Der Prognosemarkt verständlich erklärt

Im Möbelhaus weiß jeder ein Stück davon, ob die Lieferung bis Freitag kommt, aber keiner das Ganze. Ein Markt, in dem man auf „ja“ oder „nein“ setzt, soll die Stücke zu einer Zahl zusammenfügen. Diese Seite zeigt, wann das gelingt und wie man es stört.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Wer weiß, ob die Lieferung kommt?

Ein Möbelhaus erwartet eine Lieferung bis Freitag. Der Lagerchef weiß, dass der Lastwagen losgefahren ist. Die Fahrerin meldet einen Stau. Der Einkäufer hörte von einer Panne beim Hersteller. Jeder kennt ein Stück, keiner das Ganze.

Die Chefin will eine einzige Zahl: Wie wahrscheinlich kommt die Lieferung rechtzeitig? Dazu dürfen die Beschäftigten handeln.

Es gibt Anteile auf „Ja, die Lieferung kommt“. Ein Anteil zahlt einen festen Betrag aus, wenn die Lieferung kommt, sonst nichts. Nehmen wir an, der Betrag ist ein Euro. Der Preis eines Anteils liegt zwischen null und diesem Betrag. Kostet er 60 Prozent des Betrags, hält der Markt die Lieferung für 60 Prozent wahrscheinlich.

Warum ist der Preis eine Wahrscheinlichkeit? Wer die Lieferung für sicherer hält als der Preis, kauft und treibt den Preis hoch. Wer sie für unsicherer hält, setzt auf „Nein“ und drückt ihn. Gekauft wird, bis der Preis zur eigenen Überzeugung passt. So landet das Wissen jedes Einzelnen im Preis.

Der Marktmacher, der immer mitspielt

Ein Handel braucht ein Gegenüber. Darum steht im Markt ein Automat, der Marktmacher. Er nimmt jeden Kauf und jeden Verkauf an, zu jeder Zeit. Stellen Sie sich einen Kiosk vor, dessen Preisschild sich von selbst verstellt: Je mehr Ja-Anteile er schon verkauft hat, desto teurer wird der nächste.

Er kann Geld verlieren: Lagen die Käufer richtig, hat er Anteile billiger abgegeben, als er sie auszahlen muss. Sein Verlust hat aber eine feste Obergrenze, wenn „Ja“ und „Nein“ zu Beginn gleich viel kosten. Der Grund: Steht der Preis schon fast beim vollen Auszahlungsbetrag, kostet ein weiterer Ja-Anteil fast so viel, wie er höchstens auszahlt. Er macht damit kaum noch Minus.

Wie hoch die Obergrenze liegt, bestimmt eine Einstellung, die der Betreiber vorher wählt: die Tiefe des Marktes. Bei kleiner Tiefe verschiebt schon ein Anteil den Preis stark, wie eine neue Stimme bei einem Produkt mit drei Bewertungen. Bei großer Tiefe muss man viel mehr Geld einsetzen, um den Preis um dasselbe Stück zu bewegen. Je größer die Tiefe, desto höher die Obergrenze.

Wer bringt sein Wissen in den Preis?

Nehmen wir zehn Beschäftigte, die nacheinander handeln. Jeder hat einen eigenen Hinweis aus einer eigenen Quelle, der mit 60 Prozent Wahrscheinlichkeit richtig liegt. Jeder kauft oder verkauft, bis der Preis auf seinem Wunschwert steht. Die Händler unterscheiden sich darin, wie sie ihn aus dem vorgefundenen Preis und ihrem Hinweis bilden. Es gibt drei Arten:

• Kluge Händler (Fachwort: Bayes-Händler): Sie lesen den Preis als das Wissen aller Vorgänger und rechnen den eigenen Hinweis dazu. Steht der Preis bei 60 Prozent und ihr Hinweis sagt „Ja“, wollen sie ihn höher haben als zuvor.
• Naive Händler: Ihr Wunschwert ist das, was ihr eigener Hinweis allein sagt. Den vorgefundenen Preis ignorieren sie.
• Mittler (Fachwort: Mittelwert-Händler): Ihr Wunschwert liegt in der Mitte zwischen dem vorgefundenen Preis und dem, was ihr Hinweis allein sagt.

Ein Beispiel mit drei Hinweisen: Ja, Ja, Nein. Der kluge Händler landet nach dem dritten wieder bei dem Preis, den ein einzelnes Ja ergab, bei 60 Prozent. Ein Nein hebt ein Ja auf. Der naive Händler endet bei 40 Prozent, weil er nur den letzten Hinweis sieht.

Bei den klugen Händlern wird der Preis in der Messung mit jedem Hinweis im Mittel besser. Der Grund: Jeder Hinweis kommt zum bisherigen Wissen hinzu, nichts geht verloren. Das gilt, solange die Hinweise voneinander unabhängig sind und niemand an sein Budget stößt. Das Budget ist das Geld, das er höchstens einsetzen darf.

Bei den naiven Händlern ist der Endpreis im Mittel so gut wie nach einem einzigen Händler, auch bei zehn. Der Grund: Der Letzte überschreibt alles, was die anderen in den Preis gelegt haben. Bei den Mittlern wird der Preis anfangs besser, ab etwa zehn Händlern in der Messung nicht mehr. Der Grund: Bei jedem Schritt zählt der alte Preis nur halb. Frühe Hinweise verblassen, und der Preis bleibt in der Nähe von 50 Prozent.

Wenn jemand den Preis verbiegen will

Nun kommt ein Störenfried. Er kauft ganz zum Schluss Ja-Anteile, um den Preis nach oben zu treiben, ganz gleich, was er für wahr hält. Sein Budget ist in der Messung so groß wie das aller ehrlichen Händler zusammen. Je kleiner die Tiefe, desto leichter gibt der Preis nach, denn dann bewegt jeder Anteil ihn stark.

Bewertet wird wie bei einem Wetterbericht: Man vergleicht den Preis mit dem, was dann eintrat. Wer „sicher trocken“ ansagt und im Regen steht, schneidet schlechter ab als wer „fünfzig zu fünfzig“ sagt. Als Nullmarke dient ein Markt, in dem nie jemand handelt und der Preis bei 50 Prozent bleibt. Nur wer besser abschneidet als diese Nullmarke, leistet etwas.

Gerechnet sind zehn kluge Händler, die je nur wenig Geld einsetzen dürfen, und ein Störenfried. Verglichen werden die kleinsten und die größte gerechnete Tiefe:

• Kleine Tiefe: Ohne Störenfried stoßen die Ehrlichen nicht an ihr Budget. Der Markt ist dann so gut, wie zehn schwache Hinweise es erlauben. Mit Störenfried steigt der Preis fast auf den vollen Auszahlungsbetrag, und der Markt ist schlechter als die Nullmarke.
• Größte gerechnete Tiefe: Der Störenfried richtet am wenigsten an, der Markt liegt knapp besser als die Nullmarke. Doch das kleine Budget der Ehrlichen reicht nicht mehr, um den Preis weit zu bewegen. Schon ohne Störenfried liegt der Markt nahe an der Nullmarke.

Dazwischen schrumpft der Schaden Schritt für Schritt, doch der Markt bleibt schlechter als die Nullmarke. Die Trägheit liegt am kleinen Budget der Ehrlichen, nicht an der Tiefe allein. Wer nur wenig einsetzen darf, bezahlt den Schutz gegen Verbiegen also mit Trägheit gegenüber echten Hinweisen.

Häufige Missverständnisse

• „60 Prozent heißt: 60 Prozent der Leute glauben es.“ Nein. Der Preis ist der Punkt, an dem sich die Lust auf „Ja“ und „Nein“ ausgleicht. Wer mehr einsetzen darf, bewegt ihn stärker.
• „Der Marktmacher ist wie ein Kiosk und verdient am Handel.“ Nein. Er zahlt im Mittel drauf, höchstens bis zur Obergrenze, und zwar mehr, je mehr Wissen im Preis landet. Wer besser informiert ist als der Preis, verdient im Mittel, und sein Gewinn kommt vom Marktmacher als einzigem Gegenüber.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• In einer Runde sagt jeder nur seine eigene Meinung und hört nicht auf die anderen. Dann weiß die Runde am Ende nicht mehr als der Letzte.
• Eine Zahl kippt ganz zum Schluss plötzlich um. Fragen Sie, wer zuletzt gekauft oder abgestimmt hat.

Wie ernst ist das Rechenbeispiel zu nehmen?

Alle Märkte im Programm sind erfunden, echte Daten gibt es nicht. Gerechnet ist ein einziger Störenfried, der einmal zuletzt kauft. Das Beispiel zeigt, wie sich ein solcher Markt verhält, nicht wie sich Menschen im Büro verhalten.

Was Sie mitnehmen

• Ein Markt sammelt nur so viel Wissen, wie seine Teilnehmer dem Preis zuhören.
• Fragen Sie bei jedem Preis, wie viel ein Einzelner einsetzen muss, um ihn zu verschieben.
• Vergleichen Sie jede Prognose mit dem Nichtstun: Erst der Abstand zur Nullmarke zeigt, ob sie etwas leistet.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, kurz Demo. Der erste Knopf unten öffnet es, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Zum Verstehen brauchen Sie es nicht.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Ein automatischer Marktmacher stellt für \(N\) sich ausschließende Ausgänge Preise und nimmt jeden Handel an. Ein Anteil auf Ausgang \(i\) zahlt 1, wenn \(i\) eintritt. Mit \(q_i\) bezeichnen wir die Zahl der bisher ausgegebenen Anteile auf Ausgang \(i\), mit \(q\) den Vektor und mit \(b > 0\) den Liquiditätsparameter. Die Beispielfrage lautet „Trifft die Lieferung bis Freitag ein?“; alle Märkte sind synthetisch.

• Preisregel: logarithmische Kostenfunktion (Hanson, LMSR, siehe nächster Abschnitt). Ein Kauf \(d\) kostet \(C(q+d) - C(q)\); die Kasse hängt nur vom Endstand ab, nicht vom Weg.
• Binärer Markt: Der Zustand \(\theta\) ist Ja oder Nein, Prior \(\tfrac12\). Mit \(L = \ln\frac{p}{1-p}\) bezeichnen wir die Log-Odds des Ja-Preises \(p\). \(n\) Händler handeln nacheinander, jeder mit einem Hinweis, der unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(a > \tfrac12\) auf den wahren Zustand zeigt. Mit \(s = +1\) für einen Ja-Hinweis und \(s = -1\) für einen Nein-Hinweis ändert ein Hinweis die Log-Odds um \(s\lambda\) mit \(\lambda = \ln\frac{a}{1-a}\).
• Händlerregeln: Bayes-Händler setzen die Log-Odds auf \(L + s\lambda\). Naive Händler setzen sie auf \(s\lambda\) und ignorieren den Preis. Mittelwert-Händler setzen sie auf \((L + s\lambda)/2\).
• Budget und Angriff: Ein ehrlicher Händler darf je Handel höchstens das Budget \(B\) zahlen: Würde sein Zielpreis mehr kosten, wird er so weit zurückgenommen, dass die Kosten genau \(B\) betragen. Zuletzt kauft ein Angreifer ohne Leerverkauf Ja-Anteile für höchstens \(W\), unabhängig von jedem Hinweis.
• Gütemaße: Log-Verlust des Endpreises \(-\ln p_{\text{Ende}}(\theta)\) (Prior: \(\ln 2\), gerundet 0,6931) und Brier-Wert \((p_{\text{Ende}} - \mathbf 1[\theta = \text{Ja}])^2\) (Prior: 0,25). Die Information der Hinweise ist \(\ln 2\) minus dem erwarteten Log-Verlust der Bayes-Händler, in Nats.
• Voreinstellungen: drei Ausgänge bei der Ein-Händler-Rechnung, \(b = 10\), Überzeugung 60 % für Ausgang 1 und gleiche Anfangspreise; in der Aggregation zehn Händler mit \(a = 0{,}6\), ohne Budget und ohne Angriff; in der Abwägung über \(b\) zehn Bayes-Händler mit \(B = 5\) und ein Angreifer mit \(W = 50\), also so stark wie alle Ehrlichen zusammen. Für \(b\) sind sechs Werte gerechnet (1, 3, 10, 30, 100, 300).
• Rechenweise: Log-Verlust und Verlust des Marktmachers werden im binären Markt aus den Log-Odds gerechnet, nicht aus dem gerundeten Preis: Treibt der Angreifer den Preis auf \(1 - 10^{-22}\), rundet der Preis auf 1,0, und \(-\ln(1-p)\) wäre unendlich. Erwartungswerte der Aggregation sind exakt (Bayes als Binomialsumme, naiv in geschlossener Form, Mittelwert durch Aufzählung aller \(2^n\) Hinweismuster mit \(n \le 20\)); die Simulationen laufen über feste Zufallszüge und geben den Standardfehler an.

Die Formeln

Die Kostenfunktion des Marktmachers ist die Log-Summe-Exp-Funktion, gewichtet mit \(b\):

\[C(q) = b \ln \sum_i e^{q_i/b}\]

Der Preis eines Ausgangs ist die Ableitung der Kosten nach seinen Anteilen. Er ist positiv, und die Preise summieren sich zu 1. Als Wahrscheinlichkeiten lesbar sind sie, weil ein Händler, der den Preis bis zu seiner Überzeugung treibt, diese in den Markt setzt (Schritt 3 unten). Im Zwei-Ausgänge-Markt ändert ein Anteil die Log-Odds um \(1/b\), den Preis also um \(p(1-p)/b\):

\[p = \nabla C(q) = \operatorname{softmax}(q/b)\]

Der Gewinn aller Händler, also der Verlust des Marktmachers, ist bei Eintritt von Ausgang \(i\) durch die Preise vor dem ersten und nach dem letzten Handel bestimmt. Bei gleichen Anfangspreisen aller Ausgänge ist er durch \(b \ln N\) begrenzt:

\[b \ln(p_{\text{Ende},i} / p_{\text{Anfang},i}) \le b \ln N\]

Im binären Markt kostet der Sprung von den Log-Odds \(L\) auf \(L' \ge L\) (Preis \(p\) auf \(p'\)) genau \(b \ln\frac{1-p}{1-p'}\). Ein Angreifer mit Budget \(W\) erreicht daher ohne Leerverkauf höchstens:

\[1 - p' = (1-p)\,e^{-W/b}\]

Ein Händler mit Überzeugung \(\pi\), der den Preis von \(p\) auf \(\pi\) bringt, gewinnt unter \(\pi\) im Erwartungswert \(b\,\mathrm{KL}(\pi \,\|\, p)\). Dabei ist \(\mathrm{KL}(\pi\,\|\,p) = \sum_i \pi_i\ln(\pi_i/p_i)\) die Kullback-Leibler-Divergenz und \(H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i\) die Entropie, beide mit dem natürlichen Logarithmus. Die Kostenfunktion ist die Konjugierte der Entropie: \(C(q) = \max_p \{p \cdot q + b\,H(p)\}\) über alle Wahrscheinlichkeitsvektoren \(p\), der Markt also ein Bewertungsregel-Markt mit der logarithmischen Regel. Aus der Verlustgrenze folgt (Rechnung dieser Seite): Soll der Marktmacher höchstens \(V\) verlieren, genügt \(b \le V/\ln N\).

Herleitung Schritt für Schritt

Die folgenden Rechnungen sind Rechnung dieser Seite, keine Messung der Demo; sie begründen die Aussagen des vorigen Abschnitts.

• Schritt 1, Gewinn eines Handels: Mit \(Z = \sum_j e^{q_j/b}\) ist \(p_i = e^{q_i/b}/Z\) und \(C(q) = b\ln Z\), also \(b\ln p_i = q_i - C(q)\). Ein Kauf von \(q\) auf \(q'\) zahlt bei Eintritt von \(i\) den Betrag \(q'_i - q_i\) aus und kostet \(C(q') - C(q)\). Der Gewinn ist \((q'_i - C(q')) - (q_i - C(q)) = b(\ln p'_i - \ln p_i)\).
• Schritt 2, Teleskopsumme und Grenze: Über alle Händler hintereinander heben sich die Zwischenpreise auf, der Gesamtgewinn bei Eintritt von \(i\) ist \(b\ln(p_{\text{Ende},i}/p_{\text{Anfang},i})\). Da alle Geschäfte mit dem Marktmacher laufen, verliert er genau das. Wegen \(p_{\text{Ende},i} \le 1\) und \(p_{\text{Anfang},i} = 1/N\) folgt die Grenze \(b\ln N\). Sie wird nur im Grenzwert \(p_{\text{Ende},i} \to 1\) erreicht.
• Schritt 3, erwarteter Gewinn: Bringt ein Händler mit Überzeugung \(\pi\) den Preis von \(p\) auf \(\pi\), ist sein Gewinn bei Eintritt von \(i\) gleich \(b(\ln\pi_i - \ln p_i)\). Unter \(\pi\) gewichtet ergibt das \(b\sum_i \pi_i\ln(\pi_i/p_i) = b\,\mathrm{KL}(\pi\,\|\,p) \ge 0\). Der Marktmacher zahlt also im Erwartungswert dafür, dass Information in den Preis kommt.
• Schritt 4, Verlust in der binären Aggregation: Bei Anfangspreis \(\tfrac12\) und Log-Verlust \(-\ln p_{\text{Ende}}(\theta)\) ist der Verlust bei Zustand \(\theta\) gleich \(b(\ln 2 - \text{Log-Verlust})\). Gemittelt über \(\theta\) und die Hinweise: Verlust im Erwartungswert \(= b\,(\ln 2 - \mathbb{E}[\text{Log-Verlust}])\). Bei Bayes-Händlern ist das \(b\) mal die Information der Hinweise.
• Schritt 5, Bayes-Händler: Sind die Hinweise bei gegebenem \(\theta\) unabhängig, multipliziert ein Hinweis die Posteriori-Odds mit \((a/(1-a))^{s}\), also mit \(a/(1-a)\) bei Ja und mit \((1-a)/a\) bei Nein, und addiert damit \(s\lambda\) zu den Log-Odds. Setzt jeder Händler die Log-Odds auf \(L + s\lambda\), ist der Preis vor dem \(i\)-ten Händler (Induktion) die Posteriori nach den ersten \(i-1\) Hinweisen, und der Endpreis die Posteriori nach allen. Das gilt nur, solange das Budget keinen Handel kappt.
• Schritt 6, naive und Mittelwert-Händler: Beim naiven Händler hängt der Endpreis nur vom letzten Hinweis ab: \(p = a\) bei einem richtigen, \(1-a\) bei einem falschen Hinweis. Der erwartete Log-Verlust ist deshalb \(-a\ln a - (1-a)\ln(1-a)\), unabhängig von \(n\) und gleich dem eines einzigen Händlers. Beim Mittelwert-Händler geht der Hinweis \(k\) von \(n\) mit dem Gewicht \(2^{-(n-k+1)}\) in \(L_n\) ein, \(L_n = \sum_k s_k\lambda\,2^{-(n-k+1)}\). Die Gewichte summieren sich auf weniger als 1, also bleibt \(|L_n| < \lambda\): Der Preis verlässt das Intervall von \(1-a\) bis \(a\) nie, und frühe Hinweise verlieren mit jedem Schritt die Hälfte ihres Gewichts. Das ist die Ursache der Sättigung.
• Schritt 7, Kosten im binären Markt: Kauft man \(\Delta\) Ja-Anteile bei unverändertem \(q_{\text{Nein}}\), gilt \(e^{q_{\text{Nein}}/b} = (1-p)Z = (1-p')Z'\), also \(Z'/Z = (1-p)/(1-p')\). Die Kosten sind \(b\ln(Z'/Z) = b\ln\frac{1-p}{1-p'}\). Mit Kosten höchstens \(W\) folgt \(1 - p' \ge (1-p)\,e^{-W/b}\), der Angreifer erreicht bei vollem Einsatz Gleichheit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1 (zwei Ausgänge, \(b = 100\), Preis von Ja von 0,5 auf 0,8): Die Log-Odds steigen von 0 auf \(\ln 4\), der Händler kauft also \(100\ln 4\) Anteile, gerundet 138,63. Sie kosten \(100\ln\frac{0{,}5}{0{,}2} = 100\ln 2{,}5\), gerundet 91,63. Bei Ja ist der Gewinn \(100\ln 1{,}6\), gerundet 47,00, bei Nein verliert er die 91,63. Der Marktmacher verliert im schlimmsten Fall 47,00; seine Grenze \(b\ln 2\) liegt bei 69,31.

Beispiel 2 (ein Händler mit Überzeugung 60 %, drei Ausgänge, \(b = 10\), Rest gleichmäßig, gleiche Anfangspreise): Er kauft \(10\ln 3\) Anteile, gerundet 10,99, für 5,11 und gewinnt bei Eintritt von Ausgang 1 den Betrag 5,88; sonst verliert er 5,11. Der Marktmacher verliert im schlimmsten Fall 5,88, das sind 53,5 % seiner Grenze \(b\ln N\) von 10,99. Der erwartete Gewinn des Händlers unter seiner Überzeugung ist \(b\,\mathrm{KL}\), gerundet 1,48.

Beispiel 3 (drei Hinweise Ja, Ja, Nein, \(a = 0{,}6\)): Es ist \(\lambda = \ln 1{,}5\). Bayes-Händler kommen auf die Odds 1,5, dann 2,25, dann wieder 1,5; die Preise sind 0,6000, 0,6923, 0,6000. Mittelwert-Händler kommen auf die Log-Odds \(\lambda/2\), \(3\lambda/4\), \(-\lambda/8\), der Endpreis ist 0,4873. Naive Händler enden bei 0,4000, dem Preis des letzten Hinweises.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus festen Zufallszügen oder exakten Rechnungen. Die Aggregation gilt für Treffsicherheit \(a = 0{,}6\); erwartete Werte sind exakt gerechnet, Simulationen mit Standardfehler angegeben (± in den Tabellen).

Verlustgrenze im Grenzwert. Treibt ein Händler, der den Ausgang sicher kennt, den Preis auf \(1-\varepsilon\), ist der Verlust des Marktmachers im Verhältnis zu \(b\ln N\) gleich \(\ln(N(1-\varepsilon))/\ln N\), unabhängig von \(b\). Die Grenze wird nicht überschritten und nur im Grenzwert erreicht:

Abstand ε des Preises von 1	N = 2	N = 5
1e-01	84,799691 %	93,453583 %
1e-02	98,550043 %	99,375538 %
1e-04	99,985572 %	99,993786 %
1e-08	99,999999 %	99,999999 %

Aggregation über die Zahl der Händler. Der Log-Verlust ist der des Endpreises (Prior 0,6931), die Information \(\ln 2\) minus dem Log-Verlust der Bayes-Händler. Der Brier-Wert der Bayes-Händler ist angegeben (Prior 0,25). Alle Zeilen sind ohne Budget und ohne Angriff gerechnet. Bayes-Händler werden in der Tabelle mit jedem Händler besser; naive Händler lernen nicht (ihr Log-Verlust ist für jedes \(n\) der eines einzigen Händlers); Mittelwert-Händler sättigen. Beim einzigen Händler stimmen Bayes und naiv überein, der Mittelwert-Händler setzt nur halb so weit und ist schlechter. Mittelwert-Händler sind bis \(n = 20\) gerechnet, weil die exakte Aufzählung aller \(2^n\) Hinweismuster mit \(n\) wächst:

Händler n	Log-Verlust Bayes	Brier Bayes	Information (Nats)	Log-Verlust Mittelwert	Log-Verlust naiv
1	0,6730	0,2400	0,0201	0,6780	0,6730
2	0,6537	0,2308	0,0395	0,6693	0,6730
5	0,5999	0,2065	0,0932	0,6612	0,6730
10	0,5221	0,1742	0,1710	0,6600	0,6730
20	0,3997	0,1277	0,2934	0,6600	0,6730
50	0,1880	0,0561	0,5052	–	0,6730

Verlust des Marktmachers bei zehn Händlern. Für \(b = 10\) ist der erwartete Verlust \(b\) mal (\(\ln 2\) minus Log-Verlust des Endpreises). Bei den Bayes-Händlern ist das \(b\) mal die Information. Auch hier ohne Budget und ohne Angriff; Simulation: 4 000 Märkte, alle drei Regeln auf denselben Märkten:

Händlerregel	Verlust des Marktmachers (exakt)	Log-Verlust (Simulation)	Verlust des Marktmachers (Simulation)
Bayes	1,710	0,535 ± 0,008	1,580 ± 0,080
Mittelwert	0,331	0,664 ± 0,002	0,295 ± 0,018
naiv	0,201	0,680 ± 0,003	0,134 ± 0,032

Reichweite eines Angreifers. Der Preis, den ein Angreifer mit Budget \(W\) vom Preis 50 % aus ohne Leerverkauf höchstens erreicht, ist \(1 - 0{,}5\,e^{-W/b}\):

b	Budget 5	Budget 20	Budget 50	Budget 200
1	99,66 %	über 99,99 %	über 99,99 %	über 99,99 %
3	90,56 %	99,94 %	über 99,99 %	über 99,99 %
10	69,67 %	93,23 %	99,66 %	über 99,99 %
30	57,68 %	74,33 %	90,56 %	99,94 %
100	52,44 %	59,06 %	69,67 %	93,23 %
300	50,83 %	53,22 %	57,68 %	74,33 %

Wie groß soll \(b\) sein? Szenario: zehn Bayes-Händler mit \(a = 0{,}6\) und \(B = 5\) je Händler (zusammen 50), danach ein Angreifer mit \(W = 50\), so stark wie alle Ehrlichen zusammen; 5 000 Märkte je \(b\), derselbe Zufallszug mit und ohne Angriff; der Brier-Wert eines Markts ohne Handel ist 0,25. Im Szenario ist kleines \(b\) genau und leicht zu verbiegen, großes \(b\) robust und träge. Bei \(b = 100\) ist der Markt unter Angriff schlechter als gar kein Markt; erst bei \(b = 300\) liegt er wieder knapp darunter (der Wechsel liegt zwischen den beiden gerechneten Werten). Der Log-Verlust bleibt auch dort endlich, wo der Preis auf 1,0 rundet. Die Verluste des Marktmachers liegen bei großem \(b\) weit unter seiner Grenze, weil zehn schwache Hinweise nur die Information 0,1710 enthalten und das Budget die Händler zusätzlich bremst.

Die Trägheit kommt vom Budget. Die Spalte „Brier ohne Angriff“ gehört zum Markt mit Budget \(B = 5\). Bei \(b \le 10\) bindet es nicht, ab \(b = 30\) kappt es die Käufe der Ehrlichen, und der Wert steigt. Ohne Budget ist der Endpreis der Bayes-Händler von \(b\) unabhängig, weil jeder die Log-Odds auf \(L + s\lambda\) bringt und \(b\) nur die Kosten ändert. Rechnung dieser Seite, mit demselben Zufallszug nachgerechnet und keine Messung der Demo: Ohne Budget und ohne Angriff wäre der Brier-Wert bei allen sechs \(b\) gleich dem Wert bei \(b \le 10\); unter Angriff läge der Markt bei \(b = 100\) schon besser als der Prior. Das „schlechter als gar kein Markt“ bei \(b = 100\) gilt also nur mit \(B = 5\):

b	Brier ohne Angriff	Brier mit Angriff	Log-Verlust mit Angriff	Verlust des Marktmachers (ohne Angriff)	Grenze b · ln 2
1	0,173	0,500	25,24	0,17 ± 0,01	0,69
3	0,173	0,500	8,59	0,51 ± 0,02	2,08
10	0,173	0,495	2,76	1,71 ± 0,07	6,93
30	0,188	0,398	1,15	3,96 ± 0,12	20,79
100	0,216	0,267	0,73	6,91 ± 0,17	69,31
300	0,235	0,243	0,68	8,75 ± 0,20	207,94

Manipulation. Ein Manipulator schiebt den Preis von \(p_0\) auf \(p_1\), ein Informierter bringt ihn danach auf die wahre Wahrscheinlichkeit \(\pi\) (alle Werte sind erwartete Gewinne unter \(\pi\), \(b = 10\)). Der erwartete Verlust des Marktmachers ist in jedem Fall \(b\,\mathrm{KL}(\pi\,\|\,p_0)\), ob manipuliert wurde oder nicht (die Spalte „Marktmacher“ zeigt ihn mit Minuszeichen). Der Informierte gewinnt \(b\,\mathrm{KL}(\pi\,\|\,p_0)\) mehr, als der Manipulator verliert; der Manipulator verliert, wenn er den Preis (gemessen an \(\mathrm{KL}(\pi\,\|\,p)\)) weiter von \(\pi\) wegschiebt, als er schon war:

π	Preis p₀ → Manipulation → zurück auf π	Manipulator	Informierter	Marktmacher
0,50	0,50 → 0,80 → 0,50	-2,2314	2,2314	0,0000
0,70	0,50 → 0,90 → 0,70	-0,7138	1,5366	-0,8228
0,70	0,50 → 0,20 → 0,70	-5,0040	5,8269	-0,8228
0,30	0,60 → 0,95 → 0,30	-13,1775	15,0154	-1,8379

Grenzen und was die Messung zeigt

• Was die Rechnungen belegen: Die Handbeispiele sind von Hand nachrechenbar. Die Kostenfunktion, die Preise, der Verlust je Ausgang und die Aggregation sind gegen unabhängige Rechenwege geprüft (Aufzählung der Ausgänge, finite Differenzen, alle \(2^n\) Hinweismuster Handel für Handel durch die Kostenfunktion, der Angreifer per Bisektion über die Kosten).
• Hinweise und Händler: Die Hinweise sind bei gegebenem Zustand unabhängig, die Händler Bayes-rational oder nach einer der beiden einfachen Regeln. Bei abhängigen Hinweisen zählen Bayes-Händler dieselbe Information mehrfach; das ist nicht gemessen. Aussagen über das Verhalten echter Menschen folgen daraus nicht.
• Budget: Die Bayes-Regel liest den Preis auch dann als Wissen der Vorgänger, wenn deren Budget gebunden hat; dann ist der Preis nicht mehr die volle Posteriori. Für \(b \le 10\) bindet \(B = 5\) kaum. Die Aussagen „Bayes-Händler werden mit jedem Händler besser“ und „naive Händler lernen nicht“ gelten für die Aggregation ohne Budget; mit Budget sind sie nicht gemessen.
• Der Angriff: Gerechnet ist ein Angreifer, der einmal zuletzt kauft. Mehrere Angreifer, ein Angreifer mit eigener Information und Wiederholung sind nicht gerechnet. Die Aussagen zu \(b\) gelten für das Szenario mit \(B = 5\) und einem Angreifer, dessen Budget der Summe der Budgets aller Ehrlichen entspricht, nicht allgemein; die Trägheit großer \(b\) ist dort ein Budgeteffekt. \(b\) ist nur an sechs Werten gerechnet.
• Reichweite des Modells: Aggregation und Angriff rechnen nur Ja oder Nein; mehr als zwei Ausgänge gibt es bei der Verlustgrenze. Es gibt einen Zeitschritt, keine Gebühren und keine Spreads; mehrperiodige Anreize (Information zurückhalten, um später mehr zu verdienen) sind nicht Teil des Modells. Gerechnet ist nur die logarithmische Regel; die quadratische Regel und andere Kostenfunktionen haben andere Verlustgrenzen.
• Stichproben: Die Simulationswerte liegen in der Aggregation um höchstens 2,2 Standardfehler (mit ungerundeten Werten) vom exakten Wert entfernt; die drei Regeln teilen dieselben Märkte, ihre Abweichungen sind nicht unabhängig. Die exakten Werte haben keinen Standardfehler.
• Daten: Alle Märkte sind synthetisch, es gibt keine Betriebsdaten.

Quellen

• Hanson, R.: Combinatorial information market design. Information Systems Frontiers 5(1), 2003.
• Hanson, R.: Logarithmic market scoring rules for modular combinatorial information aggregation. Journal of Prediction Markets 1(1), 2007.
• Chen, Y., Pennock, D. M.: A utility framework for bounded-loss market makers. UAI 2007.
• Abernethy, J., Chen, Y., Vaughan, J. W.: Efficient market making via convex optimization, and a connection to online learning. ACM Transactions on Economics and Computation 1(2), 2013.

Die Angaben stammen aus der Dokumentation der Demo und sind für diese Seite nicht nachgeschlagen. Laut dieser Dokumentation sind sie nur an Titel, Abstract und Sekundärquellen geprüft, die Originaltexte von Hanson nicht gelesen.