Sitzordnung am runden Tisch verständlich erklärt

An einem runden Tisch haben Gäste Wünsche über ihre Nachbarn. Hält der beste Sitzplan, wenn sie sich umsetzen dürfen, und wer soll bei einem Tausch mitreden? Diese Seite erklärt erst für Einsteiger ohne Formeln, dann für Fachleute mit Modell, Formeln und Messwerten, was dabei passiert, wenn die Wünsche nicht gegenseitig sind.

Zuletzt aktualisiert: 15. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Das Bild: ein runder Tisch und Wünsche über die Nachbarn

Zehn Gäste sitzen an einem runden Tisch. Jeder Gast mag manche Leute lieber als Nachbarn als andere. Dieser Wunsch ist eine Zahl: positiv, wenn er gern neben jemandem sitzt, negativ, wenn ungern. Wie zufrieden ein Gast ist, hängt davon ab, wer links und rechts von ihm sitzt, und die Zufriedenheit aller zusammen nennt die Demo die Gesamtstimmung. Das Beispiel stammt aus der Demo, einem Programm zum Ausprobieren im Browser. Der Tisch, die Gäste und ihre Wünsche sind ausgedacht, es sind keine echten Gäste.

Ein Veranstalter kann einen Plan vorgeben, in dem die Gesamtstimmung so hoch wie möglich ist (der beste Plan), und die Gäste danach umsetzen lassen. Die Frage der Seite: Bleibt der beste Plan stehen, weil kein Tausch mehr lohnt, wenn zwei Gäste ihre Plätze tauschen dürfen, sobald es ihnen nützt? Die Demo misst jede Sitzordnung auf einer Skala von 0 bis 100: 0 steht für eine zufällig gesetzte Ordnung, 100 für den besten Plan.

Wenn Wünsche gegenseitig sind, hält der Plan

Sind die Wünsche gegenseitig (wer wen mag, mag zurück), gilt: Jeder Tausch, bei dem beide Tauschpartner gewinnen, macht die Gesamtstimmung besser. Der Grund: Weil jede Sympathie in beide Richtungen zählt, ändert sich die Gesamtstimmung bei einem Tausch stets im Sinn des Gewinns der beiden Tauschpartner zusammen: Gewinnen beide, steigt sie. Im besten Plan ist die Gesamtstimmung schon so hoch wie möglich, also gibt es keinen solchen Tausch mehr. Der Plan bleibt stehen. Das ist bei gegenseitigen Wünschen garantiert.

Wenn Wünsche einseitig sind, kann der Plan kippen

Im Alltag sind Wünsche oft einseitig: Anna sitzt gern neben Ben, aber Ben ist das gleichgültig. Tauscht Anna mit Dora, damit sie neben Ben sitzt, und freut das beide, kann zugleich Carl verlieren, der nun statt Anna neben Dora sitzt. Ein Tausch kann also beiden Tauschpartnern nützen und einem Nachbarn schaden, und die Gesamtstimmung sinkt trotzdem. Der beste Plan wird dadurch verlassen. In der Demo gibt es bei acht Gästen und einseitigen Wünschen in 59 von 100 ausgedachten Tischen einen Tausch, bei dem beide gewinnen, obwohl der Plan der beste war.

Lässt man die Gäste dann immer weiter tauschen, entfernt sich die Gesamtstimmung weit vom Plan. Die Demo misst das auf einer Skala von 0 bis 100: 0 steht für eine zufällig gesetzte Ordnung, 100 für den besten Plan. Lässt man aus dem besten Plan nach der Regel „beide gewinnen“ (siehe unten) tauschen, sinkt der Wert bei einseitigen Wünschen auf 83 bei acht Gästen und auf 43 bei vierzig Gästen.

Wer darf mitreden? Drei Regeln

Die Demo vergleicht drei Regeln, wann ein Tausch erlaubt ist:

• Beide gewinnen: Der Tausch gilt, wenn beide Tauschpartner danach zufriedener sind. Um die Nachbarn kümmert sich niemand.
• Alle einverstanden: Zusätzlich darf kein anderer Gast verlieren, der durch den Tausch neue Nachbarn bekommt. Jeder Betroffene hat ein Veto.
• Mit Ausgleich: Der Tausch gilt, wenn die Gesamtstimmung steigt. Wer dabei verliert, wird ausgeglichen, etwa von denen, die gewinnen; die Demo rechnet nur, ob es sich insgesamt lohnt. Das ist eine Annahme: Sie setzt voraus, dass sich Zufriedenheit vergleichen und ausgleichen lässt.

Was die Regeln bewirken

Beide gewinnen: Bei einseitigen Wünschen kann das Tauschen im Kreis laufen. A tauscht mit B, später B mit C, und irgendwann ist wieder dieselbe Sitzordnung erreicht. Die Demo kann das beweisen: Sie lässt immer das erste Paar tauschen, das tauschen darf, und sobald eine Sitzordnung zum zweiten Mal erscheint, geht es von da an für immer im Kreis weiter. Bei gegenseitigen Wünschen passiert das nie.

Alle einverstanden: Das Veto lähmt. Fast jeder Tausch schadet irgendeinem Nachbarn, also bleibt fast alles, wie es ist. Bei einseitigen Wünschen erreicht diese Regel auf der Skala nur etwa 30 bis 34 von 100.

Mit Ausgleich: Dieser Prozess kommt immer zur Ruhe, denn die Gesamtstimmung steigt bei jedem Tausch und kann nicht ewig steigen. Er erreicht 81 bis 95 von 100, trifft die beste Ordnung aber nur bei kleinen Tischen: bei acht Gästen in 90 von 200 Durchgängen (je ausgedachtem Tisch zwei), bei vierzig Gästen in keinem.

Häufige Missverständnisse

• „Wenn der Plan der beste ist, bleibt er immer stehen.“ Nur bei gegenseitigen Wünschen ist das garantiert.
• „Mehr Mitsprache ist besser.“ Nicht ohne Weiteres: Ein Veto für alle Betroffenen lähmt in der Demo fast jeden Tausch.
• „Wer tauschen darf, landet bei der besten Ordnung.“ Nein: Auch mit Ausgleich endet das Tauschen oft vor der besten Ordnung.

Was Sie mitnehmen

• Fragen Sie, ob die Wünsche gegenseitig sind. Wenn nicht, kann ein bester Plan nicht auf Dauer halten.
• Legen Sie vorher fest, wer bei einem Tausch mitreden darf. Die Regel entscheidet, ob wenig, viel oder gar nichts umgesetzt wird.
• Im Betrieb erkennen Sie ein Problem daran, dass dieselben Gäste immer wieder die Plätze wechseln wollen.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Alles ist ausgedacht: der Tisch, die Gäste und ihre Wünsche. Wie einseitig echte Wünsche sind, ist nicht gemessen; die stärksten Ergebnisse gelten für einseitige Wünsche. Die Regel „mit Ausgleich“ ist eine Annahme, kein beobachtetes Verhalten. Gruppen, die zusammenbleiben, und Wünsche, die sich ändern, fehlen.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst das Modell der Demo zusammen, eines Programms zum Ausprobieren im Browser (Knopf unten). Die Wünsche sind Zufallsmodelle; die Zahlen gelten für die genannten Einstellungen, feste Zufalls-Seeds und die gesetzten Annahmen.

• Tisch: \(n = 6\) bis 16 Gäste im Kreis. Der Nutzen eines Gastes ist die Summe seiner Wünsche für den linken und den rechten Nachbarn, die Wohlfahrt \(W\) die Summe aller Nutzen. Sie hängt nur von \(w_{ij} = U_{ij} + U_{ji}\) ab: Sie ist die Summe von \(w\) über die Paare, die nebeneinander sitzen.
• Wünsche (Zufallsmodelle): reell (Normalverteilung) und −1/0/+1, jeweils mit einem Regler für die Unsymmetrie (0 = symmetrisch, 1 = jeder Wunsch unabhängig); zwei Lager (+1 im Lager, −1 dazwischen; symmetrisch); alle mögen dieselben (Beliebtheit der Gäste plus Rauschen; unsymmetrisch; die Wohlfahrt hängt hier nur vom Rauschen ab, weil jede Beliebtheit über beide Nachbarseiten gleich oft eingeht).
• Tauschregeln: Ein Tausch zweier Plätze ist erlaubt, wenn nach R1 beide Tauschpartner strikt gewinnen (jeder Gast: Nutzen auf dem neuen Platz größer als auf dem alten), nach R2 zusätzlich kein anderer Betroffener (die Gäste der Nachbarplätze) verliert, nach R3 die Summe aller Nutzen steigt, unabhängig davon, ob die beiden Tauschpartner selbst gewinnen. R1 heißt in den Tabellen „beide gewinnen“, R2 „alle einverstanden“, R3 „mit Ausgleich“. R3 setzt voraus, dass sich Nutzen vergleichen und die Verlierer ausgleichen lassen: das ist eine Annahme, keine Aussage über echte Gäste. R0 ist der Plan ohne Tausch.
• Optimum: die größte Wohlfahrt über alle Anordnungen. Es ist ein Hamiltonkreis maximalen Gewichts auf \(w\) (Max-TSP), auch bei unsymmetrischen Wünschen; live per Held–Karp bis 16 Gäste, in den Messreihen bei 20 und 40 Gästen mit CP-SAT. Skala der Ergebnisse: 0 = Mittel von 200 zufälligen Anordnungen, 1 = Optimum.
• Läufe: Je Lauf wird ein erlaubtes Paar zufällig gezogen, bis keines mehr existiert oder die Zuggrenze erreicht ist (Messreihen 500; deterministische Probe 1.500). „Stabil“ heißt: kein Tausch nach R1 möglich. Neid eines Gastes: Er würde durch Tausch mit irgendjemandem strikt gewinnen, unabhängig davon, ob der Tausch erlaubt ist. Die deterministische Probe nimmt immer das erste erlaubte Paar und merkt sich jeden Zustand; kehrt einer wieder, läuft der Prozess für immer im Kreis (bewiesen). Gestartet wird beim optimalen Plan oder bei einer zufälligen Anordnung.
• Berechnung: Alle Zufallsfolgen kommen aus einem eigenen SplitMix64 mit festem Zufalls-Seed; die Messreihen nutzen 100 Instanzen je Zelle bei 8, 12 und 16 Gästen, 30 bei 20 und 12 bei 40 Gästen.

Die Formeln

Jedes Nachbarpaar trägt \(U_{ij} + U_{ji}\) bei; mit \(w_{ij} = U_{ij} + U_{ji}\) ist die Wohlfahrt die Länge des Kreises \(\pi\) in den Gewichten \(w\):

\[W(\pi) = \sum_{k=1}^{n} \bigl(U_{\pi_k \pi_{k-1}} + U_{\pi_k \pi_{k+1}}\bigr) = \sum_{k=1}^{n} w_{\pi_k \pi_{k+1}}\]

Das Optimum ist deshalb ein Hamiltonkreis maximalen Gewichts (Max-TSP), auch bei unsymmetrischen Wünschen. Held–Karp: \(f(S, j)\) sei das größte Gewicht eines Weges durch die Gäste in \(S\), der bei Gast \(n\) beginnt und bei \(j \in S\) endet (Anfang \(f(\{j\}, j) = w_{nj}\), Abschluss \(\max_j \bigl(f(\{1, \dots, n-1\}, j) + w_{jn}\bigr)\)):

\[f(S, j) = \max_{i \in S \setminus \{j\}} \bigl(f(S \setminus \{j\}, i) + w_{ij}\bigr)\]

Potenzial bei symmetrischen Wünschen: Tauschen die Gäste auf den Plätzen \(a\) und \(b\) ihre Plätze und gewinnen sie dabei \(\Delta_a\) und \(\Delta_b\) (Nutzen auf dem neuen Platz minus Nutzen auf dem alten), so ändert sich die Wohlfahrt um das Doppelte der Summe:

\[W(\pi') - W(\pi) = 2\,(\Delta_a + \Delta_b) \qquad (U_{ij} = U_{ji})\]

Jeder Tausch nach R1 erhöht dann \(W\); die Dynamik hält an, und jede wohlfahrtsmaximale Anordnung ist stabil. Bei unsymmetrischen Wünschen gilt das nicht, und der Prozess kann kreisen. Bei R3 steigt \(W\) bei jedem erlaubten Tausch, auch bei unsymmetrischen Wünschen. Der Anteil der Spanne ist \((W - \bar W_{\text{zufällig}}) / (W_{\text{opt}} - \bar W_{\text{zufällig}})\) mit dem Mittel \(\bar W_{\text{zufällig}}\) von 200 zufälligen Anordnungen.

Durchgerechnet: ein Tausch, den ein Nachbar nicht mitträgt

Rechnung dieser Seite, in der Demo als Test geführt. Sechs Gäste auf den Plätzen 0 bis 5, Platz \(k\) hat Gast \(k\). Getauscht werden die Plätze 0 und 3. Gast 0 (Nachbarn 5 und 1) will neben Gast 2 sitzen: auf Platz 3 gewinnt er 1. Gast 3 will neben Gast 5 sitzen: auf Platz 0 gewinnt er 1. Gast 5 sitzt neben Platz 0 und verliert bei dem Tausch den Nachbarn 0; sein Verlust sei 2, 0,5 oder 0. Alle übrigen Wünsche sind 0.

• R1 erlaubt den Tausch in allen drei Fällen, denn beide Tauschpartner gewinnen je 1.
• R2 erlaubt ihn nur im letzten Fall (Verlust 0), denn sonst verliert ein Betroffener.
• R3 erlaubt ihn in den letzten zwei Fällen: Die Wohlfahrt ändert sich um 2 minus den Verlust, also um 0 beim Verlust 2 (kein Tausch), um 1,5 beim Verlust 0,5 und um 2 beim Verlust 0.

Befunde: Plan, Zyklen, Veto und Ausgleich

Alle Zahlen dieses und des folgenden Abschnitts stammen aus vorgerechneten Messreihen. 1.958 Instanzen, in allen war das Optimum bewiesen (bei 20 und 40 Gästen für auf vier Dezimalstellen gerundete Gewichte). Anteil = Anteil der Spanne (0 = zufällige Anordnung, 1 = Optimum; er kann negativ werden, wenn eine Anordnung schlechter ist als das Zufallsmittel), bei „Start beim Plan“ ein Lauf je Instanz, sonst Mittel über Instanzen und zwei zufällige Starts, bis 500 Tauschzüge; „unsymmetrisch“ heißt Unsymmetrie 1 (bei −1/0/+1 wird jeder Wunsch unabhängig neu gezogen; bei „alle mögen dieselben“ ist die Unsymmetrie festgelegt), ohne Zusatz reelle Wünsche; die Werte in Klammern gelten für 8 / 12 / 16 / 20 / 40 Gäste. Alle Wunschmatrizen sind Annahmen.

Frage	Befund
Hält der beste Plan, wenn Gäste tauschen dürfen?	Garantiert nur bei symmetrischen Wünschen. Bei unsymmetrischen kann er kippen: Bei reellen Wünschen gibt es beim optimalen Plan einen Tausch, bei dem beide Tauschpartner gewinnen, in 59 / 79 / 82 von 100, 24 von 30 und 12 von 12 Instanzen; bei −1/0/+1 in 22 / 15 / 18 von 100, bei „alle mögen dieselben“ in 20 / 29 / 36 von 100, 7 von 30 und 3 von 12. Bei −1/0/+1 gibt es oft mehrere gleich gute Anordnungen; der Plan ist die von Held–Karp gefundene, ob eine andere optimale Anordnung stabil wäre, ist nicht ausgewertet. Bei symmetrischen Wünschen (reell, −1/0/+1, zwei Lager) in keiner von 890 Instanzen (8 bis 16 Gäste) und keiner von 84 (20 und 40 Gäste). Bei „alle einverstanden“ und „mit Ausgleich“ nie.
Wie viel bleibt vom Plan, wenn man tauschen lässt?	Startet man beim optimalen Plan und lässt „beide gewinnen“ laufen, bleiben im Mittel über alle Instanzen (auch über die, in denen der Plan hält) bei unsymmetrischen reellen Wünschen 0,83 / 0,80 / 0,72 / 0,66 / 0,43 der Spanne (bei 40 Gästen kam kein Lauf von 12 nach 500 Tauschen zur Ruhe, bei 20 Gästen 12 von 30); bei −1/0/+1 0,97 / 0,98 / 0,98, bei „alle mögen dieselben“ 0,94 / 0,94 / 0,93.
Kann der Prozess im Kreis laufen?	Ja, bewiesen: in der deterministischen Probe kehrt bei „beide gewinnen“ und unsymmetrischen reellen Wünschen in 34 / 70 / 87 von 100, 29 von 30 und 12 von 12 Fällen ein Zustand wieder (bei −1/0/+1 8 / 12 / 17 von 100, bei „alle mögen dieselben“ 0 / 0 / 1 von 100, 1 von 30, 3 von 12). Bei symmetrischen Wünschen und bei den beiden anderen Regeln in keinem Fall.
Lähmt das Einverständnis aller Betroffenen?	Ja, bei unsymmetrischen Wünschen: 0,34 / 0,34 / 0,33 / 0,31 / 0,33 der Spanne (−1/0/+1: 0,36 / 0,35 / 0,37; „alle mögen dieselben“: 0,02 / 0,04 / 0,03 / 0,04 / 0,05) gegen 0,80 bis 0,95 mit Ausgleich (alle unsymmetrischen Wunschklassen). Bei symmetrischen reellen und −1/0/+1-Wünschen 0,51 bis 0,63.
Was leistet der Ausgleich?	Bei unsymmetrischen reellen Wünschen 0,95 / 0,88 / 0,85 / 0,84 / 0,81 der Spanne. Er kommt in allen 3.916 Läufen zur Ruhe, trifft das Optimum bei unsymmetrischen reellen Wünschen aber nur bei kleinen Tischen: 90 von 200 Läufen bei 8 Gästen, 8 bei 12, 1 bei 16, keiner bei 20 und 40 (über alle Wunschklassen 1.039 von 3.916 Läufen). Über alle Zellen liegt er zwischen 0,71 und 1,00.

Befunde: Neid, Lager, Existenz und Verweis

Frage	Befund
Wie steht es um Neid und den Schlechtestgestellten?	Bei −1/0/+1 und symmetrischen Wünschen beneiden am Ende des Ausgleichs 0,19 / 0,18 / 0,16 der Gäste, bei „beide gewinnen“ 0,40 / 0,39 / 0,41; bei „alle mögen dieselben“ unter „beide gewinnen“ 0,86 / 0,90 / 0,92 / 0,94 / 0,95 und unter „mit Ausgleich“ kaum weniger (0,84 bis 0,96): Dort senkt der Ausgleich den Neid nicht. Der Mindestnutzen liegt nach dem Ausgleich bei unsymmetrischen reellen Wünschen in allen fünf Größen näher am Mindestnutzen des Plans als nach „beide gewinnen“.
Wann ist die Frage leichter?	Bei zwei Lagern und wenigen Gästen: „beide gewinnen“ erreicht 1,00 / 0,88 / 0,79 / 0,78 / 0,72; in 8 von 100 Instanzen mit 8 Gästen und 2 von 100 mit 12 gibt es keine Spanne (alle im selben Lager oder ein einzelner Gast im anderen Lager: jede Anordnung hat dieselbe Wohlfahrt; übersprungen).
Gibt es immer eine stabile Anordnung?	Bei symmetrischen Wünschen ja (0 von 260 ohne, vollständige Aufzählung, 6 bis 8 Gäste). Bei unsymmetrischen reellen Wünschen ohne stabile Anordnung („beide gewinnen“): 14 von 100 (6 Gäste), 7 von 100 (7), 1 von 60 (8); bei −1/0/+1 und „alle mögen dieselben“ 0 von 260 je Klasse.
Kommt man durch Tauschen zum globalen Optimum?	Nein (Verweis, nicht Kern der Demo): unsymmetrische reelle Wünsche, 12 / 20 / 40 Gäste (20 / 12 / 6 Instanzen): Tauschen mit Ausgleich (R3) bis zur Ruhe 0,87 / 0,84 / 0,81, bestes von 10 Starts 0,98 / 0,92 / 0,86, Teilstück umkehren (2-opt, bestes von 10 Starts) 1,00 / 0,99 / 0,98; exakt (Held–Karp und CP-SAT) im Median unter einer Sekunde bei der Messung.

Was die Messung zeigt und was nicht

Belegt:

• Held–Karp ist gegen vollständige Aufzählung geprüft (vier Wunschklassen, symmetrisch und unsymmetrisch, 4 bis 7 Gäste), CP-SAT bei 8, 12 und 16 Gästen gegen Held–Karp; die Tauschregeln gegen einen unabhängigen Prüfer, der die Nutzen aller Gäste vor und nach dem Tausch vollständig neu berechnet; die Potenzialidentität bei symmetrischen Wünschen; die Zyklen der deterministischen Probe werden unabhängig nachgespielt. Die zweite Umsetzung stammt vom selben Autor: sie bestätigt die Umsetzung, nicht die Regeln.
• Die Tests der Demo zählen jede Zahl der Befund-Tabelle und rechnen zwei Zellen und die Existenzzählung bei 6 Gästen neu. Ein unabhängiger Prüfer bestätigte den Kern (Tauschregeln, Potenzialidentität, Zyklen, Existenz) und fand mehrere zu starke Formulierungen, die behoben sind. Eine frühere Messung hatte R1 und R2 über die Nutzenänderung je Platz statt je Gast gewertet; sie wurde ersetzt, die Aussagen blieben, die Zahlen weichen ab.

Belegt nicht:

• Die Wünsche sind gesetzte Zufallsmodelle, nicht an echten Gästen gemessen. Die stärksten Befunde (Plan kippt, Prozess kreist, Einverständnis lähmt) betreffen unsymmetrische Wünsche; ob echte Wünsche so unsymmetrisch sind, ist nicht gemessen.
• Mit Ausgleich ist eine Regel, kein beobachtetes Verhalten: Sie setzt voraus, dass sich Nutzen vergleichen und die Verlierer ausgleichen lassen. Das Optimum kennt alle Wünsche und ist ein Maßstab, kein Verhalten von Gästen.
• „Nicht zur Ruhe gekommen“ heißt nur, dass bis zur Grenze keine Ruhe eintrat. Bewiesene Zyklen zeigt nur die deterministische Probe (Grenze 1.500); in der zufälligen Dynamik kann ein Lauf einem Zyklus entkommen. Die Rechenzeit der exakten Verfahren gilt für diese Zufallsgewichte und den Rechner der Messung.
• Größere Tische (20 und 40 Gäste) sind mit 30 und 12 Instanzen gemessen, nur für unsymmetrische reelle Wünsche, „alle mögen dieselben“, zwei Lager und symmetrische reelle Wünsche. Ein runder Tisch ohne Gruppen, die zusammenbleiben, ohne Zeit und ohne Wünsche, die sich ändern. Zu „Veto gegen Ausgleich beim Tausch“ wurde in einer Websuche nichts Direktes gefunden; das heißt nicht, dass es nichts gibt.

Quellen

• Bodlaender, H. L.; Hanaka, T.; Jaffke, L.; Ono, H.; Otachi, Y.; van der Zanden, T. C. (2020): Hedonic Seat Arrangement Problems, arXiv:2002.10898 (Volltext nur teilweise gesehen; Existenz stabiler Anordnungen, Potenzialargument bei symmetrischen Wünschen).
• Berriaud, D.; Constantinescu, A.; Wattenhofer, R. (2023): Stable Dinner Party Seating Arrangements, arXiv:2305.09549 (Volltext nur teilweise gesehen; Stabilität und Neidfreiheit am Kreis, Zyklen der Tauschdynamik).
• Ceylan, E.; Chen, J.; Roy, S. (2023): Optimal Seat Arrangement: What Are the Hard and Easy Cases?, arXiv:2305.10381 (nur Zusammenfassung gesehen).
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/sitzordnung-tausch-demo.

Die Literaturangaben beruhen auf Titel, Zusammenfassung oder Teilen des Textes; diese Seite stützt keine Aussage auf einen vollständig gelesenen Text.