Verhandlung und Geduld verständlich erklärt
Ein Verlader und ein Spediteur handeln eine Frachtrate aus, abwechselnd mit Angeboten, und jede Runde Hin und Her kostet beide etwas. Wer das Warten besser verkraftet, bekommt im Rechenmodell der Demo den größeren Anteil. Diese Seite erklärt zuerst ohne Formeln, wie Geduld, die Reihenfolge der Angebote und eine Alternative zum Abschluss die Aufteilung verschieben, und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.
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Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.
Ein Überschuss, zwei Parteien, abwechselnde Angebote
Ein Verlader will eine Tour fahren lassen, ein Spediteur kann sie fahren. Dem Verlader ist die Fahrt mehr wert, als sie den Spediteur kostet; der Unterschied ist der Überschuss der Tour. Kommt kein Vertrag zustande, geht dieser Überschuss verloren. Die Frachtrate entscheidet nur, wie er sich auf beide verteilt: Je höher die Rate, desto mehr bleibt beim Spediteur, je niedriger, desto mehr beim Verlader.
Sie handeln nicht in einem Zug, sondern abwechselnd: Der Verlader nennt eine Rate, der Spediteur nimmt an oder lehnt ab und macht dann selbst ein Gegenangebot, und so weiter. Jede Runde Warten kostet beide etwas: Die Ware steht, der Lkw ist nicht ausgelastet.
Von hinten gerechnet: Die letzte Runde bestimmt den Preis
Stellen Sie sich zuerst nur eine einzige Runde vor: Der Verlader nennt eine Rate, der Spediteur kann nur annehmen oder gehen. Das nennt man ein Ultimatum. Der Spediteur nimmt dann jedes Angebot an, das ihm mehr bringt als nichts, und der Anbieter behält nahezu den ganzen Überschuss. Das gilt, wenn der Antwortende bei genau gleichem Wert annimmt. Wer zuletzt bietet, hat die Macht.
Daraus entsteht das Rückwärtsrechnen des Modells: Wer in der vorletzten Runde bietet, weiß, was der andere in der letzten Runde als Anbieter bekäme, abzüglich der Wartekosten, und bietet ihm genau so viel. Diese Überlegung schiebt sich Runde für Runde nach vorn. Das Ergebnis: Beide einigen sich im Modell sofort, in der ersten Runde. Die Möglichkeit späterer Runden bestimmt dabei den Preis. Drohungen, die der Drohende in der entscheidenden Runde selbst nicht wahrmachen würde, zählen nicht; diese Eigenschaft heißt in der Fachsprache teilspielperfekt.
Geduld ist Verhandlungsmacht
Das Modell fasst die Wartekosten in einer Zahl zusammen, der Geduld: Je weniger eine Runde Warten jemandem wehtut, desto geduldiger ist er. Sind beide gleich geduldig und bietet der Verlader zuerst, bekommt er etwas mehr als der Spediteur, weil er den Rahmen setzt. Dieser Vorteil des Zuerstbietens ist klein: Ein nur wenig geduldigerer Spediteur gleicht ihn in der Demo noch nicht aus. Wird aber einer deutlich geduldiger, wächst sein Anteil stark.
Dabei wird Geduld immer wertvoller: Ist jemand schon sehr geduldig, bringt ihm ein weiterer kleiner Schritt viel mehr, als er einem sehr Ungeduldigen bringen würde. Die einfache Faustregel „halbe-halbe“ kennt weder Ablauf noch Geduld und liegt deshalb daneben, sobald Geduld oder Reihenfolge ungleich sind.
Verkürzt man die Runden, etwa vom Tagestakt auf Angebote im Stundentakt, schwindet der Vorteil des Zuerstbietens. Dann bekommt im Modell den größeren Anteil, wer je Zeiteinheit weniger verliert.
Eine Alternative in der Tasche: die Außenoption
Kann der Spediteur nach einer Ablehnung aussteigen, weil er eine andere Tour sicher hat, oder der Verlader auf einen zweiten Spediteur ausweichen, spricht man von einer Außenoption. In der Demo hat sie der Antwortende der ersten Runde. Sie zählt erst, wenn sie mehr wert ist als das, was er ohnehin im Gespräch bekäme. Dann bekommt er im Modell genau den Wert der Alternative. Eine schlechtere Alternative ändert nichts: Er würde besser weiterverhandeln, und der andere weiß das.
Kommt der Erlös der Alternative erst eine Runde später, ist sie weniger wert und hilft erst ab einer höheren Schwelle. Wie viel eine Alternative wirklich wert ist, kann man auf zwei Arten lesen: Die eine nutzt ein Verhandlungsrezept (die Nash-Lösung), in dem die Alternative schon als Drohung zählt, auch wenn sie klein ist; die andere lässt sie erst zählen, wenn sie mehr bringt als das Gespräch. Die Demo zeigt: Bei sehr geduldigen Parteien und einer kleinen Alternative teilen beide Lesarten nicht gleich auf.
Was die Demo außerdem zeigt
- Feste Kosten statt Geduld: Kostet jede Runde Warten einen festen Betrag, statt einen Teil des Wertes zu schlucken, wird das Ergebnis grob. Wer weniger Kosten hat und zuerst bietet, bekommt in den gemessenen Fällen bei langem Horizont den ganzen Überschuss. Bei Wartekosten als Anteil bleibt das Ergebnis stufenlos.
- Grobes Raster: Dürfen Angebote nur in sehr groben Stufen gemacht werden, kann schon eine Runde mehr oder weniger das Ergebnis von einem Ende zum anderen kippen; je feiner das Raster, desto näher kommt es dem stufenlosen Ergebnis.
- Lösungskonzepte: Neben dem Ablauf gibt es Rezepte, die ohne Runden aufteilen, etwa die Nash-Lösung. Misst man den Nutzen des Spediteurs in anderen Einheiten, bleibt sie gleich; eine Aufteilung nach gleichen Gewinnen ändert sich dabei stark.
- Lernende Verhandler: Zwei einfache Lernprogramme, die gegeneinander spielen, landen in der Demo nicht bei der Aufteilung des Rückwärtsrechnens. Das sagt etwas über diese zwei Programme in zwei kleinen Spielen, nichts über echte Verhandler.
Wie ernst sind die Zahlen der Demo zu nehmen?
Beide Seiten kennen im Modell alles: Wert, Kosten und Geduld des anderen. Eigennutz, Geduld und Nutzen sind Annahmen. Es fließen keine Daten echter Verhandler ein; die Demo zeigt das Verhalten des Modells, nicht das von Menschen oder Betrieben.
Woran Sie es im Betrieb merken:
- Eine Partei, die Verzögerungen deutlich besser abfedern kann, setzt sich häufiger durch: Geduld wirkt, wie das Modell sagt.
- Es wird über Wochen verhandelt, obwohl das Modell eine Einigung in der ersten Runde vorhersagt: Dann liegt etwas außerhalb des Modells, etwa Informationen, die nur eine Seite hat. Die Demo rechnet das nicht.
- Ein Angebot einer zweiten Spedition verschiebt den Preis erst, wenn es besser ist als das, was Sie ohnehin erzielen würden.
- Gibt es nur ein einziges Angebot zum Annehmen oder Ablehnen, bekommt im Modell der Anbieter nahezu den ganzen Überschuss.
Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.
Modell und Annahmen
Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.
- Spiel: Der Überschuss der Tour (Wert für den Verlader minus Kosten des Spediteurs) ist auf 1 normiert; die Frachtrate ist Kosten plus Anteil mal Überschuss. Spieler 1 ist der Verlader, Spieler 2 der Spediteur. In Runde 1 bietet der erste Anbieter, in Runde 2 der zweite usw.; wer antwortet, nimmt an oder lehnt ab. Nach \(T\) Runden ist Schluss (\(T = 1\): Ultimatum).
- Wartekosten: Ein Diskontfaktor \(\delta_i\) je Runde (eine Einigung in Runde \(t\) zählt mit \(\delta_i^{\,t-1}\)) oder feste Kosten \(c_i\) je Runde (Auszahlung \(x - c_i (t-1)\)).
- Gleichgewicht: das teilspielperfekte, gerechnet durch Rückwärtsrechnen, mit Annahme bei Gleichstand. Im Gleichgewicht einigen sich beide sofort in Runde 1; die späteren Runden bestimmen den Preis dafür.
- Raster: Angebote nur als Vielfache von \(1/G\), ganzzahlig in Brüchen gerechnet. Gleichstand in drei Ebenen: der Antwortende nimmt bei gleichem Wert an (Regel A) oder lehnt ab (Regel R); der Anbieter zieht bei gleicher Auszahlung das angenommene Angebot vor; unter gleich guten angenommenen Angeboten gilt das kleinste.
- Außenoption: Der Antwortende der ersten Runde kann nach einer Ablehnung aussteigen. Variante A: Erlös \(o\) sofort; Variante C: eine Runde später. Variante B wird nicht als Regler angeboten, weil sie in 0 von 2400 Zellen anders als A ist.
- Kurze Runden: \(\delta_i = e^{-r_i \Delta}\) bei Rundenlänge \(\Delta\) und Verlustraten \(r_i\).
- Lösungskonzepte: Verhandlungsmenge \(u_1 = x\), \(u_2 = k\,(1-x)^a\), Drohpunkt \((0, d_2)\): Nash, Kalai–Smorodinsky, egalitär, utilitaristisch und Halbe-halbe (Shapley-Wert bei zwei Spielern). Rubinstein bei gekrümmtem Nutzen über den wirksamen Diskont \(\delta_2^{1/a}\).
- Lernende: Hedge (Lernrate \(\eta_0/\sqrt t\)) und Regret Matching im Ultimatumspiel (Zehntelraster) und im Spiel mit zwei Runden (Diskont 0,9); je Runde ziehen beide Spieler eine Aktion (SplitMix64, fester Zufalls-Seed); ausgewiesen wird der letzte Iterierte.
- Vergleich: Alles bis auf die Lernläufe ist deterministisch (Brüche oder Formeln); die Lernläufe benutzen 4 feste Zufalls-Seeds und 20 000 Runden je Lauf.
Die Formeln
Rubinstein-Gleichgewicht (unendlicher Horizont, teilspielperfekt, erster Anbieter 1):
\[x_1 = \frac{1-\delta_2}{1-\delta_1\delta_2}, \qquad x_2 = \frac{\delta_2\,(1-\delta_1)}{1-\delta_1\delta_2}\]
Rückwärtsrechnen im Spiel mit \(T\) Runden (\(r(t)\) ist der Antwortende der Runde \(t\)):
\[v_T = 1, \qquad v_t = 1 - \delta_{r(t)}\, v_{t+1}\]
Abstand zur Formel mit \(q = \delta_1\delta_2\): Bei geradem \(T = 2m\) liegt \(v_1(T)\) um den Betrag
\[\dfrac{1-\delta_2}{1-q}\, q^{m}\]
unter dem Grenzwert \(x_1\), bei ungeradem \(T = 2m+1\) um
\[\dfrac{\delta_2\,(1-\delta_1)}{1-q}\, q^{m}\]
darüber.
Kurze Runden (\(\delta_i = e^{-r_i \Delta}\)) mit Grenzwert und Handentwicklung:
\[x_1 = \frac{r_2}{r_1 + r_2}\Big(1 + \frac{r_1\,\Delta}{2} + O(\Delta^2)\Big) \;\longrightarrow\; \frac{r_2}{r_1+r_2} \quad (\Delta \to 0)\]
Feste Kosten (Auszahlung \(x - c_i (t-1)\)):
\[A_T = 1, \qquad A_t = 1 - \max\big(0,\; A_{t+1} - c_{r(t)}\big)\]
Außenoption (Variante A: Erlös sofort; Variante C: Erlös eine Runde später), mit dem Rubinstein-Anteil \(x_2^*\) des Antwortenden ohne Option, \(x_2^* = \delta_2(1-\delta_1)/(1-\delta_1\delta_2)\):
\[x_2 = \max\big(o,\; x_2^*\big), \qquad x_2^{C} = \max\big(\delta_2\, o,\; x_2^*\big)\]
Die Option zählt also erst über der Schwelle \(x_2^*\) (Variante A) bzw. \(x_2^*/\delta_2\) (Variante C).
Raster: Der Antwortende mit Fortsetzungswert \(w\) nimmt ein Angebot \(k/G\) an, wenn \(k/G \ge w\) (Regel A) bzw. \(k/G > w\) (Regel R); das kleinste annehmbare Angebot ist
\[k = \lceil G\,w \rceil \;\;(\text{A}), \qquad k = \lfloor G\,w \rfloor + 1 \;\;(\text{R}), \qquad \text{Schranke aus der Messung: } \big|x_G - x_1\big| \le \frac{1}{(1-\delta_1\delta_2)\,G}\]
Die Schranke ist eine Hypothese aus der Messung, kein Satz.
Lösungskonzepte auf der Menge \(u_1 = x\), \(u_2 = k\,(1-x)^a\) mit Drohpunkt \((0, d_2)\):
\[\text{Nash: } \max_x\; x\,\big(u_2(x) - d_2\big), \qquad \text{egalitär: } u_1 = u_2 - d_2, \qquad \text{utilitaristisch: } \max_x\; u_1 + u_2\]
\[\text{Kalai–Smorodinsky: } \frac{u_1}{\bar u_1} = \frac{u_2 - d_2}{\bar u_2 - d_2}, \qquad \bar u_1 = 1 - \big(d_2/k\big)^{1/a},\; \bar u_2 = k\]
Nash ohne Drohpunkt und Rubinstein bei gekrümmtem Nutzen (der Diskont des Spediteurs wirkt als \(\delta_2^{1/a}\)):
\[x_{\text{Nash}} = \frac{1}{1+a}, \qquad x_1 = \frac{1-\delta_2^{1/a}}{1-\delta_1\,\delta_2^{1/a}}\]
Lernregeln: Hedge mit Lernrate \(\eta_t = \eta_0/\sqrt{t}\) und Regret Matching mit den kumulierten Bedauern \(R_t(i)\):
\[p_t(i) \;\propto\; \exp\Big(\eta_t \sum_{s<t} u_s(i)\Big), \qquad p_t(i) \;\propto\; \max\big(R_t(i),\, 0\big)\]
Befunde
Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py) und gelten für erzeugte Daten und die genannten Voraussetzungen. Anteile sind Anteile am Überschuss der Tour. Geprüft ist gegen unabhängige Rechenwege: Formel gegen das lineare Gleichungssystem, die geschlossene Summe und exaktes Rückwärtsrechnen in Brüchen; Raster gegen die Aufzählung aller Rasterangebote; Nash und Kalai–Smorodinsky gegen scipy.optimize und ein Gitter mit 400 001 Punkten.
Wert der Geduld (Geduld des Spediteurs 0,9, unendlicher Horizont; Steigung des Anteils nach \(\delta_1\)). Wächst die Geduld des Verladers von 0,90 auf 0,91, steigt sein Anteil von 52,6 % auf 55,2 % (+2,62 Prozentpunkte). Der Shapley-Wert (Halbe-halbe) bleibt bei 50,0 %.
| Geduld des Verladers \(\delta_1\) | Verlader zuerst | Spediteur zuerst | Halbe-halbe | Steigung |
|---|---|---|---|---|
| 0,00 | 10,0 % | 0,0 % | 50,0 % | 0,09 |
| 0,50 | 18,2 % | 9,1 % | 50,0 % | 0,30 |
| 0,80 | 35,7 % | 28,6 % | 50,0 % | 1,15 |
| 0,90 | 52,6 % | 47,4 % | 50,0 % | 2,49 |
| 0,99 | 91,7 % | 90,8 % | 50,0 % | 7,58 |
| Frage | Befund |
|---|---|
| Wie viel bringt der erste Zug? | Geduld beider Seiten 0,9, 200 Runden, stetige Angebote, Verlader bietet zuerst, linearer Nutzen: Verlader 52,6 %, Spediteur 47,4 %; die Formel \((1 - \delta_2)/(1 - \delta_1\delta_2)\) gibt 10/19. Ein kleiner Vorsprung an Geduld gleicht den Vorteil des Zuerstbietens nicht aus: bei Geduld 0,90 des Verladers und 0,905 des Spediteurs bekommt der Verlader 51,2 %. |
| Ist die Formel der Grenzwert des Rückwärtsrechnens? (H1) | Ja. Exakt in Brüchen für \(T\) = 1 bis 40 gleich der geschlossenen Summe; Fehler bei \(T\) = 500 und 501 unter 10⁻²⁰ (Paare (0,9; 0,9), (0,95; 0,8), (0,5; 0,9), (0,8; 0,95)). Kleinstes \(T\), ab dem der Fehler für alle größeren \(T\) bis 2 000 unter 10⁻⁶ bleibt (Gleitkomma), gemessen / vorhergesagt aus \((\delta_1\delta_2)^{T/2} < 10^{-6}\): (0,90; 0,90) 126 / 131; (0,99; 0,99) 1307 / 1375; (0,95; 0,80) 99 / 101; (0,50; 0,90) 36 / 35. |
| Liegen gerade und ungerade Horizonte auf verschiedenen Seiten des Grenzwerts? (H2) | Ja, in den gemessenen Paaren. Anteil des ersten Anbieters bei \(T\) = 10 / 11 (Formel): (0,90; 0,90) 34,28 % / 69,15 % (52,63 %); (0,99; 0,99) 4,80 % / 95,24 % (50,25 %); (0,95; 0,80) 62,20 % / 87,56 % (83,33 %); (0,50; 0,90) 17,85 % / 19,69 % (18,18 %). Die geschlossene Form des Abstands gilt exakt in Brüchen für 60 Zufallspaare mit Geduld 0 bis 0,98 und \(T\) = 1 bis 14. |
| Was gibt das Ultimatum? | Auf dem Zehntelraster mit Geduld 0,9: Der Anbieter bekommt 100,0 % bei Annahme bei Gleichstand (Regel A), 90,0 % bei Ablehnung bei Gleichstand (Regel R); bei \(G\) = 100 sind es 99,0 %. Das teilspielperfekte Ergebnis hängt also an der Gleichstandsregel. |
| Wie gut hält die Rasterschranke? (H3) | Die Schranke \(|x_G - x_1| \le 1/((1-\delta_1\delta_2)G)\) hält in 196 von 200 Zellen (beide Gleichstandsregeln). Die 4 Ausnahmen sind \(\delta_1 = \delta_2\) = 0,99, \(G\) = 10 000 bei \(T\) = 400 und 401 (\(T\) noch nicht konvergiert). Aufgeteilt: 60 von 60 (3 Paare, \(G\) = 10 bis 10 000, \(T\) = 600 und 601; größtes Verhältnis 0,82); 76 von 80 (5 weitere Paare, \(G\) = 1 000 und 10 000, \(T\) = 400, 401, 2 000, 2 001; größtes Verhältnis 1,81); 60 von 60 (5 weitere Paare, \(G\) = 10, 50, 100, \(T\) = 400, 401; größtes Verhältnis 0,98). Regel A gegen R: größter Unterschied über \(T\) = 1 bis 60 in allen 12 Zellen (4 Paare, \(G\) = 10, 100, 1 000) genau \(1/G\). |
| Wie viele stationäre Gleichgewichte hat das Rasterspiel? | Bis zu 9 mit sofortiger Einigung; stetig ist das Gleichgewicht eindeutig. Geduld (0,9; 0,9), Anzahl und Anteil des ersten Anbieters (Formel: 52,6 %), Regel A / Regel R: \(G\) = 10 9 (10 % bis 90 %) / 9 (10 % bis 90 %); \(G\) = 20 2 (50 % bis 55 %) / 1 (50 % bis 50 %); \(G\) = 50 7 (46 % bis 58 %) / 9 (44 % bis 60 %); \(G\) = 100 6 (50 % bis 55 %) / 4 (51 % bis 54 %). |
| Was ist die Rasterfalle? | \(G\) = 10, Geduld 0,9, Regel A: Der Verlader bekommt 10,0 % bei \(T\) = 200 (gerade) und 90,0 % bei \(T\) = 41 (ungerade), statt 52,6 % im stetigen Spiel; mit \(G\) = 100 und Regel A bei \(T\) = 200 sind es 50,0 %. |
| Was geschieht bei kurzen Runden? (H4) | Raten (1; 2) je Tag, Verlader bietet zuerst: Runden von 1 Tag 91,00 %, 1 Stunde 68,05 %, 1 Minute 66,69 %, Grenzwert 66,67 % (nicht Halbe-halbe); bietet der Spediteur zuerst, bekommt der Verlader bei Runden von 1 Tag nur 33,48 %. Bei Raten (1; 1) sinkt der Vorteil des Zuerstbietens von 0,0500 (\(\Delta\) = 0,1) auf 0,000500 (\(\Delta\) = 0,001). Abstand zum Grenzwert geteilt durch \(\Delta\) bei \(\Delta\) = 0,1000 / 0,0100 / 0,0010 / 0,0001 gegen die Handentwicklung \(r_1r_2/(2(r_1+r_2))\): Raten (1,0; 1,0) 0,249792 / 0,249998 / 0,250000 / 0,250000 gegen 0,250000; Raten (1,0; 2,0) 0,327237 / 0,332772 / 0,333278 / 0,333328 gegen 0,333333; Raten (1,0; 4,0) 0,378797 / 0,397987 / 0,399800 / 0,399980 gegen 0,400000. |
| Wie wirkt die Außenoption? (H6) | Geduld (0,9; 0,9), Anteil des Halters bei \(T\) = 1 001: Die Schwelle ist 0,4737 (Variante A) bzw. 0,5263 (Variante C). Bei \(o\) = 0,40 / 0,50 / 0,60 / 0,80 / 0,95 bekommt der Halter in Variante A 47,4 / 50,0 / 60,0 / 80,0 / 95,0 %, in Variante C 47,4 / 47,4 / 54,0 / 72,0 / 85,5 %. Variante B ist in 0 von 2400 Zellen anders als A. |
| Teilen Nash mit Drohpunkt und Ausstiegsprinzip gleich auf? (H11) | Nein. Anteil des Halters bei Geduld 0,9999 beider Seiten (Variante A), Nash-Lösung mit Drohpunkt \(o\) gegen Ausstiegsprinzip, bei \(o\) = 0,00 / 0,20 / 0,40 / 0,50 / 0,60 / 0,80 / 0,95: 50,0 / 60,0 / 70,0 / 75,0 / 80,0 / 90,0 / 97,5 % gegen 50,0 / 50,0 / 50,0 / 50,0 / 60,0 / 80,0 / 95,0 %. Beispiel: Bei \(o\) = 0,2 und Geduld 0,9999 beider Seiten gibt Nash dem Halter 60,0 %, das Ausstiegsprinzip 50,0 %. Rückwärtsrechnen gegen Handformel bei \(T\) = 1 000 und 1 001: größte Abweichung 2,2·10⁻⁵ (Geduld 0,99 dabei noch nicht ganz konvergiert). |
| Wirken feste Kosten wie ein Diskont? (H5) | Nein, in den gemessenen Fällen. Mit ungleichen Kosten (8 von 8 Fällen, \(T\) = 1 000 und 1 001) bekommt der erste Anbieter genau 1, wenn er weniger Kosten hat, und sonst die Kosten des anderen. Bei gleichen Kosten ist das Ergebnis nicht eindeutig: ungerades \(T\) gibt dem ersten Anbieter alles, gerades \(T\) nur \(c\) (Tabelle unten). Der Diskont \(d = 1 - c\) macht das Ergebnis stetig: bei Kosten (0,05; 0,10) 69,0 % statt 100 %, bei (0,10; 0,05) 34,5 % statt 5,0 %, bei (0,02; 0,30) 95,5 % statt 100 %. |
| Sind Nash und Kalai–Smorodinsky maßstabsinvariant? (H7) | Ja, in der gemessenen Menge: Maßstab \(k\) = 0,1; 1; 10, Drohpunkt \(0{,}1\,k\), vier Krümmungen: Nash und Kalai–Smorodinsky gleich auf 9 Stellen; egalitär bei Krümmung 0,5: 8,6 % (\(k\) = 0,1), 56,2 % (\(k\) = 1), 96,2 % (\(k\) = 10). Bei Krümmung 1 und \(k\) = 1 ist die Summe der Nutzen überall gleich, es gilt der kleinste Anteil des Verladers (Tabelle unten). |
| Nähert sich Rubinstein der Nash-Lösung, und was macht die Krümmung? (H8) | Ja. Abstand Rubinstein minus Nash bei gleicher Rate und Rundenlänge \(\Delta\) = 0,100 / 0,010 / 0,001: Krümmung 1,00 0,02498 / 0,00250 / 0,00025; 0,50 0,03272 / 0,00333 / 0,00033; 0,25 0,03788 / 0,00398 / 0,00040 (also unter 5·10⁻⁴ bei \(\Delta\) = 0,001). Krümmung 0,5 und Drohpunkt 0,1: Nash 62,6 % statt 45,0 % bei linearem Nutzen. „Risikoscheu“ passt nur für die Nash-Lösung mit Lotterien; im Rubinstein-Spiel gibt es kein Risiko, dort wirkt die Krümmung wie größere Ungeduld (wirksamer Diskont \(\delta_2^{1/a}\)). Bei Krümmung 0,5 und Geduld (0,9; 0,9) gibt Rubinstein 70,11 %, die Nash-Lösung ohne Drohpunkt 66,7 %; bei Geduld 0,99 sind es 67,00 % gegen 66,67 %. |
| Landen Lernende im teilspielperfekten Gleichgewicht? (H9) | Nein, als Bandbreite gemessen: 32 Läufe, kein Lauf beim teilspielperfekten Anteil der Regel A (Ultimatum 100 %, zwei Runden 10 %), alle mit Nash-Lücke höchstens 0,024. Ein Regret-Matching-Lauf im Ultimatum (Zufalls-Seed 3) landet bei 90 %, dem teilspielperfekten Ergebnis der Regel R (Ablehnung bei Gleichstand); die übrigen Läufe liegen bei 70 % bis 80 % beziehungsweise 18 % bis 60 % und sind nicht teilspielperfekt. Im Ultimatumspiel gibt es 13 reine Nash-Gleichgewichte. Nash heißt nicht teilspielperfekt: Ein Nash-Gleichgewicht darf mit unglaubwürdigen Drohungen arbeiten. Das gilt für diese zwei Lernregeln in diesen zwei Spielen und ist kein Befund darüber, wie echte Verhandler handeln. |
Feste Kosten gegen Diskont (Kosten (erster Anbieter; zweiter Anbieter); Anteil des ersten Anbieters; Diskont \(d = 1 - c\) in derselben Zeile; „Handformel“ nur bei ungleichen Kosten):
| Kosten | Handformel | T = 1 000 | T = 1 001 | Diskont d = 1 − c |
|---|---|---|---|---|
| 0,05; 0,10 | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % | 69,0 % |
| 0,10; 0,05 | 5,0 % | 5,0 % | 5,0 % | 34,5 % |
| 0,02; 0,30 | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % | 95,5 % |
| 0,30; 0,02 | 2,0 % | 2,0 % | 2,0 % | 6,4 % |
| 0,20; 0,20 | nicht eindeutig | 20,0 % | 100,0 % | 55,6 % |
| 0,00; 0,05 | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % |
| 0,05; 0,00 | 0,0 % | 0,0 % | 0,0 % | 0,0 % |
| 0,60; 0,70 | 100,0 % | 100,0 % | 100,0 % | 79,5 % |
| 1,20; 0,30 | 30,0 % | 30,0 % | 30,0 % | – |
Maßstabsprobe (Anteil des Verladers; Nutzen des Spediteurs mal \(k\), Drohpunkt \(0{,}1\,k\); \(u_2 = k\,(1-x)^a\)):
| Krümmung a | Maßstab k | Nash | Kalai–Smorodinsky | egalitär | utilitaristisch |
|---|---|---|---|---|---|
| 1,00 | 0,1 | 45,0 % | 45,0 % | 8,2 % | 90,0 % |
| 1,00 | 1,0 | 45,0 % | 45,0 % | 45,0 % | 0,0 % (beliebig, Summe konstant) |
| 1,00 | 10,0 | 45,0 % | 45,0 % | 81,8 % | 0,0 % |
| 0,50 | 0,1 | 62,6 % | 59,2 % | 8,6 % | 99,0 % |
| 0,50 | 1,0 | 62,6 % | 59,2 % | 56,2 % | 75,0 % |
| 0,50 | 10,0 | 62,6 % | 59,2 % | 96,2 % | 0,0 % |
| 0,25 | 0,1 | 77,4 % | 70,7 % | 8,8 % | 99,3 % |
| 0,25 | 1,0 | 77,4 % | 70,7 % | 66,2 % | 84,3 % |
| 0,25 | 10,0 | 77,4 % | 70,7 % | 99,8 % | 0,0 % |
| 2,00 | 0,1 | 28,7 % | 29,8 % | 7,5 % | 68,4 % |
| 2,00 | 1,0 | 28,7 % | 29,8 % | 33,8 % | 0,0 % |
| 2,00 | 10,0 | 28,7 % | 29,8 % | 60,0 % | 0,0 % |
Lernende Verhandler (Anteil des Anbieters (Spieler 1) nach 20 000 Runden, letzter Iterierter, 4 Zufalls-Seeds je Zeile, Bereich kleinster bis größter; größte Nash-Lücke; teilspielperfekt nach Regel A: Ultimatum 100 %, zwei Runden 10 %):
| Spiel | Lernregel | Lernrate η₀ | Anteil von Spieler 1 | größte Nash-Lücke | teilspielperfekt |
|---|---|---|---|---|---|
| Ultimatumspiel (eine Runde) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 0,5 | 80,0 % bis 80,0 % | 0,000 | 100 % |
| Ultimatumspiel (eine Runde) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 2,0 | 80,0 % bis 80,0 % | 0,000 | 100 % |
| Ultimatumspiel (eine Runde) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 8,0 | 70,0 % bis 80,0 % | 0,000 | 100 % |
| Ultimatumspiel (eine Runde) | Regret Matching | – | 70,0 % bis 90,0 % | 0,000 | 100 % |
| Zwei Runden (Diskont 0,9) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 0,5 | 19,4 % bis 20,2 % | 0,024 | 10 % |
| Zwei Runden (Diskont 0,9) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 2,0 | 18,2 % bis 18,3 % | 0,007 | 10 % |
| Zwei Runden (Diskont 0,9) | Hedge (Entropie-Gewichte) | 8,0 | 20,0 % bis 60,0 % | 0,006 | 10 % |
| Zwei Runden (Diskont 0,9) | Regret Matching | – | 20,0 % bis 60,0 % | 0,000 | 10 % |
Grenzen
- Modellannahmen: Eigennutz, Geduld und Nutzenfunktionen sind Annahmen, keine Aussagen über echte Verhandler. Es gibt keine Daten echter Verhandler; die Experimente zeigen das Verhalten des Modells, nicht das von Menschen oder Betrieben.
- Vollständige Information, zwei Parteien: Beide Seiten kennen Wert, Kosten und Geduld der anderen. Private Information (Verzögerung bei einseitiger privater Information), Mehrparteien-Verhandlung und Hin- und Rückfahrt mit Flussungleichgewicht sind nicht gebaut; die Hypothese H10 (Verhältnis der Raten Hin/Rück) ist deshalb nicht geprüft.
- Nutzen: Der Nutzen ist linear im Anteil; nur im Reiter „Lösungskonzepte“ hat der Spediteur die Krümmung \(a\), und die Maßstabsprobe gilt nur für die Menge \(u_1 = x\), \(u_2 = k\,(1-x)^a\) mit Drohpunkt \((0, d_2)\), keine allgemeinen Verhandlungsmengen.
- Wartekosten: Diskontfaktor und feste Kosten geben verschiedene Ergebnisse; welches zu einer echten Standzeit passt, sagt die Demo nicht. Die Geduld ist in den Reglern auf höchstens 0,99 begrenzt: bei 0,999 reichen 2 000 Runden nicht zur Konvergenz; bei 0,99 brauchen die Runden bis zum Fehler unter 10⁻⁶ schon 1307 (vorhergesagt 1375).
- Raster: Die Schranke \(1/((1-\delta_1\delta_2)\,G)\) ist eine Hypothese aus 200 gemessenen Zellen, kein Satz; das Rasterspiel hat in den gemessenen Zellen mehrere stationäre Gleichgewichte, die Eindeutigkeit gehört zum stetigen Spiel.
- Außenoption: Nur der Antwortende der ersten Runde hat sie; angeboten sind die Varianten A und C. Der Vergleich Nash mit Drohpunkt gegen Ausstiegsprinzip ist bei Geduld 0,9999 beider Seiten gerechnet, jenseits des Reglermaximums 0,99.
- Lernende: Nur Hedge und Regret Matching in zwei kleinen Spielen (Ultimatum und zwei Runden auf dem Zehntelraster); andere Lernregeln, andere Spiele und Q-Learning sind nicht gemessen. Die Ergebnisse hängen an der Lernrate und, bei Regret Matching, am Zufalls-Seed; belastbar sind sie nur als Bänder über vier Zufalls-Seeds.
- Kalai–Smorodinsky und utilitaristisch rechnen auf der Menge der Einigungen, in denen der Spediteur seinen Drohpunkt erreicht (Idealpunkt: der größte Nutzen auf dieser Menge); bei Gleichstand des utilitaristischen Maßes gilt der kleinste Anteil des Verladers.
- Nur mit Standard-Schnittstellen geprüft: AppTest und Rechenwege; ein Durchlauf im Browser mit echten Mausklicks ist nicht Teil der Tests.
Quellen
- Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/verhandlung-demo.
Nash 1950, Rubinstein 1982, Binmore, Rubinstein und Wolinsky 1986, Kalai und Smorodinsky 1975, Kalai 1977 und die übrige Literatur wurden weder für die Demo noch für diese Seite im Volltext gelesen; die Formeln stützen sich auf die Messungen und die unabhängigen Rechenwege der Tests. Nash-Lösung und Maßstabsinvarianz kommen auch als Gewichtung von Zielen beim Mehraufgaben-Lernen vor (Nash-MTL, Navon u. a., ICML 2022); das ist hier nur eine Einordnung, nicht im Volltext gelesen und nicht nachgebaut.