Die Sitzverteilung im Beirat verständlich erklärt

Ein Beirat hat eine feste Zahl von Sitzen, und die Verbände sind verschieden groß. Der rechnerische Anspruch eines Verbands ist nicht von selbst eine ganze Zahl, ein Sitz aber lässt sich nicht teilen. Also muss gerundet werden, und jede der hier verglichenen Arten zu runden hat einen Haken. Diese Seite erklärt das zuerst ohne Formeln und danach genauer.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Beirat und seine Sitze

Stellen Sie sich einen Dachverband vor, dessen Beirat eine feste Zahl von Sitzen hat. Die Mitgliedsverbände sind verschieden groß, und die Satzung verlangt, die Sitze im Verhältnis zur Mitgliederzahl zu verteilen: Wer mehr Mitglieder hat, soll im gleichen Verhältnis mehr Sitze bekommen.

Rechnet man das aus, kommt für jeden Verband ein Anspruch heraus, und der ist nicht von selbst eine ganze Zahl. Der größte Verband hätte vielleicht Anspruch auf etwas mehr als achtzehn Sitze, der kleinste auf etwas weniger als einen. Dieser rechnerische Anspruch heißt Quote. Dazu eine Regel: Ein Verband soll seine Quote auf- oder abgerundet bekommen, bei einer Quote zwischen achtzehn und neunzehn also achtzehn oder neunzehn Sitze. Das ist die Quotenregel.

Also muss gerundet werden. Gibt man jedem Verband zunächst nur die ganze Zahl seiner Quote, bleiben Sitze übrig, und wer sie bekommt, entscheidet das Rundungsverfahren. Die Verfahren tragen Namen wie Hamilton oder Jefferson; das sind nur Etiketten.

Zwei Wege, den Rest zu verteilen

Der eine Weg schaut auf die Bruchteile. Jeder Verband bekommt zuerst die ganze Zahl seiner Quote, die übrigen Sitze gehen an die Verbände mit den größten Bruchteilen. Das ist das Verfahren Hamilton.

Der andere Weg legt einen Preis pro Sitz fest, gemessen in Mitgliedern, wie ein Preisschild im Laden. Man teilt jede Mitgliederzahl durch den Preis und rundet den Bruch, der herauskommt. Man senkt oder erhöht den Preis, bis die Sitze aller Verbände zusammen genau die Beiratsgröße ergeben. Reichen die Mitglieder eines Verbands für zwei Sitze und noch etwas mehr als einen halben, bekommt er bei Jefferson (rundet ab) zwei Sitze und bei Webster (rundet ab einem halben Sitz auf) drei. Huntington–Hill legt die Grenze etwas niedriger als Webster: Zwischen zwei und drei Sitzen liegt sie etwas unterhalb von zweieinhalb. Dazu gibt es vorab jedem Verband einen Sitz; dieser Vorab-Sitz löst überwiegend die Verstöße aus, die die Tabelle unten nennt.

Zu dieser Seite gehört eine Demo, ein Programm zum Ausprobieren. Sie rechnet die vier genannten Verfahren und dazu ein fünftes, die Quotenmethode. Sie arbeitet wie Jefferson, das nur nach oben verstößt, setzt aber einen Deckel: Ein Verband mit einer Quote zwischen achtzehn und neunzehn bekommt höchstens neunzehn Sitze.

Drei Fehler, die beim Runden passieren können

Die Demo würfelt viele Beispiele mit zufälligen Verbandsgrößen aus (wenige große, viele kleine Verbände), die „Zufallsbeispiele“, und zeigt drei Fehler, jeweils an einem fertigen Beispiel:

• Zu viel oder zu wenig gegenüber der Quote. Ein Verband mit einer Quote zwischen achtzehn und neunzehn bekommt zwanzig: Die Quotenregel ist verletzt.
• Mehr Sitze im Beirat, weniger für einen Verband. Der Beirat wird um einen Sitz vergrößert, und ein Verband hat danach einen Sitz weniger als vorher, obwohl sich keine Mitgliederzahl geändert hat. Das heißt Alabama-Paradox. Beim Verfahren mit den Bruchteilen kommt das daher: Mit jedem zusätzlichen Sitz wächst der Anspruch eines großen Verbands um mehr als der eines kleinen. Dadurch können die Bruchteile der großen den des kleinen überholen, und der kleine verliert den Sitz, den sein Bruchteil ihm vorher gab.
• Mehr Wachstum, weniger Sitze. Ein Jahr später haben sich die Mitgliederzahlen geändert, bei gleich vielen Sitzen. Ein Verband ist prozentual stärker gewachsen als ein anderer, verliert aber einen Sitz, den der andere gewinnt. Das heißt Bevölkerungsparadox.

Welches Verfahren zahlt womit?

Die Tabelle fasst zusammen, was die Demo in den Zufallsbeispielen zählt; „nein“ heißt: in keinem gezählten Beispiel.

Verfahren	Verstößt gegen die Quotenregel	Verliert einen Sitz, wenn der Beirat wächst	Bevölkerungsparadox
Hamilton	nein	ja	ja
Jefferson	ja, am häufigsten von allen, nur nach oben	nein	nein
Webster	ja, am seltensten von den dreien, die verstoßen	nein	nein
Huntington–Hill	ja, fast nur wenn ein Verband weniger als einen Sitz Anspruch hat (dann greift der Vorab-Sitz)	nein	nein
Quotenmethode	nein	nein	ja

Keines der fünf Verfahren kommt in der Demo ohne einen dieser Fehler aus. Einen Beweis, dass es kein fehlerfreies Verfahren gibt, liefert die Demo nicht. Auch ob die Wahl etwas ändert, hängt von den Zahlen ab: In neunhundert Zufallsbeispielen mit acht Verbänden und sechzehn bis vierundsechzig Sitzen verteilen Hamilton und Jefferson in etwa neun von zehn Beispielen verschieden, Hamilton und Webster nur in gut einem von fünf.

Was hilft?

Die Demo nimmt Ihre eigenen Mitgliederzahlen an und zeigt, ob die Verfahren bei diesen Zahlen überhaupt verschieden verteilen. Geben alle dieselbe Verteilung, ist die Wahl des Verfahrens bei diesen Zahlen folgenlos.

Entscheiden Sie dann, welchen Fehler Ihr Beirat am ehesten hinnehmen kann, und schreiben Sie das Verfahren in die Satzung. Wer jedem Verband mindestens einen Sitz zusichern will, wie Huntington–Hill es vorab tut, zahlt dafür bei der Quotenregel: Der Sitz für einen kleinen Verband fehlt dann bei gleicher Sitzzahl einem anderen.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet exakt; die gezählten Anteile gelten nur für ihre Zufallsbeispiele, nicht für einen bestimmten Beirat. Sie zeigt, was jedes Verfahren kostet, nicht, wie Ihr Beirat verteilen sollte.

Woran Sie es im Betrieb erkennen: Ein Verband beschwert sich, er habe weniger Sitze als bei der letzten Verteilung, obwohl der Beirat gewachsen ist oder er selbst stärker gewachsen ist als ein anderer Verband. In den Zufallsbeispielen der Demo passiert das beim wachsenden Beirat nur beim Verfahren mit den Bruchteilen, beim stärker wachsenden Verband nur dort und bei der Quotenmethode. Dann lohnt der Blick in die Satzung: Nach welchem Rundungsverfahren wird dort gerechnet?

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst Modell und Methodik der Demo zusammen; die vollständige Formulierung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Eingabe: \(k\) Verbände mit ganzzahligen Mitgliederzahlen \(p_i\) (erzeugt oder eingegeben; Regler 3 bis 12 Verbände, eigene Eingabe 2 bis 20, 1 bis 10.000.000 Mitglieder je Verband) und \(h\) Sitze (5 bis 150); \(P = \sum_i p_i\) ist die Gesamtzahl der Mitglieder.
• Fünf Verfahren: Hamilton (abgerundete Quote, übrige Sitze an die größten Reste); Jefferson, Webster und Huntington–Hill vergeben die Sitze einzeln an den größten Rang, Mitglieder je (Sitze + 1), je (Sitze + ½) und je \(\sqrt{s(s+1)}\), bei Huntington–Hill nachdem jeder Verband einen Sitz sicher hat (das Verfahren braucht \(h \ge k\) und gibt sonst „nicht möglich“ zurück); die Quotenmethode (eigene Ausführung des Verfahrens von Balinski und Young) arbeitet wie Jefferson, lässt einen Verband den \(t\)-ten Sitz aber nur bekommen, wenn er danach höchstens die aufgerundete Quote für \(t\) Sitze hat.
• Gleichstände: Es entscheidet die kleinere Verbandsnummer, bei Hamilton erst der größere Rest.
• Exakte Rechnung: alle Verteilungen mit ganzen Zahlen (Kreuzmultiplikation statt Brüchen, Quadrate statt Wurzeln), fractions nur für die exakten Quoten und Divisor-Bereiche; es gibt keine Rundungsfehler.
• Alabama-Paradox: Die Demo prüft jeden Schritt „ein Sitz mehr“ von \(h = k\) bis 150.
• Bevölkerungsparadox: Mitgliederzahlen ein Jahr später (eingegeben oder erzeugt, −4 % bis +8 % je Verband), die Zahl der Sitze bleibt gleich.
• Zufallsinstanzen und Reihen: drei Erzeuger für Mitgliederzahlen (Zufall, ein großer Verband, ähnlich groß); die drei festen Reihen zählen Anteile in je 300 Zufallsinstanzen (Mitgliederzahlen logarithmisch normalverteilt, wenige große und viele kleine Verbände) mit festen Zufalls-Seeds, unabhängig von den Reglern.

Die Formeln

Die Quote eines Verbands ist sein Anteil an den Sitzen, ungerundet:

\[q_i = p_i h / P\]

Die Quotenregel verlangt, dass die Sitze \(s_i\) zwischen der abgerundeten und der aufgerundeten Quote liegen:

\[\lfloor q_i \rfloor \le s_i \le \lceil q_i \rceil\]

Hamilton gibt \(s_i = \lfloor q_i \rfloor\) und verteilt die übrigen \(h - \sum_i \lfloor q_i \rfloor\) Sitze an die größten Reste \(q_i - \lfloor q_i \rfloor\). Für Jefferson, Webster und Huntington–Hill gibt es (außer bei Gleichstand an der Sitzgrenze) einen Divisor \(d\) mit \(s_i = [\,p_i / d\,]\) und \(\sum_i s_i = h\): Jefferson rundet ab, Webster kaufmännisch, Huntington–Hill bei \(\sqrt{s(s+1)}\) (mindestens ein Sitz). Als Rangfolge je nächster Sitz:

\[\text{Jefferson: } \frac{p_i}{s_i + 1}, \qquad \text{Webster: } \frac{p_i}{s_i + 1/2}, \qquad \text{Huntington–Hill: } \frac{p_i}{\sqrt{s_i (s_i + 1)}}\]

Die Demo vergleicht die Ränge ganzzahlig: \(p_i / (s_i + 1)\) gegen \(p_j / (s_j + 1)\) durch \(p_i (s_j + 1)\) gegen \(p_j (s_i + 1)\), bei Huntington–Hill durch Quadrieren (\(p_i^2 / (s_i (s_i + 1))\)). Die Quotenmethode vergibt Sitz \(t\) von 1 bis \(h\) nur an Verbände mit \(s_i + 1 \le \lceil p_i t / P \rceil\); unter ihnen gewinnt der größte Rang \(p_i / (s_i + 1)\). Das Alabama-Paradox liegt vor, wenn ein Verband bei einem Sitz mehr im Haus weniger bekommt:

\[s_i(h+1) < s_i(h)\]

Beim Bevölkerungsparadox wächst Verband \(i\) prozentual stärker als \(j\) (Mitgliederzahlen \(p_i'\), \(p_j'\) ein Jahr später),

\[p_i'/p_i > p_j'/p_j\]

aber es gilt \(s_i' < s_i\) und \(s_j' > s_j\): \(i\) verliert einen Sitz, den \(j\) gewinnt. Warum Hamilton beim Alabama-Paradox anfällig ist, lässt sich an der Definition ablesen: Die Quote \(q_i = p_i h / P\) wächst mit \(h\) um \(p_i / P\) je Sitz, bei großen Verbänden also schneller als bei kleinen, und mit ihr ändern sich die Reste, an denen die übrigen Sitze hängen; die Reihenfolge der Reste kann dabei kippen (Überlegung aus der Definition, nicht aus der README, siehe Vermerk unter „Quellen“).

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py). Die Verteilungen sind exakt gerechnet; die Reihen zählen Anteile in je 300 Zufallsinstanzen mit der Größenverteilung „Zufall“ (wenige große und viele kleine Verbände) und festen Zufalls-Seeds, mit der jeweils genannten Zahl von Verbänden und den genannten Hausgrößen. Bei anderen Größenverteilungen oder Hausgrößen können die Anteile abweichen.

Frage	Befund
Stimmt der Kern?	Hamilton ist gleich der Rechnung mit Brüchen und gleich der Aufzählung aller Verteilungen (kleinste Summe der Abweichungsquadrate). Jefferson, Webster und Huntington–Hill sind gleich der globalen Rangliste aller Ansprüche; der Divisor-Bereich aus der Rundungsregel reproduziert jede Verteilung (die obere Grenze gehört dazu, die untere nicht). Jefferson minimiert den größten Anspruch auf einen weiteren Sitz, Webster die gewichteten Abweichungsquadrate (Aufzählung); die Quotenmethode ist gleich ihrer Definition mit Brüchen. Mutationsprüfung des Kerns: 117 Stellen, 115 gefangen, 2 als äquivalent festgehalten.
Wie oft verliert ein Verband, wenn das Haus wächst (Alabama-Paradox)?	Nur Hamilton: in 14.481 von 213.000 Schritten „ein Sitz mehr“ (6,80 %). Je Zahl der Verbände (4, 6, 8, 10, 12) in mindestens einem Schritt bei 285, 296, 299, 300, 300 von 300 Instanzen (95, 99, 100, 100, 100 %) und in 3,95, 5,87, 7,37, 8,10, 8,88 % der Schritte. Jefferson, Webster, Huntington–Hill und die Quotenmethode: nie (Hausmonotonie, bei den Divisormethoden und der Quotenmethode durch den Bau, hier bestätigt).
Wie oft wird die Quotenregel verletzt?	Über 1.200 Instanzen (acht Verbände, 16, 24, 48, 80 Sitze): Jefferson 44,2 % (530), Huntington–Hill 11,2 % (135), Webster 1,3 % (16), Hamilton und Quotenmethode 0 %. Jefferson verletzt nur nach oben, nie unter die abgerundete Quote.
Kommen die Verstöße von Huntington–Hill vom Mindestsitz?	Überwiegend ja. Haben alle Verbände eine Quote von mindestens 1, sind es 4 von 420 Instanzen (1,0 %), sonst 131 von 780 (16,8 %); von 135 Verstößen insgesamt treten also 131 bei einer Quote unter 1 auf. Die Teilung vermengt den Mindestsitz mit Hausgröße und Streuung der Größen; der Fall mit der Quote unter 1 zeigt aber den Mechanismus. Von Hand: 1.200, 300, 200, 100 Mitglieder, 6 Sitze: der große Verband hat die Quote 4 und bekommt 3.
Wie oft tritt das Bevölkerungsparadox auf?	Über 900 Instanzen (acht Verbände, 16, 32, 64 Sitze, Änderung −4 % bis +8 %): Hamilton 17 (1,9 %), Quotenmethode 11 (1,2 %), Jefferson, Webster und Huntington–Hill nie. Die Quotenmethode löst das Alabama-Paradox und hält die Quotenregel, zahlt aber mit dem Bevölkerungsparadox.
Wie verschieden sind die Verfahren?	Anteil der Instanzen mit verschiedener Verteilung (900): Hamilton–Webster 22 %, Jefferson–Quotenmethode 43 %, Webster–Huntington–Hill 48 %, Hamilton–Huntington–Hill 51 %, Webster–Quotenmethode 83 %, Hamilton–Quotenmethode 85 %, Jefferson–Webster 89 %, Hamilton–Jefferson 91 %, Huntington–Hill–Quotenmethode 95 %, Jefferson–Huntington–Hill 96 %.
Was zeigt die Standardinstanz?	Acht Verbände (521, 840, 5.279, 1.933, 194, 995, 536, 1.160 Mitglieder), 40 Sitze: Der größte Verband hat die Quote 18,43, Jefferson gibt ihm 20 Sitze (erlaubt 18 bis 19) und dem kleinsten (Quote 0,68) keinen. Hamilton, Webster und Huntington–Hill stimmen überein; die Quotenmethode gibt dem größten 19. Hamilton verliert beim Schritt von 20 auf 21 Sitze bei V2 einen Sitz.
Welche Fälle sind von Hand nachgerechnet?	Alabama-Paradox: 900, 600, 300, 100 Mitglieder, Hamilton gibt dem kleinsten bei 7 Sitzen einen, bei 8 keinen. Jefferson verfehlt die Quote: 700, 400, 200, 100 Mitglieder, 8 Sitze, Quote 4, Jefferson gibt 5. Bevölkerungsparadox: 330, 150, 100, 60 Mitglieder werden zu 330, 170, 100, 70, 14 Sitze; der kleinste wächst um 16,7 %, der zweite um 13,3 %, Hamilton gibt dem zweiten einen Sitz mehr.

Grenzen

• Hausgröße und Mitgliederzahlen: Die Hausgröße steht fest und die Mitgliederzahlen sind genau; Zählfehler und Stichtage ändern die Verteilung. Bei mehreren Stichtagen kann Hamilton (und die Quotenmethode) einem wachsenden Verband einen Sitz nehmen.
• Gleichstände: Die Demo nimmt die kleinere Verbandsnummer; Satzungen entscheiden meist per Los oder nach fester Regel. Gleichstände entstehen vor allem bei gleichen oder vielfachen Mitgliederzahlen; wie oft, hängt auch vom Verfahren ab. Gleiche Mitgliederzahlen sind in den Zufallsreihen selten.
• Eigene Ausführung: Die Quotenmethode ist eine eigene Ausführung des Verfahrens von Balinski und Young mit Jefferson als Rangfolge; andere Ausführungen können abweichen.
• Mindestsitz: Huntington–Hill gibt jedem Verband einen Sitz und rechnet nur für \(h \ge k\). Die anderen Verfahren lassen sehr kleine Verbände leer ausgehen; wer einen Mindestsitz verlangt, zahlt mit der Quotenregel.
• Zählungen in Zufallsinstanzen: Die Reihen gelten für die Größenverteilung „Zufall“ und acht Verbände (Reihe 1: 4 bis 12); bei anderen Verteilungen oder Hausgrößen können die Anteile abweichen. Das Alabama-Paradox wird nur für Hausgrößen ab der Zahl der Verbände (bis 150 Sitze) gesucht.
• Kein Verfahren kann alles: Quotenregel und Bevölkerungsmonotonie lassen sich nach Balinski und Young nicht zugleich erfüllen (ab vier Verbänden; aus dem Gedächtnis). Die Demo zeigt, welches Opfer jedes Verfahren bringt, ohne den Satz zu beweisen.
• Modell, kein Befund über Verbände: Die Zahlen sagen, was die Rechnung für erzeugte oder eingegebene Mitgliederzahlen liefert, nicht, wie ein bestimmter Beirat verteilen sollte.
• Nicht enthalten: mehrere Ebenen (erst Länder, dann Parteien; Überhang- und Ausgleichsmandate, Sperrklauseln), weitere Verfahren (Droop-Quote, Adams, Dean, Imperiali), Los bei Gleichstand, Mindestgrößen je Verband und Beweise der Unmöglichkeitssätze.

Quellen

• Balinski, M. L., Young, H. P. (1982): Fair Representation (zu den Verfahren, den Paradoxen und der Unmöglichkeit, Quotenregel und Bevölkerungsmonotonie zu vereinen).
• Pukelsheim, F. (2014): Proportional Representation (zu den Divisormethoden).
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/sitzverteilung-demo.

Die genannten Werke wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; die Angaben stammen aus der README und dem Expander der Demo, wo sie als „aus dem Gedächtnis, nicht im Original geprüft“ stehen. Das gilt auch für den Satz zur Unmöglichkeit von Quotenregel und Bevölkerungsmonotonie. Nicht aus der README stammt die Überlegung zum Alabama-Paradox bei Hamilton (Quoten und Reste ändern sich mit der Hausgröße); sie folgt aus der Definition und ist keine Messung.