Saal mit Abstand verständlich erklärt

In einem Saal mit Abstandsregel bleibt zwischen fremden Gruppen ein Platz frei. Wer soll die Plätze vergeben, ein Platzanweiser oder die Gäste selbst? Diese Seite erklärt erst für Einsteiger ohne Formeln, dann für Fachleute mit Modell, Formeln und Messwerten, was freie Wahl kostet und wie Gäste abschneiden, die die Mitte nehmen oder Abstand suchen.

Zuletzt aktualisiert: 14. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Das Bild: ein Saal, in dem Abstand gehalten wird

Ein Saal hat Reihen mit Plätzen, etwa ein Kino oder ein Hörsaal. Gruppen von einer bis sechs Personen kommen nacheinander, und jede will nebeneinander sitzen. Zwischen zwei fremden Gruppen muss ein Platz frei bleiben. Jede Gruppe wird sofort gesetzt oder abgewiesen, später lässt sich nichts umsetzen. Gefragt ist, wer die Plätze aussucht: ein Platzanweiser, der von links her jeder Gruppe die erste Stelle zeigt, an der sie passt, oder die Gäste selbst.

Das Beispiel stammt aus der Demo, einem Programm zum Ausprobieren im Browser: acht Reihen mit je 16 Plätzen. Der Saal und die Gruppen sind ausgedacht, es sind keine echten Gäste. Kommen nur Einzelne, passt höchstens ein Gast, dann ein freier Platz, dann wieder ein Gast, und so weiter.

Warum freie Wahl Plätze kostet

Setzt sich ein Gast irgendwo in eine leere Reihe, bleibt links und rechts je ein Stück Reihe übrig, und beide Stücke sind kürzer als die ganze Reihe vorher. Der nächste setzt sich wieder irgendwohin, und so entstehen immer mehr kleine Reste, in die keine Gruppe mehr passt, obwohl noch Plätze frei sind. Ein Platzanweiser, der von links her füllt, setzt Gruppe an Gruppe, immer mit einem freien Platz dazwischen. Das ist wie beim Parken am Straßenrand: Wer mitten in eine lange Lücke parkt, verschenkt Raum. Kommen nur Einzelne, setzt der Platzanweiser abwechselnd einen Gast und lässt einen Platz frei; bei zufälliger Wahl bleiben dagegen immer wieder zwei Plätze nebeneinander leer.

Woran die Demo misst

Als Maßstab dient eine Zahl, die kein Platzanweiser je erreicht. Stellen Sie sich jemanden vor, der alle Gruppen eines Abends schon vorher kennt und die beste Auswahl daraus trifft; die Demo nennt das Offline-Optimum. Sie gibt an, wie viele von 100 Personen, die dieser Wissende setzen würde, ein Platzanweiser oder die Gäste setzen. Alle Vergabeweisen sehen dieselben Gruppen in derselben Reihenfolge, Paare, Familien oder gemischte Gruppen von einer bis sechs Personen.

Was Gäste kosten, die frei wählen

Fragen so viele Personen an, wie der Saal Plätze hat, erreicht der Platzanweiser in der Demo zwischen 92 und 94 von 100 Personen, die der Wissende setzt. Gäste, die frei unter allen erlaubten Plätzen wählen, erreichen zwischen 78 und 82 von 100. Das gilt für Paare, Familien und gemischte Gruppen. Auch wenn nur so viele Personen anfragen, wie 70 % der Plätze fassen, setzt die freie Wahl in der Demo 12 bis 16 von 100 Personen weniger als der Wissende, der Platzanweiser weniger als 1 von 100. Wegen der Abstände fasst ein Saal ohnehin weniger Personen als Plätze, deshalb ist auch dieser Saal schon fast voll.

Gäste, die die Mitte nehmen oder Abstand suchen

Gäste müssen nicht zufällig wählen. In der Demo nehmen sie auch den Platz in der Mitte des Saals, oder sie suchen den Platz, der von allen anderen Gästen am weitesten entfernt ist (Abstand suchen). Beide liegen in der Demo, wenn so viele Personen anfragen, wie der Saal Plätze hat, zwischen der freien Wahl und dem Platzanweiser: die Mitte und Abstand suchen bei je 86 bis 89 von 100. Das Verhalten ist dabei eine Annahme, keine Beobachtung echter Gäste.

Es gibt Ausnahmen. Kommen nur Einzelne, schneidet Abstand suchen in der Demo schlechter ab als zufällige Wahl. Und beim Schachbrett (eine strengere Regel, bei der auch vorn und hinten niemand Fremdes sitzen darf) liegt die Mitte in den gerechneten Fällen sogar vor dem Platzanweiser. Warum, hat die Demo nicht untersucht.

Strengere Regeln, Gruppen und feste Pläne

Die Demo rechnet auch zwei strengere Regeln: beim Schachbrett darf auch vorn und hinten niemand Fremdes sitzen, bei der strengen Regel zusätzlich nicht diagonal. Dann passen weniger Personen in den Saal. Gruppen können mehr Personen in den Saal bringen als Einzelne, aber nicht immer: Bei der Regel „nur seitlich“ passen in der Demo in einen Saal mit 10 Reihen zu je 16 Plätzen mit Gruppen aus drei, vier oder sechs Personen 120 Personen hinein, mit lauter Einzelnen nur 80; beim Schachbrett passen mit Gruppen nie mehr als 80.

Auch eine feste Sperrmatrix, ein Plan für alle Abende, der vorab festlegt, welche Plätze für welche Gruppengröße freigehalten werden, schneidet in der Demo schlechter ab als der Platzanweiser.

Häufige Missverständnisse

• „Wer Abstand halten will, verteilt sich schon richtig.“ Nicht ohne Weiteres: Auch wer gezielt Abstand sucht, bleibt in der Demo hinter dem Platzanweiser zurück (in den gerechneten Fällen mit Gruppen).
• „Ein nicht ganz voller Saal braucht keine Vergabe.“ Doch: Bei freier Wahl bleiben in der Demo schon dann Personen ohne Platz, wenn nur 70 % der Plätze angefragt werden.
• „Der Platzanweiser links ist immer die beste Wahl.“ Nein: Beim Schachbrett setzt die Mitte in den gerechneten Fällen mehr Personen.

Was Sie mitnehmen

• Wenn Sie selbst Plätze vergeben: Fragen Sie, wer die Plätze wählt und welche Reste dabei übrig bleiben.
• Vergleichen Sie jede Vergabe mit einem Maßstab, der alle Gruppen im Voraus kennt, nicht nur untereinander.
• Im Betrieb erkennen Sie das Problem daran, dass Gruppen abgewiesen werden, obwohl noch Plätze frei sind.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Alles ist ausgedacht: der Saal, die Gruppen und das Verhalten der Gäste. Zufällige Wahl, die Mitte und Abstand suchen sind Annahmen, keine Beobachtung. Gänge, Ränder, Wegezeiten und Familien, die sich auf zwei Reihen verteilen ließen, fehlen; Gruppen sitzen immer nebeneinander in einer Reihe.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst das Modell der Demo zusammen, eines Programms zum Ausprobieren im Browser (Knopf unten). Der Saal ist ausgedacht; die Zahlen gelten für die genannten Einstellungen, feste Zufalls-Seeds und die gesetzten Annahmen.

• Saal: Raster aus 2 bis 14 Reihen mit 6 bis 20 Plätzen. Saal mit Bogen: Die Reihen werden nach hinten länger (von etwa 60 % vorn bis etwa 140 % hinten der mittleren Länge, mindestens 6 und höchstens 28 Plätze), nur bei der Regel „nur seitlich“.
• Abstandsregel: Zellen verschiedener Gruppen dürfen nicht benachbart sein. ROW („nur seitlich“): seitlich benachbart, also eine Lücke in der Reihe. MANH („Schachbrett“): auch vorn und hinten (vier Nachbarn). KING („streng“): auch diagonal (acht Nachbarn). Eine Gruppe sitzt waagerecht zusammenhängend in einer Reihe; keine Gänge, keine Ränder.
• Gäste: Gruppen mit 1 bis 6 Personen nach einer von vier gesetzten Mischungen: nur Einzelne (Ø 1 Person), viele Paare (Anteile 0,25 / 0,50 / 0,10 / 0,15 für 1 bis 4 Personen; Ø 2,15), Familien (0,10 / 0,25 / 0,20 / 0,30 / 0,10 / 0,05 für 1 bis 6; Ø 3,2), gleichmäßig 1 bis 6 (Ø 3,5). Die Last ist die Zahl der angefragten Personen durch die Plätze; die Folge endet, sobald die angefragten Personen die Last erreichen.
• Vergabeweisen: Platzanweiser links (First-Fit: erste zulässige Reihe, links), Platzanweiser engste Lücke (Best-Fit), Gäste wählen frei (gleichverteilt unter allen zulässigen Plätzen; Random Sequential Adsorption mit Gruppen), Gäste wählen die Mitte (kleinster Abstand zur Mittelreihe, dann zur Reihenmitte), Gäste suchen Abstand (der Platz, dessen nächster besetzter Platz in allen Reihen, euklidisch, am weitesten entfernt ist). Zwei weitere Definitionen von „Abstand suchen“: nur Plätze derselben Reihe zählen, ohne und mit der Wand (die Wand zählt dann wie ein besetzter Platz). Bei Gleichstand gilt die erste Reihe, links. Das Verhalten der Gäste ist ein gesetztes Modell.
• Offline-Optimum: die größte Personenzahl, wenn jemand die ganze Folge kennt und frei auswählt, welche Gruppen er setzt. Es ist ein Maßstab, kein erreichbarer Wert; bei Überangebot misst die Lücke dazu auch, wen man bedient. Gerechnet als ganzzahliges Programm (HiGHS über SciPy) mit Zeitgrenze; wird sie erreicht, steht „nicht bewiesen“, und der Bezugswert der Folge ist nur eine untere Schranke.
• Feste Sperrmatrix: Der Betreiber legt vorab fest, welche Reihe in welche Gruppenplätze zerfällt (nach den Anteilen der Mischung, nicht optimiert), und weist jede Gruppe dem kleinsten freien passenden Platz zu; nur bei der Regel „nur seitlich“ und gleich langen Reihen.
• Berechnung: Alle Zufallsfolgen kommen aus einem eigenen SplitMix64 mit festem Zufalls-Seed; die Live-Rechnung der App nutzt 8 Anfragefolgen, die Messreihen 100 Folgen je Zelle (im Raster 100 Folgen bei Einzelnen, 40 sonst).

Die Formeln

Das Offline-Optimum ist ein ganzzahliges Programm mit einer 0/1-Variablen \(x_p\) je Platzierung \(p\) der Größe \(g_p\) und \(d_g\) Anfragen der Größe \(g\):

\[\max \sum_p g_p \, x_p \quad \text{mit} \quad \sum_{p:\, g_p = g} x_p \le d_g \ \text{ und } \ \sum_{p \ni c} x_p \le 1 \ \text{ für jede Zelle } c \text{ einer virtuellen Strecke.}\]

Seitlich belegt eine Platzierung der Größe \(g\) eine virtuelle Strecke von \(g + 1\) Plätzen (Gruppe plus Lücke): ein Intervallgraph, die Bedingung ist exakt. Vorn/hinten und diagonal (Schachbrett, streng) kommt je Zellpaar \(o_c + o_{c'} \le 1\) hinzu, wobei \(o_c\) die Zahl der gewählten Platzierungen ist, die mit einem Platz auf der Zelle \(c\) selbst sitzen (die Lückenzelle zählt nicht). Die Strecke am Reihenende reicht gedanklich über die Wand hinaus, dort ist keine Lücke nötig. In einer Reihe mit \(L\) Plätzen passen bei lauter gleich großen Gruppen höchstens

\[g \left\lfloor \frac{L + 1}{g + 1} \right\rfloor\]

Personen (Bin-Packing mit Behältern der Länge \(L + 1\) und Gegenständen der Länge \(g + 1\)). Wählt jeder Einzelgast gleichverteilt unter den zulässigen Plätzen einer Reihe mit \(n\) Plätzen, ist die erwartete Besetzung \(E(n)\) mit \(E(n) = 0\) für \(n \le 0\) und

\[E(n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \bigl(1 + E(i - 2) + E(n - i - 1)\bigr).\]

Der gewählte Platz \(i\) besetzt sich selbst und sperrt beide Nachbarn; links bleiben \(i - 2\), rechts \(n - i - 1\) freie Plätze, die sich unabhängig weiter füllen. Der Anteil am Offline-Optimum ist die Zahl gesetzter Personen durch die Personen des Optimums derselben Folge, gemittelt über die Folgen.

Durchgerechnet: eine Reihe mit sechs Plätzen

Rechnung dieser Seite, in der Demo nicht als Messreihe geführt (ihre Tests prüfen die Rekursion gegen den Mittelwert über alle Reihenfolgen der Plätze). Zufällige Wahl von Einzelnen in kleinen Reihen:

• Ein oder zwei Plätze: \(E(1) = 1\) und \(E(2) = 1\), denn der erste Gast sperrt den anderen Platz.
• Drei bis fünf Plätze: \(E(3) = (2 + 1 + 2)/3 = 5/3\), \(E(4) = (2 + 2 + 2 + 2)/4 = 2\) und \(E(5) = (8/3 + 2 + 3 + 2 + 8/3)/5 = 37/15\).
• Sechs Plätze: \(E(6) = (3 + 8/3 + 3 + 3 + 8/3 + 3)/6 = 26/9 \approx 2{,}889\) von höchstens 3 Plätzen (abwechselnd besetzt und frei), also 96,3 % der Obergrenze.
• Gruppen in einer Reihe mit 16 Plätzen: Bei Gruppen aus drei Personen ist \(\lfloor 17/4 \rfloor = 4\) die Zahl der Gruppen, also 12 Personen; zehn solche Reihen fassen 120 (siehe Befunde).

Befunde: Wer vergibt, Last und Abstand suchen

Alle Zahlen dieses und der folgenden Abschnitte stammen aus vorgerechneten Messreihen. Wo nichts anderes steht: Saal 8 × 16 mit gleich langen Reihen, Regel „nur seitlich“, Anteil am Offline-Optimum in Prozent der Personen, Mittel über 100 Folgen; das Offline-Optimum war in jeder Zelle der Messreihen zu Vergabeweisen, Raster und Gruppengrößen bewiesen (100 von 100 beziehungsweise 40 von 40 Folgen; für die Sperrmatrix nicht erfasst). Die Mischungen heißen „viele Paare / Familien / gleichmäßig 1 bis 6“. Alle Verhaltensparameter sind Annahmen.

Frage	Befund
Wer soll die Plätze vergeben?	Bei Last 1,0 erreicht der Platzanweiser links 92,4 / 93,5 / 92,9 %; Gäste wählen frei 81,5 / 80,1 / 78,2 %, die Mitte 89,0 / 88,3 / 86,3 %, Abstand suchen 85,9 / 88,3 / 87,4 %. In allen 12 Zellen mit Gruppen (zwei Säle, gleich lange Reihen und Bogen, drei Mischungen, Last 0,7 und 1,0) liegt der Platzanweiser vor jeder Gästeweise (kleinster Vorsprung 1,3 Punkte), und freie Wahl ist die schlechteste der fünf Vergabeweisen.
Braucht ein Saal mit Last 0,7 (angefragt werden 70 % der Plätze) einen Platzanweiser?	Im Modell „Gäste wählen frei“ ja: bei Last 0,7 (angefragt werden 70 % der Plätze) verliert freie Wahl 11,5 bis 15,5 % der Personen des Optimums, bei Last 1,0 18,5 bis 21,8 % (sechs Zellen je Last: zwei Säle, gleich lange Reihen und Bogen, drei Mischungen). Der Platzanweiser verliert bei Last 0,7 höchstens 0,7 %, bei Last 1,0 6,5 bis 7,7 %.
Was bringt „Abstand suchen“, und hängt das an der Definition?	Bei Last 1,0 und Paaren: Abstand zu allen Gästen 85,9 %, nur in der Reihe 82,9 %, nur in der Reihe mit Wand 76,0 %; die Reihenfolge Alle > Reihe > Reihe mit Wand gilt in allen 12 Zellen mit Gruppen. Abstand zu allen Gästen liegt in allen 12 Zellen über freier Wahl (mindestens 4,4 Punkte). Bei lauter Einzelnen: 82,8 % gegen 90,4 % bei freier Wahl (Saal 8 × 16), im Saal mit Bogen 92,4 % gegen 87,4 %. Im Raster liegt „Abstand suchen“ bei MANH in Familien gleichauf mit freier Wahl (Last 1,0 / 1,5: +0,2 / 0,0 Punkte) und bei Paaren darunter (Last 1,0 / 1,5: −3,0 / −2,7).
Gleichen Best-Fit und First-Fit sich?	Bei der Regel „nur seitlich“ ja: in allen 16 Zellen des Saals (gleich lange Reihen und Bogen, vier Mischungen einschließlich Einzelner, Last 0,7 und 1,0) unterscheiden sie sich um höchstens 0,04 Punkte, im Raster bei ROW und KING um höchstens 0,07. Beim Schachbrett (MANH) liegt Best-Fit bei Paaren 1,8 Punkte vor First-Fit und bei Familien 0,0 bis 0,2 Punkte dahinter.

Befunde: freie Wahl in der Reihe und im Raster, Gruppen, Sperrmatrix

Frage	Befund
Was kostet freie Wahl in einer Reihe?	Einzelne Gäste besetzen bei freier Wahl (exakte Rekursion) in einer Reihe mit 10 / 20 / 50 / 100 Plätzen 4,620 / 8,944 / 21,914 / 43,530 Plätze, das sind 92,4 / 89,4 / 87,7 / 87,1 % der Obergrenze (abwechselnd besetzt und frei); die Simulation (20 000 Läufe) liegt bei 100 Plätzen bei 43,533 ± 0,010. Grenzwert \((1 - e^{-2})/2 = 0{,}4323\) der Plätze, also 86,5 % der Obergrenze. Der Platzanweiser erreicht 100 %.
Und im Raster?	Raster 10 × 16, Einzelne, freie Wahl (eigene Messung mit 200 Läufen): ROW 72,2 von 80 (90,2 %), MANH 60,6 von 80 (75,7 %), KING 33,5 von 40 (83,7 %); der Platzanweiser erreicht jeweils 100 %. Bei ROW sind es zehn unabhängige Reihen: 10 · \(E(16)\) = 72,14.
Gilt die Rangfolge auch im Raster?	Raster 10 × 16, Paare und Familien, Last 1,0 und 1,5 (40 Folgen): Platzanweiser links 86,8 bis 93,5 %, freie Wahl 79,6 bis 81,5 % (ROW), 76,8 bis 80,8 % (MANH), 73,2 bis 75,9 % (KING); der Platzanweiser liegt in allen 12 Zellen vor freier Wahl. Beim Schachbrett (MANH) liegt die Mitte in allen vier Zellen vor dem Platzanweiser links (bei Paaren um 3,7 Punkte bei beiden Lasten, bei Familien um 1,8 und 2,2 Punkte bei Last 1,0 und 1,5; die Familien-Unterschiede sind knapp, etwa drei Standardfehler, und beide Lasten nutzen dieselben Zufalls-Seeds), bei ROW und KING dahinter (3,1 bis 5,4 Punkte).
Helfen Gruppen?	Raster 10 × 16, lauter gleich große Gruppen (exakt): ROW schafft mit Einzelnen 80, mit Gruppen zu 2 / 3 / 4 / 5 / 6 Personen 100 / 120 / 120 / 100 / 120 Personen; MANH nie mehr als die 80 der Einzelnen (80 / 80 / 75 / 80 / 75 / 60 für Gruppen zu 1 bis 6); KING hebt 40 auf 60 (40 / 50 / 60 / 60 / 50 / 60). Bei ROW stimmt das mit der Formel überein.
Lohnt eine feste Sperrmatrix?	Nicht in der einfachen Fassung nach den Anteilen der Mischung: sie liegt in allen sechs Zellen (drei Mischungen, Last 0,7 und 1,0) 3,2 bis 5,7 Punkte hinter dem Platzanweiser (gleich lange Reihen). Eine auf die Verteilung optimierte Vorlage ist ein anderer Vergleich und nicht nachgebaut.

Was die Messung zeigt und was nicht

Belegt:

• Das Offline-Optimum ist gegen die vollständige Aufzählung aller Belegungen kleiner Säle geprüft (alle drei Regeln, Saal mit Bogen), die Reihenformel gegen Aufzählung, die Rekursion der freien Wahl gegen den Mittelwert über alle Reihenfolgen der Plätze (bis 8 Plätze), gegen die Simulation und gegen den Grenzwert; First-Fit gegen eine naive Schleifenversion. Die zweite Umsetzung stammt vom selben Autor nach denselben Regeln: sie bestätigt die Umsetzung, nicht die Regeln.
• Die Tests der Demo zählen jede Zahl der Befund-Tabelle und rechnen die Rekursion, die Gruppenkapazitäten und die freie Wahl in einer Reihe neu. Ein unabhängiger Prüfer fand einen Fehler in der Live-Anzeige bei erreichter Zeitgrenze (Anteile über 100 %, behoben) und einen falschen Hilfetext (behoben).

Belegt nicht:

• Das Verhalten der Gäste (frei, Mitte, Abstand suchen) ist ein gesetztes Modell, keine Beobachtung echter Gäste; wie viel „Abstand suchen“ verliert, hängt an der Definition (76,0 bis 85,9 % bei Last 1,0 und Paaren).
• Das Offline-Optimum kennt die ganze Folge und wählt aus, welche Gruppen es setzt; es ist ein Maßstab und kein erreichbarer Online-Wert. Bei Überangebot misst die Lücke auch, wen man bedient.
• Der Saal ist ein Raster ohne Gänge, Ränder und Wegezeiten; Gruppen sitzen waagerecht zusammenhängend; Saal mit Bogen nur bei der Regel „nur seitlich“; höchstens 14 Reihen mit 20 Plätzen (im Saal mit Bogen als mittlere Länge). Die Live-Rechnung mittelt nur 8 Folgen; Unterschiede unter etwa einem Prozentpunkt gehen im Standardfehler unter.
• Die feste Sperrmatrix ist nur einfach (nach den Anteilen der Mischung), nur für gleich lange Reihen und nur bei der Regel „nur seitlich“ gerechnet. Zu „Gäste wählen frei gegen Platzanweiser“ und „Abstand suchen gegen Platzanweiser“ wurde in einer Websuche nichts gefunden; das heißt nicht, dass es nichts gibt.

Quellen

• Blom, D.; Pendavingh, R.; Spieksma, F. (2020): Filling a theatre in times of corona, arXiv:2010.01981 (nur Zusammenfassung gesehen; ganzzahliges Programm für Sitzpläne mit Abstand und Gruppen in einem Theater, mit anderer Abstandsregel als hier).
• Spahn, E.; Zeilberger, D. (2024): Counting maximal seatings, arXiv:2401.12430 (nur Zusammenfassung gesehen; zufällige Wahl in einer Reihe mit Lücke, Grenzwert 0,4323 der Plätze).
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/saal-abstand-demo.

Die Literaturangaben beruhen auf Titel oder Zusammenfassung; diese Seite stützt keine Aussage auf einen Volltext.