Die Vergabe von Buchungen verständlich erklärt

Eine Pension hat noch ein Zimmer frei. Ein Gast will wenig zahlen. Vielleicht fragt später einer an, der mehr zahlt. Sagen Sie jetzt Ja? Diese Seite zeigt, wie eine Reederei diese Frage bei Plätzen auf einem Schiff beantwortet, und wie nah eine einfache Regel an die beste herankommt.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Zimmer, zwei Sorten Gäste

Eine Pension hat vier Zimmer für ein Wochenende. Wochen vorher fragen Gäste an, die ein günstiges Zimmer suchen. Kurz vor dem Wochenende fragen andere an, etwa Geschäftsreisende. Sie zahlen mehr.

Die Wirtin muss jede Anfrage sofort mit Ja oder Nein beantworten. Sie weiß nicht, wie viele zahlungskräftige Gäste noch kommen. Sagt sie anfangs jedem Gast Ja, sind alle Zimmer weg, wenn der erste Geschäftsreisende anruft. Sie muss ihn abweisen, obwohl er mehr zahlen würde. Sagt sie zu oft Nein, bleiben Zimmer leer.

Eine Reederei steht vor derselben Frage. Ihr Schiff hat nur wenige Stellplätze für Container (Fachwort: Slots). Günstige Fracht fragt früh an. Sie heißt hier Spot-Fracht. Teure Fracht fragt eher kurz vor der Abfahrt an. Sie heißt hier Premium-Fracht. Auch die Reederei muss jede Anfrage sofort annehmen oder ablehnen.

Die Seite erklärt das an einem vereinfachten Rechenbild (Fachwort: Modell). Darin gibt es erfundene Anfragen für ein Schiff mit wenigen Plätzen und nur diese zwei Preisklassen. Die Reederei kennt die Chancen, mit denen jede Klasse anfragt. Kein Kunde sagt später ab.

Eine ausgedachte Folge von Anfragen bis zur Abfahrt heißt hier Verlauf. Gemessen wird später an vielen solchen Verläufen.

Drei Arten zu entscheiden

Verglichen werden drei Regeln für das Rechenbild. Jede beschreibt, wann die Reederei Ja sagt.

• Der Reihe nach. Die Reederei sagt Ja, solange ein Platz frei ist, zu jedem Preis. Wer zuerst kommt, bekommt den Platz. Das Fachwort ist FCFS (first come, first served), auf Deutsch Windhundprinzip.
• Plätze zurückhalten. Die Reederei hält eine Zahl von Plätzen für Premium-Fracht frei. Spot-Fracht bekommt nur ein Ja, wenn mehr Plätze frei sind, als zurückgehalten werden. Premium-Fracht bekommt ein Ja, solange irgendein Platz frei ist. Das Fachwort ist Schutzformel von Littlewood (1972).
• Die genaue Rechnung. Ein Rechner geht von der Abfahrt rückwärts. Für jeden Zeitpunkt und jede Zahl freier Plätze berechnet er, was im Mittel am meisten einbringt. Das Fachwort ist dynamische Programmierung. Im Rechenbild ist sie die beste Regel, die ohne Wissen über die Zukunft möglich ist, im Mittel über viele Verläufe.

Wie viele Plätze zurückhalten?

Das ist eine Wette. Nehmen wir an, ein Platz ist frei, und Spot-Fracht fragt an. Mit einem Ja bekommt die Reederei sicher den kleinen Preis. Mit einem Nein bekommt sie nur dann etwas, wenn später Premium-Fracht anfragt. Dann bekommt sie den großen Preis. Die Wette lohnt sich, wenn die Chance auf Premium-Fracht, gewichtet mit dem großen Preis, mehr wert ist als der kleine sichere Preis.

Der erste zurückgehaltene Platz wird eher gebraucht als der zweite, der zweite eher als der dritte. Die Reederei hält deshalb nur so viele Plätze zurück, wie sich die Wette noch lohnt. Je größer der Preisunterschied, desto eher lohnt sie sich. Kosten beide Klassen gleich viel, gibt es keinen Grund zu warten. Kurz vor der Abfahrt hält die Reederei weniger Plätze zurück als früher, denn es kann nur noch wenig Premium-Fracht kommen.

Zurück zur Pension. Nehmen wir an, die Wirtin hält zwei der vier Zimmer zurück. Die ersten beiden günstigen Gäste bekommen ein Ja, weitere ein Nein. Rufen später Geschäftsreisende an, sind zwei Zimmer frei. Rufen keine an, bleiben zwei leer. Das ist der Preis der Vorsicht.

Was die Messung zeigt

Gemessen wurden fünf Fälle: drei Platzzahlen (vier, sieben, zwölf) und zwei Preisunterschiede. Jeder Fall wurde an 600 Verläufen durchgespielt. Verglichen wird, wie viel weniger Einnahmen eine Regel im Mittel bringt als die genaue Rechnung. Das ist der Verlust.

• Vier Plätze: Der Reihe nach verliert 36 %. Zurückhalten verliert unter 1 %.
• Sieben Plätze: Der Reihe nach verliert 15 %. Zurückhalten verliert gut 1 %.
• Zwölf Plätze: Der Reihe nach verliert unter 1 %. Zurückhalten verliert unter 1 %.

Warum so verschieden? Passen alle Anfragen eines Verlaufs auf das Schiff, verliert die Regel der Reihe nach nichts. Bei vier Plätzen kommen in fast jedem Verlauf mehr Anfragen, als Plätze da sind, bei sieben in gut vier von fünf Verläufen, bei zwölf in etwa einem von fünf. (eigene Nachrechnung)

Auch der Preisunterschied zählt. Bei sieben Plätzen verliert die Regel der Reihe nach etwa 3 %, wenn Premium-Fracht nur ein Viertel mehr kostet als Spot-Fracht. Bei fünffachem Preis sind es etwa 31 %. Der Grund: Je größer der Preisunterschied, desto mehr Geld geht verloren, wenn der letzte Platz an Spot-Fracht ging und Premium-Fracht abgewiesen werden muss.

Die Überraschung: Die einfache Zurückhalte-Regel liegt in allen fünf gemessenen Fällen höchstens gut 1 % unter der genauen Rechnung. Dass der Verlust bei sieben Plätzen etwas größer ist als bei vier, hat die Messung nicht erklärt. Warum so nah? Bei manchen günstigen Anfragen sagen die beiden Rechnungen nicht dasselbe. Dort ist die Entscheidung aber knapp: Ein Ja oder ein Nein ändert die Einnahmen im Schnitt nur um einen kleinen Bruchteil des günstigen Preises. Das haben wir für den Fall mit sieben Plätzen nachgerechnet.

Wichtig: Diese Nähe gilt für die fünf gemessenen Fälle. In anderen Einstellungen, zum Beispiel bei sehr wenigen Plätzen und wenigen teuren Anfragen, wächst der Verlust der einfachen Regel auf bis zu etwa 5 %.

Das Programm zum Ausprobieren

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Der erste Knopf unten öffnet sie, der zweite führt zum zweiten Teil für Fachleute. Dort stellen Sie Plätze, Preisunterschied und Nachfrage selbst ein. Zum Verstehen brauchen Sie die Demo nicht.

Häufige Missverständnisse

• „Günstige Gäste sollte man möglichst abweisen.“ Nein. Wer zu viele Plätze zurückhält, bleibt auf leeren Plätzen sitzen, wenn die teuren Kunden ausbleiben. Es zählt die Chance, mit der sie noch kommen.
• „Die genaue Rechnung gewinnt jedes Mal.“ Nein. Sie ist nur im Mittel über viele Verläufe die beste. Sie kennt die Zukunft nicht, und in einem einzelnen Verlauf kann der Zufall eine andere Regel belohnen.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Das billige Angebot gibt es nur für wenige Plätze, die übrigen kosten mehr, etwa bei Zugtickets oder Konzertkarten.
• Ist reichlich Platz, etwa im Kino am Dienstagnachmittag, gibt es keinen Grund zu warten. Dann lohnt kein Zurückhalten.

Wie ernst ist das Rechenbild zu nehmen?

Die Anfragen sind erfunden, und die Reederei kennt die Chancen genau. Wie gut die einfache Regel mit nur geschätzten Chancen bleibt, wurde nicht gemessen. Die Aussagen in diesem Teil beschreiben das Rechenbild, nicht die Wirklichkeit.

Was Sie mitnehmen:

• Prüfen Sie zuerst, ob die Plätze überhaupt knapp sind. Reichen sie für alle Anfragen, braucht es keine ausgeklügelte Regel.
• Bevor Sie einen Platz für später halten, vergleichen Sie die Chance auf den besseren Kunden mit dem Preisunterschied.
• Prüfen Sie, ob eine einfache Regel genügt, bevor Sie eine aufwendige Rechnung bauen. Im Rechenbild tat sie es.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Das Modell ist die Standardformulierung des Klassenschutzes im Revenue Management mit diskreten Buchungsgelegenheiten; alle Zahlen gelten nur dafür.

• Kapazität und Zeit: Eine Abfahrt hat \(C\) Container-Slots. Vor der Abfahrt liegen \(N\) diskrete Buchungsgelegenheiten (Epochen) \(n = 0, \dots, N-1\); \(c\) bezeichnet die Zahl freier Slots. Jede angenommene Anfrage belegt genau einen Slot. In den fünf Beispielfällen der Demo sind es 30 Epochen und 4, 7 oder 12 Slots.
• Klassen und Preise: Zwei Frachtklassen: Spot mit dem niedrigen Preis \(r_{lo}\) und Premium mit dem hohen Preis \(r_{hi} > r_{lo}\). Der Spot-Preis ist fest, der Premium-Preis ein Vielfaches davon (Preisaufschlag \(r_{hi}/r_{lo}\)); die Beispielfälle reichen von 1,25 bis 5.
• Nachfrage: In Epoche \(n\) trifft höchstens eine Anfrage ein: mit Wahrscheinlichkeit \(\pi_{hi}(n)\) eine Premium-Anfrage, mit \(\pi_{lo}(n)\) eine Spot-Anfrage, sonst keine. Premium wird über die Epochen wahrscheinlicher, Spot unwahrscheinlicher (in der Demo linear, mit Zufallsrauschen, das je Nachfragekurve neu gezogen wird). Beide Wahrscheinlichkeiten laufen linear zwischen einem Anfangs- und einem Endwert, je Epoche und Kurve kommt ein Rauschfaktor von bis zu ±15 % hinzu. Drei Nachfragemixe (premium-arm, ausgewogen, premium-reich) legen die Höchstwerte vor dem Rauschen fest; das Rauschen kann sie um bis zu 15 % überschreiten. Beim ausgewogenen Mix sind es für Premium ein Viertel und für Spot gut ein Drittel. Im mittleren Beispielfall (7 Slots) ist der Premium-Preis 900, also gut das Doppelte des Spot-Preises. Die Wahrscheinlichkeiten sind der Entscheiderin bekannt.
• Entscheidung: Jede Anfrage wird sofort angenommen oder abgelehnt (online), ohne die Zukunft zu kennen. Es gibt keine Absagen nach der Annahme (kein No-Show), kein Overbooking und keine Preisänderung.
• Vier Regeln: (a) FCFS nimmt jede Anfrage an, solange \(c > 0\). (b) Littlewood nimmt Premium an, solange \(c > 0\), und Spot nur bei \(c > y^\ast(n)\), mit dem Schutzniveau \(y^\ast(n)\) aus dem nächsten Abschnitt. (c) DP (dynamische Programmierung) nimmt genau dann an, wenn das im Erwartungswert mindestens so viel bringt wie Ablehnen. (d) Das Hindsight-Orakel ist keine umsetzbare Regel, sondern die rückblickend beste Auswahl: die \(C\) höchsten Preise aller eingetroffenen Anfragen.
• Kennzahl: Der Abstand einer Regel zum DP-Optimum ist \(\bar R_{\text{Regel}} / \bar R_{\text{DP}} - 1\), angegeben in Prozent, mit dem mittleren Gesamtertrag \(\bar R\) über die Stichproben; negativ heißt schlechter als DP. Es ist der Abstand der Mittelwerte, nicht der Mittelwert der Abstände.
• Messreihe: 600 Stichproben je Einstellung: 30 Nachfragekurven mit je 20 gezogenen Anfragefolgen. Alle Regeln laufen auf denselben Folgen (gepaart). Die Demo zeigt außerdem eine einzelne Folge als Zeitleiste und vergleicht bis zu drei Kapazitätsstufen um den eingestellten Wert mit je 30 Folgen. Ein Urteil zu Littlewood gegen FCFS gilt dort als klar, wenn die gepaarte mittlere Differenz mehr als zwei Standardfehler beträgt.

Die Formeln

Dynamische Programmierung. \(V(n, c)\) sei der optimale erwartete Ertrag ab Epoche \(n\) bei \(c\) freien Slots, mit \(V(N, \cdot) = 0\). \(\text{Rest}\) sei die Wahrscheinlichkeit, dass in Epoche \(n\) keine Anfrage eintrifft. Dann gilt (für \(c = 0\) sind beide Maxima gleich \(V(n+1, 0)\)):

\[V(n, c) = \pi_{hi}(n) \cdot \max(r_{hi} + V(n+1, c-1),\, V(n+1, c)) + \pi_{lo}(n) \cdot \max(r_{lo} + V(n+1, c-1),\, V(n+1, c)) + (\text{Rest}) \cdot V(n+1, c)\]

\(V(0, C)\) ist der optimale erwartete Gesamtertrag. Eine Anfrage zum Preis \(f\) wird angenommen, wenn \(f + V(n+1, c-1) \ge V(n+1, c)\) gilt; bei Gleichstand wird angenommen. Die Optimalität gilt im Erwartungswert an jedem Entscheidungspunkt, nicht pfadweise für eine einzelne Folge.

Littlewoods Regel. \(D_n\) sei die Zahl der Premium-Anfragen in den Epochen \(n\) bis \(N-1\), eine Summe unabhängiger Ja-Nein-Größen mit den Wahrscheinlichkeiten \(\pi_{hi}(\cdot)\); ihre Verteilung folgt exakt durch Faltung. Spot wird bei \(c\) freien Slots nur angenommen, wenn \(c > y^\ast(n)\) gilt. Dabei ist \(y^\ast(n)\) das kleinste \(y\) mit

\[P(\text{verbleibende Premium-Nachfrage ab } n > y) \leq r_{lo} / r_{hi}\]

Die linke Seite ist \(P(D_n > y)\). Das Schutzniveau hängt nur von den Premium-Wahrscheinlichkeiten und vom Preisverhältnis ab, nicht von \(\pi_{lo}\).

Herleitungen Schritt für Schritt

Die folgenden Herleitungen und Rechnungen sind Rechnungen dieser Seite, keine Messungen der Demo.

Warum die DP-Gleichung gilt.

• Schritt 1: Trifft in Epoche \(n\) bei \(c \ge 1\) eine Anfrage zum Preis \(f\) ein, bringt Annehmen \(f + V(n+1, c-1)\) und Ablehnen \(V(n+1, c)\), denn die Zukunft hängt nur von Epoche und Restkapazität ab. Die bessere Wahl liefert das Maximum.
• Schritt 2: Vor der Ankunft ist offen, welcher der drei Fälle (Premium, Spot, keine Anfrage) eintritt. Gewichtet man ihre Werte mit \(\pi_{hi}(n)\), \(\pi_{lo}(n)\) und \(\text{Rest}\), entsteht die Gleichung aus dem vorigen Abschnitt.
• Schritt 3: Mit \(V(N, c) = 0\) rechnet man von \(n = N-1\) rückwärts bis \(0\). Die Tabelle hat \(N\) mal \((C+1)\) Einträge, jeder kostet konstant viel; der Aufwand wächst also proportional zu \(N \cdot C\).
• Bedingung: Das gilt, weil die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind und die Anfragen der Epochen unabhängig eintreffen.

Woher Littlewoods Schwelle kommt.

• Schritt 1: Bei \(c\) freien Slots trifft in Epoche \(n\) eine Spot-Anfrage ein. Man vergleicht Annehmen mit Warten, wenn man nur an künftige Premium-Anfragen denkt.
• Schritt 2: Nach dem Annehmen bleiben \(c-1\) Slots. Von den \(D_n\) künftigen Premium-Anfragen lassen sich dann höchstens \(c-1\) bedienen, bei \(c\) Slots höchstens \(c\). Der Unterschied ist genau eine Premium-Anfrage, wenn \(D_n \ge c\) gilt, sonst null.
• Schritt 3: Warten bringt also im Mittel \(r_{hi} \cdot P(D_n \ge c)\), Annehmen sicher \(r_{lo}\). Man nimmt an, wenn \(P(D_n > c-1) \le r_{lo}/r_{hi}\) gilt.
• Schritt 4: Die linke Seite wird mit wachsendem Argument nicht größer. Gilt die Ungleichung für \(c-1 = y^\ast(n)\), gilt sie für jedes größere \(c\). Man nimmt also genau dann an, wenn \(c-1 \ge y^\ast(n)\) ist, das heißt \(c > y^\ast(n)\).
• Folgerungen: Das Schutzniveau ist in \(n\) nicht steigend, weil \(D_n\) nur kleiner wird. Es steigt oder bleibt gleich, wenn der Premium-Preis steigt, weil die rechte Seite dann kleiner wird. Bei \(r_{hi} = r_{lo}\) ist die rechte Seite 1, also \(y^\ast(n) = 0\), und Littlewood nimmt alles an wie FCFS.
• Bedingung: Die Herleitung ignoriert, dass ein gehaltener Slot auch an spätere Spot-Anfragen gehen kann, und sie zählt Epoche \(n\) in \(D_n\) mit, obwohl dort gerade eine Spot-Anfrage eingetroffen ist, also keine Premium-Anfrage. Die Regel ist daher eine Näherung an das DP; wie gut sie ist, zeigt die Messung. Die Originalregel von Littlewood gilt für den statischen Fall mit zwei Klassen; die zeitabhängige Fassung mit \(D_n\) ist die Anpassung der Demo.

Warum das Hindsight-Orakel jede Regel schlägt.

• Schritt 1: Jede Regel nimmt auf einer Folge höchstens \(C\) Anfragen an.
• Schritt 2: Ihr Ertrag ist die Summe von höchstens \(C\) Preisen aus dieser Folge, also höchstens die Summe der \(C\) höchsten Preise. Das ist der Ertrag des Orakels.
• Schritt 3: Das gilt Folge für Folge, nicht nur im Mittel. Der Abstand zwischen DP und Orakel misst, was das Kennen der Zukunft wert wäre.

Zwei Randfälle.

• Slots reichen immer: Ist \(C \ge N\), kann die Kapazität nie knapp werden, weil pro Epoche höchstens eine Anfrage eintrifft. FCFS und das DP (ein weiterer Slot bringt nichts mehr) nehmen dann alles an, und mit dem Orakel sind diese drei Erträge gleich. Littlewood braucht \(C > N\): Dann gilt \(c \ge C - n > N - n \ge y^\ast(n)\), also nimmt er alles an. Bei \(C = N\) kann er am Ende einen Spot ablehnen, obwohl nie wieder jemand kommt, weil \(D_n\) die Epoche \(n\) mitzählt. Gegenbeispiel: \(N = C = 2\), je Epoche Premium und Spot mit Wahrscheinlichkeit eine Hälfte, \(r_{hi} = \tfrac{5}{2} r_{lo}\), Folge Spot, Spot. Dann ist \(y^\ast(0) = y^\ast(1) = 1\); FCFS und DP erzielen \(2 r_{lo}\), Littlewood nur \(r_{lo}\).
• Gleiche Preise: Bei \(r_{hi} = r_{lo} = r\) nimmt Littlewood alles an (siehe oben). Das DP auch: Ein Slot weniger kostet höchstens einen Verkauf, also ist \(V(n+1, c) - V(n+1, c-1) \le r\), und bei Gleichstand wird angenommen. Dann sind FCFS, Littlewood und DP gleich.

Durchgerechnet: Handinstanz, Schutzniveau und Wert der Zukunft

• Handinstanz. Zwei Epochen, ein Slot; in Epoche 0 kommt sicher eine Spot-Anfrage, in Epoche 1 sicher eine Premium-Anfrage. Dann ist \(V(1, 1) = r_{hi}\) und \(V(1, 0) = 0\). In Epoche 0 vergleicht das DP Annehmen mit \(r_{lo} + V(1, 0) = r_{lo}\) und Ablehnen mit \(V(1, 1) = r_{hi}\). Wegen \(r_{hi} > r_{lo}\) lehnt es ab; der Erwartungswert ist \(V(0, 1) = r_{hi}\), bei einem Premium-Preis von 900 also 900. FCFS nähme den Spot an und erzielte \(r_{lo}\); es verlöre den Anteil \(1 - r_{lo}/r_{hi}\) des Optimums.
• Schutzniveau von Hand. Zwei Epochen, die Premium-Wahrscheinlichkeit beträgt je Epoche eine Hälfte. Dann ist \(D_0\) gleich 0, 1 oder 2 mit den Wahrscheinlichkeiten \(\tfrac{1}{4}\), \(\tfrac{1}{2}\), \(\tfrac{1}{4}\), und es gilt \(P(D_0 > 0) = \tfrac{3}{4}\) sowie \(P(D_0 > 1) = \tfrac{1}{4}\). Ist Premium doppelt so teuer wie Spot (Schwelle \(\tfrac{1}{2}\)), ist \(y^\ast(0) = 1\): Bei einem freien Slot lehnt Littlewood Spot ab, bei zwei Slots nimmt er an. Bei vierfachem Preis (Schwelle \(\tfrac{1}{4}\)) bleibt \(y^\ast(0) = 1\), weil Gleichheit zählt; bei fünffachem Preis (Schwelle \(\tfrac{1}{5}\)) steigt es auf 2.
• Wert der Information. Im mittleren Beispielfall liegt das Hindsight-Orakel im Mittel der 600 Folgen etwa ein Zwölftel über dem DP-Optimum. So viel wäre das Kennen der Zukunft wert, und so viel kann keine Online-Regel erreichen.

Wie viel auf dem Spiel steht. Nachrechnung dieser Seite mit dem Code der Demo über dieselben 600 Folgen. Auf jeder Folge entscheidet das DP selbst. An jeder Spot-Anfrage mit mindestens einem freien Slot wird gezählt, ob Littlewood im selben Zustand (Epoche, freie Slots) anders entschieden hätte. Weicht man dort einmal ab und folgt danach wieder dem DP, kostet das \(|f + V(n+1, c-1) - V(n+1, c)|\), gemessen in Spot-Preisen.

Einstellung	Anteil abweichender Spot-Entscheidungen	Kosten je Abweichung, im Mittel
7 Slots, ausgewogener Mix (mittlerer Beispielfall)	etwa zwei Fünftel	etwa ein Zwanzigstel des Spot-Preises
3 Slots, premium-arm, Preisaufschlag 2 (größte Lücke im Raster bei 30 Epochen)	knapp zwei Drittel	etwa ein Sechstel des Spot-Preises

Viele abweichende Entscheidungen kosten also wenig. Fast alle weichen in derselben Richtung ab: Littlewood nimmt an, wo das DP ablehnt (bei 7 Slots nachgerechnet, ebenso in den anderen geprüften Einstellungen). Dass der Wert eines weiteren Slots im DP dort größer als der Spot-Preis ist, folgt unmittelbar aus den beiden Entscheidungsregeln und ist kein eigener Befund; der Befund ist die Richtung. Eine mögliche Ursache: Littlewood lässt die späteren Spot-Anfragen weg und schützt daher eher zu wenig. Die zweite Ungenauigkeit (Epoche \(n\) in \(D_n\)) wirkt in die Gegenrichtung; dass der Nettoeffekt „zu wenig“ ist, ist gemessen, nicht begründet. Die Ursache bleibt eine Deutung dieser Seite.

Befunde

Die ersten drei Zeilen gelten für 30 Epochen und ausgewogenen Nachfragemix, bei mittlerem Preisaufschlag, soweit nichts anderes genannt ist; Prozentwerte sind Abstände der Mittelwerte über 600 Stichproben zum DP-Optimum. Die letzten vier Zeilen stammen aus Einzeltests der Demo mit eigenen Einstellungen, die je Zeile stehen.

Frage	Befund
Wie viel Ertrag lässt FCFS liegen, je nach Kapazität?	4 Slots: −36,0 %, 7 Slots: −15,3 %, 12 Slots: −0,9 % gegenüber DP. Exakt gerechnet, also als Erwartungswert über dieselben 30 Nachfragekurven ohne das Rauschen der Anfragefolgen, sind es −35,4 % und −14,7 % für 4 und 7 Slots. Die Stichprobenwerte haben etwa ±0,7 Prozentpunkte Unsicherheit.
Wie nah kommt Littlewood an das DP-Optimum?	In den fünf Beispielfällen zwischen −0,06 % und −1,29 %. Über alle Einstellungen der Demo bei 30 Epochen zwischen etwa +0,1 % und −5 %, am weitesten bei knapper Kapazität und premium-armer Nachfrage. Positive Werte sind Stichprobenrauschen, denn das DP ist nur im Erwartungswert optimal und rechnet auf derselben Nachfragekurve wie die Simulation.
Wie wichtig ist das Preisverhältnis? (7 Slots)	Preisaufschlag 1,25: FCFS −2,6 %. Preisaufschlag 5: FCFS −31,4 %.
Schlägt das Orakel jede Regel?	Ja, Folge für Folge: 0 Verletzungen in 600 Anwendungen von FCFS, Littlewood und DP auf denselben Folgen (Herleitung oben). Einstellung: 30 Epochen, ausgewogener Mix, 8 Slots, Preise 900 und 400, mehrere Nachfragekurven; die 600 Anwendungen sind Folgen mal Regeln, keine 600 Stichproben je Regel.
Stimmt der DP-Wert mit der Simulation überein?	Ja: Theoriewert und simuliertes Mittel liegen innerhalb von 4 Standardfehlern (Prüfschwelle des Tests), über 2000 Stichproben einer Nachfragekurve. Einstellung: 25 Epochen, Höchstwerte der Wahrscheinlichkeiten je 30 %, 6 Slots, Preise 900 und 400.
Ist das DP im Mittel je schlechter als FCFS oder Littlewood?	Nein: 0 Verletzungen über 10 Instanzen mit je 400 Stichproben, bei einer Toleranz von einer Geldeinheit im Mittelwert. Das gilt im Erwartungswert, nicht Folge für Folge. Einstellung: 30 Epochen, Höchstwerte der Wahrscheinlichkeiten 20 % (Premium) und 35 % (Spot), 7 Slots, Preise 900 und 400.
Handinstanz: Spot sicher zuerst, Premium sicher danach, ein Slot? (2 Epochen, Preis 900)	Das DP lehnt den Spot ab; der Erwartungswert ist der Premium-Preis, hier 900,0.

Was die Messung zeigt und wo die Grenzen liegen

Was sie belegt:

• Die Rechenkerne: Die DP-Wertfunktion stimmt auf kleinen Instanzen mit einem unabhängig formulierten Bellman-LP (die DP-Gleichung als lineares Programm) und mit der Aufzählung aller Markov-Regeln (Regeln, die nur von Epoche und freien Slots abhängen) überein, die Schutzniveaus stimmen mit exakter Bruchrechnung überein, und die Erträge der fünf Beispielfolgen wurden unabhängig nachgespielt.
• Die Größenordnung der Abstände: FCFS verliert bei knapper Kapazität und bei großem Preisaufschlag am meisten und bei reichlicher Kapazität und kleinem Aufschlag wenig; Littlewood bleibt in den fünf Beispielfällen nahe am DP.
• Die Spannweite von Littlewood: Im ganzen Raster der Einstellungen bei 30 Epochen bleibt die Regel höchstens etwa 5 % unter dem DP.

Was sie nicht belegt:

• Wirklichkeit: Die Nachfragekurven sind synthetisch und nicht an echten Buchungsdaten kalibriert, die Wahrscheinlichkeiten sind exakt bekannt. Wie nah Littlewood bei geschätzten Wahrscheinlichkeiten am DP bleibt, ist nicht gemessen.
• Auswahl: Die fünf Beispielfälle sind keine Zufallsauswahl. Sie wurden gewählt, weil sie je eine Geschichte erzählen, und müssen feste Schwellen einhalten. Das Raster aller Einstellungen ist die breitere Aussage.
• Optimalität: Das DP ist nur im Erwartungswert optimal. Auf einer einzelnen Folge kann eine unterlegene Regel besser abschneiden.
• Modellgrenzen: Kein No-Show und kein Overbooking, nur zwei Frachtklassen (für mehr Klassen bräuchte es etwa EMSR-b statt der geschlossenen Formel), keine dynamische Preisanpassung, nur Annahme oder Ablehnung.
• Ursache des Abstands: Dass die Lücke bei knapper Kapazität und premium-armer Nachfrage am größten ist, ist gemessen. Die Nachrechnung oben zeigt die Richtung der abweichenden Entscheidungen, nicht aber, warum die Lücke gerade dort am größten ist.

Erweiterungen und Verweise

Naheliegende Erweiterungen, hier nicht umgesetzt: Overbooking mit Absagequote (eine Buchungslimit-Formel nach Art des Newsvendor-Modells), mehr als zwei Frachtklassen, geschätzte statt bekannter Wahrscheinlichkeiten (ein Ansatzpunkt für maschinelles Lernen), Kalibrierung an echten Buchungsdaten und dynamische Preisanpassung statt reiner Annahme oder Ablehnung.

Verwandte Demos dieser Website:

• Davor in der Prozesskette: Die Seefracht-Konsolidierung setzt voraus, dass die zu konsolidierenden Sendungen schon feststehen. Hier wird entschieden, welche Buchungen überhaupt angenommen werden; die angenommenen wären diese Sendungen.
• Dieselbe Frage in der Luftfracht: Die Buchungsannahme mit Gewichtslimit vergleicht Annahmeregeln für Luftfracht mit zufälligem Gewicht je Anfrage gegen eine Bid-Price-Regel (dynamische Programmierung).

Quellen

• Littlewood (1972): Forecasting and control of passenger bookings. AGIFORS Symposium (die Schutzformel für zwei Klassen).
• Talluri, van Ryzin (2004): The Theory and Practice of Revenue Management. Springer (Lehrbuch zu Klassenschutz, Overbooking und mehreren Klassen).
• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/revenue-management-demo.

Die Jahreszahl von Littlewood nennt die Demo; Titel und Ausrichtung beider Werke stammen aus dem Gedächtnis und sind nicht geprüft. Die Befundtabelle gibt die Messreihe der Demo wieder; die Herleitungen, die Handrechnungen, die Nachrechnung zu den abweichenden Entscheidungen und der Wert der Information sind Rechnungen dieser Seite.