Beste Prognose, beste Menge verständlich erklärt

Ein Händler muss bestellen, bevor er weiß, wie viel gekauft wird, und eine fehlende Ware kostet ihn mehr als eine übrige. Wer dann einfach die durchschnittliche Nachfrage bestellt, zahlt unnötig drauf, selbst wenn seine Prognose genau stimmt. Diese Seite erklärt, warum, erst ohne Formeln, dann mit Rechnung und Grenzen für Fachleute.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Der Erdbeerstand

Stellen Sie sich einen Händler auf dem Wochenmarkt vor. Jeden Morgen bestellt er Kisten Erdbeeren, bevor er weiß, wie viele Kunden kommen. Was übrig bleibt, verdirbt: Eine überschüssige Kiste kostet ihn 1 Euro. Fehlt dagegen eine Kiste, entgeht ihm der Gewinn, und das sind 4 Euro. Beide Beträge sind ausgedacht, nur das Verhältnis zählt: 4 zu 1.

Nehmen wir an, die Nachfrage liegt an einem Tag bei 2 Kisten, an einem anderen bei 4, 6, 8 oder 10, und jeder dieser fünf Fälle ist gleich wahrscheinlich. Der Durchschnitt, die Mitte, ist 6 Kisten. Die meisten würden daher 6 Kisten bestellen.

Was die Mitte kostet

Wir rechnen das Beispiel durch. Die Tabelle zeigt, was an jedem der fünf Tage anfällt, wenn der Händler 6 Kisten bestellt und wenn er 8 bestellt.

Nachfrage an dem Tag	Kosten bei 6 Kisten	Kosten bei 8 Kisten
2 Kisten	4 Euro (4 übrig)	6 Euro (6 übrig)
4 Kisten	2 Euro (2 übrig)	4 Euro (4 übrig)
6 Kisten	nichts	2 Euro (2 übrig)
8 Kisten	8 Euro (2 fehlen)	nichts
10 Kisten	16 Euro (4 fehlen)	8 Euro (2 fehlen)
Durchschnitt der fünf Tage	6 Euro	4 Euro

Mit 6 Kisten zahlt der Händler im Durchschnitt 6 Euro am Tag, mit 8 Kisten nur 4 Euro. Die Mitte kostet also 2 Euro mehr am Tag als die beste Menge, bezogen auf deren 4 Euro sind das 50 % mehr. Auch 10 Kisten kosten im Durchschnitt 4 Euro: Jede Menge von 8 bis 10 ist gleich gut.

Der Grund steht in der Tabelle: Die Mitte behandelt Zuviel und Zuwenig gleich, die Kasse nicht. Zwei Kisten zu viel kosten 2 Euro, zwei Kisten zu wenig 8 Euro. Darum lohnt es sich, lieber etwas mehr zu bestellen.

Prognose und Bestellung sind zweierlei

Eine Prognose wird meist daran gemessen, wie nah sie an der Wirklichkeit liegt. Für den Händler zählt aber, was seine Bestellung kostet. Der Aufpreis gegenüber der besten Menge sind die Mehrkosten (Fachwort: Regret). Im Beispiel sind es 2 Euro am Tag. Wie gut die Prognose ist und wie gut die Bestellung ist, sind also zwei verschiedene Fragen. Die Bestellung hängt auch an der Regel, die aus der Prognose eine Menge macht.

Was hilft?

Die beste Menge hängt von beiden Kosten ab. Kostet eine fehlende Kiste 4 Euro und eine übrige 1 Euro, soll die Bestellung an vier Fünfteln der Tage reichen, also an 4 von 5 Tagen: 4 Euro von zusammen 5 Euro (4 plus 1). Man bestellt nicht die Mitte, sondern die kleinste Menge, bei der nur an 1 von 5 Tagen etwas fehlt (Fachwort: Quantil). Im Beispiel sind das 8 Kisten: Nur am Tag mit 10 Kisten fehlen 2.

Im Alltag gibt es mehr als fünf mögliche Nachfragen. Dann bestellt man die Prognose plus einen Zuschlag. Beispiel: Schwankt die Nachfrage glockenförmig und typischerweise um 10 Kisten um die Prognose, beträgt der Zuschlag bei 4 zu 1 etwa 8 Kisten. Kosten beide Fehler gleich viel, ist er null. Die Schwankung schätzt man aus früheren Abweichungen der Prognose vom Absatz, die Kosten kennt der Betrieb aus Marge und Abschreibung.

Was das Programm zum Ausprobieren zeigt

Ein Programm zum Ausprobieren (die Demo) rechnet das mit erfundener Nachfrage durch. In ihrer Welt kennt das Modell die Nachfrage richtig; nur die Bestellregel unterscheidet sich. Wer bei Kosten im Verhältnis 4 zu 1 die Mitte bestellt, zahlt trotzdem mehr als nötig, und mehr Daten senken den Aufpreis nur bis zu einer festen Grenze. Die Regel mit Zuschlag kommt bei vielen Daten auf weniger als 1 % Mehrkosten.

Häufige Missverständnisse

• „Die Bestellung war teuer, also war die Prognose schlecht.“ Nicht unbedingt. Im Beispiel liegt die Prognose richtig, und die Bestellung ist trotzdem teurer als nötig. Der Fehler sitzt in der Regel, die aus der Prognose eine Menge macht.
• „Bei gleichen Kosten genügt der Durchschnitt.“ Nur, wenn die Nachfrage nach oben und unten ähnlich schwankt. In einem Beispiel der Demo hat eine Reihe von Nachfragen einen einzelnen sehr hohen Wert, und der Durchschnitt kostet 36 % mehr als die beste Menge (bezogen auf deren Kosten, wie bei den 50 % oben), obwohl eine fehlende und eine übrige Einheit gleich viel kosten.
• „Mit mehr Daten verschwindet der Aufpreis.“ Nein. In der Demo sinkt er für den Durchschnitt nur bis zu einer festen Grenze, die die Regel selbst setzt. Mehr Daten verbessern die Schätzung, nicht die Regel.

Woran Sie das Muster erkennen

• Die Prognose ist gut, die Kosten der Bestellung sind trotzdem hoch.
• Fehlende und überschüssige Ware kosten unterschiedlich viel.
• Zählen Sie nach, an wie vielen von 5 Tagen die Menge nicht reichte. Bei 4 Euro gegen 1 Euro sollte das an 1 von 5 Tagen so sein. Wer die Mitte bestellt, hat bei Nachfrage, die nach oben und unten gleich stark schwankt, an etwa 1 von 2 Tagen zu wenig, denn an jedem zweiten Tag liegt die Nachfrage über der Mitte.

Merksatz: Ungleiche Kosten verlangen eine Menge, die nicht in der Mitte der Nachfrage liegt.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Es ist ein Rechenbild mit gewählten Annahmen: ausgedachte Nachfrage, ein Produkt, ein Tag, keine Verbindung zwischen den Tagen. Die Zahlen gelten für diese erfundene Welt, nicht für echte Lager.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er behandelt den Newsvendor mit Merkmalen: Eine Menge \(q\) wird bestellt, bevor die Nachfrage \(D\) bekannt ist; jede fehlende Einheit kostet \(b\), jede überschüssige \(h\). Das übliche zweistufige Vorgehen schätzt zuerst die Nachfrage aus Merkmalen \(x\) und Daten und macht dann mit einer Regel aus der Prognose eine Menge. Gefragt ist, was diese Regel kostet, wenn das Modell selbst richtig ist. Die Annahmen:

• Kosten: \(C(q, D) = b\,(D - q)^+ + h\,(q - D)^+\) mit dem kritischen Verhältnis \(\tau = b/(b+h)\). Das Handbeispiel hat \(b = 4\), \(h = 1\), also \(\tau = 0{,}8\).
• Beste Menge: das \(\tau\)-Quantil der bedingten Nachfrage. Bei Gleichstand (die Verteilungsfunktion ist auf einer Strecke gleich \(\tau\)) nennt die Demo die kleinste optimale Menge und zeigt die Strecke; Toleranz \(10^{-9}\) auf die Kosten.
• Regret: die erwarteten Kosten der gewählten Menge minus die der besten, gemittelt über Testpunkte. Angegeben wird er als Mehrkosten in Prozent der Kosten der besten Menge.
• Zelle: eine Menge fester, gleich wahrscheinlicher Nachfragen. Verwendet werden das Handbeispiel 2, 4, 6, 8, 10 und eine schiefe Zelle 3, 4, 4, 5, 6, 24.
• Welt: \(D = \max(0,\, 60 + 10\,\beta^\top x + 8 z)\) mit \(x\) standardnormal in \(p \in \{3, 10\}\) Merkmalen, \(\beta\) gleichverteilt in \([-1, 1]^p\) und auf Länge 1 normiert, \(z \sim \mathcal N(0, 1)\). Das lineare Modell ist richtig spezifiziert, die Streuung konstant. Trainingsfälle: \(n \in \{30, 100, 1000\}\).
• Regeln: Mittel bestellen (die Prognose \(\hat y\) des Kleinste-Quadrate-Modells als Menge) und KQ plus Normalquantil (\(\hat y\) plus \(z_\tau\) mal der gepoolten Reststreuung \(\hat\sigma\) mit \(n - p - 1\) Freiheitsgraden). Mengen werden bei 0 abgeschnitten; das betrifft 20 von 14,4 Millionen Testmengen, die kleinste ist −13,3.
• Auswertung: Die Kosten der Entscheidung werden je Testpunkt exakt aus der Normalverteilung gerechnet (geschlossene Form mit Stutzung bei 0), mit 20 000 Testpunkten je Zufalls-Seed und 30 festen Zufalls-Seeds (0 bis 29). Der Maßstab ist die wahre Quantilregel \(\max(0, \mu(x) + 8 z_\tau)\). Der Zufall kommt aus einem ganzzahligen SplitMix64-Strom, der auf jeder Plattform gleich ist.

Die Formeln

Kosten und beste Menge. Die Kosten sind linear in der Abweichung, mit dem Gewicht \(b\) nach unten und \(h\) nach oben. Die beste Menge ist das kleinste \(q\), bei dem die bedingte Verteilungsfunktion \(\tau\) erreicht:

\[C(q, D) = b\,(D - q)^+ + h\,(q - D)^+, \qquad \tau = \frac{b}{b + h}\]

\[q^*(x) = \min\{\, q : F_{D \mid x}(q) \ge \tau \,\}\]

Regret. Der Regret einer Regel \(q(\cdot)\) sind ihre erwarteten Kosten minus die der besten Regel \(q^*\); die Mehrkosten setzen ihn in Prozent zu den besten Kosten.

\[\mathrm{Regret}(q) = \mathbb{E}\big[C(q(X), D)\big] - \mathbb{E}\big[C(q^*(X), D)\big], \qquad \text{Mehrkosten} = 100 \cdot \frac{\mathrm{Regret}}{\mathbb{E}[C(q^*(X), D)]}\]

Zweistufige Regeln. Beide Regeln nutzen dieselbe Kleinste-Quadrate-Prognose \(\hat y\); sie unterscheiden sich nur darin, ob die Reststreuung \(\hat\sigma\) in die Menge eingeht:

\[q_{\text{Mittel}}(x) = \hat y(x), \qquad q_{\text{Quantil}}(x) = \hat y(x) + z_\tau\,\hat\sigma, \qquad \hat\sigma^2 = \frac{1}{n - p - 1}\sum_i (D_i - \hat y(x_i))^2\]

Erwartete Kosten. Für \(Y \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\) ohne Stutzung und \(d = (q - \mu)/\sigma\) gilt:

\[\mathbb{E}\,C(q, Y) = \sigma\Big[(b + h)\,\varphi(d) + d\,\big((b + h)\,\Phi(d) - b\big)\Big]\]

Mit Stutzung \(D = \max(0, Y)\) und \(q \ge 0\) kommt der Abzug \(h\,\sigma\,[\varphi(d_0) + d_0\,\Phi(d_0)]\) mit \(d_0 = -\mu/\sigma\) hinzu.

Verschobene Prognose. Die Prognose \(q = \mu + s\sigma\) hat den Quadratfehler und die Kosten

\[\mathbb{E}(Y - q)^2 = \sigma^2\,(1 + s^2), \qquad \mathbb{E}\,C = \sigma\Big[(b + h)\,\varphi(s) + s\,\big((b + h)\,\Phi(s) - b\big)\Big]\]

Die Ableitung der Kosten nach \(s\) ist \(\sigma\,[(b + h)\Phi(s) - b]\) und verschwindet bei \(\Phi(s) = \tau\), also bei \(s = z_\tau\). Der Quadratfehler hat sein Minimum bei \(s = 0\). Das wahre Mittel kostet damit

\[\frac{\mathbb{E}\,C(\mu)}{\mathbb{E}\,C(\mu + z_\tau\sigma)} = \frac{\varphi(0)}{\varphi(z_\tau)} = e^{z_\tau^2/2}, \qquad \text{Mehrkosten des Mittels} = 100\,\big(e^{z_\tau^2/2} - 1\big)\ \%\]

Das gilt für die Normalverteilung ohne Stutzung und das exakte Mittel; es ist unabhängig von \(\mu\), \(\sigma\) und, bei festem \(\tau\), von \(b\) und \(h\).

Herleitungen Schritt für Schritt

Die folgenden Herleitungen und durchgerechneten Beispiele sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen. Wo die Demo dieselbe Aussage prüft, steht es dabei.

Warum die beste Menge ein Quantil ist.

• Schritt 1: Die erwarteten Kosten sind \(b\,\mathbb{E}(D - q)^+ + h\,\mathbb{E}(q - D)^+\). Eine kleine Erhöhung von \(q\) spart \(b\) in den Fällen, in denen \(D\) über \(q\) liegt, und kostet \(h\) in den übrigen.
• Schritt 2: Die Ableitung nach \(q\) ist daher \(-b\,P(D > q) + h\,P(D \le q) = (b + h)\,F(q) - b\), mit der Verteilungsfunktion \(F\) der Nachfrage.
• Schritt 3: Sie ist nichtnegativ genau dann, wenn \(F(q) \ge b/(b+h) = \tau\). Die Kosten fallen also, solange \(F(q) < \tau\), und steigen danach: das Minimum liegt beim kleinsten \(q\) mit \(F(q) \ge \tau\). Ist \(F = \tau\) auf einer Strecke, sind alle Mengen der Strecke gleich gut.

Warum das Mittel meist nicht reicht. Das Mittel minimiert den Quadratfehler, denn \(\mathbb{E}(D - q)^2 = \operatorname{Var}(D) + (q - \mathbb{E}D)^2\). Es ist die beste Menge nur, wenn \(F(\mathbb{E}D) = \tau\) gilt. Bei symmetrischer Nachfrage ist \(F(\mathbb{E}D) = 1/2\), also genügt das Mittel bei \(\tau = 1/2\), das heißt bei \(b = h\). Bei \(\tau \ne 1/2\) liegt die beste Menge im Quantil oberhalb oder unterhalb des Mittels; bei schiefer Nachfrage kann auch \(b = h\) nicht genügen.

Durchgerechnet: das Handbeispiel. Nachfragen 2, 4, 6, 8, 10, je mit Wahrscheinlichkeit \(1/5\), \(b = 4\), \(h = 1\), also \(\tau = 0{,}8\). Rechnung dieser Seite, die Demo prüft dieselben Zahlen:

Menge	Kosten an den fünf Nachfragen	Mittel der Kosten
Menge 6 (das Mittel)	4, 2, 0, 8, 16	Mittel 30/5 = 6,00
Menge 8 (das \(\tau\)-Quantil)	6, 4, 2, 0, 8	Mittel 20/5 = 4,00
Menge 10	8, 6, 4, 2, 0	Mittel 20/5 = 4,00

Die Verteilungsfunktion ist \(F(8) = 4/5 = 0{,}8 = \tau\), jede Menge von 8 bis 10 ist optimal, und die Demo nennt die kleinste, 8. Das Mittel kostet \((6{,}00 - 4{,}00)/4{,}00 = 50{,}0\) % mehr. Mit \(b = 19\) (also \(\tau = 0{,}95\)) kostet das Mittel 24,00, die beste Menge 10 kostet 4,00: 500,0 % mehr.

Durchgerechnet: die schiefe Zelle. Nachfragen 3, 4, 4, 5, 6, 24, gleich wahrscheinlich, \(b = h = 1\). Dann sind die Kosten die mittlere Abweichung von der Menge. Bei Menge 4 sind die sechs Abweichungen 1, 0, 0, 1, 2, 20, zusammen 24, im Mittel 4,00. Das Mittel der Nachfragen 7,67 kostet 5,44. Mehrkosten: 36,1 %, obwohl die Kosten symmetrisch sind, denn das Mittel ist hier nicht der Median.

Warum das Mittel \(e^{z_\tau^2/2} - 1\) kostet.

• Schritt 1: Für \(q = \mu + s\sigma\) sind die erwarteten Kosten \(\sigma[(b + h)\varphi(s) + s((b + h)\Phi(s) - b)]\), siehe oben.
• Schritt 2: Bei \(s = 0\) fällt der zweite Summand weg: \(\sigma\,(b + h)\,\varphi(0)\).
• Schritt 3: Bei \(s = z_\tau\) ist \(\Phi(s) = \tau\), also \((b + h)\tau - b = 0\), und es bleibt \(\sigma\,(b + h)\,\varphi(z_\tau)\).
• Schritt 4: Der Quotient ist \(\varphi(0)/\varphi(z_\tau)\) mit \(\varphi(u) = e^{-u^2/2}/\sqrt{2\pi}\), also \(e^{z_\tau^2/2}\). Die Faktoren \(\sigma\) und \(b + h\) stehen in Zähler und Nenner und kürzen sich. Wegen \(\tau = b/(b+h)\) hängt der Quotient bei festem \(\tau\) nicht von \(b\) und \(h\) ab.

Durchgerechnet. Bei \(\tau = 0{,}5\) ist \(z_\tau = 0\) und der Aufschlag 0 %. Bei \(\tau = 0{,}8\) ist \(z_\tau = 0{,}84\) und der Aufschlag 42,5 %, bei \(\tau = 0{,}95\) ist \(z_\tau = 1{,}64\) und er beträgt 286,8 %. Mit den gerundeten Werten \(0{,}84\) und \(1{,}64\) rechnet man ein wenig anders; die Prozentwerte rechnet die Demo mit den ungerundeten Quantilen. Der Quadratfehler der besten Menge ist gegenüber dem Minimum um den Anteil \(z_\tau^2\) größer, denn \(\sigma^2(1 + s^2)\) steigt von \(s = 0\) auf \(s = z_\tau\) um den Faktor \(1 + z_\tau^2\): 70,8 % bei \(\tau = 0{,}8\) und 270,6 % bei \(\tau = 0{,}95\), wie die Demo es zeigt.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der Demo. Wo nicht anders angegeben, gilt: Welt wie oben, 30 feste Zufalls-Seeds, 20 000 Testpunkte je Zufalls-Seed, Mehrkosten gegen die wahre Quantilregel. „Median [Minimum; Maximum]“ meint die 30 Zufalls-Seeds.

Frage	Befund
Handbeispiel (\(b = 4\), \(h = 1\), Nachfragen 2, 4, 6, 8, 10)	Das Mittel 6 kostet 6,00; die Mengen 8 bis 10 kosten je 4,00. Die Mitte kostet 50,0 % mehr. Mit \(b = 19\): Mittel 24,00, beste Menge 10 mit 4,00, 500,0 % mehr.
Schiefe Zelle (3, 4, 4, 5, 6, 24; \(b = h = 1\))	Das Mittel 7,67 kostet 5,44, die beste Menge (4 bis 5) kostet 4,00: 36,1 % mehr.
Das exakte Mittel als Menge (Normalverteilung ohne Stutzung)	Mehrkosten exakt \(e^{z^2/2} - 1\): 0 / 42,5 / 286,8 % bei \(\tau\) = 0,5 / 0,8 / 0,95. In der Welt der Demo liegt das wahre Mittel in allen 18 Zellen (\(p\), \(n\), \(\tau\)) und in jedem der 30 Zufalls-Seeds auf dieser Formel (Abweichung höchstens 0,01 Punkte).
Mittel bestellen, \(p = 3\), \(n = 1000\)	0,1 [0,0; 0,5] / 42,5 [36,7; 47,5] / 286,7 [262,7; 306,6] % bei \(\tau\) = 0,5 / 0,8 / 0,95.
KQ plus Normalquantil, \(p = 3\), \(n = 1000\)	0,1 [0,0; 0,5] / 0,1 [0,0; 0,6] / 0,2 [0,0; 0,8] %.
Dasselbe bei \(p = 10\), \(n = 1000\)	Mittel bestellen 0,5 [0,3; 1,3] / 42,9 [36,8; 48,2] / 287,5 [263,0; 308,0] %; KQ plus Normalquantil 0,5 / 0,5 / 0,6 % (Maximum 1,3).
Datenmenge, \(p = 3\), \(\tau = 0{,}8\)	Mittel bestellen bei \(n\) = 30 / 100 / 1000: 50,2 / 47,3 / 42,5 %; KQ plus Normalquantil: 6,4 / 2,3 / 0,1 %. Bei \(\tau = 0{,}95\): Mittel 312,9 / 301,6 / 286,7 %, Quantilregel 10,0 / 3,0 / 0,2 %.
Wenig Daten, viele Merkmale (\(p = 10\), \(n = 30\))	KQ plus Normalquantil 21,2 / 29,0 / 38,2 % bei \(\tau\) = 0,5 / 0,8 / 0,95, Mittel bestellen 21,2 / 78,9 / 390,8 %. Maximum der Bänder bei \(\tau = 0{,}95\): 100,7 % (Quantilregel) und 559,4 % (Mittel).
Verschobene Prognose (Normalverteilung ohne Stutzung)	Die Kosten sind bei \(s = z_\tau\) minimal (\(z_\tau\) = 0,84 bei \(\tau = 0{,}8\), 1,64 bei \(\tau = 0{,}95\)). Die Prognose mit dem kleinsten Quadratfehler (\(s = 0\)) kostet 42,5 / 286,8 % mehr als die beste Menge; die beste Menge hat einen um 70,8 / 270,6 % größeren Quadratfehler.
Vergleich mit einer früheren Messung (anderer Zufallsstrom, Kosten an gezogenen Nachfragen, ebenfalls 30 Zufalls-Seeds)	Für Mittel bestellen bei \(p = 3\), \(n = 1000\): 0,2 / 44,2 [34,8; 48,8] / 292,9 [256,9; 312,5] %, für KQ plus Normalquantil 0,2 / 0,2 / 0,2 %. In allen 18 Zellen und beiden Regeln, also 36 Vergleichen, liegt der Median jeder Messung im Minimum-Maximum-Band der anderen: 36 von 36 in beide Richtungen.

Zählungen über die Zellen (\(p \in \{3, 10\}\), \(n \in \{30, 100, 1000\}\), \(\tau \in \{0{,}5;\ 0{,}8;\ 0{,}95\}\)):

• Die Quantilregel liegt bei \(n = 1000\) im Median in 6 von 6 Zellen unter 1 % Mehrkosten (größter Median 0,6 %); über die Zufalls-Seeds reicht das Band bis 1,3 %.
• Bei \(\tau = 0{,}5\) sind beide Regeln in 6 von 6 Zellen gleich, weil \(z_{0{,}5} = 0\).
• Bei \(\tau = 0{,}8\) und \(0{,}95\) liegt das Mittel in 12 von 12 Zellen im Median mindestens 42 Punkte über der Quantilregel (kleinster Abstand 42,3 Punkte bei \(p = 10\), \(n = 1000\), \(\tau = 0{,}8\)).
• Bei \(n = 1000\) liegt der Median des Mittels in den vier Zellen (\(p \in \{3, 10\}\), \(\tau \in \{0{,}8;\ 0{,}95\}\)) höchstens 0,8 Punkte über dem Wert \(e^{z^2/2} - 1\) des exakten Mittels; bei \(n = 30\) und \(n = 100\) liegt er in 8 von 8 Zellen darüber.
• Der Median der Quantilregel fällt mit \(n\) = 30, 100, 1000 in 6 von 6 Reihen (\(p\) mal \(\tau\)) streng.

Grenzen und was die Messung zeigt

Was sie belegt:

• Für normalverteilte Nachfrage ohne Stutzung die exakte Untergrenze \(e^{z_\tau^2/2} - 1\) für das exakte Mittel: eine Rechnung, in der Demo zusätzlich durch Aufzählung gegen gleich wahrscheinliche Nachfragen geprüft.
• In der einen Welt der Demo: Das Mittel kostet bei ungleichen Kosten auch mit richtigem Modell und 1000 Trainingsfällen im Median 42,5 bzw. 286,7 % mehr (\(\tau\) = 0,8 bzw. 0,95, \(p = 3\)), die Quantilregel unter 1 %; die Reihenfolge beider Regeln gilt in allen 12 Zellen mit \(\tau \ne 0{,}5\).
• Der Median des Mittels liegt bei kleinem \(n\) in allen 8 Zellen über der Untergrenze. Dass der Schätzfehler die Ursache ist, ist eine Deutung: Gemessen ist nur, dass das exakte Mittel in allen Seeds auf der Formel liegt.

Was sie nicht belegt, und die Grenzen:

• Eine Welt: Normalrauschen, Stutzung bei 0, lineares und richtig spezifiziertes Modell, konstante Streuung, \(p \in \{3, 10\}\), \(n \in \{30, 100, 1000\}\), eine Periode ohne Kopplung zwischen Merkmalszeilen. Keine Messung mit Echtdaten.
• KQ plus Normalquantil ist hier die richtige Regel, nicht die Regel schlechthin: In der früheren Messung (Welt mit wachsender Streuung, \(p = 3\), \(n = 1000\), \(\tau = 0{,}95\)) kostet sie 33,7 % mehr als die wahre Quantilregel; diese Welt ist in der Demo nicht nachgebaut, und es ist eine Streuungsform, eine Messung.
• Gültigkeit der Untergrenze: Für andere Verteilungen als die Normalverteilung ist sie nicht gemessen, und sie gilt nur im Erwartungswert für das exakte Mittel; einzelne Zufalls-Seeds mit geschätzter Prognose können darunter liegen.
• Breite Bänder: Der Median sagt wenig über eine einzelne Instanz. Bei \(p = 3\), \(n = 30\), \(\tau = 0{,}95\) reicht Mittel bestellen von 155,0 bis 490,6 %, die Quantilregel von 1,1 bis 35,6 %.
• Zwei Regeln, kein vollständiger Methodenvergleich: verglichen werden das Mittel und die Quantilregel mit Normalquantil. Ein empirisches Residuenquantil, direktes Lernen der Menge auf den Kosten und regularisierte Verfahren sind nicht in der Demo.
• Schiefe Nachfrage: „Bei symmetrischen Kosten genügt das Mittel“ ist eine Aussage über symmetrische Nachfrage: 36,1 % Mehrkosten in der schiefen Zelle, 0,1 % bei \(p = 3\), \(n = 1000\) in der Welt.
• Nebenbedingungen: Bei einem Löser mit Nebenbedingungen (etwa ein Weg im Netz) ist die beste Entscheidung das Ergebnis eines Optimierungsproblems; die Quantilformel dieser Seite gilt dort nicht.
• Bekannte gegen geschätzte Verteilung: Wer die Verteilung kennt, fragt nach dem Wert der Information; hier ist sie unbekannt und wird aus Daten geschätzt.

Quellen

• Das kritische Verhältnis \(b/(b+h)\) ist das klassische Ergebnis des Newsvendor-Modells.

Eine einzelne Fundstelle dazu nennt die Demo nicht, und für diese Seite wurde keine Literatur nachgeschlagen. Die Zahlen dieser Seite sind Rechnungen und Messungen der Demo oder Rechnungen dieser Seite; keine Aussage stützt sich auf eine Quelle.