Der Hold-up verständlich erklärt

Ein Spediteur kauft Fahrzeuge, die nur für einen bestimmten Verlader taugen, und der Verlader baut eine Ladeschleuse, die nur mit diesem Spediteur funktioniert. Wer wie viel vom Gewinn bekommt, wird erst danach verhandelt. Diese Seite zeigt, warum dann ein möglicher Gewinn manchmal gar nicht entsteht, was dagegen hilft und wo das Rechenbild endet.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Eine Anlage, die nur für einen Partner taugt

Ein Spediteur überlegt, Spezialfahrzeuge für die Strecke eines bestimmten Verladers zu kaufen. Der Verlader überlegt, eine Ladeschleuse mit Systemanbindung zu bauen, die nur mit diesem Spediteur zusammenpasst. Investieren beide, entsteht ein Gewinn, den es ohne die Investitionen nicht gäbe. Außerhalb dieser Beziehung ist beides nichts wert (ohne Gegenmittel). Wie viel jeder investiert, lässt sich nicht verbindlich festlegen.

Was jede Partei vom Gewinn bekommt, wird erst verhandelt, wenn das Geld schon ausgegeben ist. Dann kann keiner mehr ausweichen, ohne seine Investition zu verlieren, also teilen sie den Gewinn. Das weiß jede Partei vorher und denkt: Meine Investition bezahle ich ganz, vom Ertrag bekomme ich nur einen Anteil.

Fachleute nennen dieses Muster Hold-up, weil die Partei, die schon investiert hat, festgehalten scheint. Entscheidend ist hier nur, dass jede Partei vom Ertrag einen Anteil behält.

Warum dann zu wenig investiert wird

Vor jeder weiteren Investition fragt sich jede Partei: Bringt mir das mehr, als es mich kostet? Sie zählt aber nur ihren eigenen Anteil am Mehrertrag, die Kosten zahlt sie ganz. Nehmen wir an, eine Anlage kostet 6 und bringt den beiden zusammen 8 mehr Gewinn. Gemeinsam lohnt sich das, denn es bleiben 2 übrig. Teilen beide den Mehrgewinn gleich, bekommt die investierende Partei 4 und zahlt 6. Sie lässt es bleiben. (In einem vereinfachten Modell steigen die Kosten mit jeder weiteren Einheit; das Beispiel zeigt nur die Richtung.)

Ein Programm zum Ausprobieren (die Demo) rechnet einen einfachen Fall durch: zwei gleich starke Parteien, der Gewinn wird gleich geteilt und wächst mit der Summe ihrer Beiträge. Jede Partei hört mit dem Investieren auf, sobald ihr Anteil am Ertrag der nächsten Einheit deren Kosten nicht mehr deckt. Das ist früher, als es für beide zusammen am besten wäre: Jede investiert nur halb so viel. Der Gewinn nach Abzug der Kosten beträgt dann 75 % von dem, was bei der besten gemeinsamen Investition möglich wäre.

Brauchen die beiden einander noch stärker, sodass ohne die andere Partei gar nichts entsteht, gibt es meist zusätzlich ein zweites mögliches Ergebnis: Jede wartet auf die andere, und niemand investiert. In den gerechneten Fällen zeigt das Modell das nur bei dieser vollen gegenseitigen Abhängigkeit.

Was dagegen hilft

Das Modell prüft drei Gegenmittel:

• Eigentum: Jede Partei darf bei gescheiterter Verhandlung einen Teil ihres Beitrags mitnehmen. Dann bleibt ihr von jeder Investition ein größerer Anteil, und sie investiert mehr. Im Beispiel mit ungleicher Verteilung (80 : 20) hilft es der Partei mehr, die weniger bekommt.
• Vorab-Vertrag: Ein Teil des Gewinns wird schon vor der Investition zugesagt. Das macht das Investieren attraktiver, kostet aber Flexibilität: Ein Teil des Gewinns geht verloren. Ist dieser Verlust zu groß, ist der Vertrag schlechter als gar keiner.
• Wiederholung: Treffen sich die beiden Runde für Runde, droht der Partei, die von der guten Investition abweicht, dass beide danach in jeder weiteren Runde nur noch das schlechte Ergebnis ohne Absprache erhalten. Das kann die gute Investition halten, wenn künftige Runden genug zählen.

Die Wiederholung hält die gute Investition, nicht eine faire Teilung. Steht eine Partei bei der guten Investition schlechter da als beim schlechten Ergebnis ohne Absprache, hilft die Drohung nicht. Ausgleichszahlungen zwischen den Parteien könnten helfen; das Modell sieht sie nicht vor.

Woran man das Muster erkennt

Drei Fragen zeigen, ob eine Lage dem Modell ähnelt:

• Taugt die Anlage nur für diesen einen Partner?
• Wird die Verteilung des Gewinns erst nach dem Kauf verhandelt?
• Lässt sich nicht verbindlich festlegen, wie viel jeder investiert?

Lautet die Antwort jedes Mal ja, ähnelt die Lage dem Modell. Dass in der Wirklichkeit auch zu wenig investiert wird, folgt daraus nicht.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Das Modell ist stark vereinfacht: zwei Parteien, eine Investition je Partei, eine Verteilung nach einem festen Verfahren. Ein anderes Verfahren kann ein anderes Ergebnis geben. Verlader, Spediteur und die Gegenmittel sind Annahmen, keine Aussagen über echte Verträge.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Zwei Seiten, Verlader (Index V) und Spediteur (Index S), wählen je einmal eine Investition \(x_V, x_S \ge 0\) mit Kosten \(\kappa x^2/2\) je Seite. Die Investition ist beziehungsspezifisch: außerhalb der Beziehung ist sie nichts wert (Ausnahme: das Gegenmittel Eigentum, dort steht ein einstellbarer Außenwert). Ihre Höhe lässt sich nicht vertraglich festlegen; nur der Vorab-Vertrag sagt vor der Investition einen Anteil des Überschusses zu. Die Beiträge sind \(A = a\,x_V\) und \(B = x_S\); \(a\) ist die Produktivität von V, die von S ist 1.

Der Bruttoüberschuss \(S\) (ohne Index; der Index S meint den Spediteur) ist das Doppelte der Mischung aus arithmetischem und geometrischem Mittel der Beiträge: additiv bei \(\gamma = 0\), komplementär bei \(\gamma = 1\), konkav und homogen vom Grad 1. Nach der Investition wird nach Nash verhandelt: V bekommt den Anteil \(\theta\) des verhandelten Rests, S den Rest \(1-\theta\), ohne Verzögerung und bei vollständiger Information. Ein Gleichgewicht ist ein reines Gleichgewicht: Keine Seite gewinnt durch eine einseitige Abweichung ihrer Investition. Gibt es mehrere, zeigt die Demo das mit den höchsten Investitionen und nennt das schlechteste. Der Wirkungsgrad \(\eta\) ist das Netto im Gleichgewicht durch das Netto im gemeinsamen Optimum (First-Best).

Die Gegenmittel haben je einen Regler, 0 heißt aus. Eigentum: Die Außenoption ist \(\omega = \lambda \cdot\) Beitrag; übersteigt ihre Summe den Rest, wird er im Verhältnis verteilt, damit die Auszahlungen nie mehr als den Überschuss ergeben (Modellannahme). Es wirkt nur als Außenoption der eigenen Investition, ohne Rückwirkung auf den Partner. Vorab-Vertrag: Der Anteil \(\varphi\) des Überschusses wird vor der Investition im Verhältnis der Beiträge zugesagt, der Überschuss schrumpft auf \((1-\psi\varphi)\,S\). Wiederholung: Grim-Trigger mit Diskontfaktor \(\delta\): Weicht eine Seite von der effizienten Investition ab, spielen beide danach für immer das Gleichgewicht des Einmalspiels; es gibt keine Ausgleichszahlungen.

Die Formeln

Beiträge und Überschuss. \(S'\) ist der Überschuss nach dem Flexibilitätsverlust des Vorab-Vertrags:

\[A = a\,x_V, \qquad B = x_S\]

\[S = (1-\gamma)(A+B) + 2\gamma\sqrt{AB}\]

\[S' = (1-\psi\varphi)\,S\]

Ausgleich nach der Investition. Die Außenoptionen sind \(\omega_V = \lambda_V A\) und \(\omega_S = \lambda_S B\). Solange \((1-\varphi)S' \ge \omega_V + \omega_S\) gilt, sind die Auszahlungen nach Kosten:

\[u_V = \varphi S' \frac{A}{A+B} + \omega_V + \theta\,\big((1-\varphi)S' - \omega_V - \omega_S\big) - \frac{\kappa}{2}x_V^2\]

\[u_S = \varphi S' \frac{B}{A+B} + \omega_S + (1-\theta)\,\big((1-\varphi)S' - \omega_V - \omega_S\big) - \frac{\kappa}{2}x_S^2\]

Gleichgewicht, gemeinsames Optimum und Wirkungsgrad: Jede Seite maximiert ihre Auszahlung gegeben die Investition der anderen; das Optimum maximiert Überschuss minus Kosten gemeinsam.

\[x_V^* \in \arg\max_{x \ge 0}\, u_V(x, x_S^*), \qquad x_S^* \in \arg\max_{x \ge 0}\, u_S(x_V^*, x)\]

\[(x_V^{FB}, x_S^{FB}) = \arg\max_{x_V, x_S \ge 0}\; S - \frac{\kappa}{2}\big(x_V^2 + x_S^2\big)\]

\[\eta = \frac{u_V(x^*) + u_S(x^*)}{S(x^{FB}) - \frac{\kappa}{2}\big((x_V^{FB})^2 + (x_S^{FB})^2\big)}\]

Geschlossene Formeln gelten nur im additiven Fall \(\gamma = 0\). Mit \(s = 1-\psi\varphi\) und den Grenzanteilen \(\sigma_V = s\,(\varphi + \theta(1-\varphi)) + (1-\theta)\lambda_V\) und \(\sigma_S = s\,(\varphi + (1-\theta)(1-\varphi)) + \theta\lambda_S\) (gültig, solange der verhandelte Rest die Außenoptionen deckt) ist die Investition jeder Seite das Verhältnis aus ihrem Grenzanteil und dem Kostenfaktor, bei V mal der Produktivität \(a\):

\[x_V^* = \frac{a\,\sigma_V}{\kappa}\]

\[x_S^* = \frac{\sigma_S}{\kappa}\]

Ohne Gegenmittel und mit \(a = \kappa = 1\) ergibt sich bei Nash-Verhandlung mit Anteil \(\theta\) für V und \(1-\theta\) für S der Wirkungsgrad

\[\eta = 1 - \frac{\theta^2 + (1-\theta)^2}{2}\]

Eine andere Formel gilt für einen anderen Fall: Behält jede Seite denselben Anteil \(\sigma\) der Rendite ihrer eigenen Investition (etwa durch symmetrisches Eigentum bei \(\theta = \tfrac12\) mit \(\sigma = (1+\lambda)/2\)), ist

\[\eta = 1 - (1-\sigma)^2\]

Beide Formeln geben bei \(\theta = \tfrac12\) dieselben 75 %; im Allgemeinen sind sie nicht gleich. Die erste hängt an der Teilung nach Nash, die zweite daran, dass jede Seite den Anteil ihrer eigenen Rendite behält.

Wiederholung (Grim-Trigger). Mit Diskontfaktor \(\delta\) hält die effiziente Investition für Seite \(i\) genau dann, wenn (\(R_i\): Auszahlung bei effizienter Investition beider, \(T_i\): bei bester einseitiger Abweichung, \(P_i\): im Gleichgewicht des Einmalspiels)

\[\delta \ge \delta_i^* = \frac{T_i - R_i}{T_i - P_i}\]

Die Schwelle der Beziehung ist \(\max(\delta_V^*, \delta_S^*)\). Steht eine Seite bei effizienter Investition schlechter als im Einmal-Gleichgewicht (\(R_i < P_i\)), gibt es keine Schwelle.

Abwechselnde Angebote (Rubinstein). Mit den Diskontfaktoren \(\delta_1\) (Erster) und \(\delta_2\) (Zweiter) je Runde bekommt der Erste den Anteil

\[\frac{1-\delta_2}{1-\delta_1\delta_2}\]

Befunde

Alle Werte sind Messungen des Codes der Demo auf deterministischen Rastern, keine Zufallsläufe. Die Gleichgewichte werden numerisch bestimmt (Genauigkeit rund 1e-6 in der Investition). Basis, wenn nicht anders genannt: \(a = \kappa = 1\), \(\gamma = 0\), \(\theta = \tfrac12\), keine Gegenmittel, \(\psi\) = 10 %, \(\delta\) = 30 %.

Frage	Befund (Voraussetzung)
Wirkungsgrad bei hälftiger Teilung	75,0 %: beide investieren 0,5 statt 1, Netto 0,75 von 1,00 (Basis)
Formel gegen Gitter	Abweichung unter 1e-6 in allen 11 Werten \(\theta\) = 0 bis 1 in Zehnerschritten (Basis, \(a = \kappa = 1\))
Verlauf über \(\theta\)	höchster Wert 75,0 % bei \(\theta\) = 0,5, 50,0 % bei \(\theta\) = 0 und \(\theta\) = 1, spiegelsymmetrisch; kein \(\theta\) des Rasters erreicht 99,5 %
\(\theta\) = 0,8	Wirkungsgrad 66,0 %; V investiert 80 %, S 20 % des Effizienten; am Netto fehlen durch V 0,02, durch S 0,32
Produktivere Seite	\(a\) = 2, \(\theta\) = ½: beide investieren 50 %, am Netto fehlen durch V 0,50, durch S 0,125 (Faktor \(a^2\), additiv); Wirkungsgrad 75,0 %
Komplementarität bei hälftiger Teilung	75,0 % für \(\gamma\) ∈ {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1}, bei \(a\) = 1 und \(a\) = 2
Komplementarität bei \(\theta\) = 0,8	66,0 / 63,6 / 62,0 / 60,9 / 60,0 % für \(\gamma\) = 0 bis 1 (bei \(a\) = 1); bei \(a\) = 2 und \(\theta\) = 0,2 steigt der Wirkungsgrad mit \(\gamma\) von 48,0 % auf 60,0 %
Gleichgewichte im 5-mal-5-Raster (\( heta\) ∈ {0,2; 0,35; 0,5; 0,65; 0,8} mal \(\gamma\) ∈ {0; 0,5; 0,75; 0,9; 1})	5 von 25 Zellen haben zwei, alle bei \(\gamma\) = 1 (Basis, \(\psi\) = 10 %)
Gleichgewichte im breiten Raster	144 Welten (\(\theta\) 3, \(\gamma\) 4, \(a\) 3, Eigentum V 2, Vertrag 2): bei \(\gamma < 1\) in 0 von 108 mehr als eines; bei \(\gamma\) = 1 in 33 von 36; in den übrigen 3 nur das Gleichgewicht ohne Investition
Schlechtestes Gleichgewicht bei \(\gamma\) = 1	Wirkungsgrad 0,0 % (niemand investiert), gezeigt wird 75,0 % (bei \( heta\) = ½, \(a\) = 1)
Eigentum	für beide mit \(\lambda\) = 0,5: 93,75 %; nur für V oder nur für S: je 84,375 % (Basis); bei \(\theta\) = 0,8 nur für S 90,0 %, nur für V 67,5 % (Basis 66,0 %); symmetrisch \(\lambda\) = 0,5: 93,75 % gleich \(1 - (1 - 0,75)^2\), \(\lambda\) = 1 für beide: 100 %
Vorab-Vertrag	\(\varphi\) = 0,5, \(\psi\) = 10 %: 84,6 %; bester Anteil im Raster (Schritt 0,1) \(\varphi\) = 0,6 mit 84,8 %; \(\varphi\) = 1: 81,0 %; ohne Verlust (\(\psi\) = 0, \(\varphi\) = 1): 100 %; bei \(\psi\) = 50 % und \(\varphi\) = 1: 25,0 %, schlechter als ohne Vertrag
Wiederholung, Schwelle	\(\delta^*\) = 0,50 (\(R\) = 0,5, \(T\) = 0,625, \(P\) = 0,375 je Seite); \(\delta\) = 0,3: 75,0 %, \(\delta\) = 0,8: 100 %; mit \(\gamma\) = 0 bis 1 bei \(\theta\) = ½: \(\delta^*\) = 0,500 / 0,480 / 0,463 / 0,447 / 0,433
Wiederholung ohne Schwelle	bei \(\theta\) = 0,8 und bei Eigentum nur für V mit \(\lambda_V\) = 0,6: S steht bei effizienter Investition schlechter als im Einmalspiel; ohne Schwelle erst ab \(\theta\) > 0,59 bzw. \(\lambda_V\) > 0,29 (\(a = \kappa = 1\), \(\gamma = 0\)), darunter gibt es Schwellen
Wiederholung im Raster	im 3-mal-3-Raster (\( heta\) ∈ {0,3; 0,5; 0,7} mal \(\gamma\) ∈ {0; 0,5; 1}) hält bei \(\delta\) = 0,8 die effiziente Investition in 3 von 9 Zellen (\(\theta\) = ½, alle \(\gamma\)), bei \(\delta\) = 0,3 in 0
Verfahren	Wirkungsgrad 75,0 % (Nash hälftig), 72,2 / 74,9 / 75,0 % (abwechselnde Angebote, V beginnt, \(\delta\) = 0,5 / 0,9 / 0,99), 50,0 % (Ultimatum von V oder S)
Kostenfaktor	ändert den Wirkungsgrad nicht: größte Abweichung unter 1e-5 über 32 Welten, je bei \(\kappa\) = 0,5 und 2 gegen \(\kappa\) = 1

Deutung der drei Welten mit nur dem Gleichgewicht ohne Investition (\(a\) = 2, Eigentum V 0,5, Vertragsanteil 0,5): Die beste Antwort von S springt, ein innerer Fixpunkt existiert nicht. Das ist eine Deutung, die an einer der drei Welten gegen ein Gitter geprüft wurde; gemischte Gleichgewichte sind nicht untersucht.

Zusammengefasst, jeweils unter den genannten Voraussetzungen: Die Komplementarität verschärft das Problem nur bei ungleicher Teilung und gleich produktiven Seiten (\(a\) = 1); bei hälftiger Teilung ändert sie den Wirkungsgrad des gezeigten Gleichgewichts nicht, und bei ungleicher Produktivität kann sie ihn auch heben. Eigentum und Vorab-Vertrag wirken in der additiven Welt über denselben Mechanismus, sie heben den Grenzanteil des Investierenden; der Vertrag kostet Flexibilität \(\psi\), Eigentum im Modell nichts. Ein anderes Verfahren wirkt im Modell nur über den Anteil, den es V zuweist.

Grenzen

• Modellbefund, kein Gesetz. Hold-up hängt am Verhandlungsverfahren und am Gleichgewichtsbegriff (Ellingsen und Robles, nur das Abstract gelesen). Hier wird nach Nash über den Bruttoüberschuss verhandelt; die Unterinvestition entsteht damit durch die Annahme. Was ein Verfahren mit Außenoptionen, mit Verzögerung oder mit Lernen ergibt, ist nicht gerechnet.
• Die Formel \(1-(1-\sigma)^2\) gilt nur, wenn jede Seite den Anteil \(\sigma\) der Rendite ihrer eigenen Investition behält; bei Nash-Verhandlung mit Anteil \(\theta\) für V gilt die andere Formel.
• Mehrere Gleichgewichte treten in den gemessenen Rastern nur bei starker Komplementarität (\(\gamma\) = 1) auf. Gemischte Gleichgewichte und die Auswahl unter mehreren (hier: die höchsten Investitionen) sind nicht untersucht; mit mehreren Gleichgewichten hängt der Wirkungsgrad an der Auswahl.
• Gibt es auf dem Raster kein reines Gleichgewicht, zeigt die Demo keinen Wirkungsgrad; die Angabe zur Genauigkeit gilt nur dort, wo ein Gleichgewicht gefunden wird.
• Eigentum wirkt nur als Außenoption der eigenen Investition. Grim-Trigger ist eine von vielen Strafstrategien, ohne Ausgleichszahlungen, und die Schwelle gilt nur für das effiziente Ziel.
• Die Zählungen gelten für die genannten Raster und die übrigen Regler wie genannt, nicht für jede Welt. Die Investition ist auf 0 bis 6 begrenzt.
• Nicht modelliert: Vertragsrecht und Durchsetzung, Wettbewerb um den Partner, unvollständige Information, Kreditbeschränkungen, mehr als zwei Seiten. Die Seite macht keine Rechtsaussagen; Verlader und Spediteur sind eine Kulisse für das Modell.

Quellen

• Tirole, J. (1986): Procurement and Renegotiation. Journal of Political Economy 94(2), 235–259.
• Grout (1984): Hold-up bei Nash-Verhandlung (die README nennt nur Autor und Jahr).
• Ellingsen und Robles (2000): Abstract gelesen: Das übliche Unterinvestitionsergebnis hängt am Verhandlungsspiel und am Gleichgewichtsbegriff.
• Nash (1950): die Verhandlungslösung, mit der nach der Investition geteilt wird.
• Rubinstein (1982): abwechselnde Angebote.

Nur aus der README der Demo übernommen, nichts nachgeschlagen: Dort sind Autoren, Jahr, Zeitschrift und Seiten geprüft, Volltexte wurden nicht gelesen (bei Ellingsen und Robles nur das Abstract). Ausnahmen: Ellingsen und Robles ist ein Working Paper ohne Zeitschrift, bei Rubinstein ist das Seitenende nicht geklärt.