Zahlungsketten verständlich erklärt
Ein Verlader zahlt seine Rechnung nicht, und dem Spediteur fehlt das Geld, mit dem er seinen Subunternehmer bezahlen wollte. Kann der nun seinerseits nicht zahlen, trifft es den Nächsten. Ob aus einem Zahlungsausfall eine Kette wird, hängt von der Form des Netzes aus Schulden ab und davon, wie viel Puffer jeder Betrieb hat. Überraschend: Das dichteste Netz, in dem jeder jedem schuldet, fängt kleine Ausfälle ganz ab und kippt erst an einer Schwelle, dann aber für alle auf einmal.
Zuletzt aktualisiert:
Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.
Wenn ein Kunde nicht zahlt
Stellen Sie sich eine Spedition vor. Sie wartet auf das Geld eines großen Verladers und will damit ihre Subunternehmer bezahlen. Die zahlen davon ihre Fahrer, den Diesel und wieder einen weiteren Subunternehmer. Betriebe schulden einander Geld mit Zahlungsziel: Die Rechnung ist gestellt, bezahlt wird später. So entsteht ein Netz aus Schulden, in dem jeder zugleich Schuldner und Gläubiger ist.
Zahlt der Verlader nicht, fehlt der Spedition das Geld. Zahlt sie deshalb dem Subunternehmer nur einen Teil, fehlt es dort. Ein Zahlungsausfall kann so von Betrieb zu Betrieb weiterlaufen: Das ist eine Ausfallkette. Die Demo zu dieser Seite ist ein Programm zum Ausprobieren im Browser (Link am Ende dieses Teils). Sie fragt, wie weit eine Kette läuft und was darüber entscheidet.
Einen solchen Anstoß nennt die Demo einen Schock: Ein Betrieb verliert Geld von außen, also Geld, das nicht von anderen Betrieben im Netz kommt, etwa weil ein Endkunde nicht zahlt oder ein Auftrag wegfällt.
Jeder zahlt, was er hat
Die Demo rechnet nach einer einfachen Regel aus, wer wie viel zahlt: Jeder Betrieb zahlt, was er hat, höchstens aber seine Schuld. „Was er hat“ ist sein Geld von außen plus das, was seine Schuldner ihm zahlen. Bekommt er weniger herein, zahlt er weniger heraus, und das schwächt wieder seine Gläubiger. Weil alles zusammenhängt, rechnet die Demo so lange weiter, bis sich nichts mehr ändert. Ein Betrieb gilt als ausgefallen, wenn er seine Schuld nicht voll zahlen kann.
Wichtig ist der Puffer: Jeder Betrieb hat etwas mehr Geld, als er für seine Schulden braucht. Damit fängt er einen Teil des Fehlbetrags auf und reicht nur den Rest weiter. Ohne Schock fällt deshalb niemand aus. Die Demo rechnet nur den Endzustand, nicht den zeitlichen Ablauf.
Die Form des Netzes entscheidet
Wer wem schuldet, bestimmt, wie weit ein Ausfall läuft. Die Demo vergleicht Netzformen:
- Ring: Jeder schuldet genau einem Betrieb, der nächste dem übernächsten, und der letzte wieder dem ersten, eine reine Kette.
- Zufallsnetz: Jeder schuldet einigen wenigen, zufällig gewählten Betrieben.
- Kern und Rand: Wenige zentrale Betriebe, etwa große Verlader oder eine Frachtbörse, bekommen von vielen kleinen Betrieben Geld und schulden selbst weniger.
- Dichtes Netz: Jeder schuldet jedem etwas.
Robust und zerbrechlich zugleich
Im dichten Netz verteilt sich die Schuld eines getroffenen Betriebs auf alle anderen. Jeder verliert nur einen kleinen Anteil, und der Puffer fängt ihn auf. Bei einem kleinen Schock fallen deshalb nur die getroffenen Betriebe selbst aus, besser als im Ring und im Zufallsnetz. Doch es gibt eine Schwelle: Ist der Schock größer, reicht bei den vielen anderen der Puffer nicht mehr, und alle fallen auf einmal aus. Bis zur Schwelle robust, danach zerbrechlich. Die Demo gibt die Schwelle als Formel an und prüft sie nach.
Im Ring fängt jeder Betrieb nur seinen eigenen Puffer auf und reicht den Rest weiter. Schon ein kleiner Schock läuft daher durch mehrere Betriebe, und je größer er im Vergleich zum Puffer ist, desto länger wird die Kette. Das heißt nicht, dass im Ring immer alle ausfallen: In der Demo verliert der Ring bei zufällig getroffenen Betrieben im Durchschnitt nicht alle. Treffen starke Schocks aber Betriebe, die gleichmäßig um den Ring verteilt sind, fallen alle aus.
Auch „dicht ist sicherer“ stimmt nicht allgemein. Es gilt im Vergleich zu Ring und Zufallsnetz, nicht im Vergleich zu Kern und Rand. In der Demo verliert dieses Netz bei mehreren Schocks sogar weniger als das dichte Netz. Die zentralen Betriebe haben mehr Forderungen als Schulden: Trifft es einen von ihnen, wird der Schock durch Zahlungseingänge aufgefangen. Nur getroffene Betriebe am Rand fallen aus.
Wenn ein Ausfall Werte vernichtet
Bisher bekamen die Gläubiger alles, was ein ausgefallener Betrieb noch hatte. Im Ernstfall kostet ein Ausfall selbst Geld: Verfahren, Verwertung, Wertverlust. Die Demo rechnet das vereinfacht, indem ein ausfallender Betrieb nur einen Anteil seiner Mittel weitergibt. Damit kippt auch der Ring: Schon ein mäßiger Schock bringt dort alle Betriebe zum Ausfall. Mit solchen Kosten ist auch nicht mehr in jedem Netz klar, welcher Endzustand sich einstellt.
Wie ernst sind die Zahlen der Demo zu nehmen?
Alle Netze der Demo sind erzeugt, es gibt keine Daten echter Betriebe. Alle Betriebe sind gleich groß und alle Schulden gleichrangig, es gibt keine Notverkäufe und keine Marktpreise. Die Ergebnisse zeigen, wie sich ein Ausfall in diesen Modellnetzen fortpflanzt, nicht wie ein echtes Zahlungsnetz reagiert.
Woran Sie das Muster im Betrieb erkennen können:
- Ein Betrieb gerät in Not, obwohl sein eigener Kunde zahlt: Vermutlich zahlt dessen Kunde nicht, die Kette ist in Gang.
- Je kleiner Ihr Puffer im Vergleich zum Ausfall, desto mehr geben Sie an die Nächsten weiter.
- Eine Branche, in der fast jeder jedem schuldet, steckt kleine Ausfälle gut weg, kann aber bei einem größeren plötzlich im Ganzen einbrechen.
- Wenn ein Ausfall Werte vernichtet, laufen Ketten weiter als gedacht.
Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.
Modell und Annahmen
Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.
- Netz: Firma \(i\) schuldet Firma \(j\) den Betrag \(W_{ij} \ge 0\), \(L_i = \sum_j W_{ij}\), \(\Pi_{ij} = W_{ij}/L_i\). Jede Firma schuldet insgesamt 1, alle Firmen sind gleich groß, alle Schulden gleichrangig. Es gibt eine Verrechnungsrunde ohne Zeit.
- Externe Mittel und Puffer: \(e_i = \max(1 - \text{Forderungen}_i, 0) + b\) mit Puffer \(b\), \(\text{Forderungen}_i = \sum_j W_{ji}\): Ohne Schock fällt niemand aus.
- Schock: \(k\) zufällige Firmen verlieren je \(s\), \(e_i \leftarrow e_i - s\).
- Netzformen: Ring, Zufall (3 Gläubiger), Kern–Rand (5 Kernfirmen, jede Randfirma schuldet zwei Kernfirmen je die Hälfte) und vollständig.
- Vergleich: Die Sweeps rechnen über feste Seeds (
SWEEP_SEEDS, 5 Seeds × 10 Läufe je Zelle, je Seed feste Netze und feste geschockte Firmen: Der Vergleich über \(s\) ist gepaart). Tabellen 1 und 4: \(n = 40\), \(b = 0{,}1\), 50 Läufe je Zelle. - Insolvenzkosten (vereinfacht): Eine ausfallende Firma zahlt nur den Anteil \(\alpha\) ihrer Mittel.
Die Formeln
Verrechnung. Ein Verrechnungsvektor \(p \in [0, L]\) erfüllt
\[p_i = \min\bigl(L_i,\ \max(e_i + \sum_j \Pi_{ji} p_j,\ 0)\bigr).\]
Die Abbildung ist monoton; der größte Fixpunkt ergibt sich durch Iteration von \(p = L\) aus. Eine Firma fällt aus, wenn \(p_i < L_i\). Für \(e \ge 0\) wird der Verrechnungsvektor mit dem LP \(\max \sum_i p_i\) unter \(p \le L\), \(p \le e + \Pi^\top p\) verglichen (Formulierung nach Eisenberg und Noe).
Ring, ein Schock. Der Fehlbetrag der geschockten Firma ist
\[d_0 = \min(s - b, 1),\]
jede Firma auf der Kette fängt \(b\) auf: Die Ausfälle sind \(\lceil d_0 / b \rceil\) Firmen (höchstens \(n\)).
Vollständiges Netz, \(k\) Schocks. Der Fehlbetrag einer geschockten Firma ist, solange er unter 1 liegt,
\[(s-b)(n-1)/(n-k).\]
Die übrigen Firmen verlieren daraus je \(k \cdot \text{Fehlbetrag}/(n-1)\); übersteigt das ihren Puffer \(b\), fallen alle aus. Das geschieht für \(s > s^*\) mit
\[s^* = b\,n/k,\]
und nur, wenn der größtmögliche Fehlbetrag 1 dafür reicht, also für
\[k > b\,(n-1).\]
Darunter fallen nur die \(k\) geschockten Firmen aus (eigene Herleitung der Demo, gegen die Verrechnung geprüft).
Insolvenzkosten. Eine Firma, die nicht voll zahlen kann, zahlt nur
\[\alpha \cdot \max(e_i + \sum_j \Pi_{ji} p_j, 0).\]
Die Abbildung bleibt monoton; der größte Fixpunkt ist der Verrechnungsvektor, kleinere Fixpunkte können existieren. Die Modellierung ist keine Nachbildung von Rogers und Veraart.
Befunde
Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py) und gelten für erzeugte Netze und die genannten Voraussetzungen. Die Prozentwerte sind Mittel über Läufe mit festen Seeds, also Stichprobenwerte.
| Frage | Befund |
|---|---|
| Was zeigt die Voreinstellung? | Vollständiges Netz, \(n = 40\), \(b = 0{,}1\), \(k = 4\), \(s = 0{,}9\), Seed 35: Die Verrechnung konvergiert nach 13 Schritten, 4 von 40 Firmen fallen aus, nur die geschockten. Bei \(s = 1{,}2\) fallen alle 40 aus. |
| Ist der Verrechnungsvektor eindeutig? | In 60 von 60 kleinen Zufallsnetzen (3 bis 5 Firmen, auch mit negativen externen Mitteln) steht der Iterationswert in der Liste, die die Aufzählung aller Zustandsmuster liefert (zahlt nichts / einen Teil / voll, je Muster ein lineares System); bei 40 von 40 Netzen, in denen jede Firma etwas schuldet, ist dieser Vektor der einzige. Gegen das LP stimmt er (e ≥ 0) in 60 von 60 Netzen auf 10⁻⁸ überein; größter und kleinster Fixpunkt sind in 80 von 80 Netzen gleich, auch mit negativen e. Das sind Stichproben mit festen Seeds, kein Beweis: Hat eine geschlossene Gruppe von Firmen externe Mittel von 0 (z. B. alle Firmen eines Rings oder vollständigen Netzes geschockt mit s = b), unterscheiden sich größter und kleinster Fixpunkt um 1,0. |
| Ist das dichte Netz unterhalb der Schwelle am sichersten? | Gegenüber Ring und Zufallsnetz ja, gegenüber Kern–Rand nicht: Das Kern–Rand-Netz verliert bei vier Schocks 8,7 % und damit weniger als das vollständige Netz (10,0 %), selbst oberhalb von dessen Schwelle (Tabelle 1); bei größerem Puffer kann auch das Zufallsnetz besser abschneiden. Die Kernfirmen halten Forderungen von mehreren Einheiten bei Schuld 1: Ein Schock auf sie wird durch Zahlungseingänge aufgefangen, nur geschockte Randfirmen fallen aus. |
| Wie viele Firmen verliert der Ring? | Bei vier zufällig gewählten Schocks im Mittel höchstens etwa 70 % (größter Mittelwert der Tabelle 1: 71,7 %), dafür schon bei kleinen Schocks viel; das ist ein Mittel, keine Grenze für jeden Lauf: Bei vier gleichmäßig verteilten Schocks (Firmen 0, 10, 20, 30) und s = 2,0 fallen alle 40 aus. |
| Stimmt die Ring-Formel? | Auf einem Raster von 1 724 Schockstärken (Schritt 0,005, b = 0,05; 0,1; 0,2) stimmen Formel und Verrechnung in jedem Punkt überein (Tabelle 2 zeigt Beispiele). |
| Stimmt die Schwellenformel? | Geprüft in 200 von 200 Fällen (n = 10, 20, 30, 40; b = 0,05 bis 0,3; k = 1 bis n/2): in 150 gibt es eine Kaskade (knapp unter \(s^*\) nur die \(k\) geschockten Firmen, knapp darüber alle), in 50 fallen auch bei s = 50 nur die geschockten aus. Der Fehlbetrag einer geschockten Firma ist unterhalb des Deckels 1 genau \((s - b)(n-1)/(n-k)\). |
| Was ändern Insolvenzkosten? | Im Ring macht schon ein Schock von 0,2 (das Doppelte des Puffers) mit Insolvenzkosten alle Firmen zahlungsunfähig; im vollständigen Netz sinkt die Schwelle geringfügig (α = 0,8: etwa 0,994 statt 1,0). Mit Kosten ist der Verrechnungsvektor nicht mehr eindeutig, aber nicht in jeder Netzform (Tabelle 4). |
Tabelle 1: Netzform gegen Schockstärke. Anteil ausgefallener Firmen in %, Mittel über 50 Läufe (Stichprobenwerte: beim Ring schwanken sie um etwa 1 bis 2 Punkte, die Reihenfolge der Netzformen bleibt). \(n = 40\), \(b = 0{,}1\), ohne Insolvenzkosten.
| k | Netzform | s = 0,1 | 0,5 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,5 | 2,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Ring | 0,0 % | 10,0 % | 20,0 % | 22,5 % | 25,0 % | 25,0 % | 25,0 % |
| 1 | Zufall (3 Gläubiger) | 0,0 % | 4,0 % | 4,8 % | 4,8 % | 5,4 % | 5,9 % | 6,0 % |
| 1 | Kern–Rand | 0,0 % | 2,2 % | 2,2 % | 2,2 % | 2,2 % | 2,2 % | 2,2 % |
| 1 | vollständig | 0,0 % | 2,5 % | 2,5 % | 2,5 % | 2,5 % | 2,5 % | 2,5 % |
| 4 | Ring | 0,0 % | 42,9 % | 68,2 % | 70,1 % | 71,7 % | 71,7 % | 71,7 % |
| 4 | Zufall (3 Gläubiger) | 0,0 % | 15,0 % | 20,6 % | 21,3 % | 23,2 % | 25,4 % | 26,5 % |
| 4 | Kern–Rand | 0,0 % | 8,7 % | 8,7 % | 8,7 % | 8,7 % | 8,7 % | 8,7 % |
| 4 | vollständig | 0,0 % | 10,0 % | 10,0 % | 10,0 % | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % |
Das ist der Befund „robust und zerbrechlich“ (Acemoglu, Ozdaglar, Tahbaz-Salehi 2015, nach Titel und Abstract): Im vollständigen Netz fallen in dieser Messung bei einem Schock nur die geschockten Firmen aus (2,5 % = 1 von 40), bei vier Schocks bis s = 1,0 nur diese vier (10,0 %), ab s = 1,1 alle.
Tabelle 2: Ring, ein Schock. Ausfälle nach der Formel \(\lceil \min(s - b, 1)/b \rceil\) und nach der Verrechnung (\(n = 40\), \(b = 0{,}1\)); jede Firma fängt den Puffer \(b\) des Fehlbetrags auf und reicht den Rest weiter.
| s | Formel | Verrechnung |
|---|---|---|
| 0,05 | 0 | 0 |
| 0,15 | 1 | 1 |
| 0,25 | 2 | 2 |
| 0,55 | 5 | 5 |
| 0,95 | 9 | 9 |
| 1,05 | 10 | 10 |
| 1,15 | 10 | 10 |
| 3,00 | 10 | 10 |
Tabelle 3: Schwelle des vollständigen Netzes (\(n = 40\)). Ausfallanteil knapp unter und knapp über \(s^* = b\,n/k\) (Abstand 0,002); eine Kaskade gibt es nur für \(k > b\,(n-1)\).
| b | k | b (n − 1) | s* | knapp darunter | knapp darüber |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,05 | 2 | 1,95 | 1,000 | 5,0 % | 100,0 % |
| 0,05 | 4 | 1,95 | 0,500 | 10,0 % | 100,0 % |
| 0,10 | 4 | 3,90 | 1,000 | 10,0 % | 100,0 % |
| 0,10 | 8 | 3,90 | 0,500 | 20,0 % | 100,0 % |
| 0,20 | 8 | 7,80 | 1,000 | 20,0 % | 100,0 % |
| 0,10 | 3 | 3,90 | – | keine Kaskade | – |
| 0,20 | 4 | 7,80 | – | keine Kaskade | – |
Tabelle 4: Insolvenzkosten (\(\alpha = 0{,}8\); \(k = 4\)). Ausfallanteil ohne / mit Kosten in %; letzte Spalte: Zahl der Netze mit mehreren Verrechnungsvektoren unter 100 Zufallsnetzen mit \(n = 20\), drei Schocks, \(s = 0{,}9\), \(b = 0{,}1\). Ring und vollständiges Netz sind fest, die 100 Läufe unterscheiden sich dort nur in den geschockten Firmen.
| Netzform | s = 0,2 | 0,5 | 1,0 | 2,0 | mehrere Vektoren |
|---|---|---|---|---|---|
| Ring | 10,9 % / 100,0 % | 42,9 % / 100,0 % | 70,1 % / 100,0 % | 71,7 % / 100,0 % | 0 von 100 |
| Zufall (3 Gläubiger) | 6,0 % / 7,7 % | 15,0 % / 19,7 % | 21,3 % / 34,2 % | 26,5 % / 39,9 % | 23 von 100 |
| Kern–Rand | 8,7 % / 8,7 % | 8,7 % / 8,7 % | 8,7 % / 8,7 % | 8,7 % / 8,7 % | 0 von 100 |
| vollständig | 10,0 % / 10,0 % | 10,0 % / 10,0 % | 10,0 % / 100,0 % | 100,0 % / 100,0 % | 0 von 100 |
Grenzen
- Eine Verrechnungsrunde ohne Zeit: Die Demo rechnet den Endzustand, nicht den Ablauf; gleich große Firmen (Schuld 1), alle Schulden gleichrangig, keine Notverkäufe und keine Marktpreise.
- Insolvenzkosten vereinfacht: Das Modell „zahlt \(\alpha \cdot\) Mittel“ ist keine Nachbildung von Rogers und Veraart; Zahl und Lage der Verrechnungsvektoren hängen vom Modell ab.
- Eindeutigkeit bei negativen externen Mitteln ist ein Messbefund an Stichproben (Aufzählung, größter gegen kleinster Fixpunkt) und kein bewiesener Satz; sie gilt nicht allgemein (Gegenbeispiel: geschlossene Gruppe mit externen Mitteln 0, siehe Befunde). Die Sekundärquelle (Stachurski) nennt Eindeutigkeit bei positiven Schulden; ihre Voraussetzungen sind hier nicht geprüft.
- Nur \(n = 40\) für die Sweeps (Tabellen 1 und 4) und die genannten Netzformen; die Formeln der Tabellen 2 und 3 gelten für beliebiges \(n\) (geprüft für \(n = 10\) bis 40).
- Synthetische Netze: Die Quoten gelten für diese Netzformen und Parameter, nicht für echte Zahlungsnetze; „dicht ist bis zur Schwelle sicher“ gilt gegenüber Ring und Zufallsnetz, nicht gegenüber Kern–Rand.
- Festes Netz: Die Firmen wählen ihre Verbindungen nicht; die Netzbildung unter Ausfallrisiko ist nicht Gegenstand dieser Demo.
Quellen
- Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/zahlungsketten-demo.
- Eisenberg, Noe: Systemic Risk in Financial Systems. Management Science 47(2), 2001, S. 236–249.
- Acemoglu, Ozdaglar, Tahbaz-Salehi: Systemic Risk and Stability in Financial Networks. American Economic Review 105(2), 2015, S. 564–608.
- Elliott, Golub, Jackson: Financial Networks and Contagion. American Economic Review 104(10), 2014, S. 3115–3153.
- Rogers, Veraart: Failure and Rescue in an Interbank Network. Management Science 59(4), 2013, S. 882–898.
- Glasserman, Young: How likely is contagion in financial networks? Journal of Banking & Finance 50, 2014, S. 383–399.
Alle Angaben zur Literatur beruhen auf Titel, Abstract und Sekundärquellen, nicht auf Volltexten; weder für die Demo noch für diese Seite wurden Originalarbeiten eingesehen. Die Verfahren sind nach ihrer Beschreibung umgesetzt und gegen unabhängige Rechenwege geprüft (Aufzählung aller Zustandsmuster, LP mit scipy, Iteration von beiden Seiten).