Das Bündeln von Lagern verständlich erklärt

Vier Fahrradwerkstätten legen ihre Vorräte an Ersatzschläuchen zusammen und kommen mit einem kleineren Puffer aus, weil sich ihre Schwankungen ausgleichen. Diese Seite zeigt, warum das so ist und wann der Vorteil schrumpft.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Vier Werkstätten und ein Vorrat

Vier Fahrradwerkstätten halten je einen eigenen Vorrat an Ersatzschläuchen. Niemand weiß vorher, wie viele Schläuche in einer Woche gebraucht werden. Damit keine Kundin vergeblich kommt, legt jede Werkstatt einen Puffer an, der auch eine starke Woche abdeckt (Fachwort: Sicherheitsbestand). Wie groß er sein muss, hängt davon ab, wie verlässlich man liefern will: Wer nur in den meisten Wochen alles liefern will, braucht weniger Puffer als wer in fast allen Wochen liefern will. Dieser Anteil der gut abgedeckten Wochen heißt Servicegrad.

Nun legen die vier ihre Puffer in einem gemeinsamen Lager zusammen und beliefern sich daraus. Das nennt man Bündeln. Die Frage lautet: Wie groß muss der gemeinsame Puffer sein, verglichen mit den vier einzelnen zusammen?

Er darf kleiner sein, weil sich die Wochen der Werkstätten ausgleichen. Hat eine Werkstatt viel Andrang, hat eine andere gerade wenig. Der gemeinsame Puffer muss nicht für vier Spitzen auf einmal reichen, sondern nur für die Spitze der Summe.

Wie viel spart das?

Wir rechnen das mit einem Programm zum Ausprobieren durch, einer Demo (unten verlinkt). In ihrem Rechenbild schwankt der Bedarf jeder Werkstatt unabhängig von den anderen. Er liegt meist nahe am Durchschnitt und selten weit daneben, wie bei Körpergrößen (Fachwort: Glockenform, genauer Normalverteilung). Dann gilt die Wurzelregel: Bei 4 Werkstätten ist der gemeinsame Puffer halb so groß wie die vier einzelnen zusammen (Faktor 2), bei 9 Werkstätten nur ein Drittel (Faktor 3). Der Faktor ist die Wurzel aus der Zahl der Werkstätten.

Der Gewinn wächst also langsamer als die Zahl der Werkstätten: Von 4 auf 9 Werkstätten steigt der Faktor nur von 2 auf 3. Je mehr Werkstätten, desto besser mitteln sich die Ausschläge nach oben und unten weg, aber jede weitere Werkstatt bringt etwas weniger.

Wann gilt die Wurzelregel nicht?

Die Regel hängt an Annahmen. Drei Dinge verändern den Faktor in der Demo:

• Seltene Riesenausschläge. Manche Nachfrage bleibt meist klein und springt selten auf einen gewaltigen Wert, etwa ein Großauftrag eines Radclubs. Fachleute sagen, das Ende der Verteilung, der Tail, sei schwer. Ein solcher Ausschlag bestimmt wahrscheinlich den Puffer und gleicht sich mit den anderen kaum aus (Deutung, nicht gemessen). In der Demo erreichen 32 Werkstätten bei sehr schwerem Tail nicht einmal die Hälfte des Faktors, den die Wurzelregel verspräche (Servicegrad 95 %).
• Gleichlauf. Brauchen alle Werkstätten gleichzeitig viel, etwa bei einem Wintereinbruch, gleicht sich nichts aus (Fachwort: Korrelation). In der Demo hat der Faktor bei Gleichlauf (gerechnet nur für die Glockenform) eine feste Obergrenze, die auch mit beliebig vielen Werkstätten nicht überschritten wird: je stärker der Gleichlauf, desto niedriger. Bei vollem Gleichlauf ist der Faktor 1, Zusammenlegen spart dann nichts.
• Servicegrad. Wer fast jede Woche liefern will, muss auch die seltenen Extremwochen abdecken, und die gleichen sich beim Zusammenlegen wahrscheinlich anders aus (Deutung, nicht gemessen). Die Demo rechnet mit 8 Arten, wie der Bedarf schwanken kann. Steigt der Servicegrad von 90 % auf die höchste Stufe der Demo (fast jede Woche), wächst der Faktor bei 32 Werkstätten bei 7 dieser 8 Arten. Nur bei der Glockenform bleibt er gleich.

Der Faktor kann sogar unter 1 fallen: In einem Fall der Demo (extrem schwerer Tail, niedrigster Servicegrad der Demo) war der gemeinsame Puffer größer als alle Einzelpuffer zusammen. Der Servicegrad lenkt den Faktor also nicht gleichmäßig.

Häufige Missverständnisse

• „Zusammenlegen spart in jedem Fall.“ Bei Gleichlauf spart es nichts, und bei extrem schwerem Tail kann es in der Demo sogar mehr Puffer kosten.
• „Die Wurzelregel ist ein Naturgesetz.“ Sie folgt aus Annahmen: unabhängige Schwankungen und Glockenform. Ändern sich die Annahmen, ändert sich der Faktor.
• „Ein großer Faktor heißt, der gemeinsame Puffer ist klein.“ Der Faktor vergleicht nur mit den Einzelpuffern. Sind die groß, kann der Faktor hoch sein, obwohl der gemeinsame Puffer nicht klein ist.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Wer Lager zusammenlegen will, kann vier Fragen stellen:

• Schwanken die Standorte unabhängig voneinander, oder brauchen sie oft zur selben Zeit viel?
• Gibt es seltene Großaufträge, die den Bedarf einer Woche allein bestimmen?
• Wie hoch soll der Servicegrad sein? Je höher, desto mehr zählen die seltenen Extremwochen.
• Was kostet das Zusammenlegen selbst? In der Demo ist es gratis, im Betrieb kommen Umlagerung und Transport hinzu.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet mit erfundenen Verteilungen, Werkstätten, die alle gleich groß sind, und einem gemeinsamen Lager ohne Kosten. Sie zeigt, wie sich der Faktor unter diesen Annahmen verhält, nicht, was Ihre Werkstätten tatsächlich sparen würden.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt, wie der Sicherheitsbestand einzeln und gebündelt definiert ist, wie die Summe der Nachfragen berechnet wird und welche Messwerte die Demo für Normal-, Student-t-, Pareto- und Lognormalverteilung liefert.

• Vehikel: \(n\) Standorte mit je einem Lager und unabhängiger wöchentlicher Nachfrage, gleich verteilt mit Mittelwert 100 und Skala 20. Entweder hält jeder Standort einen eigenen Sicherheitsbestand, oder ein gemeinsames Lager bedient alle. „Allianz“ ist hier ein reiner Modellbegriff.
• Verteilungen: Normal, Student-t (ν ab 1,2), Pareto (α von 1,2 bis 4) und Lognormal (σ von 0,2 bis 2). Servicegrade: 90, 95, 99 und 99,9 %.
• Sicherheitsbestand: Quantil minus Mittelwert, einzeln \(SB_1\) und gebündelt \(SB_n\) (Quantil der Summe minus \(n\mu\)). Das ist eine Definition. Mit der Standardabweichung als Maß (\(SB = z \cdot \sigma\) mit gleichem \(z\) einzeln und gebündelt) wäre \(V\) bei unabhängiger Nachfrage mit endlicher Varianz per Konstruktion \(\sqrt{n}\).
• Berechnung der Summe auf zwei unabhängigen Wegen: (1) Faltung der Verteilung auf einem feinen Gitter per FFT, (2) Monte Carlo mit SplitMix64 (400.000 Ziehungen je Zelle, Standardfehler aus 10 Teilstichproben). Der Einzelbestand \(SB_1\) kommt exakt aus der Quantilfunktion.
• Wachstumsexponent: \(e(n_1, n_2)\) ist die Steigung von \(\log V\) gegen \(\log n\); verglichen wird er mit 1/2 (Normal) und \((\alpha - 1)/\alpha\) (Tail-Index \(\alpha\) zwischen 1 und 2).
• Nicht modelliert: Umlagerungs- und Transportkosten, Standortwahl, ungleiche Standorte, Autokorrelation über die Wochen, Lieferzeit-Unsicherheit, Korrelation bei schweren Tails.

Die Formeln

Bezeichnungen: \(n\) Standorte, \(D_i\) die Nachfrage von Standort \(i\) mit Mittelwert \(\mu\), \(F\) die Verteilungsfunktion der Nachfrage eines Standorts, \(F_n\) die der Summe von \(n\) Nachfragen, \(q\) der Servicegrad als Quantilstufe. Der Sicherheitsbestand ist Quantil minus Mittelwert, einzeln und gebündelt; der Bündelungsvorteil \(V\) sagt, um welchen Faktor der gemeinsame Bestand kleiner ist als die Summe der Einzelbestände:

\[SB_1 = F^{-1}(q) - \mu\]

\[SB_n = F_n^{-1}(q) - n\mu\]

\[V(n) = \frac{n \, SB_1}{SB_n}\]

Bei Normalverteilung ist die Summe normalverteilt mit Standardabweichung \(\sigma\sqrt{n}\), also:

\[V(n) = \sqrt{n}\]

Bei Gleichkorrelation \(\rho\) ist die Varianz der Summe \(n\sigma^2(1 + (n-1)\rho)\), also (die Obergrenze gilt für beliebig viele Standorte):

\[V(n) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1 + (n-1)\rho}} \;\le\; \frac{1}{\sqrt{\rho}}\]

Für stabile Nachfrage mit Tail-Index \(\alpha \in (1, 2)\), also \(P(D > x) \sim x^{-\alpha}\), wächst die Summe (Quantil minus \(n\mu\)) wie \(n^{1/\alpha}\), der Einzelbestand ist konstant. Das ist eine asymptotische Aussage für \(n \to \infty\); die Demo misst, wie weit sie für \(n \le 256\) reicht:

\[V(n) \sim n^{1 - 1/\alpha} = n^{(\alpha-1)/\alpha}\]

Bei endlicher Varianz gilt für \(n \to \infty\) mit dem Normal-Quantil \(z_q\) und der Standardabweichung \(\sigma\):

\[\frac{V(n)}{\sqrt{n}} \to \frac{SB_1}{z_q \, \sigma}\]

Der Grenzwert ist größer als 1, wenn der Einzelbestand über \(z_q\sigma\) liegt, also bei hohem Servicegrad oder schiefer Verteilung. Dann kann \(V\) über \(\sqrt{n}\) liegen. Das heißt nicht, dass der gemeinsame Bestand klein ist, nur dass er im Verhältnis zum großen Einzelbestand kleiner ausfällt. \(V\) kann auch unter 1 liegen.

Befunde

Alle Werte sind Messwerte der Demo; Servicegrad 95 %, wo nicht anders genannt. Die Faltung ist ein deterministischer Lauf je Zelle. Monte Carlo benutzt eine vorgerechnete Tabelle mit 5 Zufalls-Seeds (100000 bis 100004) und 400.000 Ziehungen je Zelle. Der erste Block gilt der Normalverteilung und der Korrelation:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Normal, Servicegrad 95 %	V = √n für n = 2 bis 256 (Faltung innerhalb 0,3 %)
Normal, n = 8, 95 %	Einzelbestände zusammen 263,2 Stück, gemeinsamer Bestand 93,0 Stück
Korrelation (Normal)	n = 8, ρ = 0,5: V = 1,33 (statt 2,83); für beliebig viele Standorte höchstens 1/√0,5 = 1,41; ρ = 1: V = 1

Schwere Tails, Servicegrad 95 %:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Pareto α = 1,5, n = 32	V = 2,19 statt √32 = 5,66, das sind 39 % davon; Monte Carlo Minimum bis Maximum über 5 Seeds 2,17 bis 2,20
Student-t ν = 3, n = 32	V = 4,87; Monte Carlo 4,86 bis 4,90
Wie viele der 8 festen Verteilungen haben einen Vorteil V unter 0,95 · √n?	5 von 8 bei n = 8, n = 32 und n = 256 (nicht: Normal, Student-t ν = 10, Lognormal σ = 0,5); am niedrigsten Pareto α = 1,5 mit V = 4,12 bei n = 256 (26 % von √256). Die Zahl hängt an der Schwelle 5 % und am Servicegrad 95 %, bei 99 % sind es 2 von 8
Rangfolge bei n = 32 (aufsteigend)	Pareto 1,5 (2,19) < Pareto 2 (3,34) < Pareto 3 (4,64) < Student-t 3 (4,87) < Lognormal σ = 1 (5,12) < Student-t 10 (5,58) < Normal (5,66) < Lognormal σ = 0,5 (6,20)
V unter 1	Pareto α = 1,2, Servicegrad 90 %, n = 16: V = 0,55 (gemeinsamer Bestand größer als alle Einzelbestände zusammen)

Servicegrad und endliche Varianz:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Servicegrad (n = 32, 8 Verteilungen)	V steigt von 90 auf 99,9 % bei 7 von 8 Verteilungen; bei Normal gleich. Pareto 1,5: 1,62 auf 3,09; Student-t 3: 4,45 auf 8,45
Endliche Varianz, hoher Servicegrad	Pareto α = 3, Servicegrad 99,9 %: Steigung 0,63 (über 1/2), V(256)/√256 = 1,97, Grenzwert für n → ∞ 3,18; Student-t 3, n = 16, 99 %: V = 4,31 > √16. In 6 von 6 Zellen (Pareto 3, Student-t 3, Lognormal σ = 1 bei 99 und 99,9 %) liegt die Steigung im Bereich n = 64 bis 256 über 1/2, bei Student-t 3 und 99 % nur knapp (0,508)
Faktor über 1 schon bei 95 %	Lognormal σ = 0,5: Grenzwert von V/√n 1,15

Asymptotik bei Tail-Index unter 2 (Pareto α = 1,2 / 1,5 / 1,8, Student-t ν = 1,5; Servicegrad 95 / 99 / 99,9 %, zusammen 12 Zellen). Die Steigung stimmt, das Niveau nicht:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Steigung n = 64 bis 256 gegen (α − 1)/α	In 12 von 12 Zellen höchstens 0,05 neben dem Exponenten; Pareto 1,5: 0,309 bei 95 %, 0,332 bei 99,9 % (asymptotisch 0,333); bei 95 % liegt die Steigung bis 0,048 neben dem Exponenten, bei 99,9 % höchstens 0,015
Niveau gegen die Potenzfunktion durch V(1) = 1	V(256) liegt in allen 12 Zellen unter 256^e, in 6 von 12 unter 90 % davon (Pareto 1,5, Servicegrad 95 %: 65 %; 99,9 %: 97 %)

Das ist ein Negativbefund gegenüber der ursprünglichen Erwartung: Die Vormessung (Pareto α = 1,5, n = 32: 2,17) verglich das Niveau mit 32^(1/3) und hätte asymptotisch 3,17 erwartet. Die Steigung bestätigt die Asymptotik, das Niveau bei n bis 256 nicht; der Abstand von 3,17 zu 2,19 ist ein Niveauunterschied, kein Widerspruch zur Steigung.

Prüfung der Rechenwege:

Frage	Befund (Voraussetzung)
Faltung gegen Monte Carlo	In allen 80 Zellen (8 Verteilungen, Servicegrad 95 und 99 %, n = 2 bis 32) liegt der Monte-Carlo-Median höchstens 1,5 % neben der Faltung und die Faltung innerhalb der Spanne Minimum bis Maximum der 5 Seeds
Gitterfeinheit	Pareto 1,5 / Student-t 1,5 / Lognormal 1 bei n = 64, 99 %: V ändert sich zwischen 2^16 und 2^19 Gitterpunkten um höchstens 0,3 %

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

• Die Befunde gelten nur für die gewählten Verteilungsfamilien, Skala 20, gleiche Standorte und unabhängige Wochen; geprüft wurde nur an erfundenen Verteilungen, nicht an echten Nachfragedaten.
• Die Korrelation ist nur für Normalverteilung gerechnet. Bei schweren Tails zeigt die Demo keine Korrelationswirkung.
• Der gemeinsame Bestand gilt als kostenlos erreichbar: Umlagerung, Transport und Lieferzeit gehen nicht ein.
• Die Definition des Vorteils zählt: Mit Quantil minus Mittelwert als Maß liegt \(V\) bei hohem Servicegrad und schiefer Verteilung über \(\sqrt{n}\) (Student-t 3 bei 99 %: V = 4,31 > √16); das sagt nichts über die absolute Größe des gemeinsamen Bestands.
• Das Niveau der Asymptotik wird bei Tail-Index unter 2 im getesteten Bereich nicht erreicht (V(256) bei Pareto 1,5 und 95 % bei 65 % der Potenzfunktion); nur die Steigung stimmt.
• Monte Carlo bei Servicegrad 99,9 % hat nur 400 Ziehungen oberhalb des Quantils je Zelle und einen großen Standardfehler. Die Faltung rechnet auf einem Gitter; reicht es nicht, zeigt die Demo kein Ergebnis.
• Deutungen („weil“) sind in der Demo als Deutung gekennzeichnet, nicht gemessen; die Ursache von V unter 1 ist nicht gemessen.

Quellen

• K. Bimpikis, M. G. Markakis: Inventory Pooling Under Heavy-Tailed Demand, Management Science 62(6), 2016, S. 1800 bis 1813 (Aussage \(n^{(\alpha-1)/\alpha}\) für stabile Nachfrage).

Bibliographische Angaben und Kernaussage sind nur anhand der Kurzfassung bestätigt; der Aufsatz selbst wurde nicht gelesen, Zahlen daraus sind nicht übernommen.