Kaskaden im Netz verständlich erklärt

Fällt in einem Netz ein wichtiger Ort aus, kann das weitere Ausfälle nach sich ziehen. Auch eine Ansteckung breitet sich je nach Bau des Netzes anders aus. Diese Seite erklärt zuerst in Bildern, dann genauer, wann das so kommt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Ort fällt aus

Stellen Sie sich ein Land mit vielen Orten vor, verbunden durch Straßen. Jeder Ort schickt an jeden anderen Ort einen Boten, jeweils auf dem kürzesten Weg. Durch manche Orte laufen dabei viele Boten, durch andere wenige.

Die Zahl der Boten, die durch einen Ort laufen, nennen wir seine Last (Fachwort: Betweenness). Jeder Ort verträgt seine gewohnte Last plus einen Puffer (Fachwort: Toleranz). Der Puffer ist bei allen Orten derselbe Bruchteil ihrer gewohnten Last. Kommt mehr, bricht der Ort zusammen.

Nun fällt der am stärksten belastete Ort aus, etwa wegen eines Hochwassers. Seine Boten suchen sich neue Wege. Dadurch bekommen andere Orte mehr Last als gewohnt.

Wie aus einem Ausfall eine Kette wird

Ein Beispiel mit ausgedachten Zahlen: Durch einen Ort laufen gewöhnlich 4 Boten, und er hat Platz für 8. Sein Puffer sind also 4 Boten. Nach dem Ausfall des Nachbarorts laufen 9 Boten durch ihn. Er bricht zusammen.

Mit ihm verschwinden seine Straßen. Wieder suchen sich Boten neue Wege, und weitere Orte werden zu stark belastet. Das geht so weiter, bis kein Ort mehr über seiner Grenze liegt. Eine solche Kettenreaktion heißt Kaskade.

Das Programm zum Ausprobieren

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Der erste Knopf unten öffnet sie. Zum Verstehen brauchen Sie sie nicht.

Die Demo rechnet solche Ketten an erfundenen Netzen durch, also an einem vereinfachten Rechenbild (Fachwort: Modell). Die Aussagen in diesem Teil beschreiben diese Netze, nicht die Wirklichkeit. Es gibt drei Netze:

• Raster-Netz: Die Orte liegen wie auf einem Schachbrett, ein Teil der Straßen ist zufällig gesperrt, wie durch Baustellen. An jedem Ort treffen sich wenige Straßen, einen großen Knotenpunkt gibt es nicht. Daneben gibt es eine Variante mit zufällig verteilten Straßen.
• Drehkreuz-Netz: Wenige Orte sind mit sehr vielen anderen verbunden, die meisten nur mit wenigen. Das ähnelt einem Flugnetz mit großen Drehkreuzen (in der Demo: skalenfreies Netz).
• Zwei Dörfer: In jedem Dorf ist jeder Ort direkt mit jedem anderen verbunden. Zwischen den Dörfern gibt es nur eine einzige Verbindung (in der Demo: Barbell).

Wie viel Puffer stoppt die Kette?

Die Demo lässt den am stärksten belasteten Ort ausfallen und fragt dann: Wie groß muss der Puffer mindestens sein, damit gar kein Folgeausfall entsteht? Dieser Wert heißt kritischer Puffer (Fachwort: kritische Toleranz).

In der Standardmessung musste der Puffer im Drehkreuz-Netz 17 Mal so groß sein wie die gewohnte Last eines Ortes. Im Raster-Netz genügte knapp 3 Mal so viel.

Warum so verschieden? Entscheidend ist der Ort, dessen Last nach dem Ausfall im Verhältnis zur gewohnten Last am stärksten steigt. Dieser eine Ort bestimmt den Puffer für das ganze Netz. Stellen Sie sich einen Weiler an einer Nebenstraße vor, durch den sonst nur ein Bote täglich läuft. Fällt ein großer Ort aus, führt die kürzeste Umleitung durch den Weiler, und es kommen viele Boten. Der Puffer, ein Bruchteil von diesem einen Boten, ist sofort überschritten. Im Drehkreuz-Netz war es so ein Ort: Seine gewohnte Last lag weit unter der eines mittleren Ortes (Nachrechnung dieser Seite am Standardnetz).

Beide Zahlen gelten für je ein Beispielnetz. Bei je acht weiteren Zufallsnetzen schwankte der kritische Puffer stark. Das Drehkreuz-Netz brauchte in sieben Fällen mehr Puffer als das Raster-Netz (Nachrechnung dieser Seite).

Zwei Dörfer: getrennt, aber keine Kette

Alle Boten zwischen den Dörfern laufen durch die beiden Orte an den Enden der einzigen Verbindung. Nur sie tragen Last. Fällt einer von ihnen aus, sind die Dörfer sofort getrennt. Innerhalb eines Dorfes kennt jeder Ort jeden direkt, also läuft kein Bote über einen dritten Ort. Nun trägt kein Ort mehr Last, und keiner bekommt neue. Deshalb folgt kein weiterer Ausfall, und schon ein Puffer von null genügt.

Wenn sich eine Ansteckung ausbreitet

Bisher ging es um Last. Nun geht es um etwas anderes, das sich in einem Netz ausbreitet: eine Ansteckung, etwa eine Grippe oder ein Gerücht. Die Orte sind dann Menschen, die Straßen sind Kontakte. In jeder Runde steckt jeder Angesteckte jeden gesunden Kontakt mit einer festen Wahrscheinlichkeit an. Danach wird er mit einer anderen festen Wahrscheinlichkeit gesund und steckt sich nicht noch einmal an.

Es gibt eine Schwelle: Liegt die Ansteckungswahrscheinlichkeit darunter, stirbt die Ansteckung typischerweise schnell aus. Darüber kann sie sich ausbreiten.

Laut Rechnung und Messung hatte das Drehkreuz-Netz etwa halb so hohe Schwelle wie ein gleich großes Netz mit zufälligen Straßen. Eine Deutung: Ein Mensch mit sehr vielen Kontakten gibt die Ansteckung an viele weiter. Null war die Schwelle aber nicht. In diesen endlich großen Beispielnetzen blieb sie über null.

Bei den zwei Dörfern beginnt die Ansteckung bei einem Menschen in einem Dorf. Das andere Dorf erreicht sie nur über die eine Verbindung. Die Demo spielte die Ansteckung 100 Mal neu durch, jeweils mit anderem Zufall. In rund 30 dieser Durchläufe erreichte sie das andere Dorf. In den übrigen blieb sie im ersten Dorf.

Häufige Missverständnisse

• „Je schlimmer der Schaden eines Ausfalls, desto länger die Kette.“ Nein. Bei den zwei Dörfern trennt ein einziger Ausfall das Netz, und trotzdem folgt kein weiterer. Eine Kette braucht Orte, die plötzlich mehr Last bekommen.
• „Unter der Schwelle passiert nichts, darüber steckt sich alles an.“ Nein. Die Schwelle ist eine Marke, kein Schalter. Darunter wird eine Ansteckung nicht unmöglich, sie bleibt typischerweise klein.

Woran Sie das im Alltag erkennen

Anzeichen in Netzen aller Art:

• Eine Störung an einer Stelle bringt Stellen durcheinander, die weit entfernt liegen, weil sich die Ausweichwege dort sammeln. Beispiel: eine gesperrte Brücke, und die Umleitung steht.
• Ob sich ein Gerücht oder eine Grippe ausbreitet, hängt auch von Menschen mit sehr vielen Kontakten ab.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Alle Netze sind erzeugt. Ein überlasteter Ort fällt vollständig aus, im echten Verkehr würde es nur stocken. Wer gesund wurde, steckt sich nie wieder an.

Was Sie mitnehmen:

• Fragen Sie bei einem Netz auch, wohin die Last ausweicht, wenn ein Ort ausfällt. Welcher Ort trifft es am härtesten?
• Ein Durchschnitt verdeckt den einen Ort, an dem eine Kette weiterläuft.
• Bei einer Ansteckung zählt auch der Bau des Netzes: Drehkreuze senken die Schwelle, ein einzelner dünner Übergang bremst.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er beschreibt zwei Dynamiken auf einem ungerichteten, ungewichteten Netz mit \(n\) Knoten: lastbasierte Folgeausfälle (Motter und Lai 2002) und eine stochastische SIR-Ansteckung mit der Mean-Field-Schwelle von Pastor-Satorras und Vespignani (2001; dort für das SIS-Modell hergeleitet, nicht im Original geprüft). Alle Netze der Demo sind erzeugt.

• Betriebsnetz: ein Straßenraster (Voreinstellung 100 Knoten) mit zufällig gesperrtem Anteil der Straßen (Voreinstellung 20 %, dann 144 Straßen) oder als Option ein Zufallsgraph mit gleich vielen Kanten wie das unversperrte Raster derselben Seitenlänge (näherungsweise Poisson-verteilte Grade).
• Skalenfreies Netz (Barabási und Albert): ein Kreis über \(m_0 = 4\) Startknoten, jeder weitere Knoten hängt sich mit \(m = 2\) Kanten an vorhandene Knoten, gezogen proportional zu deren Grad. Voreinstellung 150 Knoten, dann 296 Kanten.
• Barbell: zwei vollständige Graphen \(K_8\) (Voreinstellung, 16 Knoten), verbunden durch eine einzige Kante zwischen je einem Knoten beider Hälften, den Brückenenden.
• Last und Kapazität: Die Last \(L_i\) von Knoten \(i\) ist seine unnormierte Betweenness: Summe über alle ungeordneten Paare anderer Knoten des Anteils der kürzesten Wege, der über \(i\) läuft (Endpunkte zählen nicht, mehrere gleich kurze Wege teilen sich anteilig; Berechnung nach Brandes 2001). Die Anfangslast \(L_i(0)\) wird einmal auf dem vollen Netz berechnet, die Kapazität ist \(C_i = (1+\alpha)\,L_i(0)\) mit der Toleranz \(\alpha \ge 0\).
• Kaskade: Runde 0 ist der Anfangsausfall, der Knoten mit der höchsten Last (Voreinstellung) oder ein zufällig gezogener. In jeder weiteren Runde wird die Betweenness auf dem Restnetz neu berechnet, und jeder lebende Knoten mit \(L_i(t) > C_i\) fällt in Runde \(t+1\) aus. Ausgefallene Knoten nehmen ihre Kanten mit; nicht mehr verbundene Paare tragen nichts zur Last bei. Die Kaskade endet, wenn keine neuen Ausfälle auftreten, spätestens nach \(n\) Runden. Kennzahl ist der Gesamtausfallanteil \(G\): Anfangsausfall plus alle Sekundärausfälle, geteilt durch \(n\).
• Ausbreitung (SIR): diskrete Zeit mit den Zuständen S, I, R. In jedem Zeitschritt steckt jeder infizierte Knoten jeden anfälligen Nachbarn unabhängig mit Wahrscheinlichkeit \(\beta\) an und genest danach mit Wahrscheinlichkeit \(\mu\), beides aus dem Zustand vor dem Schritt. Genesene bleiben immun. Die Endgröße eines Laufs ist die Zahl der Knoten, die je infiziert waren; gemittelt wird über viele unabhängige Läufe.
• Epidemieschwelle: Die Vorhersage \(\beta_c\) kommt aus den gemessenen Gradmomenten des jeweiligen Netzes. Die gemessene Schwelle \(\beta^*\) ist das kleinste \(\beta\), bei dem die mittlere Endgröße 5 % der Knoten erreicht (linear zwischen zwei Rasterpunkten interpoliert). Patient Null ist der Knoten mit der höchsten Last, beim Barbell-Lauf unten ein Zufallsknoten. Der Start an einer zentralen Stelle senkt die gemessene Schwelle vermutlich gegenüber einem Zufallsstart; das wurde nicht gemessen.

Die Formeln

Jeder Knoten trägt zunächst seine Anfangslast \(L_i(0)\), seine Betweenness auf dem vollen Netz. Seine Kapazität liegt um den Anteil \(\alpha\) darüber:

\[C_i = (1+\alpha)\,L_i(0)\]

Die kritische Toleranz ist die kleinste Toleranz \(\alpha\) in einem Sweep von 0 bis 20 (Schrittweite 0,2), bei der der Anfangsausfall keine Sekundärausfälle mehr auslöst:

\[\alpha^* = \min\{\alpha : \text{keine Sekundärausfälle bei Toleranz } \alpha\}\]

Im SIR-Lauf bleibt die Gesamtzahl erhalten (S anfällig, I infiziert, R genesen):

\[S(t)+I(t)+R(t)=n\]

Die vorhergesagte Epidemieschwelle (heterogene Mean-Field-Näherung) folgt aus dem mittleren Grad \(\langle k \rangle\) und dem mittleren Quadrat des Grades \(\langle k^2 \rangle\):

\[\beta_c = \mu\,\dfrac{\langle k \rangle}{\langle k^2 \rangle}\]

Bei gleichem \(\langle k \rangle\) ist \(\langle k^2 \rangle\) bei breiter Gradverteilung größer, und die vorhergesagte Schwelle sinkt.

Herleitungen Schritt für Schritt

Die Rechnungen dieses Abschnitts sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo. Wo ein Wert mit dem Kern der Demo nachgerechnet wurde, steht es dabei.

Die kritische Toleranz ist ein Maximum.

• Schritt 1: Nach dem Anfangsausfall trägt jeder überlebende Knoten \(i\) mit \(L_i(0) > 0\) die neue Last \(L_i(1)\). Er fällt in Runde 1 aus, wenn \(L_i(1) > (1+\alpha)\,L_i(0)\) gilt, also wenn \(L_i(1)/L_i(0) - 1 > \alpha\).
• Schritt 2: Fällt in Runde 1 niemand aus, ändert sich das Restnetz nicht mehr, und die Kaskade endet. Sekundärausfälle gibt es also genau dann, wenn schon Runde 1 welche hat.
• Schritt 3: Daher ist \(\alpha^* = \max_i L_i(1)/L_i(0) - 1\), aufgerundet auf den nächsten Punkt des Sweeps. Ein einziger Knoten bestimmt den Wert: der mit dem größten Lastzuwachs im Verhältnis zu seiner gewohnten Last.
• Probe: Mit dem Kern der Demo reproduziert die Formel auf den Standardinstanzen (Zufalls-Seed 35) die Werte 17,0 für das skalenfreie Netz und 2,8 für das Betriebsnetz. Beim skalenfreien Netz war der entscheidende Knoten einer mit weniger als einem Zehntel der Median-Anfangslast aller Knoten, ein Knoten vom Grad 2, dessen Last auf knapp das Achtzehnfache stieg. Beim Betriebsnetz lag seine Anfangslast nahe dem Median, die Last stieg auf knapp das Vierfache.
• Grenzfall: Ein Knoten mit \(L_i(0) = 0\) hat die Kapazität 0 für jedes \(\alpha\). Bekommt er später Last, fällt er aus, und \(\alpha^*\) existiert nicht. Die Standardinstanzen enthalten solche Knoten (skalenfrei elf, Betriebsnetz acht, Barbell vierzehn). Dass \(\alpha^*\) dort endlich ist, zeigt, dass keiner von ihnen nach dem Anfangsausfall Last bekommt.

Der Barbell-Satz: \(\alpha^* = 0\).

• Schritt 1: Fällt ein Brückenende aus, zerfällt der Graph in \(K_7\) und \(K_8\).
• Schritt 2: In einem vollständigen Graphen ist jeder kürzeste Weg eine direkte Kante, kein Knoten liegt im Inneren eines kürzesten Weges, und jede Last ist 0.
• Schritt 3: Wegen \(L_i(1) = 0 \le C_i\) für jedes \(\alpha \ge 0\) fällt niemand mehr aus. Die Kaskade endet nach Runde 0, die Cliquengröße spielt keine Rolle.
• Folgerung: Das Netz ist getrennt, aber ohne Kette. Trennung und Kaskade sind verschiedene Schäden; bei \(\alpha = 0{,}5\) besteht der Gesamtausfall nur im Brückenende, einem Sechzehntel der Knoten.

Die Schwelle bei Poisson-Graden.

• Schritt 1: Beim Zufallsgraphen gleicher Kantenzahl ist der Grad näherungsweise Poisson-verteilt, also \(\langle k^2 \rangle = \langle k \rangle + \langle k \rangle^2\).
• Schritt 2: Eingesetzt ergibt sich \(\beta_c = \mu/(\langle k \rangle + 1)\). Für das Zufallsnetz mit 289 Knoten (mittlerer Grad knapp vier) liegt das nahe am Wert der Tabelle unten (Nachrechnung mit den Gradmomenten der Instanz).
• Schritt 3: Da \(\mu\) in beiden Zeilen gleich ist, ist das Verhältnis 0,52 der vorhergesagten Schwellen von skalenfreiem Netz und Zufallsnetz genau das Verhältnis ihrer Werte \(\langle k \rangle/\langle k^2 \rangle\).

Ein Gegenstück für SIR. Für Netze ohne Kurzschlüsse (Konfigurationsmodell) gilt als Schwelle der Übertragungswahrscheinlichkeit \(T_c = \langle k \rangle/(\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle)\) (Newman 2002, aus dem Gedächtnis, nicht geprüft). In diesem Zeitschrittmodell ist \(T = \beta/(\beta + \mu - \beta\mu)\): Ein Infizierter unternimmt bis zur Genesung geometrisch verteilt viele Ansteckungsversuche, und das ergibt diese Wahrscheinlichkeit je Kante (Rechnung dieser Seite). Daraus folgt \(\beta_c' = \mu T_c/(1 - (1-\mu)T_c)\). Für ein SIR-Modell ist \(\beta_c'\) die näherliegende Referenz; die Demo zeigt \(\beta_c\). Nachgerechnet mit den Gradmomenten der drei Instanzen der Tabelle (Zufalls-Seed 35) liegt \(\beta_c'\) jeweils über der gemessenen Schwelle und \(\beta_c\) darunter. Beim Zufallsnetz und beim skalenfreien Netz liegt die Messung näher an \(\beta_c'\) als an \(\beta_c\), beim Raster nicht. Ein Teil der Abstände der Tabelle könnte also von der Formelwahl kommen und nicht nur von der endlichen Größe. Bewiesen ist das nicht: Die gemessene Schwelle ist ein 5-%-Kriterium und kein scharfer Punkt.

Durchgerechnet: ein Ring aus sechs Orten

Rechnung dieser Seite, nicht in der Demo, mit dem Kern der Demo nachgerechnet: sechs Knoten im Kreis, Anfangsausfall bei Knoten 0. Jede Zahl lässt sich von Hand prüfen.

• Anfangslast: Zwei Knoten mit Abstand 2 haben genau einen kürzesten Weg, der Mittelknoten bekommt 1. Jeder Knoten ist Mittelknoten von genau einem solchen Paar. Gegenüberliegende Paare (Abstand 3) haben zwei gleich kurze Wege mit je zwei inneren Knoten, jeder innere Knoten bekommt je Paar 1/2. Jeder Knoten ist innen bei zwei der drei Gegenpaare und bekommt 1. Also \(L_i(0) = 2\) für alle \(i\).
• Nach dem Ausfall von Knoten 0: Es bleibt die Kette 1-2-3-4-5. Knoten 2 liegt auf den Wegen der Paare 1 und 3, 1 und 4 sowie 1 und 5, also \(L_2(1) = 3\). Knoten 3 liegt auf den Wegen der Paare 1 und 4, 1 und 5, 2 und 4 sowie 2 und 5, also \(L_3(1) = 4\). Knoten 4 hat symmetrisch \(L_4(1) = 3\).
• Verhältnisse: 3/2, 2 und 3/2. Der Knoten 3 hat den größten Zuwachs, also \(\alpha^* = 2 - 1 = 1\).
• Kleiner Puffer (\(\alpha < 1/2\)): Die Knoten 2, 3 und 4 überschreiten ihre Kapazität \(2(1+\alpha)\) und fallen aus; die Knoten 1 und 5 bleiben ohne Last, \(G = 4/6\).
• Mittlerer Puffer (\(1/2 \le \alpha < 1\)): Nur Knoten 3 fällt aus (Last 4 über \(2(1+\alpha)\)). Die Paare 1-2 und 4-5 bleiben ohne Last, \(G = 2/6\).
• Großer Puffer (\(\alpha \ge 1\)): Es bleibt beim Anfangsausfall, \(G = 1/6\).

Das Beispiel zeigt zweierlei: Der Wert \(\alpha^*\) wird von einem einzigen Knoten bestimmt, nämlich dem mit dem größten Lastzuwachs. Und der Gesamtausfall steigt bei sinkendem Puffer in Stufen, hier von einem auf zwei und dann auf vier Knoten.

Befunde

Alle Zahlen der Tabelle stammen aus der Messreihe der Demo mit Zufalls-Seed 35 und den genannten Einstellungen. Die Kaskade ist deterministisch. Bei der Ansteckung wird über viele Läufe gemittelt: 150 Läufe je \(\beta\) beim Zufallsnetz mit 289 und beim skalenfreien Netz mit 288 Knoten, 100 beim Raster und beim Barbell. Anfangsausfall und Patient Null sind der Knoten mit der höchsten Last, außer beim Barbell-Lauf (Patient Null ein Zufallsknoten in einer Hälfte). Alle Schwellen gelten für \(\mu = 0{,}3\). Das \(\beta\)-Raster hat Schritte von einem Hundertstel (Raster-Zeile), die anderen Zeilen nutzen ein feineres. Die Schwellenzeilen betreffen Netze verschiedener Größe (289, 100 und 288 Knoten); Abstände sind nur bei gleicher Größe und Kantenzahl vergleichbar.

Frage	Befund
Stimmt das Verfahren?	Die Lastneuberechnung je Runde stimmt auf kleinen Instanzen aller drei Arten Runde für Runde mit einer unabhängigen Berechnung nach Brandes und mit networkx überein. Der Erhaltungssatz \(S+I+R=n\) gilt in jedem Zeitschritt. Für \(\beta = 1\), \(\mu = 0\) stimmt die Ausbreitung exakt mit der Erreichbarkeit per Breitensuche überein.
Skalenfreies Netz, Kaskade (150 Knoten, 296 Kanten)	Bei \(\alpha = 0{,}5\) fallen 57 von 150 Knoten aus, den Anfangsausfall eingerechnet (\(G = 0{,}38\)). Kritische Toleranz \(\alpha^* = 17{,}0\).
Betriebsnetz, Kaskade (Raster, 100 Knoten, 144 Straßen, 20 % gesperrt)	Bei \(\alpha = 0{,}5\) fallen 39 von 100 Knoten aus (\(G = 0{,}39\)). Kritische Toleranz \(\alpha^* = 2{,}8\); bei \(\alpha = 3{,}0\) bleibt es beim Anfangsausfall.
Barbell, Kaskade (16 Knoten)	Kritische Toleranz \(\alpha^* = 0{,}0\), wie oben hergeleitet.
Barbell, Ausbreitung (\(\beta = 0{,}2\), \(\mu = 0{,}3\), 100 Läufe)	Mittlere Endgröße 9,2 von 16 Knoten; Median 8, 90. Perzentil 16, 10. Perzentil 1. In 30 % der Läufe war die Endgröße größer als eine Hälfte, also über 8.
Epidemieschwelle, Betriebsnetz als Zufallsgraph (289 Knoten)	Vorhersage 0,0636, gemessen 0,0907 (Abstand +0,027).
Epidemieschwelle, Betriebsnetz als Raster (100 Knoten, 20 % gesperrt)	Vorhersage 0,0939, gemessen 0,1423 (Abstand +0,048). In der Demo ist der Abstand beim Raster größer als beim Zufallsgraphen gleicher Kantenzahl, geprüft an unversperrten Rastern mit 144 und 289 Knoten.
Epidemieschwelle, skalenfreies Netz (288 Knoten)	Vorhersage 0,0330, gemessen 0,0397 (Abstand +0,007). Das Verhältnis zur Vorhersage des Zufallsnetzes ist 0,52; die gemessenen Schwellen verhalten sich ähnlich (0,0397 zu 0,0907, etwas unter einem halben).

Was die Messung zeigt und was nicht

Was sie belegt:

• Die Umsetzung: Kaskadenlast, Erhaltungssatz und der Grenzfall \(\beta = 1\), \(\mu = 0\) stimmen mit unabhängigen Rechnungen überein.
• Die Werte der Tabelle für die genannten Instanzen: Die Kaskade ist deterministisch, die kritische Toleranz also reproduzierbar.
• Auf den Beispielnetzen ist die Schwelle des skalenfreien Netzes niedriger als die des Zufallsnetzes ähnlicher Größe, und sie bleibt größer als null; eine verschwindende Schwelle wurde nicht gemessen.

Was sie nicht belegt:

• Dass die kritische Toleranz die Netze klarer trennt als der Schaden bei festem \(\alpha\): Das gilt für ein Instanzpaar. Nachrechnung dieser Seite mit acht weiteren Zufalls-Seeds (1 bis 8, gleiche Einstellungen, Start beim Knoten höchster Last): Die kritische Toleranz des skalenfreien Netzes lag in sieben der acht Fälle über der des Betriebsnetzes, sie reichte von etwa 3 bis über 20 (einmal im Sweep nicht erreicht), beim Betriebsnetz von etwa anderthalb bis knapp 7. Einmal war es umgekehrt.
• Dass der Schaden bei \(\alpha = 0{,}5\) auf beiden Netzen gleich ist (0,38 gegen 0,39): Das gilt nur für Seed 35. Im Mittel über alle neun Seeds fielen beim skalenfreien Netz gut zwei Fünftel der Knoten aus, beim Betriebsnetz rund drei Zehntel (Rechnung dieser Seite).
• Die Streuung der Schwellen: je Netzart steht eine Instanz mit Seed 35 in der Tabelle.
• Die Deutung der Abstände zwischen Vorhersage und Messung als Endlichkeitseffekt: Die gemessene Schwelle ist ein 5-%-Kriterium mit dem Knoten höchster Last als Patient Null, und die Vorhersage ist eine Mean-Field-Näherung. Dass der Abstand beim Raster größer ist als beim Zufallsgraphen derselben Kantenzahl, ist an zwei Größen mit unversperrten Rastern gemessen. Dass er mit wachsender Größe nicht schrumpft, prüft die Demo nicht; eine Nachrechnung dieser Seite (ein Seed, vier Seitenlängen) fand beim Raster einen mit der Größe wachsenden Abstand.
• Den Anteil der Läufe, die die Brücke überqueren: Eine Endgröße über 8 setzt eine Überquerung voraus, eine Überquerung setzt aber keine Endgröße über 8 voraus. Die Nachzählung dieser Seite fand einen Lauf mehr, der die Brücke überquerte und unter 9 Infizierten blieb. Der Median 8 sagt nicht, dass die Hälfte voll infiziert war.
• Aussagen über echte Netze: Alle Instanzen sind erzeugt. Im Modell trägt jedes Knotenpaar gleich viel Verkehr auf kürzesten Wegen, ein überlasteter Knoten verschwindet ganz, Genesene stecken sich nie wieder an (kein Immunitätsverlust), und die kritische Toleranz ist binär definiert: Ein Netz mit vielen knapp unterschwelligen Sekundärausfällen zählt noch als kaskadierend.
• Eine Schutzwirkung: Die Demo prüft keine Maßnahmen, die Kaskaden verhindern oder Ansteckung bremsen.

Quellen

• Motter, A. E., Lai, Y.-C. (2002): Cascade-based attacks on complex networks. Physical Review E 66, 065102(R).
• Pastor-Satorras, R., Vespignani, A. (2001): Epidemic spreading in scale-free networks. Physical Review Letters 86(14), 3200–3203 (SIS-Modell, nicht im Original geprüft).
• Brandes, U. (2001): A faster algorithm for betweenness centrality. Journal of Mathematical Sociology 25(2), 163–177.
• Newman, M. E. J. (2002): Spread of epidemic disease on networks. Physical Review E 66, 016128.

Die ersten drei Angaben stammen aus der Literaturliste der Demo und wurden nicht im Original geprüft. Die Angabe zu Newman steht aus dem Gedächtnis hier, nicht geprüft.