Die Einzelgut-Auktion verständlich erklärt

Ein Lagerbetreiber hat an seiner Laderampe einen einzigen Zeitplatz frei, und mehrere Transportfirmen wollen ihn. Welche Regel er für die Vergabe wählt, verändert, wie die Firmen bieten. Diese Seite zeigt, wann das den Preis ändert und wann nicht.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Platz, mehrere Interessenten

Ein Lagerbetreiber hat an seiner Laderampe einen Zeitplatz frei. Fachleute sagen Slot dazu. Mehrere Speditionen, also Transportfirmen, möchten ihn haben. Jede weiß nur, was ihr der Platz selbst wert ist, etwa weil sie damit Wartezeit spart. Das ist ihr Wert. Die anderen kennen ihn nicht.

Der Betreiber ist der Verkäufer. Er feilscht nicht mit jeder Firma einzeln. Er legt vorher eine Regel fest, nach der der Platz vergeben wird, und hält sich daran. Jede Firma gibt genau einmal ein verdecktes Gebot ab. Die Regel entscheidet, wer gewinnt und was er zahlt.

Wir spielen das in einem vereinfachten Rechenbild durch, kurz Modell. Alle Zahlen sind erfunden. Jeder Wert liegt zwischen 0 und 100 Euro, jeder Betrag dazwischen ist gleich wahrscheinlich.

Drei Regeln für den Preis

Der Verkäufer kann zwischen drei Regeln wählen. Bei allen gewinnt, wer am höchsten bietet. Sie unterscheiden sich darin, wer wie viel zahlt:

• Erstpreis: Der Höchste gewinnt und zahlt sein eigenes Gebot. Alle anderen zahlen nichts.
• Zweitpreis: Der Höchste gewinnt und zahlt nur das zweithöchste Gebot. Alle anderen zahlen nichts.
• Alle zahlen (englisch All-pay): Der Höchste gewinnt und zahlt sein eigenes Gebot. Auch alle anderen zahlen ihr eigenes Gebot, wie bei einer Bewerbung, die Aufwand kostet, auch wenn sie scheitert.

Ehrlich bieten oder mit Abschlag

Beim Zweitpreis lohnt es sich, genau den eigenen Wert zu bieten. Das Gebot entscheidet hier nur, ob man gewinnt, nicht was man zahlt. Wer weniger bietet, kann verlieren, obwohl der Preis unter seinem Wert gelegen hätte. Wer mehr bietet, kann mehr zahlen, als der Platz ihm wert ist.

Beim Erstpreis ist das anders. Wer seinen vollen Wert bietet und gewinnt, zahlt genau diesen Wert und hat nichts davon. Deshalb bietet man weniger als den eigenen Wert. Dieser Abschlag ist die Kunst: Zu viel Abschlag kostet die Chance auf den Sieg, zu wenig kostet den Gewinn.

Wie groß der Abschlag ist, hängt von der Zahl der Konkurrenten ab. Nehmen wir ein Beispiel: Der Platz ist einer Firma 50 Euro wert. Bei zwei Firmen im Rennen bietet sie 25 Euro. Bei zehn Firmen bietet sie 45 Euro.

Woher kommen diese Zahlen? Gewinnt die Firma, liegen alle Konkurrenten unter ihrem Wert von 50 Euro. Ein einzelner Konkurrent liegt dann im Schnitt bei 25 Euro, der Höchste von neun Konkurrenten im Schnitt bei 45 Euro. Die Firma bietet so viel, wie sie vom Zweithöchsten erwarten kann. Mit vielen Konkurrenten liegt dieser Wert nah an 50 Euro.

Überraschung: oft kommt dasselbe heraus

Man würde erwarten, dass der Erstpreis mehr einbringt, weil der Sieger dort sein eigenes Gebot zahlt. Doch im Modell bringen alle drei Regeln im Durchschnitt über viele Auktionen denselben Betrag. Das gilt nur unter diesen Bedingungen:

• Die Firmen sind gleich stark: Alle Werte kommen aus demselben Bereich.
• Sie scheuen kein Risiko: Ein sicherer Gewinn zählt nicht mehr als eine unsichere Chance mit demselben Durchschnitt.
• Ihre Werte hängen nicht voneinander ab.
• Ein Mindestgebot gilt, falls es eines gibt, für alle Regeln gleich (dazu mehr im Abschnitt Mindestgebot).

Der Grund ist der Abschlag von oben: Im Erstpreis bietet der Sieger im Schnitt so viel, wie im Zweitpreis der Zweithöchste bietet. Der Verkäufer erlöst deshalb im Beispielmodell im Schnitt etwa 33 Euro bei zwei Firmen und etwa 82 Euro bei zehn, nach jeder der drei Regeln.

Wenn die Gleichheit bricht

Das Modell hat die ersten beiden Bedingungen einzeln gebrochen. Dann bringen die Regeln verschiedene Beträge:

• Firmen, die Risiko scheuen: Wer ein Verlieren fürchtet, macht im Erstpreis weniger Abschlag, weil er den Sieg sicherer haben will. Der Erstpreis bringt dann mehr. Im Zweitpreis ändert sich nichts, denn dort bietet man ohnehin den vollen Wert.
• Ungleich starke Firmen: Hat eine Firma nur Werte bis 50 Euro, bietet sie im Erstpreis näher an ihrem Wert als die starke Firma. Die starke weiß, dass sie im Vorteil ist, und macht mehr Abschlag. Der Erstpreis bringt dann mehr als der Zweitpreis, der nur den Wert der schwächeren Firma zahlt (so deutet es diese Seite). Und der Platz geht manchmal an die Firma mit dem kleineren Wert.

Das Mindestgebot

Der Verkäufer kann zusätzlich ein Mindestgebot festlegen: einen Preis, unter dem er nicht verkauft. Bietet niemand so viel, bleibt der Platz leer. Was er ihm dann selbst noch bringt, ist sein Eigenwert, hier null.

Warum hilft das? Hebt der Verkäufer die Grenze ein Stück, verliert er nur dann einen Verkauf, wenn der höchste Wert im schmalen Streifen darunter liegt. Dafür zahlt der Sieger mehr, wenn die anderen Gebote niedrig sind.

Im Beispielmodell mit zwei Firmen und Werten von 0 bis 100 Euro liegt das beste Mindestgebot bei 50 Euro. Es hebt den Ertrag des Verkäufers um 25 %. In der Mitte gleichen sich Preisgewinn je Verkauf und Verkaufsverlust aus (Deutung dieser Seite). Mit jeder weiteren Firma schrumpft der Vorteil, weil dann ohnehin eine hoch genug bietet.

Lieber ein Bieter mehr als die klügste Regel

Zwei Ökonomen, Bulow und Klemperer, haben zwei Wege verglichen. Weg eins: Der Verkäufer setzt das beste Mindestgebot. Weg zwei: Er bleibt beim einfachen Zweitpreis, hat aber eine Firma mehr als bei Weg eins. Im Modell gewinnt Weg zwei in allen 30 gerechneten Fällen. Gerechnet wurde mit drei Wertestreuungen (gleichmäßig, viele niedrige und wenige hohe, glockenförmig), ein bis zehn Firmen und Eigenwert null.

Das gilt nicht immer. Kommen die Werte aus zwei getrennten Gruppen, etwa viele niedrige und wenige sehr hohe, lohnt sich ein hohes Mindestgebot: Der Verkäufer wartet auf einen der wenigen Reichen. Eine Firma mehr ersetzt das nicht. Auch ein hoher Eigenwert kann dazu führen, dass eine Firma mehr nicht genügt.

Wenn Bieter lernen

Echte Bieter probieren aus und merken sich, was geklappt hat. Im Modell tun das Computerprogramme. Mit der üblichen Lernrate (wie stark ein Programm nach jeder Runde umlernt) bieten sie am Ende nicht so, wie die Rechnung es verlangt. Welche Regel dem Verkäufer mehr bringt, hängt vom Programm ab.

Häufige Missverständnisse

• „Im Zweitpreis zahlt der Sieger weniger, also verdient der Verkäufer weniger.“ Nicht unter den genannten Bedingungen: Der Abschlag im Erstpreis gleicht genau aus, was der Zweitpreis dem Sieger spart.
• „Ein leer gebliebener Platz ist ein Fehler.“ Für den Verkäufer nicht: Er nimmt leere Plätze in Kauf, weil sein Ertrag steigt. Für alle zusammen sinkt der Wert, denn der Platz ging nicht an die Firma, die ihn am meisten brauchte.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Das Modell passt am ehesten, wenn Sie Folgendes sehen:

• Mehrere Menschen wollen dasselbe einzelne Gut, etwa eine Wohnung oder einen Gebrauchtwagen, und jeder weiß nur, was es ihm selbst wert ist.
• Die verkaufende Seite nennt die Regeln vorher und hält sich daran, etwa bei verdeckten Geboten mit einem Mindestpreis.
• Die Bieter sprechen sich nicht ab.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Das Modell nimmt an, dass alle nur an den eigenen Vorteil denken, ihre Werte unabhängig sind und der Verkäufer sich an seine Regeln bindet. Daten echter Spediteure, mehrere Plätze und Absprachen kommen nicht vor.

Was Sie mitnehmen

• Wer verkauft: Fragen Sie zuerst, wie Sie einen Interessenten mehr an den Tisch holen, bevor Sie an feinen Regeln arbeiten.
• Wer bietet: Fragen Sie vor jedem Gebot, wessen Gebot Ihren Preis bestimmt, Ihr eigenes oder das eines anderen.
• Wer hört „Alle Regeln bringen dasselbe“: Prüfen Sie, welche Bedingung in Ihrem Fall nicht stimmt.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Dort stellen Sie Zahl der Firmen, Mindestgebot und weitere Annahmen ein und sehen die Regeln nebeneinander. Zum Verstehen brauchen Sie sie nicht. „Demo ausprobieren“ öffnet sie, „Weiter zum Fachteil“ führt zum zweiten Teil für Fachleute.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt die Auktion um einen einzelnen Slot, in der der Verkäufer Format und Mindestgebot vorab festlegt, und die Messreihen dazu.

• Spiel: Ein Slot (ein Zeitfenster an der Rampe oder ein Laderaum), \(n\) Spediteure (Bieter) mit unabhängigen privaten Werten \(v_i \sim F\) (Dichte \(f\), Euro je Slot), ein Verkäufer mit Eigenwert \(v_0\) (was ihm der unverkaufte Slot bringt) und Mindestgebot \(r\). Der Verkäufer bindet sich vorab an Format und \(r\). Jeder Bieter kennt nur seinen Wert und die Verteilung der anderen. Es gibt einen Zug mit verdeckten Geboten, keine Runden.
• Verteilungen: Gleichverteilung auf 0 bis 100 Euro, Exponentialverteilung (Mittel 50 Euro, für die Gitterrechnung bei der Wahrscheinlichkeit \(1 - 10^{-10}\) abgeschnitten), Beta(2, 2) auf 0 bis 100 Euro und eine Mischung (90 % gleichverteilt auf 0 bis 10 Euro, 10 % auf 90 bis 100 Euro). Der virtuelle Wert \(\varphi(v) = v - \frac{1 - F(v)}{f(v)}\) steigt bei den ersten drei (regulär) und steigt bei der Mischung nicht (unregulär).
• Formate: Zweitpreis (der Höchstbietende zahlt \(\max(r, v_{(2)})\), mit dem zweithöchsten Gebot \(v_{(2)}\)), Erstpreis (er zahlt sein Gebot) und All-pay (ohne Mindestgebot; jeder zahlt sein Gebot, auch wer verliert). Im Gleichgewicht ist jedes Gebot beste Antwort auf die Gebote der anderen; die Demo prüft das mit einem Beste-Antwort-Gitter (die Gegner bieten die Gleichgewichtsgebote, 6.001 Gebote werden geprüft). Die Beste-Antwort-Lücke ist der größte Gewinn, den ein Bieter durch Abweichen hätte.
• Risikoscheu: Nutzen \(x^{\rho}\) statt \(x\) (\(\rho = 1\) ist risikoneutral). Gerechnet wird nur für Gleichverteilung im Erstpreis; der Zweitpreis bleibt bei ehrlichen Geboten.
• Ungleich starke Bieter: zwei Bieter, der erste („starke“) mit gleichverteilten Werten auf \([0, 100]\), der zweite („schwache“) auf \([0, 100\,w]\) mit \(w \le 1\). Je kleiner \(w\), desto schwächer der zweite Bieter (die Demo nennt \(w\) seine Schwäche).
• Lernende Bieter: Wiederholte Auktionen mit gleichverteilten Werten auf \([0, 1]\) (eine Einheit sind 100 Euro), Gebot \(b = \alpha v\) mit Gebotsfaktor \(\alpha\) auf einem Raster (Schritt 0,05 bei Hedge und Exp3, ein gröberes Raster bei Q-Lernen). Hedge führt eine gemischte Strategie über die Rasterwerte \(\alpha\): Es sieht nach jeder Runde, was jedes \(\alpha\) gebracht hätte (volle Rückmeldung), und gewichtet jedes \(\alpha\) mit \(\exp(-\eta \cdot \text{bisheriger Verlust})\). Exp3 beobachtet nur die Auszahlung des gespielten \(\alpha\), schätzt daraus die Auszahlungen aller \(\alpha\) (Gewichtung mit der Spielwahrscheinlichkeit) und mischt eine Explorationsrate \(\gamma\) bei. Q-Lernen ist tabellarisch: je Wertklasse (Intervall der Werte) wird für jedes \(\alpha\) ein Q-Wert aus der eigenen Auszahlung fortgeschrieben, gespielt wird ε-gierig, die Exploration sinkt über die Runden. Die Standardrate von Hedge ist \(\eta = \sqrt{8 \ln K / T}\) bei \(K\) Rasterwerten und \(T\) Runden; „fest 1,0“ heißt \(\eta = 1\). Der „letzte Iterierte“ ist die Strategie nach der letzten Runde, nicht das Mittel über alle Runden. Ausgewiesen wird bei Hedge und Exp3 das mittlere \(\alpha\) der gemischten Strategie nach der letzten Runde (Erlös: Mittel der tatsächlich gespielten Auktionen im letzten Viertel der Runden), bei Q-Lernen das mittlere \(\alpha\) der gierigen Strategie in den höheren Wertklassen (Erlös: 100.000 frische Auktionen). Die Zellen der drei Regeln sind deshalb nur grob vergleichbar.
• Rechnung und Messung: Gleichgewichtsgebote und Erlöse sind Trapezintegrale auf einem Gitter von 20.001 Punkten (Fehler in den gezeigten Stellen unter \(10^{-4}\) Euro), Nullstellen per Bisektion. Eine Simulationszelle sind 4 Blöcke zu je 200.000 Auktionen (Asymmetrie: 400.000), eine Lernzelle 4 Läufe; \(\pm\) ist der Standardfehler über die Blöcke.

Die Formeln

Zweitpreis. Ehrlich zu bieten ist dominant: Das Gebot bestimmt nur, ob man gewinnt, der Preis \(\max(r, v_{(2)})\) hängt nicht davon ab. Der Erlös \(R(r)\) lässt sich auf zwei Wegen rechnen, über die erwarteten virtuellen Werte des Höchsten, \(R(r) = n \int_r^{\infty} \varphi(v)\, F(v)^{n-1} f(v)\, dv\), und über die Ordnungsstatistik des zweithöchsten Werts, \(R(r) = r \cdot n F(r)^{n-1}\bigl(1 - F(r)\bigr) + \int_r^{\infty} v\, n(n-1) F(v)^{n-2}\bigl(1 - F(v)\bigr) f(v)\, dv\).

Erstpreis. Gibt sich ein Bieter mit Wert \(v\) wie ein Bieter mit Wert \(z\) aus, gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit \(F(z)^{n-1}\) und bekommt \((v - b(z))\) dafür. Die Bedingung erster Ordnung bei \(z = v\) lautet \(b'(v) = (n-1)\,\frac{f(v)}{F(v)}\,\bigl(v - b(v)\bigr)\) (Herleitung dieser Seite aus der Standardüberlegung). Mit der Randbedingung \(b(r) = r\) folgt für \(v \ge r\)

\(b(v) = v - \int_r^{v} \left(\frac{F(x)}{F(v)}\right)^{n-1} dx\), bei Gleichverteilung auf 0 bis 100 Euro ohne Mindestgebot also \(b(v) = \frac{n-1}{n}\, v\). Der erwartete Erlös ist dort \(100\,\frac{n-1}{n+1}\), der Erwartungswert des zweithöchsten Werts.

All-pay (ohne Mindestgebot). Jeder zahlt sein Gebot; die Bedingung erster Ordnung gibt \(b(v) = \int_0^{v} x\,(n-1)\,F(x)^{n-2} f(x)\, dx\), die erwartete Zahlung eines Bieters mit Wert \(v\) ist also schon im Gebot enthalten.

Erlösäquivalenz. In allen drei Regeln sind die Gebote im Gleichgewicht streng steigend im Wert, der Höchste gewinnt also, und ein Bieter mit Wert \(v\) gewinnt mit Wahrscheinlichkeit \(F(v)^{n-1}\). Sein erwarteter Gewinn ist \(u(v) = v\, F(v)^{n-1} - m(v)\) mit der erwarteten Zahlung \(m(v)\). Da kein Bieter durch Auftreten mit einem anderen Wert gewinnen kann, folgt nach dem Hüllkurvensatz \(u'(v) = F(v)^{n-1}\); der Bieter mit dem niedrigsten teilnehmenden Wert \(r\) erwartet 0, also \(u(r) = 0\). Integrieren gibt \(m(v) = v\, F(v)^{n-1} - \int_r^{v} F(x)^{n-1}\, dx\), in allen drei Regeln gleich, und damit auch der Erlös. Die Demo setzt das nicht ein, sondern rechnet jede Regel mit ihrer eigenen Gebotsfunktion und prüft sie gegen das Beste-Antwort-Gitter und die Simulation. Anschaulich (Rechnung dieser Seite, für Gleichverteilung): Das Erstpreis-Gebot \(\tfrac{n-1}{n}\,v\) ist der Erwartungswert des höchsten von \(n-1\) Konkurrenzwerten, die alle unter \(v\) liegen. Im Durchschnitt über alle Auktionen zahlt der Sieger im Erstpreis daher so viel, wie im Zweitpreis der Zweithöchste bietet.

Risikoscheu (Nutzen \(x^{\rho}\), Gleichverteilung, Erstpreis). Die Bedingung erster Ordnung gibt den Gebotsfaktor \(b(v) = \frac{n-1}{n-1+\rho}\, v\), größer als \(\frac{n-1}{n}\) für \(\rho < 1\). Da das Gebot proportional zum Wert ist, ist das Verhältnis der Erlöse Erstpreis zu Zweitpreis \(\frac{n}{n-1+\rho}\) (Rechnung dieser Seite aus dem Gebotsfaktor). Es ist gleich 1 für \(\rho = 1\) und schrumpft mit \(n\).

Mindestgebot. Der Nutzen des Verkäufers mit \(n\) Bietern ist \(U_n(r) = R_n(r) + v_0\, F(r)^n\), mit dem Erlös \(R_n(r)\) des Zweitpreises (oben als \(R(r)\) geschrieben). Bei regulärer Verteilung maximiert \(r^*\) mit \(\varphi(r^*) = v_0\) den Nutzen. Bei Gleichverteilung auf \([0, 100]\) ist \(\varphi(v) = 2v - 100\) (Rechnung dieser Seite) und damit \(r^* = \frac{100 + v_0}{2}\), unabhängig von \(n\); bei der Exponentialverteilung ist \(\varphi(v) = v - 50\), also \(r^* = v_0 + 50\) (ebenfalls Rechnung dieser Seite). Mit Erstpreis und Mindestgebot ist der Erlös derselbe wie im Zweitpreis mit Mindestgebot. Der Wohlfahrtsverlust ist die relative Einbuße des Gesamtwerts (Nutzen der Bieter plus Nutzen des Verkäufers) gegenüber dem effizienten Wert, bei dem der Slot an den Höchsten geht, solange dessen Wert nicht unter \(v_0\) liegt.

Ein Bieter mehr (Bulow und Klemperer). Die Bieter sind unabhängig und identisch verteilt. Im Quantilenraum \(q = 1 - F(v)\) ist die Erlöskurve \(E(q) = q\, F^{-1}(1-q)\); \(\overline{MR}\) sei die Steigung ihrer oberen konkaven Hülle (der geglättete Grenzerlös). Das beste Verfahren mit \(n\) Bietern, die Auktion mit bestem Mindestgebot, vergibt den Slot an den Bieter mit dem höchsten \(\overline{MR}\), sofern dieser über \(v_0\) liegt (Standardergebnis von Myerson 1981: der erwartete Erlös ist der erwartete virtuelle Wert des Gewinners, die Hülle glättet Bereiche, in denen \(\varphi\) fällt; hier nicht hergeleitet, aus dem Gedächtnis), und erreicht \(U^{\mathrm{opt}}(n) = \mathbb{E}\bigl[\max(\overline{MR}(q_1),\, v_0)\bigr]\) mit \(q_1 \sim n(1-q)^{n-1}\). Die einfache Auktion ist der Zweitpreis mit Mindestgebot \(v_0\); mit \(m\) Bietern bringt sie \(U_m(v_0)\) (Formel oben). Für \(v_0 = 0\) ist das der Erlös ohne Mindestgebot, \(U_{n+1}(0) = (n+1)\, n \int_0^1 E(q)\, (1-q)^{n-1}\, dq\). Die Demo prüft, ob \(U_{n+1}(v_0) \ge U^{\mathrm{opt}}(n)\) gilt; Bulow und Klemperer zeigen es nach Angabe der Demo unter unabhängigen Signalen, Risikoneutralität, Bieterwert \(\ge\) Eigenwert und Regularität (ob Regularität im Satz des Aufsatzes selbst steht, wurde hier nicht geprüft). Die Teilnahmeschwelle \(p^*\) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der zusätzliche Bieter teilnehmen muss, damit der Mittelwert aus \(n\) und \(n+1\) Bietern das beste Verfahren erreicht, \(p^* = \frac{U^{\mathrm{opt}}(n) - U_n(v_0)}{U_{n+1}(v_0) - U_n(v_0)}\); \(p^* > 1\) heißt, ein zusätzlicher Bieter reicht auch bei sicherer Teilnahme nicht.

Bei Gleichverteilung auf \([0, 1]\) und \(v_0 = 0\) ist \(U^{\mathrm{opt}}(n) = \frac{n-1}{n+1} + \frac{2^{-n}}{n+1}\), die einfache Auktion bringt mit \(n\) Bietern \(\frac{n-1}{n+1}\) und mit \(n+1\) Bietern \(\frac{n}{n+2}\). Der Quotient \(\frac{2^{-n}/(n+1)}{2/((n+1)(n+2))}\) ist die Schwelle \(p^* = \frac{n+2}{2^{n+1}}\); die Demo rechnet das in Brüchen für \(n = 1\) bis 12 nach.

Ungleich starke Bieter (Wert 1 gleichverteilt auf \([0, 100]\), Wert 2 auf \([0, 100\,w]\), Einheiten von 100 Euro). Mit \(c = \frac{w^2 - 1}{w^2}\) sind die Umkehrfunktionen der Gleichgewichtsgebote \(x(b) = \frac{2b}{1 + c b^2}\) (starker Bieter), \(y(b) = \frac{2b}{1 - c b^2}\) (schwacher Bieter) und das höchste Gebot \(\bar b = \frac{w}{1 + w}\), mit \(x'(y - b) = x\) und \(y'(x - b) = y\) sowie \(x(\bar b) = 1\), \(y(\bar b) = w\). Die Demo hat sie selbst hergeleitet und per Beste-Antwort-Gitter und Simulation geprüft; in der Literatur sind sie auch behandelt (siehe Quellen), ein Abgleich erfolgte nicht. Wegen \(c < 0\) für \(w < 1\) gilt \(y(b) < x(b)\): Bei gleichem Gebot hat der starke Bieter den höheren Wert, bietet also im Verhältnis zum Wert weniger (Rechnung dieser Seite).

Befunde

Erlösäquivalenz. Gleichverteilung auf 0 bis 100 Euro, risikoneutrale und gleich starke Bieter, kein Mindestgebot, Erlöse in Euro je Slot. In allen 9 Zeilen (\(n = 2\) bis 10) sind der Erlös des Zweitpreises (auf beiden Wegen gerechnet), des Erstpreises und des All-pay gleich \(100\,(n-1)/(n+1)\); die größte Abweichung ist 3,7e-06 Euro. In allen 9 Zeilen ist die größte Beste-Antwort-Lücke höchstens 4,4e-07 Euro (Erstpreis und All-pay, geprüft bei den Werten 20, 50, 80 und 100 Euro). Die Simulation liegt in 27 von 27 Zellen innerhalb von 5 Standardfehlern (plus 0,02 Euro).

Bieter n	Gebot im Erstpreis bei Wert 50	Erlös (alle drei Formate)	Simulation: Zweitpreis / Erstpreis / All-pay
2	25,00	33,3333	33,31 ± 0,01 / 33,32 ± 0,01 / 33,34 ± 0,02
3	33,33	50,0000	50,01 ± 0,03 / 50,00 ± 0,02 / 50,00 ± 0,03
5	40,00	66,6667	66,68 ± 0,02 / 66,66 ± 0,01 / 66,61 ± 0,07
10	45,00	81,8182	81,82 ± 0,01 / 81,82 ± 0,01 / 81,80 ± 0,05

Auch bei Exponentialverteilung, Beta(2, 2) und Mischung (je \(n = 2\) und 5) sind die Erlöse in 6 von 6 Zeilen gleich (größte Abweichung 2,2e-05 Euro). Der Prüfer schlägt an, wenn die Gegner falsch bieten (\(v^2/100\) statt \(v/2\) bei \(n = 2\): Lücken 0,52, 1,46 und 2,68 Euro bei den Werten 30, 60 und 90 Euro).

Risikoscheu. Gleichverteilung, Erstpreis gegen Zweitpreis, Erlöse in Euro je Slot. Das Verhältnis liegt in 9 von 9 Zellen mit \(\rho < 1\) über 1 und ist bei \(\rho = 1\) in 3 von 3 Zellen gleich 1; es sinkt mit \(n\).

n	Exponent ρ	Gebotsfaktor	Erstpreis	Zweitpreis	Verhältnis
2	1,00	0,5000	33,33	33,33	1,0000
2	0,50	0,6667	44,44	33,33	1,3333
2	0,25	0,8000	53,33	33,33	1,6000
10	0,50	0,9474	86,12	81,82	1,0526
10	0,25	0,9730	88,45	81,82	1,0811

Mindestgebot. Gleichverteilung auf 0 bis 100 Euro, Zweitpreis, Nutzen des Verkäufers in Euro je Slot. Gewinn ist der Zuwachs des Nutzens gegenüber dem Mindestgebot \(r = v_0\), Verkauf der Anteil der Auktionen mit Verkauf. Formel, Bisektion von \(\varphi(r) = v_0\) und Gittersuche stimmen in 15 von 15 Zellen überein (\(r^* = 50\), 60 und 70 Euro bei Eigenwert 0, 20 und 40 Euro, \(n = 1\) bis 10). Bei Beta(2, 2) ist \(r^*\) 42,154 Euro (Eigenwert 0) und 51,685 Euro (Eigenwert 20 Euro). Der Erstpreis mit Mindestgebot bringt in 3 von 3 Zellen dasselbe wie der Zweitpreis mit Mindestgebot.

Eigenwert v₀ (Euro)	n	Mindestgebot r*	Nutzen mit r*	Nutzen bei Mindestgebot = Eigenwert	Gewinn	Verkauf	Wohlfahrtsverlust
0	2	50,0	41,667	33,333	25,000 %	75,0 %	12,500 %
0	5	50,0	67,188	66,667	0,781 %	96,9 %	1,562 %
0	10	50,0	81,827	81,818	0,011 %	99,9 %	0,049 %
20	1	60,0	36,000	20,000	80,000 %	40,0 %	15,385 %
20	5	60,0	68,222	66,694	2,290 %	92,2 %	2,801 %

Ein Bieter mehr. Bestes Verfahren mit \(n\) Bietern gegen Zweitpreis mit \(n+1\) Bietern, Mindestgebot gleich Eigenwert, Nutzen in Euro je Slot. Bei regulären Verteilungen (Gleichverteilung, Exponential, Beta(2, 2)) und Eigenwert 0 gilt die Aussage in 30 von 30 Zeilen (\(n = 1\) bis 10). Bei Exponentialverteilung mit Eigenwert 20 Euro liegen manche Bieterwerte unter dem Eigenwert, die Voraussetzung „Bieterwert ≥ Eigenwert“ ist verletzt; die Aussage gilt in 9 von 10 Zeilen, \(n = 1\) verletzt sie, dort sind zwei zusätzliche Bieter nötig (\(p^* = 1{,}0976\)). Bei der unregulären Mischung gilt sie in 0 von 15 Zeilen (\(n\) bis 60); dort braucht das einfache Verfahren bis zu 13 zusätzliche Bieter, damit es das beste Verfahren einholt. Die Schwelle \(p^*\) der Gleichverteilung fällt von 0,7500 bei \(n = 1\) auf 0,0059 bei \(n = 10\).

Verteilung, Eigenwert (Euro)	n	Bestes Verfahren (n Bieter)	Einfach (n+1 Bieter)	Verhältnis	Aussage gilt
Gleichverteilung, 0	1	25,000	33,333	1,3333	ja
Gleichverteilung, 0	10	81,827	83,333	1,0184	ja
Exponentiell, 20	1	32,330	31,233	0,9661	nein
Exponentiell, 20	10	97,120	100,994	1,0399	ja
Mischung, 0	1	8,999	4,533	0,5037	nein
Mischung, 0	60	96,583	95,786	0,9918	nein

Ungleich starke Bieter. Zwei Bieter, Werte gleichverteilt auf \([0, 100]\) und \([0, 100\,w]\), Erlöse in Euro je Slot, Simulation mit 400.000 Auktionen je Block. „Falsche Zuteilung“ ist der Anteil der Auktionen im Erstpreis, in denen der Slot nicht an den höheren Wert geht; „Verlust Erstpreis“ ist der Wohlfahrtsverlust des Erstpreises. Der Zweitpreis vergibt mit Geboten gleich den Werten nie falsch. Das Myerson-optimale Verfahren bringt für \(w = 1\) bis 0,25 das 1,25- bis 2,48-fache des Zweitpreis-Erlöses bei 12,5 % bis 19,4 % Wohlfahrtsverlust (nur für diese Verteilungsfamilie gerechnet). Die Beste-Antwort-Lücken beider Bieter liegen höchstens bei 3,3e-14 Euro.

w	Zweitpreis	Erstpreis	Erst / Zweit	falsche Zuteilung	Verlust Erstpreis
1,00	33,33	33,33	1,0000	0,00 %	0,00 %
0,90	31,50	31,60	1,0033	2,37 %	0,10 %
0,75	28,12	28,74	1,0218	5,36 %	0,61 %
0,50	20,83	22,95	1,1016	8,33 %	1,89 %
0,25	11,46	14,87	1,2976	7,50 %	2,17 %

Lernende Bieter. Gleichverteilte Werte, Gebot \(b = \alpha v\), Erlöse in Einheiten von 100 Euro, Standardrate, 4 Läufe je Zeile; die Tabelle zeigt \(n = 2\) (die Reihe enthält auch \(n = 4\)). In 10 von 10 Zellen weicht der letzte Gebotsfaktor um mehr als 0,01 plus 3 Standardfehler vom Gleichgewicht ab. Bei Hedge und Exp3 liegt er in 8 von 8 Zellen darunter. Bei \(n = 2\) liegt bei Exp3 und Q-Lernen der Erstpreis vorn, bei Hedge der Zweitpreis.

Regel (n = 2)	Format	Runden	α Gleichgewicht	α letzter Iterierter	Erlös	Erlös Gleichgewicht
Hedge	Erstpreis	20.000	0,500	0,456 ± 0,002	0,3026 ± 0,0011	0,3333
Hedge	Zweitpreis	20.000	1,000	0,961 ± 0,000	0,3217 ± 0,0019	0,3333
Exp3	Erstpreis	100.000	0,500	0,422 ± 0,002	0,2853 ± 0,0010	0,3333
Exp3	Zweitpreis	100.000	1,000	0,858 ± 0,004	0,2750 ± 0,0011	0,3333
Q-Lernen	Erstpreis	300.000	0,500	0,584 ± 0,005	0,3915 ± 0,0028	0,3333
Q-Lernen	Zweitpreis	300.000	1,000	0,871 ± 0,009	0,2789 ± 0,0051	0,3333

Längeres Lernen schließt die Lücke nur im Zweitpreis langsam: Hedge im Erstpreis mit Standardrate kommt bei 2.000, 20.000 und 100.000 Runden auf 0,445 ± 0,007, 0,456 ± 0,002 und 0,457 ± 0,001 und ändert sich kaum; im Zweitpreis steigt der Gebotsfaktor auf 0,921, 0,961 und 0,978, bleibt aber unter dem Gleichgewicht. Mit fester Rate 1,0 und 20.000 Runden erreicht Hedge im Zweitpreis das Gleichgewicht (1,000 ± 0,000 in 4 von 4 Läufen), im Erstpreis in 1 von 4 Läufen den Wert 0,500 und in 3 von 4 Läufen 0,450.

Grenzen

• Voraussetzungen der Äquivalenz: Sie gilt für gleich starke, risikoneutrale Bieter mit unabhängigen Werten; ohne Mindestgebot liegt der Erlös bei \(100\,(n-1)/(n+1)\), und mit demselben Mindestgebot in beiden Formaten bleibt der Erstpreis gleich dem Zweitpreis (Reihe Mindestgebot). Verletzt werden in eigenen Messreihen die Risikoneutralität und die gleiche Stärke, die Unabhängigkeit der Werte nicht. Die Risikoscheu-Rechnung gilt nur für Gleichverteilung und Erstpreis, die Asymmetrie nur für zwei Bieter mit gleichverteilten Werten und verschiedenen Obergrenzen.
• Bulow–Klemperer: Die Demo führt als Voraussetzungen unabhängige, identisch verteilte Bieter, Risikoneutralität, Bieterwerte über dem Eigenwert und Regularität; gerechnet werden nur identisch verteilte Bieter. Das beste Verfahren wird als Hülle im Quantilenraum gerechnet. Für reguläre Verteilungen ist sie gegen die Reserve aus \(\varphi(r^*) = v_0\) geprüft, für die Mischung nur gegen den besten Festpreis bei einem Bieter, gegen eine Konvexe-Hülle-Rechnung von SciPy und gegen einen Monte-Carlo-Lauf. Ob diese Rechnung der Konstruktion im Aufsatz entspricht, ist damit für die Mischung nicht gezeigt.
• Lernende Bieter: Der Befund betrifft die gewählten Lernregeln, ihre Raster und Lernraten, nicht echte Spediteure. Auf dem Raster mit Schritt 0,05 sind die Gebotsfaktoren 0,45 und 0,50 beide beste Antwort auf sich selbst; auf dem feineren Raster mit Schritt 0,005 ist die beste Antwort auf 0,50 der Wert 0,500. Q-Lernen ist rasterempfindlich, Lernergebnisse gelten daher nur als Bandbreiten. Banchio und Skrzypacz berichten für Q-Lernen im Erstpreis niedrige, stillschweigend abgestimmte Gebote; die Demo findet dort Gebote über dem Gleichgewicht. Beide Modelle unterscheiden sich, ein Widerspruch ist damit nicht gezeigt. Der Standardfehler aus nur 4 Läufen ist eine grobe Schätzung (Rechnung dieser Seite).
• Nicht gerechnet: mehrere Plätze oder Güter, korrelierte und gemeinsame Werte (Fluch des Gewinners), private Information auf beiden Seiten, Teilnahmekosten, Absprachen der Bieter, dynamische Auktionen (aufsteigende Uhr, holländische Auktion), ein Verkäufer, der nach einem Fehlschlag nachverhandelt, und echte Auktionsdaten. Verteilungen der Werte, Eigennutz, Unabhängigkeit und die Selbstbindung des Verkäufers sind Modellannahmen.
• Was die Messung zeigt: Die Zahlen gelten für die genannten Verteilungen, Bieterzahlen und Einstellungen; Gitterwerte tragen den Fehler der Trapezregel, Simulationswerte ihren Standardfehler. Die Toleranz von 5 Standardfehlern ist bei nur 4 Blöcken großzügig (Urteil dieser Seite).

Quellen

• Bulow und Klemperer: Auctions versus Negotiations, American Economic Review 86(1), 1996, S. 180–194 (Aussage und Voraussetzungen des Satzes, siehe oben).
• Myerson: Optimal Auction Design, Mathematics of Operations Research 6(1), 1981, S. 58–73 (Mindestgebot und optimale Auktion).
• Vickrey: Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders, Journal of Finance 16(1), 1961 (Zweitpreis).
• Riley und Samuelson: Optimal Auctions, American Economic Review 71(3), 1981; Griesmer, Levitan und Shubik 1967 (Erstpreis-Gebote); Maskin und Riley (asymmetrische Erstpreis-Gleichgewichte).
• Banchio und Skrzypacz: Artificial Intelligence and Auction Design, 2022, arXiv 2202.05947 (lernende Bieter; in dieser Demo nicht reproduziert).

Bulow und Klemperer wurden laut Angabe der Demo im Volltext gelesen. Myerson, Vickrey, Riley und Samuelson, Griesmer, Levitan und Shubik sowie Banchio und Skrzypacz sind dort nur nach Titel, Bibliographie oder Zusammenfassung herangezogen, nicht im Volltext geprüft. Die Fundorte von Vickrey sowie Riley und Samuelson wurden nachgeschlagen. Die Zahlen dieser Seite stammen aus der Rechnung der Demo, nicht aus diesen Aufsätzen.