Uhr und Anschluss verständlich erklärt

Wer im Stundentakt umsteigt, wartet auf den Rest einer Uhr: Wer den Anschluss um eine Minute verpasst, wartet fast eine Stunde länger. Diese Seite zeigt am Zifferblatt, wie viel der Wartezeit im Fahrplan feststeht und wie viel an der Wahl der Abfahrtsminuten hängt: erst anschaulich, dann für Fachleute mit Formeln und Messwerten.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Der Rest einer Uhr

Stellen Sie sich einen Umsteigeknoten vor, an dem sich zwei Buslinien treffen. Eine Buslinie ist eine feste Strecke, die der Bus immer wieder hin und zurück fährt. Buslinie A bringt Sie zum Knoten, dort steigen Sie in Buslinie B um. Beide fahren im Takt: Jeder Bus fährt jede Stunde zur selben Minute ab.

Wie lange Sie warten, zeigt das Zifferblatt einer Uhr. Nehmen wir ein Beispiel: Sie kommen mit Bus A um 20 nach an, Bus B fährt um 30 nach ab. Der Bogen auf dem Zifferblatt von Ihrer Ankunft bis zu dieser Abfahrt ist Ihre Wartezeit, hier 10 Minuten. Zum Umsteigen brauchen Sie mindestens drei Minuten, denn Sie müssen den Bahnsteig wechseln.

Stellen Sie sich nun vor, Bus B führe Minute für Minute früher ab, während Bus A weiter um 20 nach ankommt. Ihre Wartezeit wird kürzer, bis sie bei einer Abfahrt um 23 nach genau drei Minuten beträgt. Fährt Bus B schon um 22 nach ab, ist er weg, bevor Sie umgestiegen sind, und der nächste kommt erst eine Stunde später: Sie warten 62 Minuten. Eine Minute zu früh abgefahren kostet Sie also fast eine Stunde zusätzlich.

Hinweg und Rückweg gehören zusammen

Abends fahren Sie zurück. Jetzt kommen Sie mit Bus B am Knoten an und steigen in Bus A um. Nehmen wir an, Sie warten morgens 10 Minuten und abends 20 Minuten. Der Fahrplaner verschiebt nun die ganze Buslinie B um fünf Minuten nach hinten (Fachwort: Versatz). Morgens fährt Bus B später ab, Sie warten 15 Minuten. Abends kommt Bus B später am Knoten an, Bus A fährt wie zuvor ab, Sie warten nur noch 15 Minuten. Zusammen sind es vorher wie nachher 30 Minuten.

Was ein Weg gewinnt, verliert der andere. Das geht so weiter, bis ein Weg die Mindestzeit unterschreitet: Dann verpasst man einen Anschluss um eine Minute und wartet eine Stunde mehr. Die Summe beider Wartezeiten hat deshalb höchstens zwei mögliche Werte, einen kleinsten (im Beispiel 30 Minuten) und diesen plus eine Stunde (Fachwort: Zwei-Werte-Regel).

Die folgenden Aussagen stammen aus einem Programm zum Ausprobieren, der Demo. Sie bildet erfundene Busnetze im Computer nach; wir nennen das Rechenbild. Der Computer erzeugte 600 solche Netze mit drei, fünf, sechs, acht oder zehn Buslinien und probierte für jedes Paar aus Hin- und Rückweg alle 60 Verschiebungen durch. Keine Summe wich von der Regel ab.

Warum der kleinste Wert im Fahrplan feststeht

Jeder Bus fährt eine feste Runde: vom Knoten zum Ende der Strecke, dort wenden, zurück zum Knoten. Wie lange sie dauert, bestimmen Fahrzeiten, Halte und Wende, nicht die Abfahrtsminute. Zählt man beide Wartezeiten zusammen, ergibt sich, bis auf volle Stunden, die Dauer beider Runden zusammen. Verschiebt man eine Buslinie, bleibt ihre Runde gleich. Deshalb liegt der kleinste Wert der Summe im Fahrplan fest (Fachwort: Schleifenzeit); die Verschiebung entscheidet nur, ob er gilt oder eine Stunde dazukommt.

Was sich im ganzen Netz ändert

Meist treffen sich zwei Buslinien nicht nur an einem Knoten, sondern an mehreren. Dann lässt sich kein Anschluss allein verschieben: Wer Buslinie B verschiebt, verschiebt alle ihre Abfahrten zugleich, und jeder Umstieg zwischen A und B spürt es.

Zum Vergleich: Hätte der Fahrplaner die Verschiebung nur nach Zufall gewählt, warteten Umsteiger im Rechenbild im Mittel etwas mehr als eine halbe Stunde.

Sucht der Computer die besten Verschiebungen für das ganze Netz, sinkt die mittlere Wartezeit. Unter die festen kleinsten Werte der Hin- und Rückwege kommt er aber nicht. Sie sind ein Boden, den auch die beste gefundene Wahl nur selten erreicht: im Rechenbild in 1 von 600 Netzen.

Was hilft?

Hängen die Buslinien eines Netzes ohne Ring zusammen (Fachwort: Wald), lässt sich jede Buslinie nacheinander so legen, dass jedes Paar von Buslinien für alle ihre Umstiege seinen besten Wert erreicht. Ein Beispiel: Buslinie A trifft B, B trifft C und D, aber C und D treffen weder A noch einander. Im Rechenbild ist bewiesen, dass es dann keine bessere Wahl der Verschiebungen gibt.

Trifft zusätzlich C die Buslinie A, entsteht ein Ring. Meist bekommt dann nicht jedes Paar von Buslinien zugleich seinen besten Wert, und meist bleibt ein Rest. In den erfundenen Netzen der Demo lag er im Klassenmittel unter zwei Minuten und wuchs mit der Zahl unabhängiger Ringe nur schwach.

Häufige Missverständnisse

• „Mit der richtigen Verschiebung warten alle Umsteiger nur kurz.“ Nein. Der kleinste Wert der Summe von Hin- und Rückweg steht im Fahrplan fest, die Verschiebung entscheidet nur, ob er gilt.
• „Wenn eine Verschiebung einen Umstieg verbessert, ist sie gut.“ Nein. Sie kann einen anderen Umstieg derselben Buslinie verschlechtern.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Hin- und Rückweg zwischen denselben Buslinien fühlen sich verschieden an: Einer klappt fast sofort, beim anderen warten Sie lange.
• Sie verpassen einen Anschluss knapp und warten fast eine Stunde, obwohl der Bus pünktlich fuhr.

Was Sie dann prüfen können: Würde ein Verschieben der Abfahrt um wenige Minuten helfen, und wie wirkt es auf den Rückweg? Dort wird es um dieselben Minuten schlechter, solange dort kein Anschluss verpasst wird.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Die Aussagen gelten für das Rechenbild mit seinen erfundenen Netzen, nicht für ein echtes Netz.

Was Sie mitnehmen

• Fragen Sie bei einem Anschluss nach Hin- und Rückweg zusammen, nicht nach einem.
• Eine Verschiebung verteilt die Wartezeit zwischen Hin- und Rückweg um; unter den festen kleinsten Wert kommt die Summe nicht.
• Alle Umstiege zweier Buslinien teilen sich eine Verschiebung.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar und fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen (Expander „📐 Mathematische Formulierung“). Netze und Fahrpläne sind Annahmen eines synthetischen Modells, keine Echtdaten.

• Takt und Netz: Jede Linie fährt in beide Richtungen alle \(T = 60\) Minuten, in ganzzahligen Minuten, mit Haltezeit \(h = 2\) an Zwischenhalten und Mindest-Umsteigezeit \(m = 3\) (beide in der Demo regelbar; die Messreihen gelten bei diesen Werten, die Haltezeit-Reihe für \(h\) von 1 bis 6 bei \(m = 3\)). Die Netze mit 3, 5, 6, 8 oder 10 Linien kommen aus dem Generator der Fall-Demo taktfahrplan-demo. Gewählt wird der Versatz \(o\) jeder Linie, ganzzahlig von 0 bis 59.
• Wartezeit: Ein Umstieg ist die Aktivität „Ankunft einer Linie, Abfahrt einer anderen“. Mit Ankunftsminute \(a\) und Abfahrtsminute \(d\) ist die Wartezeit \(x = ((d - a - m) \bmod T) + m\): der Rest der Uhr plus die Mindestzeit. Zielgröße ist die gewichtete mittlere Wartezeit der Umsteiger; Zufall steckt nur in der Auswahl der Netze und in den Startversätzen der Lokalsuche.
• Hin/Rück-Paar: Hin- und Rückweg desselben Anschlusses. Mit \(D_1, D_2\) (Abfahrt minus Ankunft minus \(m\) bei Versatz null) und dem Versatz \(u = o_B - o_A\) der Linie \(B\) gegen \(A\) hängt die Summe beider Wartezeiten nur von \(u\) und der Konstanten \(c = (D_1 + D_2) \bmod T\) ab.
• Schleifenzeit: Die Schleife einer Linie an einem Halt ist die Zeit von der Ankunft bis zur Abfahrt am selben Halt in der Gegenrichtung. Die Konstante \(c\) folgt aus den Schleifen \(L_A\) und \(L_B\) der beiden Linien.
• Spiegelpaar (beide Richtungen vertauscht, Zwischenhalte) und Gleichrichtungs-Paar (A → B und B → A in derselben Fahrtrichtung am selben Zwischenhalt): zwei weitere Arten von Paaren, deren Konstanten \(c'\) bzw. \(c_{=}\) ebenfalls im Fahrplan feststehen.
• Untergrenzen: \(\mathrm{LB}\) summiert über alle Hin/Rück-Paare den kleineren Wert; \(\mathrm{LB}_2\) fasst alle Umstiege zweier Linien zusammen, denn sie teilen sich einen Versatz, und summiert über die Linienpaare das Minimum der Kostenkurve.
• Phasen-Optimum: der beste per Lokalsuche gefundene Versatz-Satz (Koordinatenabstieg, 40 Neustarts, ganzzahliger SplitMix64 als Zufallsquelle). Es ist ein Suchwert und kein Beweis; ein Knopf prüft es exakt mit CP-SAT (2 Arbeiter, Zeitlimit, Anzeige „nicht bewiesen“).
• Haltezeit nur als Umsteigezeit: Eine längere Haltezeit verlängert die Fahrzeit der Durchfahrenden; das ist nicht eingerechnet.

Die Formeln

Wartezeit eines Umstiegs, der Rest einer Uhr:

\[x = \big((d - a - m) \bmod T\big) + m\]

Mit \(x_1 = ((u + D_1) \bmod T) + m\) für den Hinweg und \(x_2 = ((-u + D_2) \bmod T) + m\) für den Rückweg gilt die Zwei-Werte-Regel. Der kleinere Wert \(2m + c\) gilt bei genau \(c + 1\) von \(T\) Versätzen (der Gut-Menge), unabhängig von allen anderen Linien:

\[x_1 + x_2 = 2m + c + T \cdot \mathbf{1}\big[(u + D_1) \bmod T > c\big], \qquad c = (D_1 + D_2) \bmod T\]

Die Konstante hängt an den Schleifenzeiten \(L_A\) und \(L_B\) der beiden Linien:

\[c \equiv L_A + L_B - 2m \pmod T\]

Spiegelpaar. Für die Konstante \(c'\) des gespiegelten Paars gilt \(c + c' \equiv 4\,(h - m) \pmod T\). Satz (in der Demo mit Beweis): Für Zwischenhalte beider Linien und \(h < m\) sind die Gut-Mengen des Paars und seines Spiegelpaars genau dann disjunkt, wenn \(c + c' = T - 4(m - h)\) ist; bei \(c + c' = 2T - 4(m - h)\) überschneiden sie sich (zusammen mehr als \(T\) Elemente, Schubfachprinzip). Teilen beide gespiegelten Paare einen Versatz und sind ihre Gut-Mengen disjunkt, kostet das mindestens den Zuschlag \(T \cdot \min(w_1, w_2)\) mit den Gewichten \(w_1, w_2\) der beiden gespiegelten Paare.

Gleichrichtungs-Paar. Hier ist \(c_{=} = (2h - 2m) \bmod T\); bei \(h = 2\), \(m = 3\) also 58 und die kleinste Summe 64 Minuten, bei \(h = 3\) die kleinste Summe 6 Minuten.

Linienpaarung und Wald. Alle Umstiege zweier Linien teilen den Versatz \(u\); mit der gewichteten Summe \(f_{AB}(u)\) aller Wartezeiten zwischen \(A\) und \(B\) ist die Untergrenze des Netzes

\[\mathrm{LB}_2 = \sum_{\{A,B\}} \min_{u} f_{AB}(u) \;\le\; \mathrm{OPT}\]

Wald-Satz: Ist der Liniengraph (Kanten = Linienpaare mit Umstiegen) ein Wald, ist \(\mathrm{OPT} = \mathrm{LB}_2\). \(\mathrm{LB}_2\) liegt nicht unter \(\mathrm{LB}\), denn das Minimum einer Summe ist mindestens die Summe der Minima. Für ein Linienpaar gilt Gleichheit genau dann, wenn ein Versatz alle seine Hin/Rück-Paare zugleich auf den kleineren Wert legt, etwa wenn es nur ein Hin/Rück-Paar hat.

Herleitung Schritt für Schritt

Die folgenden Schritte sind Rechnung dieser Seite (Standardüberlegungen, keine Messung der Demo); die Demo prüft ihre Ergebnisse gegen die Fahrplantafel (erste Zeile der Befunde).

• Schritt 1, die Summe: Setze \(\alpha = (u + D_1) \bmod T\) und \(\beta = (-u + D_2) \bmod T\), beide in \(\{0, \dots, T-1\}\). Dann ist \(\alpha + \beta \equiv D_1 + D_2 \equiv c \pmod T\), und die Summe liegt zwischen 0 und \(2T - 2\). Sie kann also nur \(c\) oder \(c + T\) sein, und \(x_1 + x_2 = 2m + \alpha + \beta\) nimmt höchstens die Werte \(2m + c\) und \(2m + c + T\) an (bei \(c = T - 1\) nur den ersten).
• Schritt 2, die Gut-Menge: Es ist \(\alpha + \beta = c\) genau dann, wenn \(\alpha \le c\). Bei \(\alpha \le c\) liegt \(c - \alpha\) in \(\{0, \dots, T-1\}\) und ist kongruent zu \(\beta\), also \(\beta = c - \alpha\). Bei \(\alpha > c\) ist \(c - \alpha\) negativ, also \(\beta = c - \alpha + T\). Weil \(u \mapsto \alpha\) die Versätze umkehrbar eindeutig auf \(\{0, \dots, T-1\}\) abbildet, sind es genau \(c + 1\) Versätze.
• Schritt 3, der Zufall: Bei gleichverteiltem Versatz ist \((d - a - m) \bmod T\) gleichverteilt auf \(\{0, \dots, T-1\}\), unabhängig von \(a\). Der Erwartungswert ist also \(m + (T-1)/2\), das sind 3 + 59/2 = 32,5 Minuten.
• Schritt 4, die Schleifenzeit: Die Formel \(c \equiv L_A + L_B - 2m\) beruht auf dem Fahrplanaufbau der Demo (Zyklus eines Fahrzeugs ein Vielfaches von \(T\): der Rest bis zum nächsten Vielfachen wird auf die beiden Enden verteilt: Die abgerundete Hälfte geht an das eine Ende, der Rest, bei ungeradem Rest eine Minute mehr, an das andere; dazu kommt je Ende die Mindest-Wendezeit). Sie ist hier nicht hergeleitet, sondern in der Demo gemessen (erste Zeile der Befunde).
• Schritt 5, der Wald-Satz: Die Kosten \(f_{AB}(u)\) eines Linienpaars hängen nur von der Differenz \(u = o_B - o_A\) ab. Im Wald lassen sich diese Differenzen aller Kanten unabhängig voneinander wählen: Man setzt je Komponente eine Wurzel auf Versatz null und jedes Kind auf den Versatz des Elternteils plus die Differenz, bei der \(f_{AB}\) minimal ist. Jede Kante liegt dann auf ihrem Minimum, die Kosten sind \(\mathrm{LB}_2\). Weil \(\mathrm{LB}_2 \le \mathrm{OPT}\) gilt (das Minimum einer Summe ist mindestens die Summe der Minima), ist das optimal. Bei einem Kreis kann ein Kind nicht jede seiner Kanten auf das Minimum setzen; \(\mathrm{OPT} - \mathrm{LB}_2\) ist der Rest, den die Kreise kosten.

Durchgerechnet an der Mini-Instanz

Die Demo rechnet eine kleine Instanz von Hand und prüft sie in einem Test. Die beiden Linien haben die Schleifenzeiten 32 und 28 Minuten, \(m = 3\), \(T = 60\). Dann ist \(c = (32 + 28 - 2 \cdot 3) \bmod 60 = 54\) und die kleinste Summe \(2 \cdot 3 + 54 = 60\) Minuten; sie gilt bei \(c + 1 = 55\) von 60 Versätzen. Bei den übrigen fünf Versätzen kommt der Takt dazu: 120 Minuten.

Das Spiegelpaar derselben Instanz hat \(c' = 2\). Mit \(h = 2\) und \(m = 3\) ist \(c + c' = 56 = T - 4(m - h)\): Die Gut-Mengen sind disjunkt. Bei gleichen Gewichten ist die kleinste gemeinsame Summe beider gespiegelter Paare deshalb 128 Minuten statt 60 + 8, denn der Zuschlag \(T \cdot \min(w_1, w_2) = 60\) fällt an.

Das Gleichrichtungs-Paar mit \(h = 2\), \(m = 3\): \(c_{=} = (4 - 6) \bmod 60 = 58\), die kleinste Summe ist \(6 + 58 = 64\) Minuten.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo. Gemessen wurde an 600 synthetischen Netzen (3, 5, 6, 8, 10 Linien, je vier Blöcke zu 30 Netzen), Takt 60 min, Haltezeit 2 min, Mindestzeit 3 min, wo nichts anderes steht. „a ± s“ heißt Mittel der vier Block-Mittel ± Standardabweichung über die Blöcke. Wo ein Anteil „des Aufschlags“ genannt wird, steht die Bezugsgröße dabei: der Aufschlag ist die Wartezeit über der Mindestzeit \(m\).

Frage	Befund
Trägt die Formel?	600 Netze, 25 568 Hin/Rück-Paare, Vollaufzählung aller 60 Versätze über die Fahrplantafel der Zielline (erste Abfahrt mit Abstand ≥ Mindestzeit, ohne Modulo-Operator): 0 Abweichungen von „kleinste Summe = 2·3 + c“, von der Zwei-Werte-Regel, von der Zahl c + 1 der Versätze auf dem kleineren Wert und von der Schleifenzeit-Formel.
Mittlere Wartezeit bei zufälligem Versatz?	Satz: \(m + (T - 1)/2\) = 3 + 59/2 = 32,5 min. Als Gegenprobe liegen 300 Ziehungen je Netz zwischen 31,79 und 33,28 min. Die Mittelung über alle 60 Versätze trifft 32,5 min in jedem Netz per Konstruktion und ist keine eigene Messung.
Wie verteilt sich \(c\)?	Anteile der Paare in Zehnerklassen von \(c\): 16,2 / 15,9 / 16,1 / 17,1 / 18,3 / 16,5 %; Mittel 29,9 min; \(c = 0\) in 1,7 % der Paare. Ein zufälliger Versatz liegt im Mittel über die Paare bei 51,5 % der Versätze auf dem kleineren Wert.
Wie viel des Aufschlags erklärt die Paar-Untergrenze LB?	71,4 ± 0,8 % des Aufschlags, den das Phasen-Optimum über der Mindestzeit hat, also \((\mathrm{LB} - 3) / (\text{Optimum} - 3)\). Gegen den Zufalls-Aufschlag von 29,5 min wären es 50,3 %. Je Linienzahl 70,9 / 71,4 / 69,5 / 71,4 / 73,9 % (3, 5, 6, 8, 10 Linien): nicht monoton, Spanne 4,4 Prozentpunkte bei einer Block-Streuung bis 2,8 Prozentpunkten. Das Phasen-Optimum erreicht LB in 1 von 600 Netzen: LB ist ein Boden, kein Fahrplan.
Und die Untergrenze je Linienpaar?	Zufall 32,50 min, Phasen-Optimum 23,92 ± 0,34, LB 17,85 ± 0,19, LB2 22,94 ± 0,33. LB2 erklärt 95,3 ± 0,2 % des Aufschlags des per Lokalsuche gefundenen Phasen-Optimums über der Mindestzeit; gegen den Zufalls-Aufschlag von 29,5 min sind es 67,6 %. Bei 3 Linien 98,8 %, bei 10 Linien 92,5 % (fallend mit der Linienzahl).
Woraus besteht der Zufalls-Aufschlag (29,5 min)?	Paar-Kopplung 14,85 ± 0,19, mehrere Anschlüsse einer Linienpaarung 5,09 ± 0,22, Kreise im Liniengraphen 0,97 ± 0,05 (einschließlich des Restabstands der Lokalsuche), Gewinn der Optimierung 8,58 ± 0,34 min (Mittel über alle Netze).
Gilt der Wald-Satz?	Kreisrang 0 kommt in 24 von 600 Netzen vor (alle mit 3 Linien): Optimum = LB2 in 24 von 24. In 20 konstruierten Wäldern (5, 6, 8, 10 Linien) bewies CP-SAT 20 von 20 Optima, alle gleich LB2; die Konstruktion der Wald-Versätze erreicht LB2 in 20 von 20.
Was bringen Kreise?	Optimum = LB2 in 101 von 576 Netzen mit Kreisen. Klassenmittel von Optimum − LB2 nach Kreisrang 1 bis 2 / 3 bis 5 / 6 bis 10 / 11 bis 20 / ab 21: 0,29 / 0,41 / 0,97 / 1,30 / 1,61 min. Innerhalb einer Linienzahl nur schwacher bis mäßiger Zusammenhang (Pearson +0,04 bis +0,42); über alle Netze +0,51, aber durch die Linienzahl vermengt.
Spiegelpaare (Haltezeit 2)?	4090 Paare; \(c + c' = 56\) in 3877 (Gut-Mengen disjunkt in 3877 von 3877), \(c + c' = 116\) in 213 (überlappend in 213 von 213, im Mittel 58,3 Versätze).
Gleichrichtungs-Paare (Haltezeit 2)?	8180 Paare, kleinste Summe 64 min in 8180 von 8180; 16 360 von 51 136 Umstiegen (32 %) gehören zu einem, 592 von 600 Netzen haben eins.
Haltezeit als Regler?	Kleinste Summe eines Gleichrichtungs-Paars bei \(h\) = 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6: 62 / 64 / 6 / 8 / 10 / 12 min. Phasen-Optimum im Netz: 23,87 / 23,92 / 22,80 / 22,59 / 22,47 / 22,59 min; von 2 auf 3 min nur 1,12 min (4,7 %), danach 22,47 bis 22,80. Der Paar-Effekt (64 → 6) ist groß, der Netz-Effekt deutlich kleiner, aber größer als die Block-Streuung (0,34 min). LB2 − LB fällt von 5,09 (\(h\) = 2) auf 3,76 (\(h\) = 3).
Lokalsuche gegen CP-SAT?	An 30 Netzen (Zeitlimit, 2 Arbeiter): 26 von 30 bewiesen, die Lokalsuche lag in 2 über dem CP-SAT-Fund, nie darunter. Die größte Abweichung ist laufabhängig (0,06 min in der gespeicherten Messung, 0,17 min in einem Neulauf); bewiesen suboptimal ist die Lokalsuche nur in 1 Netz, um 0,05 min.
Brücke zur Wende-Standzeit?	Bei freier Aufteilung der Standzeit kann \(c\) in 82 % der Paare einzeln auf 0 sinken (Ø \(c\) 29,8 → 2,6 min). Die kleinste gefundene Netz-Untergrenze ist 11,94 gegen 17,85 min bei Standard-Aufteilung, in 600 von 600 Netzen niedriger. Das ist eine obere Schranke des wahren Minimums; ob LB2 mit freier Aufteilung die nächste Schranke ist, ist nicht gemessen.

Grenzen: was die Messung zeigt und was nicht

Was sie belegt:

• Die Zwei-Werte-Regel und den Mittelwert bei zufälligem Versatz für das hier definierte Modell (hergeleitet und an der Fahrplantafel geprüft) sowie die Schleifenzeit-Formel (an der Fahrplantafel gemessen, nicht hergeleitet).
• Den Spiegel-Satz für Zwischenhalte beider Linien und Haltezeit kleiner als Mindestzeit (bewiesen) und den Wald-Satz (bewiesen durch Konstruktion).
• Größenordnungen für die synthetischen Netze eines Generators bei den genannten Einstellungen.

Was sie nicht belegt:

• Echte Netze: Die Netze sind synthetisch, es gilt ein Regelsatz (Takt 60, Mindestzeit 3, Halt 2). Aussagen über reale Netze sind das nicht.
• Bezugsgröße der Anteile: Die Anteile „erklärt 71,4 %“ und „erklärt 95,3 %“ beziehen sich auf den Aufschlag des Phasen-Optimums über der Mindestzeit; gegen den Zufalls-Aufschlag sind es 50,3 % und 67,6 %. Das Phasen-Optimum ist ein Suchwert, eine obere Schranke des wahren Optimums; der erklärte Anteil des wahren Optimums ist daher mindestens so groß (Überlegung dieser Seite: LB2 ≤ OPT ≤ Suchwert).
• Haltezeit nur als Umsteigezeit: Der Netz-Effekt der Haltezeit (1,12 min) ist ein Effekt auf die Umsteigezeit allein; die längere Fahrzeit der Durchfahrenden ist nicht eingerechnet.
• Spiegel-Satz außerhalb der Voraussetzung: Für Haltezeit ab der Mindestzeit sind die Gut-Mengen in allen gemessenen Fällen überlappend; das ist ein Messbefund, kein Satz.
• Kreise: Der Kreisrang (Zahl der voneinander unabhängigen Kreise) erklärt den Kreis-Rest nur schwach: Die Klassenmittel von Optimum − LB2 liegen zwischen 0,29 und 1,61 min, und innerhalb einer Linienzahl (3, 5, 6, 8, 10 Linien) beträgt der Zusammenhang nur Pearson +0,04 bis +0,42. Der Wert +0,51 über alle Netze enthält den Größeneffekt der Linienzahl. Dass die Linienzahl den Anteil der Paar-Kopplung bestimmt, ist nicht nachgewiesen: kein monotoner Verlauf, die Unterschiede liegen in der Größe der Block-Streuung.
• Lokalsuche und Zerlegung: Der Posten „Kreise“ (0,97 min) ist Phasen-Optimum minus LB2 und enthält den Restabstand der Lokalsuche. Bei 8 und 10 Linien bewies CP-SAT im Zeitlimit nicht jedes Netz.
• Nicht Teil des Modells: Versatz-Regler am echten Netz, Zugfolge, Zusatzzüge, Fahrzeugumlauf, Fahrzeitverlängerung durch längere Haltezeiten und Echtdaten.

Erweiterungen und Verweise

• Fahrpläne suchen und messen: Das tut die Fall-Demo taktfahrplan-demo, auch mit dem Versatz-Regler am echten Netz; ihr Thema erzählt die Erklärseite Der Taktfahrplan verständlich erklärt im Alltagsbild.
• Kreise über drei und mehr Linien: Der Kreis-Rest wird hier gemessen, aber nicht erklärt; das bleibt einer späteren Demo der Reihe überlassen.

Quellen

• Das Modell ist das Periodic Event Scheduling Problem (PESP); Quellen dazu stehen in der Fall-Demo taktfahrplan-demo.
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/uhr-anschluss-demo.

Die Aussagen sind Messungen und Beweise für das hier definierte Modell, keine Literaturaussagen. Die Quellen zum PESP wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; der Hinweis stammt aus der Demo.