Wahlregeln verständlich erklärt

Ein Einkaufsausschuss soll aus drei Angeboten eines wählen, und jedes Mitglied reiht sie ehrlich nach seinem Urteil. Trotzdem hängt der Sieger davon ab, wie man die Reihenfolgen zählt. Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren, die Demo.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Ausschuss, drei Angebote

Stellen Sie sich einen Einkaufsausschuss vor. Neun Mitglieder sollen einen Lieferanten auswählen, zur Wahl stehen die Angebote A, B und C. Jedes Mitglied hat die drei in eine Reihenfolge gebracht, von der ersten bis zur dritten Wahl, und meint seine Reihenfolge ehrlich. Niemand irrt sich: Die einen gewichten den Preis stärker, die anderen die Liefertreue. Eine richtige Antwort gibt es deshalb nicht, nur eine Regel, die aus neun Reihenfolgen einen Sieger macht.

Das erdachte Beispiel sieht so aus. Jede Zeile sagt, wie viele Mitglieder genau diese Reihenfolge haben.

Mitglieder	Erste Wahl	Zweite Wahl	Dritte Wahl
eines	A	B	C
drei	A	C	B
drei	B	C	A
zwei	C	B	A

Vier Zählweisen, drei Sieger

Nun zählen vier Ausschüsse dieselben neun Reihenfolgen, jeder nach einer anderen Regel.

• Nur die erste Wahl zählt (Mehrheitswahl, es gewinnt, wer die meisten ersten Plätze hat): A hat vier erste Plätze, B drei, C zwei. A gewinnt, obwohl die meisten Mitglieder ihn nicht an erster Stelle haben.
• Punkte für jeden Platz (Borda): zwei Punkte für die erste Wahl, einen für die zweite, keinen für die dritte. C sammelt die meisten Punkte, B folgt, A hat die wenigsten. C gewinnt.
• Jedes Paar einzeln (Copeland): Für zwei Angebote zählt, welches mehr Mitglieder weiter vorn haben. C schlägt A mit fünf zu vier Stimmen und B ebenfalls mit fünf zu vier. Es gewinnt, wer die meisten dieser Paarvergleiche gewinnt, hier C.
• Der Letzte scheidet aus (Sofortstichwahl): C hat die wenigsten ersten Plätze und fällt heraus. Die zwei Mitglieder, die C an erster Stelle hatten, zählen nun mit ihrer zweiten Wahl, und die ist bei ihnen B. Damit hat B fünf Stimmen, A vier, und B gewinnt.

Dieselben neun Reihenfolgen ergeben also drei verschiedene Sieger. Jede Zählweise hat eine einfache Begründung, aber jede sieht einen anderen Teil der Reihenfolgen an: die Mehrheitswahl nur den ersten Platz, Borda alle Plätze, Copeland jedes Paar, die Sofortstichwahl den ersten Platz Runde für Runde. Wer einfach abstimmen lässt, hat die Regel deshalb schon gewählt.

Wenn kein Angebot alle anderen schlägt

Drei Mitglieder reihen drei Angebote so: Das erste Mitglied setzt A vor B vor C, das zweite B vor C vor A, das dritte C vor A vor B. Zwei von drei sehen A vor B, zwei sehen B vor C, zwei sehen C vor A. Die Mehrheit läuft im Kreis, wie bei Schere, Stein, Papier: Jedes Angebot verliert gegen ein anderes. Ein Angebot, das jedes andere im Paarvergleich mit Mehrheit schlägt, heißt Condorcet-Sieger. Im Kreis gibt es keinen, und dann hängt es von der Regel ab, wer gewinnt.

Wie oft ein Kreis vorkommt, hängt davon ab, wie die Reihenfolgen entstehen. Die Demo erzeugt Gruppen am Rechner, auf zwei Arten: Entweder zieht jedes Mitglied seine Reihenfolge rein zufällig. Oder die Angebote liegen auf einer Achse, etwa vom billigsten zum teuersten, und jedes Mitglied reiht nach dem Abstand zu seinem Wunschpreis.

In den Zufallsbeispielen der Demo wächst der Anteil der Gruppen mit Kreis, wenn mehr Angebote zur Wahl stehen. Liegen die Angebote auf einer Achse, gab es in den Beispielen der Demo keinen Kreis.

Warum kommen verschiedene Sieger zustande?

Eine Zählregel presst viele Reihenfolgen auf ein Ergebnis zusammen und wirft dabei etwas weg. Ein Bild dazu: Die Angebote reichen vom billigsten bis zum teuersten, und jedes Mitglied hat einen Wunschpreis. Bei neun Mitgliedern hat eines den mittleren Wunschpreis, vier wünschen billiger, vier teurer. Das Angebot, das diesem mittleren Wunsch am nächsten liegt, ist der Kompromiss in der Mitte und schlägt jedes andere im Paarvergleich. Bei den ersten Plätzen kann er trotzdem hinter beiden Enden landen: Wer billiger wünscht, setzt womöglich das billigste Angebot nach vorn, wer teurer wünscht, das teuerste. In den Beispielen der Demo, in denen die Angebote auf einer Achse liegen, verfehlt die Mehrheitswahl diesen Kompromiss häufiger als jede der drei anderen Regeln.

Was hilft?

Legen Sie die Regel vor der Abstimmung fest und begründen Sie sie, nicht erst, wenn die Zettel bekannt sind. Holen Sie vollständige Reihenfolgen ein, nicht nur die erste Wahl, denn aus der ersten Wahl allein lässt sich kein Paarvergleich rechnen. Und rechnen Sie das Ergebnis mit mehr als einer Regel nach. Nennen alle denselben Sieger, hängt der Ausgang nicht an der Zählweise. Gibt es ein Angebot, das jedes andere im Paarvergleich schlägt, wählt die Zählung nach Paarvergleichen genau dieses, denn es gewinnt alle Paarvergleiche. Im Beispiel ist C dieses Angebot (der Condorcet-Sieger); die Mehrheitswahl und die Sofortstichwahl gehen daran vorbei. Gibt es kein solches Angebot, hängt das Ergebnis an der Regel, und ihre Wahl gehört in die Begründung.

Ob eine Regel alle vernünftigen Forderungen zugleich erfüllen kann und wer eine Regel durch falsche Angaben ausnutzen kann, behandeln andere Programme dieser Art auf dieser Website. Weiter unten auf dieser Seite sind sie genannt.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Alles hier ist erdacht oder am Rechner erzeugt: Die Reihenfolgen stammen aus zwei einfachen Erzeugungsarten, nicht aus echten Abstimmungen, und jedes Mitglied reiht ehrlich. Die Aussagen gelten für diese Erzeugungsarten, nicht für ein bestimmtes Gremium.

Woran Sie es im Betrieb erkennen: Ein Gremium hat einen Sieger, den nur eine Minderheit an erster Stelle hatte, oder das Ergebnis dreht sich, sobald jemand anders zählt, etwa erst nach ersten Plätzen, dann nach Punkten. Dann hat die Zählweise mitentschieden, und die Frage lautet nicht nur, wer gewinnt, sondern nach welcher Regel.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst Modell und Methodik der Demo zusammen; die Formeln stehen auch im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Profil: \(n\) Wähler, \(m\) Kandidaten, jeder Wähler \(v\) hat eine strikte Rangfolge; \(\mathrm{rk}_v(c) \in \{0, \dots, m-1\}\) ist der Rangplatz von \(c\) (0 = beste). Die Wählerzahl ist immer ungerade, damit es zwischen zwei Kandidaten keinen Gleichstand gibt.
• Drei Profilmodelle: Zufall (jede der \(m!\) Rangfolgen gleich wahrscheinlich), einspitzig (Kandidaten auf einer Achse, jeder Wähler reiht nach dem Abstand zu seinem Idealpunkt) und zwei Lager (55 % streuen um die Rangfolge A > B > C …, 45 % um die umgekehrte; Streuung nach dem Mallows-Modell mit \(\varphi = 0{,}7\)).
• Vier Regeln: Mehrheitswahl (wer die meisten Erststimmen hat), Borda (der erste Platz bringt \(m-1\) Punkte, der letzte 0), Copeland (je gewonnenem Paarvergleich 1 Punkt, je Gleichstand 0,5) und Sofortstichwahl (IRV: der Kandidat mit den wenigsten Erststimmen unter den Lebenden scheidet aus, bis einer bleibt).
• Gleichstand: Ein Zufallslos aus dem Zufalls-Seed legt vorab eine Rangfolge der Kandidaten fest; bei der Sofortstichwahl scheidet unter mehreren Letzten der am wenigsten bevorzugte aus.
• Condorcet-Sieger: gewinnt jeden Paarvergleich mit Mehrheit; es gibt höchstens einen. Fehlt er, bilden die paarweisen Mehrheiten einen Zyklus (Condorcet-Paradoxon).
• Rechenweg: Der Kern ist eigener Code (numpy). Die Wahrscheinlichkeit ohne Condorcet-Sieger rechnet die Demo für kleine Fälle bei drei Kandidaten exakt über alle Zusammensetzungen der Wähler auf die sechs Rangfolgen, große Fälle per Simulation.
• Messreihen: Je Zelle 400 Profile mit den Zufalls-Seeds 100000 bis 100399, alle drei Profilmodelle. Reihe 1: 3 bis 6 Kandidaten, 11, 51 und 201 Wähler. Reihe 2: 4 Kandidaten, 51 Wähler.

Die Formeln

Die Mehrheitswahl zählt die Erststimmen \(P(c) = \#\{v : \mathrm{rk}_v(c) = 0\}\), Borda die Punkte \(B(c) = \sum_v \big(m - 1 - \mathrm{rk}_v(c)\big)\). Für die Paarvergleiche zählt \(W(a, b) = \#\{v : \mathrm{rk}_v(a) < \mathrm{rk}_v(b)\}\) die Wähler, die \(a\) vor \(b\) reihen. Copeland vergibt je gewonnenem Paarvergleich einen Punkt und je Gleichstand einen halben:

\[\mathrm{Cop}(a) = \#\{b : W(a, b) > W(b, a)\} + \tfrac{1}{2}\,\#\{b \ne a : W(a, b) = W(b, a)\}.\]

Ein Condorcet-Sieger ist ein \(a\) mit \(W(a, b) > W(b, a)\) für alle \(b \ne a\). Er hat \(m-1\) Paarvergleiche gewonnen und damit die höchstmögliche Copeland-Punktzahl, ein anderer Kandidat kann sie nicht erreichen; Copeland verfehlt einen vorhandenen Condorcet-Sieger deshalb nie. Im Mallows-Modell ist die Wahrscheinlichkeit einer Rangfolge \(\pi\) um die Grundrangfolge \(\sigma\) proportional zu \(\varphi^{d(\pi, \sigma)}\), mit der Zahl \(d\) der Fehlstände.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo. Die Messreihen laufen mit festen Zufalls-Seeds und je 400 Profilen je Zelle; die Standardabweichung eines Anteils liegt bei höchstens 2,5 Prozentpunkten, kleine Unterschiede zwischen Zellen sind kein Befund. Die exakten Werte der ersten Zeile sind Rechnung, keine Stichprobe. Die Tests (tests/test_claims.py) prüfen Bänder um die Zahlen, weil die Zufallszahlen eines numpy-Generators nicht über Versionen stabil sind.

Frage	Befund
Wie oft fehlt der Condorcet-Sieger? (Zufallsprofil, 3 Kandidaten, exakt)	5,6 % bei 3 Wählern, 6,9 % bei 5, 7,5 % bei 7, 8,0 % bei 11 und 8,4 % bei 21: Der Anteil steigt mit der Wählerzahl auf einen Grenzwert von etwa 8,8 % (nach Gehrlein, aus dem Gedächtnis, nicht im Original geprüft).
Und mit mehr Kandidaten? (Zufallsprofil, 51 Wähler, Simulation)	8,2 %, 20,0 %, 24,5 % und 31,8 % bei 3, 4, 5 und 6 Kandidaten. Die exakte Rechnung für 3 Kandidaten und 51 Wähler liefert 8,6 %.
Hängt das vom Profilmodell ab?	Einspitzig: in allen 12 Zellen 0,0 %, nie ein Zyklus (der Kandidat beim mittleren Wähler ist Condorcet-Sieger). Zwei Lager: 6,8 bis 33,8 %; bei 4 bis 6 Kandidaten sinkt der Anteil mit der Wählerzahl (4 Kandidaten: 22,2 % bei 11 Wählern, 14,8 % bei 201; 6 Kandidaten: 33,8 % auf 29,8 %), bei 3 Kandidaten nicht (6,8 / 9,0 / 9,0 %). Die Deutung, dass mehr Wähler die Lager klarer hervorbringen, ist nicht gemessen. Zufall mit 5 Kandidaten: 20,5 / 24,5 / 28,7 % bei 11 / 51 / 201 Wählern.
Wie oft widersprechen sich die Regeln? (4 Kandidaten, 51 Wähler)	Mindestens zwei Regeln küren verschiedene Sieger in 46,8 % der Zufallsprofile, in 61,0 % der einspitzigen und in 42,5 % der Profile mit zwei Lagern.
Welche Regel verfehlt den Condorcet-Sieger? (4 Kandidaten, 51 Wähler, nur Profile mit Condorcet-Sieger)	Zufall: Copeland 0,0 %, Borda 13,1 %, Sofortstichwahl 6,9 %, Mehrheitswahl 29,7 %. Einspitzig: Mehrheitswahl 59,5 %, Sofortstichwahl 38,5 %, Borda 11,2 %. Zwei Lager: Mehrheitswahl 28,7 %, Borda und Sofortstichwahl zwischen 8,1 und 8,7 %.
Wählt eine Regel den Condorcet-Verlierer? (4 Kandidaten, 51 Wähler, alle 1 200 Profile je Regel)	Borda, Copeland und Sofortstichwahl nie (0,0 %). Die Mehrheitswahl in 1,8 % der Zufallsprofile und in 6,5 % der einspitzigen: Der Kandidat mit den meisten Erststimmen kann gegen jeden anderen verlieren.
Stimmt der Kern?	Alle Regeln, Paarzählung, Condorcet-Sieger und -Verlierer sind gleich einer Neuimplementierung mit einfachen Schleifen auf 240 Zufallsprofilen aller drei Modelle. Die exakte Wahrscheinlichkeit ohne Condorcet-Sieger ist gleich der Aufzählung aller \(6^n\) Profile bei \(n = 3\) und 5 (5,556 % und 6,944 %). Mutationsprüfung: 57 von 62 Stellen gefangen, 5 als äquivalent festgehalten.
Sagen die Schnellstart-Szenarien etwas über Häufigkeiten?	Nein: Ihre Zufalls-Seeds sind so gewählt, dass die Beispiele ihre Geschichte erzählen (die Regeln gehen auseinander, es gibt einen Kompromiss, es gibt einen Zyklus). Die Häufigkeit steht in den Messreihen.

Grenzen

• Die Profile sind Modelle, keine Daten. Das Zufallsprofil ist unrealistisch, weil echte Wähler selten völlig ungeordnet urteilen; es ist der übliche Referenzfall für das Paradoxon, aber keine Obergrenze: Bei zwei Lagern und wenigen Wählern liegt der Anteil höher (4 Kandidaten, 11 Wähler: 22,2 % gegen 16,0 %). Einspitzig und zwei Lager sind Gegenpole; echte Präferenzen liegen dazwischen, und die Demo misst sie nicht.
• Anteile sind grob: 400 Profile je Zelle, Standardabweichung bis 2,5 Prozentpunkte. Bei 3 Kandidaten und 11 Wählern liefert die Simulation 7,0 %, exakt sind 8,0 %.
• Gleichstand per Los: Bei kleinen Wählerzahlen entscheidet das Los öfter, das Ergebnis hängt dann am Zufalls-Seed. Für die Sofortstichwahl gibt es in der Literatur mehrere Gleichstandsregeln; hier scheidet der am wenigsten bevorzugte unter den Letzten aus.
• Ehrliche Wähler: Jeder Wähler gibt seine wahre Rangfolge an. Taktisches Wählen ist nicht Teil dieser Demo; dazu gibt es auf dieser Website die Demo „Taktisch wählen: wer kann eine Wahl allein zu seinen Gunsten drehen?“, zu den Eigenschaften, die sich ausschließen, „Wahlregeln und ihre Axiome: welche Regel verletzt was?“ und „Satz von Arrow: unmöglich per Löser“.
• Vereinfachte Stimmzettel: Rangfolgen mit offenen Plätzen oder Gleichständen und gewichtete Stimmen gibt es nicht; sie würden jede Regel ändern.
• Weitere Verfahren fehlen: weitere Condorcet-Verfahren (Schulze, Ranked Pairs, Kemeny) und zweistufige Wahlverfahren sind nicht enthalten; die Rangaggregation mit Kemeny steht in rangaggregation-demo. Echte Wahl- oder Umfragedaten gibt es nicht, nur synthetische Profile.
• Kein Bibliotheksorakel: Die Neuimplementierung der Regeln in den Tests ist wieder eigener Code, nur anders gerechnet; die Rechenwege sind unabhängig, aber nicht gegen eine fremde Bibliothek geprüft.

Quellen

• Condorcet (1785), Borda (1781), Copeland (1951), Black (1948, einspitzige Präferenzen) und Arrow (1951), wie in der README und im Expander der Demo genannt; der Grenzwert für drei Kandidaten bei wachsender Wählerzahl nach Gehrlein.
• Überblick: Brandt, Conitzer, Endriss, Lang, Procaccia (Hrsg.): Handbook of Computational Social Choice. Cambridge University Press 2016.
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/wahlregeln-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; die Angaben stammen aus der README und dem Expander der Demo, wo sie als „aus dem Gedächtnis, nicht im Original geprüft“ vermerkt sind. Das gilt auch für den Grenzwert nach Gehrlein. Das Beispiel mit den neun Mitgliedern im Einsteigerteil ist erdacht und stammt nicht aus der Demo; die Überlegung zu Copeland im Abschnitt „Die Formeln“ folgt aus der Definition des Condorcet-Siegers und ist keine Messung.