem Stoß lange schief liegen, und der nächste Stoß schiebt sie weiter hinaus, bevor sie sich erholt hat. Die Stöße summieren sich, die Kugel zittert stärker hin und her. Außerdem steht sie bei zwei Messungen kurz nacheinander noch fast am selben Fleck: Die Messwerte ähneln sich stärker (Fachwort: Autokorrelation). Beides nimmt zu, wenn man sich dem Kipppunkt nähert.

Frühwarnung: Kündigt sich das Kippen an?

Daraus lässt sich eine Warnung bauen. Man misst die Kugel laufend und berechnet, wie ähnlich sich aufeinanderfolgende Messungen sind, jeweils für ein Stück der Messreihe (das Messfenster, hier 200 Messungen am Stück), das immer weiterrückt. Steigt die Ähnlichkeit von Stück zu Stück an und erreicht eine vorher festgelegte Alarmgrenze, geht die Warnlampe an: Alarm. Die Demo prüft das im Schalenmodell mit kleinen Zufallsstößen und je 200 Läufen für drei Fälle:

• Die Neigung bleibt konstant: Alarm in etwa 1 % der Läufe. Das ist gut, denn es gibt nichts zu warnen.
• Die Neigung steigt, aber nicht bis zum Kipppunkt: Alarm in knapp 20 % der Läufe, obwohl nichts kippt (Fehlalarm). Die Kugel kommt dem Rand wirklich näher; die Warnung zeigt Nähe, kein Kippen.
• Die Neigung steigt bis über den Kipppunkt: Alarm in 80 % der Läufe, und alle 200 Läufe kippen.

Außerdem hängt die Güte vom Modell ab. Im Erntemodell schlägt die Warnung vor dem Kippen nur in 29 % der Läufe an. Eine Warnung, die in einem Modell gut trennt, muss das in einem anderen nicht tun. Wie sehr sie von der Größe des Messfensters abhängt, ist nicht gemessen.

Mit Zufallsstößen kippt es auch vor dem Punkt

Mit Zufallsstößen kann die Kugel über den Rand der flachen Mulde springen, bevor die Mulde ganz verschwunden ist. Dann kippt das System vor dem Kipppunkt.

Tempo und Zufall wirken gegeneinander: Schnelles Neigen verschiebt das Kippen nach hinten, starkes Zittern nach vorn. Die Demo prüfte sechs Kombinationen aus Tempo und Stärke der Zufallsstöße. Im Durchschnitt über die Läufe kippte die Kugel nur in einer davon vor dem Kipppunkt: bei sehr langsamem Neigen und starken Stößen. Einzelne Läufe kippten auch in anderen Kombinationen früh.

Es gibt einen Fall, in dem allein die Zufallsstöße das Kippen auslösen: Die Neigung bleibt konstant, aber die Stöße sind stark. In der Demo kippten so 172 von 200 Läufen. Die Warnung schlug in diesen Läufen kaum an: Dieses Kippen kündigt sich mit dem Maß der Demo nicht an.

Häufige Missverständnisse

• „Das System kippt genau am Kipppunkt.“ Nein. Ohne Zufall und bei endlichem Tempo kippt es etwas dahinter, mit Zufallsstößen kann es auch davor kippen.
• „Zurück geht es auf demselben Weg.“ Nein. Der Rückweg kippt erst bei einer anderen Neigung (Hysterese).
• „Die Frühwarnung sagt sicher, ob es kippt.“ Nein. Sie warnt nur teilweise, je nach Modell, schlägt auch ohne Kippen an, und Kippen durch starke Stöße kündigte sich in der Demo kaum an.

Woran man es im Modell erkennt

In den Rechnungen der Demo kündigt sich ein Kipppunkt so an; ob echte Systeme sich ebenso verhalten, zeigt die Demo nicht:

• Nach einer kleinen Störung dauert die Rückkehr zum Normalzustand länger.
• Messwerte kurz nacheinander ähneln sich stärker, und die Schwankungen nehmen zu. Das ist ein Hinweis, kein Beweis: Es trat in der Demo auch ohne Kippen auf.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet nur zwei einfache Gleichungen nach, mit erfundenen Zahlen und zufälligen Stößen vom Computer. Die Hysterese ist nur im Schalenmodell gemessen, die Frühwarnung in beiden Modellen. Die Formel für die Verzögerung ist eine eigene Herleitung, keine gelesene Quelle.

Was Sie mitnehmen:

• Ein System kippt bei einem klaren Wert, doch wo genau, hängt von Tempo und Zufall ab.
• Zurück braucht einen anderen Weg als hin.
• Nahe am Rand erholt sich das System langsamer. Das kann warnen, aber nur teilweise, je nach Modell, und mit Fehlalarmen.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo. „Kipppunkt“ meint hier eine Bifurkation einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Faltung, englisch fold oder saddle-node), nicht die Netzschwelle in Kaskadenmodellen und nicht den Wechsel des besten Plans bei verschobenem Gewicht.

• Modell: \(x' = x - x^3 + h\) mit Zustand \(x\) und Parameter \(h\). Für \(|h| < h_c = 2/(3\sqrt{3}) = 0{,}3849\) gibt es zwei stabile Gleichgewichte und einen Sattel dazwischen; bei \(h = \pm h_c\) fällt eines der stabilen mit dem Sattel zusammen und verschwindet. Symmetrie: \(f(-x, -h) = -f(x, h)\) mit \(f(x, h) = x - x^3 + h\).
• Rampe: \(h(t) = h_0 \pm r\,t\) mit Rate \(r\). „Kippen“ heißt: \(x\) kreuzt 0 (andere Kriterien verschieben die Kipp-Orte um Größen der Ordnung \(r\)). Integriert wird mit einem eigenen Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung, Zeitschritt 0,02 (für \(r < 10^{-5}\): 0,05); die Kippzeit wird linear im Schritt interpoliert. Die Bahn startet auf dem Gleichgewicht bei \(h_c \mp 12\,r^{2/3}\).
• Rauschen: additives weißes Rauschen der Stärke \(\sigma\), Euler–Maruyama-Verfahren; die Zufallszahlen stammen aus einem eigenen SplitMix64-Generator.
• Frühwarnung: Fenster von 200 Messungen im Abstand 0,1, Fensterschritt 50, linearer Trend entfernt, je Fenster die Autokorrelation zum Abstand einer Messung (Lag 1). Das Trendmaß ist die Korrelation zwischen Fensternummer und Autokorrelation; Alarm heißt Trendmaß über der Schwelle (Voreinstellung 0,5); Läufe mit weniger als 600 Messungen vor dem Kippen zählen nicht.
• Bedingungen (je 4000 Messungen, Rauschen 0,02): A konstantes \(h = 0{,}5\,h_c\); B Anstieg von 0,5 auf 0,8 \(h_c\) (kein Kippen); C Anstieg von 0,5 auf 1,2 \(h_c\) (kippt); D (Kontrolle) konstantes \(h = 0{,}8\,h_c\) mit Rauschen 0,12 (kippt durch das Rauschen).
• Zweites Modell (Gegenprobe der Frühwarnung): Ernte \(x' = x(1 - x) - h\) mit Wachstumsrate und Kapazität gleich 1, Faltung bei \(h_{\max} = 0{,}25\), Kippen bei \(x < 0{,}1\), Bedingungen A bis C wie oben.

Die Formeln

Gleichgewichte. \(x - x^3 + h = 0\), also \(h = x^3 - x\). Ein Gleichgewicht ist stabil, wenn seine Rate \(\kappa = 3x^2 - 1\) positiv ist. Die Diskriminante von \(x^3 - x - h\) entscheidet über ihre Zahl: drei reelle Lösungen für \(\Delta > 0\), eine für \(\Delta < 0\).

\[\Delta = 4 - 27 h^2\]

Rate nahe der Faltung. Für das Gleichgewicht, das als Erstes verschwindet, gilt die Näherung (bei \(h = 3/8\) 4 % unter dem exakten Wert, siehe „Durchgerechnet“):

\[\kappa \approx \sqrt{8/3}\,\sqrt{1 - h/h_c}\]

Verzögerung des Kippens (eigene Herleitung ohne Quellenbeleg). Nahe der Faltung folgt aus der Normalform \(s' = r t + \sqrt{3}\,s^2\) mit \(s = x + 1/\sqrt{3}\) durch die Substitution \(s = -u'/(\sqrt{3}\,u)\) die Airy-Gleichung \(u'' = -\sqrt{3}\,r\,t\,u\). Die Lösung, die dem stabilen Ast folgt, hat bei der ersten Nullstelle \(z_1 = -2{,}3381\) der Airy-Funktion \(\mathrm{Ai}\) ihre Polstelle. Mit \(C = |z_1|/3^{1/6} = 1{,}9469\) ist die Verzögerung \(\delta\) des Kipp-Ortes \(h_{\mathrm{Kipp}}\) gegenüber der Faltung:

\[\delta = h_{\mathrm{Kipp}} - h_c \approx \frac{|z_1|}{3^{1/6}}\, r^{2/3} = 1{,}9469\, r^{2/3}\]

Schleife. Die Breite der Hysterese-Schleife ist \(2 h_c + 2 \cdot 1{,}9469\, r^{2/3}\); für \(r \to 0\) gilt \(2 h_c = 0{,}7698\).

Rauschen. Euler–Maruyama mit Zeitschritt \(\Delta t\) und standardnormalverteilten \(\xi_n\):

\[x_{n+1} = x_n + (x_n - x_n^3 + h)\,\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}\;\xi_n\]

Im Topf, also um das stabile Gleichgewicht, gelten linear die Autokorrelation zum Messabstand \(\Delta\) und die Varianz (die Demo verwendet \(\Delta\) hier für den Messabstand und oben für die Diskriminante):

\[\rho(\Delta) = e^{-\kappa \Delta}, \qquad \operatorname{Var} = \frac{\sigma^2}{2\kappa}\]

Exakt gilt die stationäre Dichte mit dem Potential \(V\) (sie nimmt den Sattel als Grenze des Topfes und gilt nur dort); die lineare Varianz unterschätzt nahe der Faltung (siehe Befunde):

\[p(x) \propto \exp\!\left(-\frac{2 V(x)}{\sigma^2}\right), \qquad V(x) = -\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + h x\right)\]

Trendmaß. Aus den Fenstern \(k = 1, \dots, m\) einer Zeitreihe mit den Autokorrelationen \(\rho_k\) (Länge 200, Schritt 50, linearer Trend entfernt) folgt das Trendmaß; Alarm heißt \(T\) über der Schwelle. Zusätzlich wird die Trennung ohne Schwelle als AUC gemessen: die Wahrscheinlichkeit, dass ein Lauf mit Kippen ein größeres Trendmaß hat als ein Lauf ohne Kippen.

\[T = \operatorname{corr}(k, \rho_k)\]

Durchgerechnet: das Handbeispiel bei h = 3/8

Bei \(h = 0{,}375\) (knapp unter \(h_c\)) lässt sich alles von Hand nachprüfen. Rauschen 0,02, Messabstand 0,1 und 100 Ketten wie in der Befundtabelle zum Verlangsamen.

Größe	Wert
Gleichgewichte	−0,651388; −0,5 (exakte Wurzel: Einsetzen in \(x - x^3 + h\) ergibt 0); 1,151388
Raten \(\kappa = 3x^2 - 1\)	0,2729 (stabil), −0,25 (instabil), 2,977 (stabil)
Näherung \(\sqrt{8/3}\,\sqrt{1 - h/h_c}\)	0,2619, 4 % unter dem exakten Wert 0,2729
Autokorrelation	0,9731 (Theorie), 0,9736 (Simulation)
Varianz	exakt 9,35·10⁻⁴; lineare Formel 7,33·10⁻⁴ (21,6 % darunter; die exakte liegt 27,6 % darüber); Simulation 8,13·10⁻⁴

Von 100 Ketten bleiben in der Simulation nur 90 im Topf; die übrigen verlassen ihn durch das Rauschen und werden ausgeschlossen. Das drückt vermutlich die Simulationsvarianz, ist aber nicht gesondert gemessen.

Befunde

Gerechnet wurde mit Zufalls-Seed 35 (SplitMix64) und 200 Läufen, wo nichts anderes steht. Die Demo rechnet mit 100 Läufen voreingestellt, ihre Alarmanteile streuen deshalb bis etwa ±5 Punkte. Die Tests prüfen Bänder.

Frage	Befund
Faltung (exakt)	h_c = 0,384900; drei Gleichgewichte bei h = 0,3848992 (Diskriminante +0,000020), eines bei 0,3849012, spiegelbildlich bei −h_c.
Schleife bei endlicher Rampenrate (Rampe von −0,8 nach +0,8 und zurück, ohne Rauschen)	r = 0,02 / 0,005 / 0,001: Kippen hinauf bei h = 0,5125 / 0,4384 / 0,4038 (hinunter jeweils der negative Wert, Summe 0 auf 10⁻¹²); Breite 1,0249 / 0,8767 / 0,8077; Formel 2·h_c + 2·C·r^(2/3): 1,0567 / 0,8837 / 0,8087. Für r = 10⁻⁴: 0,7781 gegen Formel 0,7782; Grenzwert r → 0: 2·h_c = 0,7698.
Verzögerung gegen das r^(2/3)-Gesetz	Verhältnis Messung zu C·r^(2/3) bei r = 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁴, 10⁻⁵, 10⁻⁶, 10⁻⁷: 0,917 / 0,973 / 0,9938 / 1,0001 / 1,0014 / 1,0013; Steigung im Log-Log-Bild 0,6601 (alle sechs) und 0,6656 (r ≤ 10⁻⁴), Erwartung 2/3. Die Formel gilt für kleine r (8 % daneben bei r = 0,01).
Kippen vor der Faltung ohne Rauschen	Kein Rampenlauf kippt vor h_c: im Test 120 Raten von 10⁻⁵ bis 10⁻¹; ein einmaliger Lauf mit 1000 log-gleichverteilten Raten von 10⁻⁶ bis 10⁻¹ (Zufalls-Seed 777, nicht im Repository der Demo) ergab dasselbe, der kleinste Abstand hinter h_c ist 1,97·10⁻⁴.
Kritisches Verlangsamen (σ = 0,02, Messabstand 0,1, 100 Ketten)	h/h_c = 0 / 0,5 / 0,8 / 0,9 / 0,95: Rate 2,0000 / 1,3473 / 0,8111 / 0,5579 / 0,3863; Autokorrelation Theorie e^(−Rate·0,1) 0,8187 / 0,8740 / 0,9221 / 0,9457 / 0,9621, Simulation 0,8154 / 0,8717 / 0,9205 / 0,9445 / 0,9616 (Abweichung höchstens 0,0033, ein Teil davon Schrittfehler); Varianz exakt (Boltzmann) 1,001 / 1,487 / 2,484 / 3,660 / 5,515·10⁻⁴, Simulation 1,007 / 1,492 / 2,476 / 3,618 / 5,359·10⁻⁴ (höchstens 3 % daneben); die lineare Formel liegt bei 0,95 h_c bei 5,178·10⁻⁴, 6 % unter der exakten.
Frühwarnung und Fehlalarme (kubisch, Rauschen 0,02, Schwelle 0,5, 200 Läufe)	Alarmanteil A 1,0 % (0 von 200 kippen), B 19,5 % (0 kippen: Fehlalarme bei Anstieg ohne Kippen), C 80,0 % (200 von 200 kippen, im Mittel bei h/h_c = 1,033); mittleres Trendmaß +0,02 / +0,32 / +0,62; Trennung ohne Schwelle (AUC) 0,941. Andere Zufalls-Seeds (36, 37): A 0,5 bis 1,0 %, B 11,5 bis 19,5 %, C 79,0 bis 82,5 %.
Kontrolle D: Kippen durch Rauschen bei konstantem h	h = 0,8 h_c, Rauschen 0,12: 172 von 200 Läufen kippen durch das Rauschen (andere Seeds 180 und 181 von 200), 157 davon nach mindestens 600 Messungen; Alarm in 5,7 % dieser Läufe (Seeds 36, 37: 7,7 und 6,0 %), mittleres Trendmaß +0,03. Der Trend ordnet D-Läufe kaum anders als A-Läufe (AUC 0,5 bis 0,6); die Alarme liegen über denen bei A (0,5 bis 1,0 %) und weit unter denen bei C (etwa 80 %).
Gegenprobe Erntemodell (Rauschen 0,02, 200 Läufe)	Alarmanteil A 0,5 %, B 4,5 %, C 29,0 % (200 von 200 kippen bei h/h_max = 1,044), AUC 0,828: Die Warnung trennt im Erntemodell schwächer als im kubischen (C: 29,0 gegen 80,0 %). Die Rate fällt dort von 0,71 bei 0,5 auf 0,45 bei 0,8 h_max, im kubischen Modell von 1,35 auf 0,81; was davon die Ursache ist, ist nicht gemessen.

Tempo gegen Rauschen. Das System startet unten bei h = 0, h steigt mit der Rate r (Euler–Maruyama, Schritt 0,02, 100 Läufe, Zufalls-Seed 35). Mittleres Kipp-h, in Klammern die Streuung über die Läufe:

r	σ = 0	σ = 0,05	σ = 0,1	Formel ohne Rauschen h_c + C·r^(2/3)
0,02	0,5128	0,5110 (0,019)	0,5019 (0,037)	0,5283
0,004	0,4314	0,4256 (0,013)	0,4043 (0,028)	0,4340
0,0008	0,4013	0,3901 (0,011)	0,3607 (0,021)	0,4017

Ohne Rauschen kippt das System in diesen Zellen nicht vor h_c (kleinster Wert 0,4013). Mit Rauschen liegt das mittlere Kipp-h nur in 1 von 6 Zellen vor der Faltung (r = 0,0008, σ = 0,1: 0,3607, 88 von 100 Läufen vor h_c; andere Seeds 0,3598 und 0,3580), einzelne Läufe kippen aber auch bei r = 0,0008, σ = 0,05 (34 von 100) und r = 0,004, σ = 0,1 (26 von 100). Eine schnelle Rampe verschiebt das Kippen nach hinten, Rauschen nach vorn.

Grenzen

• Ein Modell als Vehikel, ein zweites (Ernte) nur für die Frühwarnung; die Hysterese ist nur im symmetrischen kubischen Modell gemessen.
• Additives weißes Rauschen, ein Rauschniveau je Tabelle (σ = 0,02 für Verlangsamen und Frühwarnung, 0,05 und 0,1 für das Tempo, 0,12 für Kontrolle D), ein Fenster (200 Messungen) und ein Maß (Autokorrelation; weder Varianz noch Kendall-τ), eine feste Schwelle. „Alarm“ gilt nur für diese Wahl, und die Güte der Warnung ist nur für sie belegt.
• Alarmanteile streuen mit den Läufen: Standardfehler bis etwa 3 Punkte bei 200 und 5 Punkte bei 100 Läufen, bei B am stärksten (11,5 bis 19,5 % über die Seeds). Darum zählen Bänder von ±8 Punkten, keine Einzelzahl.
• Fehlalarm: B zeigt, dass ein Anstieg ohne Kippen den Alarm auslöst, weil das System dem Kipppunkt tatsächlich näherkommt. Nicht gemessen ist, wie sich das mit einem Maß oder Fenster ändert, das Anstieg und Kippen besser trennt.
• Kippen durch Rauschen: Das Trendmaß findet bei Kontrolle D keinen Vorlauf. Das widerlegt die Aussage von Boettiger und Hastings nicht, denn sie betrifft ein anderes Modell (Ornstein–Uhlenbeck, ein stabiler Punkt) und keine Aussage über dieses Maß, Fenster und Modell.
• Kippen heißt \(x > 0\) (bzw. \(x < 0\)); andere Kriterien verschieben die Zahlen um Größen der Ordnung \(r\).
• Airy-Gesetz: eigene Herleitung ohne Quellenbeleg, gilt für kleine Raten (8 % daneben bei r = 0,01).
• Schwächere Trennung im Erntemodell: Dass sie schwächer ist, ist gemessen; woran es liegt (etwa an der kleineren Rate bei gleichem Abstand), nicht.

Quellen

• Boettiger, C., Hastings, A. (2013): No early warning signals for stochastic transitions: insights from large deviation theory, arXiv 1307.4415. Eine Antwort auf Drake (2013): Ornstein–Uhlenbeck-Modell mit einem stabilen Punkt; steigende Varianz und Autokorrelation erscheinen bei jeder großen Abweichung, nicht nur vor einem Übergang; Bedingungen: genug Messpunkte, lange Bahn.
• Das Airy-Gesetz der Verzögerung ist eigene Herleitung mit eigener Messung. Zur Literatur über ratenbedingtes Kippen ist keine Arbeit gelesen, und keine Aussage dieser Seite stützt sich darauf.

Stand der Quellen: Den Wortlaut der Arbeit von Boettiger und Hastings gibt die README der Demo als gelesen an, die Seite der Arbeit zuletzt nur als Abstract erneut geprüft; für diese Seite wurde sie nicht neu nachgeschlagen. Alle Zahlen stammen aus der README der Demo.