Flugzeug-Boarding verständlich erklärt

Im Flugzeug stockt das Einsteigen, sobald jemand im Gang sein Gepäck verstaut: Alle, die weiter nach hinten wollen, warten. Kann eine kluge Reihenfolge der Fahrgäste dagegen helfen, und wann bringt sie viel oder kaum etwas? Die Seite spielt das am Computer nach, stark vereinfacht.

Zuletzt aktualisiert: 11. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Das Bild: ein Gang, in dem niemand überholt

Stellen Sie sich ein Flugzeug vor. Alle Fahrgäste, also die Passagiere, kommen durch eine Tür und gehen einzeln durch einen schmalen Gang zu ihrem Platz. Überholen kann niemand. Wer seine Reihe erreicht, hebt sein Gepäck ins Fach über den Sitzen. Dabei steht er im Gang, und alle hinter ihm, die weiter nach hinten wollen, stehen mit.

Manchmal dauert es noch länger: Sitzt schon jemand zwischen dem Gang und dem eigenen Platz, muss der Fahrgast erst an ihm vorbei. Das kostet zusätzlich Zeit, und der Gang bleibt dabei blockiert. Die Reihenfolge, in der die Fahrgäste an Bord gehen, bestimmt deshalb, wie lange das Einsteigen dauert.

Zu dieser Seite gehört ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo. Sie spielt das Einsteigen am Computer nach, in der Voreinstellung mit 30 Reihen zu je sechs Plätzen (180 Fahrgäste) und einer Tür. Dieses vereinfachte Nachspielen nennen wir Rechenbild (Fachwort: Modell). Es zählt die Zeit in Takten, einer frei gewählten kleinen Zeiteinheit, keine Sekunde; ein Fahrgast legt je Takt eine Reihe zurück. Alle Aussagen in diesem Teil gelten nur für das Rechenbild.

Warum passiert das?

Zwei Dinge bestimmen, wie lange das Einsteigen dauert. Das erste ist die Tür: Sie lässt nur alle paar Takte einen Fahrgast ein. Das zweite ist der Gang: Jedes Verstauen hält alle dahinter auf, und es dauert mal kurz, mal lang.

Aus der Tür folgt eine Untergrenze. Lässt sie alle zwei Takte einen Fahrgast ein, tritt der erste im ersten Takt ein und der letzte der 180 frühestens nach 179 weiteren Abständen von je zwei Takten, also im Takt 359. Für jede Reihenfolge im Rechenbild dauert es mindestens so lange, bis der Letzte sitzt. Fachleute nennen diese Untergrenze Eintrittsschranke.

Was bremst, hängt von der Tür ab. Die Demo nennt den Gang den Engpass, wenn die zufällige Reihenfolge mindestens 15 % über der Untergrenze liegt, sonst die Tür. Bei einem Fahrgast alle zwei Takte bremst der Gang, bei alle vier Takte oder seltener die Tür. Bei alle acht Takten liegen Zufall und die Steffen-artige Reihenfolge (unten erklärt) nur noch knapp über der Untergrenze: Es ist wenig zu holen.

Was hilft?

Verglichen werden sechs Reihenfolgen:

• Zufall: Jeder steigt in beliebiger Reihenfolge ein.
• Hinten zuerst: Die hinteren Reihen gehen zuerst an Bord. Es gibt zwei Spielarten: in fünf Blöcken (das Flugzeug wird in fünf Reihengruppen von hinten nach vorn geteilt, innerhalb einer Gruppe steigen alle in zufälliger Reihenfolge ein) oder Reihe für Reihe. Dazu kommt als Gegenprobe „vorn zuerst“ in fünf Blöcken (zusammen drei Reihenfolgen).
• Fenster vor Gang (Kurzname WilMA, nach den englischen Wörtern Window, Middle, Aisle): Erst sind die Fensterplätze dran, dann die mittleren, zuletzt die am Gang. So muss niemand an Sitzenden vorbei, solange sich alle an die Reihenfolge halten.
• Steffen-artig: Der Name geht auf einen Fachaufsatz von J. H. Steffen zurück, der das Prinzip „zwei Reihen Abstand, Fenster vor Mitte vor Gang“ beschreibt. Wir haben es nachgebaut („-artig“): erst die Fensterplätze, dann die mittleren, dann die am Gang, und aufeinanderfolgende Fahrgäste sitzen meist zwei Reihen auseinander. So können mehrere gleichzeitig an verschiedenen Stellen verstauen. Die genaue Folge steht im Aufsatz nur in einer Abbildung; Einzelheiten wie gerade und ungerade Reihen haben wir gewählt, es ist eine Rekonstruktion.

Ein Beispiel aus dem Rechenbild: 30 Reihen, eine Tür, die alle zwei Takte einen Fahrgast einlässt, 70 % der Fahrgäste mit Gepäck. Das Verstauen dauert drei bis zwölf Takte, das Vorbeigehen an einem Sitzenden drei. Im Mittel über viele simulierte Flüge braucht die zufällige Reihenfolge 563 Takte, die Steffen-artige 416; die Untergrenze der Tür, die Eintrittsschranke, liegt bei 359. „Fenster vor Gang“ liegt zwischen der Steffen-artigen und der zufälligen Reihenfolge. Der Vorsprung gegenüber Zufall ist der Anteil der Zeit, den eine Reihenfolge spart. Die Steffen-artige Reihenfolge und „Fenster vor Gang“ schlagen Zufall in allen simulierten Flügen, die drei Reihenfolgen mit „hinten zuerst“ oder „vorn zuerst“ in keinem. Hier bremst der Gang.

Dass „hinten zuerst“ in Blöcken hier langsamer ist als Zufall, überrascht. Nach der Beschreibung des Rechenbilds drängt sich jeder Block in wenigen Reihen; gesondert gemessen ist das nicht. Bei einer Tür, die nur alle vier Takte oder seltener einlässt, liegt „hinten zuerst“ in Blöcken im Beispiel knapp vor Zufall; mit wenig Gepäck kann es schon bei schnellerer Tür vorn liegen.

Woher kommt der Vorsprung von „Fenster vor Gang“? Gemessen ist: Kostet das Vorbeigehen keine Zeit, ist er fast weg. Wir schließen daraus, dass er fast nur vom vermiedenen Vorbeigehen kommt. Bei der Steffen-artigen Reihenfolge bleibt auch dann einer, den wir dem gleichzeitigen Verstauen zuschreiben; das ist eine Deutung, nicht gesondert gemessen.

Gruppen, deren Mitglieder nebeneinander sitzen und zusammen einsteigen, kosten die Steffen-artige Reihenfolge wenig: Ihr Vorsprung schrumpft nur leicht. Ungehorsam kostet den Vorsprung: Halten sich Gruppen nicht an die Reihenfolge und reihen sich irgendwo ein, ist der Vorsprung der Steffen-artigen Reihenfolge gegenüber Zufall bei etwa 39 % solcher Gruppen auf die Hälfte seines ursprünglichen Werts geschrumpft.

Wie viel wäre überhaupt möglich? Eine Reihenfolge, die alle Verstauzeiten im Voraus kennt, ist keine Regel, denn im Alltag weiß das niemand. Das Programm hat für die 180 Fahrgäste durch automatisches Ausprobieren und Verbessern eine solche gesucht. Sie war schneller als die Steffen-artige und liegt trotzdem noch über der Untergrenze der Tür. Mindestens so viel ist also möglich; ob mehr, wissen wir nicht. Sicher die beste Reihenfolge gibt es nur in einem winzigen Flugzeug (vier Reihen, acht Fahrgäste: nur Fenster- und Gangplatz einer Seite), in dem das Programm jede Reihenfolge ausprobiert. Für das große Flugzeug gibt es keinen solchen Beweis.

Häufige Missverständnisse

• „Hinten zuerst ist die beste Reihenfolge.“ Nicht im Rechenbild: Bei 70 % Fahrgästen mit Gepäck und einem Fahrgast alle zwei Takte war „hinten zuerst“ in Blöcken langsamer als Zufall.
• „Eine kluge Reihenfolge spart immer gleich viel.“ Nein. Die Steffen-artige Reihenfolge war bei jeder durchgerechneten Türrate schneller als Zufall, aber wie viel, ändert sich: bei schneller Tür viel, bei der langsamsten wenig.

Woran Sie das im Alltag erkennen

• Im Zug oder Bus bleibt jemand im Gang stehen, um den Koffer zu verstauen, und hinter ihm staut es sich.
• Ist an der Supermarktkasse nur eine Kasse offen, bestimmt sie das Tempo, nicht die Reihenfolge der Wartenden.

Was Sie mitnehmen

• Eine Reihenfolge hilft vor allem, solange der Gang der Engpass ist. Ist die Tür der Engpass, bleibt wenig zu holen.
• Fragen Sie bei jeder Regel: Für welche Tür und wie viel Gepäck wurde sie durchgerechnet?

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Alle Verhaltensannahmen sind gesetzt und nicht an echten Flügen gemessen, und ein Takt ist keine Sekunde: Belastbar sind nur Verhältnisse zwischen den Reihenfolgen unter diesen Annahmen, keine Minuten. Aussteigen, langsame Fahrgäste und volle Gepäckfächer fehlen im Rechenbild.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst das Modell der Demo zusammen, eines Programms zum Ausprobieren im Browser (Knopf unten). Alle Verhaltensparameter sind Annahmen, keine Messungen. Ein Takt ist eine Zeiteinheit des Modells und nicht in Sekunden kalibriert; belastbar sind Verhältnisse zwischen Regeln unter diesen Annahmen. „Rechnung dieser Seite“ kennzeichnet Zahlen und Überlegungen, die hier nachgerechnet sind und nicht in der Demo stehen.

• Flugzeug und Gang: \(R\) Reihen mit je zwei Seiten zu drei Plätzen (Fenster, Mitte, Gang). \(N\) ist die Zahl der Fahrgäste in der Warteschlange; im Basisfall besetzt jeder der \(6R\) Plätze genau einen Fahrgast, also \(R\) = 30 und \(N\) = 180. Der Gang besteht aus den Zellen 1 bis \(R\), Zelle \(c\) liegt vor Reihe \(c\). Niemand überholt; ein Fahrgast legt eine Zelle je Takt zurück, wenn die nächste frei ist.
• Tür: Ein neuer Fahrgast betritt den Gang höchstens alle \(e\) Takte und nur bei freier erster Zelle (Türrate; kleines \(e\) heißt schnelle Tür).
• Verstauen und Platzwechsel: Am Ziel verweilt Fahrgast \(k\) seine Verstauzeit \(s_k\) plus \(h\) Takte je Mitreisendem, der zwischen Gang und seinem Platz schon sitzt; deren Zahl ist \(m_k\) (Gangplatz: 0, Mittelplatz: höchstens 1, Fensterplatz: höchstens 2). In dieser Zeit blockiert er den Gang. Wer Gepäck hat (Anteil wählbar), hat eine ganzzahlig gleichverteilte Verstauzeit zwischen 3 Takten und der Obergrenze \(s_{\max}\); ohne Gepäck ist \(s_k\) = 0, der Platzwechsel gilt aber auch dann.
• Basisfall: Wenn nichts anderes steht: 30 Reihen, eine Tür, \(e\) = 2, 70 % der Fahrgäste mit Gepäck, \(s_{\max}\) = 12 Takte, \(h\) = 3 Takte und 100 Läufe mit dem Zufalls-Seed 35, alle Regeln auf denselben Instanzen. Ein Lauf ist eine Instanz: Gepäck und Verstauzeit je Sitz und die Gruppen werden gezogen.
• Gemeinsame Zufallszahlen: Die Regeln laufen auf denselben Instanzen und unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Fahrgäste. Der Generator ist ganzzahlig (SplitMix64) mit festem Zufalls-Seed.

Die Boarding-Regeln

Eine Regel legt die Reihenfolge fest, in der die Fahrgäste den Gang betreten; wo sie nichts festlegt, entscheidet der Zufall.

• Zufall: zufällige Reihenfolge. Sie verteilt die Verstauzeiten über den ganzen Gang, ohne dass jemand gezielt wartet.
• Rückwärts in 5 Blöcken: die hinteren Reihen zuerst, innerhalb eines Blocks zufällig; die Reihen sind in fünf Blöcke von hinten nach vorn geteilt (die genauen Blockgrenzen nennt die Beschreibung der Demo nicht). Nach dieser Beschreibung drängt sich jeder Block in wenigen Reihen.
• Vorwärts in 5 Blöcken: die vorderen Reihen zuerst. Das ist eine Negativkontrolle: Jeder spätere Block muss durch die Zone der noch Verstauenden gehen.
• Rückwärts reihenweise: Reihe für Reihe von hinten. Aufeinanderfolgende Fahrgäste verstauen nebeneinander im selben Abschnitt des Gangs und blockieren sich.
• WilMA (Fenster, Mitte, Gang): erst alle Fensterplätze, dann die Mittelplätze, dann die Gangplätze, innerhalb einer Klasse zufällig. Das vermeidet, dass Sitzende für Fensterplätze aufstehen müssen, solange alle der Reihenfolge folgen.
• Steffen-artig (Rekonstruktion): Fenster vor Mitte vor Gang; innerhalb einer Klasse gerade Reihen von hinten nach vorn, dann ungerade. Aufeinanderfolgende Fahrgäste einer Klasse sitzen zwei Reihen auseinander und können gleichzeitig verstauen; an den Übergängen zwischen Seiten, geraden und ungeraden Reihen und Klassen gilt das nicht. Das ist eine Rekonstruktion nach dem Prinzip „zwei Reihen Abstand, Fenster vor Mitte vor Gang“ von Steffen (2008), nicht die Abbildung der Quelle, denn die genaue Folge steht dort nur in einer Abbildung. Gerade und ungerade Reihen und die Reihenfolge der Seiten sind unsere Wahl.

Drei Erweiterungen des Modells sind einstellbar:

• Gruppen: Paare und Dreiergruppen (Dreier: ein Viertel der Gruppen) sitzen nebeneinander in einer Reihenseite und steigen zusammen ein, Fenster zuerst; die Gruppe wird zum Aufruf ihres frühesten oder spätesten Mitglieds gerufen. Der Sollanteil der Fahrgäste in Gruppen weicht etwas vom tatsächlichen ab. Wie die Gruppen gezogen werden, nennt die Beschreibung der Demo nicht.
• Ungehorsam: Der Anteil bezieht sich auf Gruppen. Eine ungehorsame Gruppe (ohne Gruppen: ein einzelner Fahrgast) reiht sich an gleichverteilt zufälliger Stelle in die Schlange ein.
• Zwei Türen: zwei unabhängige Hälften zu je der halben Reihenzahl; die Zeit ist das Maximum beider Hälften. Wie die Fahrgäste den Hälften zugeordnet werden, nennt die Beschreibung der Demo nicht.

Die Formeln

Da niemand überholt, hängt die Ankunft jedes Fahrgasts nur von seinen Vordermännern ab. Sei \(A_c(k)\) der Takt, in dem Fahrgast \(k\) (\(k = 1, \dots, N\) in der Reihenfolge der Warteschlange) die Zelle \(c\) erreicht, \(r_k\) seine Zielreihe, also seine Zielzelle, und \(L_c\) der Takt, in dem Zelle \(c\) zuletzt frei wurde; anfangs sind alle Zellen frei, \(L_c\) = 0. Zuerst der Eintrittstakt: frühestens \(e\) Takte nach dem Vordermann, erst wenn die erste Zelle frei ist und nicht vor Takt 1. Für den ersten Fahrgast gilt \(A_1(0) = 1 - e\); das ist nur ein Rechenwert, damit er im Takt 1 eintritt, kein nullter Fahrgast.

\[A_1(k) = \max\big(A_1(k-1) + e,\; L_1,\; 1\big)\]

Danach geht er Zelle für Zelle bis zur Zielzelle: In jede Zelle kommt er frühestens einen Takt nach der vorigen und frühestens in dem Takt, in dem sie frei wird.

\[A_c(k) = \max\big(A_{c-1}(k) + 1,\; L_c\big), \qquad c = 2, \dots, r_k\]

In der Zielzelle verweilt er die Verstauzeit plus den Platzwechsel und gibt sie erst danach frei; \(E_k\) ist der Takt, in dem \(k\) fertig ist und sitzt. Eine Zelle, die er nur durchquert, gibt er in dem Takt frei, in dem er die nächste erreicht (\(L_c \leftarrow A_{c+1}(k)\) für \(c < r_k\)); die abgesetzte Formel schreibt nur die Freigabe der Zielzelle.

\[E_k = A_{r_k}(k) + s_k + h\, m_k, \qquad L_{r_k} \leftarrow E_k\]

Die Boarding-Zeit ist der Takt, in dem der letzte Fahrgast sitzt:

\[T = \max_k E_k\]

Für jede Reihenfolge gelten zwei untere Schranken: Der letzte Fahrgast betritt den Gang frühestens im Takt \(1 + (N-1)e\) (die Eintrittsschranke, im Folgenden \(B\)), und die Fahrgäste einer Reihe \(r\) verstauen nacheinander in derselben Zelle (die Reihenschranke):

\[T \;\ge\; 1 + (N-1)\,e, \qquad T \;\ge\; \max_r \Big( r + \sum_{k:\, r_k = r} s_k \Big)\]

Die Demo rechnet dieses Modell auf zwei unabhängig geschriebene Arten: als Taktsimulation, die den Gang zu jedem Takt zeigt, und als Zeit-Gitter-Rekursion, die die Läufe rechnet und genau die Formeln oben auswertet. Beide liefern dieselbe Zeit und dieselbe Wartezeit je Fahrgast (geprüft auf 500 Zufallsinstanzen).

Durchgerechnet: zwei Fahrgäste in einer Reihe

Rechnung dieser Seite, in der Demo nicht gemessen. Voraussetzungen: ein Flugzeug mit zwei Reihen, von dem nur zwei Plätze besetzt sind (also \(N\) = 2), \(e\) = 2, \(h\) = 3. Fahrgast 1 sitzt in Reihe 2 am Gang (\(s_1\) = 4), Fahrgast 2 in derselben Reihenseite am Fenster (\(s_2\) = 5), und er kommt zweiter. Auf seinem Weg zum Fenster sitzt schon einer zwischen Gang und Platz, also ist \(m_2\) = 1; Fahrgast 1 hat \(m_1\) = 0. Taktsimulation und Rekursion liefern für diesen Fall dieselbe Zeit.

• Fahrgast 1: \(A_1(1) = \max(1 - 2 + 2,\ 0,\ 1) = 1\), \(A_2(1) = \max(1 + 1,\ 0) = 2\), also \(E_1 = 2 + 4 + 3 \cdot 0 = 6\). Zelle 1 wird im Takt 2 frei, Zelle 2 im Takt 6.
• Fahrgast 2: \(A_1(2) = \max(1 + 2,\ 2,\ 1) = 3\), aber \(A_2(2) = \max(3 + 1,\ 6) = 6\): Er steht zwei Takte im Gang, bis Fahrgast 1 seine Zelle räumt. Dann \(E_2 = 6 + 5 + 3 \cdot 1 = 14\).
• Ergebnis: \(T = \max(6,\ 14) = 14\) Takte. Zu den Schranken: \(1 + (N-1)e = 3\), und die Reihenschranke ist \(2 + 4 + 5 = 11\). Beide liegen unter 14; die Differenz zur Reihenschranke ist der Platzwechsel \(h\,m_2 = 3\).

Wer bremst: Tür oder Gang?

Die Eintrittsschranke \(B = 1 + (N-1)e\) hängt nur von der Zahl der Fahrgäste und der Türrate ab, nicht von der Reihenfolge; im Basisfall ist sie \(1 + 179 \cdot 2\) = 359 Takte. Der Abstand zur Schranke ist \(\bar T_X / \bar B\) (\(\bar T_X\) die mittlere Boarding-Zeit der Regel \(X\), \(\bar B\) die mittlere Schranke über die Läufe, bei zwei Türen die der größeren Hälfte). Die Schranke ist schwach: Der letzte Fahrgast muss nach seinem Eintritt noch seine Zelle erreichen, aus den Formeln folgt \(T \ge B + r_N - 1\) mit seiner Zielreihe \(r_N\) (Rechnung dieser Seite). Ein Abstand von 1 ist deshalb nur dann erreichbar, wenn der letzte Fahrgast in Reihe 1 sitzt; je näher die Zeit an der Schranke liegt, desto weniger ist von einer anderen Reihenfolge zu erwarten.

Als Regime unterscheidet die Demo, wer bremst: Liegt Zufall mindestens 15 % über der Schranke, bremst der Gang, sonst die Tür; die Schwelle ist eine Festlegung der Demo, keine Regel. Im Basisfall, nur \(e\) verändert, bremst danach der Gang bei \(e\) = 1 bis 3 (Zufall beim 2,927-, 1,568- und 1,217-Fachen der Schranke) und bei \(e\) = 4, 6 und 8 die Tür (1,110-Faches und weniger).

Die Regime-Karte der Demo wertet das über ein Raster aus: das Verhältnis der Steffen-artigen Reihenfolge zu Zufall und ihren Abstand zur Schranke für die Türraten 1, 2, 3, 4, 6, 8 mal die längsten Verstauzeiten 6, 12, 24, 40 Takte (24 Zellen). Sie rechnet je Zelle mit 40 statt 100 Läufen und streut deshalb stärker als der Vergleich im Basisfall.

Befunde: Reihenfolgen und Türrate

Alle Zahlen gelten für den Basisfall; wo etwas verändert ist, steht es dabei. Das Verhältnis zu Zufall der Regel \(X\) ist \(\rho_X = \bar T_X / \bar T_{\text{Zufall}}\), das Verhältnis der Mittelwerte über die Läufe: Kleiner als 1 heißt schneller als Zufall, und \(1 - \rho_X\) ist der Vorsprung. Ein Sieg ist ein Lauf, in dem die Regel strikt schneller ist als Zufall. Die Verhältnisse und Prozente sind aus den ungerundeten Mittelwerten gerechnet; aus den gerundeten Takten ergeben sie sich geringfügig anders.

e (Takte zwischen zwei Fahrgästen)	1	2	3	4	6	8
Steffen-artig / Zufall	0,544	0,738	0,878	0,935	0,969	0,981
Steffen-artig / Eintrittsschranke	1,591	1,158	1,069	1,037	1,014	1,007
Zufall / Eintrittsschranke	2,927	1,568	1,217	1,110	1,046	1,026
Rückwärts in 5 Blöcken / Zufall	1,300	1,228	1,077	0,977	0,985	0,990

Frage	Befund
Wie liegen die Regeln im Basisfall?	Steffen-artig vor WilMA vor Zufall; die Blockregeln und „Rückwärts reihenweise“ liegen hinter Zufall. Zufall braucht im Mittel 563 Takte, die Eintrittsschranke ist 359 Takte (1 + 179 · 2). Verhältnis zu Zufall: Steffen-artig 0,738 (416 Takte), WilMA 0,882, Rückwärts in 5 Blöcken 1,228, Vorwärts in 5 Blöcken 1,447, Rückwärts reihenweise 1,855. Steffen-artig und WilMA schlagen Zufall in 100 von 100 Läufen, die drei anderen Regeln in 0 von 100. Steffen-artig liegt beim 1,158-Fachen, Zufall beim 1,568-Fachen der Eintrittsschranke.
Wie weit gilt die Rangfolge?	Im getesteten Raster in 72 von 72 Zellen: Steffen-artig vor WilMA vor Zufall. Das Raster hat Türrate 1 bis 3, 30 / 70 / 100 % Gepäck, 0 / 30 % Ungehorsam, 0 / 50 % Gruppen und Platzwechsel 3 / 6 Takte, je Zelle 40 Läufe, 30 Reihen. Zufall liegt vor Rückwärts in 5 Blöcken in 61 von 72 Zellen; die 11 Ausnahmen haben alle nur 30 % Gepäck bei \(e\) = 2 oder 3. Für Türrate ab 4 ist die Rangfolge nicht im Raster geprüft: Im Basisfall liegt Steffen-artig auch bei \(e\) = 4, 6 und 8 vor Zufall (Tabelle oben); für WilMA liegen dort keine Werte vor.
Wie hängt es von der Türrate ab?	Je langsamer die Tür, desto weniger holt eine Regel. Basisfall, nur \(e\) verändert (Tabelle oben): Bei \(e\) = 8 liegen Steffen-artig und Zufall höchstens 2,6 % über der Schranke. Rückwärts in 5 Blöcken liegt bei \(e\) = 1 bis 3 hinter Zufall und bei \(e\) = 4, 6 und 8 um 1,0 bis 2,4 % davor. Das gilt bei 70 % Gepäck und Verstauzeit bis 12 Takte; mit 30 % Gepäck liegt Rückwärts in 5 Blöcken in 11 der 72 Rasterzellen bei \(e\) = 2 oder 3 nicht hinter Zufall.

Befunde: Verstauzeit, Platzwechsel, Gruppen, Ungehorsam, zwei Türen

Alle Zeilen: Basisfall mit der genannten Abweichung, Verhältnisse zu Zufall (kleiner als 1 ist schneller). Ursachen sind nur dort genannt, wo die Beschreibung der Demo sie als Deutung ausweist.

Frage	Befund
Verstauzeit und Gepäck	Längere Verstauzeit vergrößert den Vorsprung von Steffen-artig; der von WilMA bleibt von 6 auf 12 Takte fast gleich und schrumpft ab 12 Takten. Verstauzeit höchstens 6 / 12 / 24 / 40 Takte: Steffen-artig 0,823 / 0,738 / 0,627 / 0,562, WilMA 0,886 / 0,882 / 0,912 / 0,935. Mehr Gepäck vergrößert den Vorsprung von Steffen-artig: Gepäckanteil 0 / 30 / 70 / 100 %: 0,907 / 0,838 / 0,738 / 0,679.
Woher kommt der Vorsprung?	WilMA gewinnt in diesem Modell fast nur durch den vermiedenen Platzwechsel. Platzwechsel 0 / 3 / 6 / 10 Takte: WilMA 0,995 / 0,882 / 0,768 / 0,645, Steffen-artig 0,833 / 0,738 / 0,643 / 0,540. Bei Platzwechsel 0 schlägt WilMA Zufall nur in 58 von 100 Läufen, bei 3, 6 und 10 Takten in 100 von 100. Bei Steffen-artig bleibt ohne Platzwechsel ein Vorsprung von 16,7 % durch paralleles Verstauen; der Rest kommt ebenfalls vom vermiedenen Platzwechsel (Deutung aus diesem Vergleich, nicht gesondert gemessen).
Was kosten Gruppen?	Im Basisfall wenig; die Rangfolge bleibt. Gruppen als Paare und Dreier nebeneinander in einer Reihenseite, die zusammen einsteigen, Fenster zuerst. Sollanteil 0 / 10 / 30 / 50 / 70 % (tatsächlich 0 / 10,3 / 30,3 / 50,7 / 70,1 %): Steffen-artig 0,738 / 0,743 / 0,755 / 0,768 / 0,781; der Vorsprung gegen Zufall sinkt von 26,2 auf 21,9 %. WilMA 0,882 → 0,923 bei 70 %. Rückwärts reihenweise wird besser (1,855 → 1,656), teils weil die Mitglieder einer Reihe hintereinander mit Fenster zuerst einsteigen (Deutung; mit „Gang zuerst“ innerhalb der Gruppe ist die Verbesserung kleiner: 1,724). Steigt die Gruppe zum Aufruf ihres spätesten statt ihres frühesten Mitglieds ein, liegt Steffen-artig bei 70 % Gruppen bei 0,753 (Vorsprung 24,7 %); WilMA verliert dabei (0,936). Die Vermutung, Gruppen zerstörten geordnete Reihenfolgen, bestätigt sich im Basisfall und in diesem Gruppenmodell nicht.
Was kostet Ungehorsam?	Er verkleinert den Vorsprung stark; er halbiert sich bei etwa 39 %. Ungehorsame Gruppen reihen sich an gleichverteilt zufälliger Stelle ein. Anteil 0 / 10 / 20 / 30 / 50 / 75 %: Steffen-artig 0,738 / 0,779 / 0,813 / 0,843 / 0,900 / 0,963; die 39 % sind linear zwischen den Rasterpunkten 30 und 50 % interpoliert. Rückwärts in 5 Blöcken wird bei \(e\) = 2 dadurch besser (nähert sich dem Zufall): 1,228 / 1,085 / 1,015 / 0,989 bei 0 / 30 / 50 / 75 %; bei \(e\) = 4 und \(e\) = 8 wird sie nicht besser (0,977 → 0,995 bzw. 0,990 → 0,998 bei 0 → 75 %).
Wie wirken zwei Türen?	Der Vorsprung bleibt und wird bei Steffen-artig und WilMA größer. Zwei unabhängige Hälften zu je 15 Reihen, Zeit gleich dem Maximum: Zufall braucht 348 Takte statt 563; Steffen-artig 0,689, WilMA 0,848, Rückwärts reihenweise 1,569 des Zufalls.

Was mindestens möglich ist

Das Experiment „Voraussicht“ der Demo sucht per Annealing (ein Suchverfahren, das die Reihenfolge schrittweise verändert und dabei zeitweise auch Verschlechterungen zulässt) eine Reihenfolge, die die Verstauzeiten kennt. Sie ist keine Regel, zeigt aber, dass mindestens so viel möglich ist. Die Läufe sind vorgerechnet; Voraussetzungen: 8 Instanzen, 30 Reihen, \(e\) = 2, 70 % Gepäck, Platzwechsel 3 Takte, Gruppen als beliebige Sitze einer Reihe (anders als im Gruppenmodell oben), 30000 Auswertungen je Lauf, Start von Steffen-artig und von Zufall. Die Prozente der Tabelle sind aus den ungerundeten Mitteln gerechnet, die Takte gerundet.

Anteil in Gruppen	0 %	30 %	70 %
Beste gefundene Reihenfolge (Takte)	387	393	402
Steffen-artig (Takte)	412	427	457
Beste gegenüber Steffen-artig	6,0 % weniger	8,0 % weniger	12,2 % weniger
Beste gegenüber der Eintrittsschranke von 359 Takten	7,8 % darüber	9,4 % darüber	11,8 % darüber

Lesart: Die gefundene Reihenfolge ist nicht als optimal bewiesen, das wahre Optimum kann tiefer liegen; sie erreicht die Eintrittsschranke nicht, ob eine Reihenfolge sie erreichen kann, ist nicht untersucht. Die 412 Takte der Steffen-artigen Reihenfolge ohne Gruppen (acht Instanzen) und die 416 des Basisfalls (100 Läufe) stammen aus verschiedenen Stichproben.

Im Mini-Flugzeug der Demo (4 Reihen, eine Seite, Fenster- und Gangplatz je Reihe, also zwei Plätze je Reihe, 8 Fahrgäste) werden alle 8! = 40320 Reihenfolgen durchgerechnet; Türrate, Gepäckanteil, Verstauzeit, Platzwechsel und Zufalls-Seed nimmt die Demo aus ihren Reglern. Die beste ist die beste dieser Instanz, durch Aufzählung bewiesen, aber keine Regel, denn sie kennt die Verstauzeiten. Wie viele Reihenfolgen die Steffen-artige schlägt, zeigt die Demo; die Beschreibung der Demo nennt dafür keine Zahl.

Was die Messung zeigt und was nicht

Belegt:

• Der Kern der Rechnung ist gegen unabhängige Rechenwege geprüft: Taktsimulation gegen Rekursion auf 500 Zufallsinstanzen, geschlossene Zeiten für einen und zwei Fahrgäste, \(T = \max_k((k-1)e + r_k)\) für \(k = 1, \dots, N\) ohne Verstauzeit und Platzwechsel, die Aufzählung aller Reihenfolgen im Mini-Flugzeug und die Schranken.
• Die Tests der Demo rechnen die Zahlen der Tabellen oben nach, mit ganzzahligem Generator und festem Zufalls-Seed; Verhältnisse sind auf drei Stellen gerundet. Nicht in der Demo stehen nur das Zahlenbeispiel und die Überlegung zur Schwäche der Schranke, die diese Seite selbst rechnet.
• Im getesteten Raster (Türrate 1 bis 3, 30 Reihen) steht Steffen-artig vor WilMA und WilMA vor Zufall in 72 von 72 Zellen. Im Basisfall schlägt Rückwärts in 5 Blöcken bei Türrate 4, 6 und 8 den Zufall um 1,0 bis 2,4 %; ob so kleine Unterschiede sich vom Rauschen trennen, ist nicht geprüft.

Belegt nicht:

• Eine Aussage über echte Flüge. Türrate, Gepäckzeit, Platzwechsel, Gruppen- und Ungehorsamsanteile sind Annahmen; ein Takt ist nicht in Sekunden kalibriert. Belastbar sind Verhältnisse zwischen Regeln unter diesen Annahmen, keine Minuten.
• Eine Rangfolge außerhalb des Rasters. Die Zellen sind Punkte eines selbst gewählten Gitters, keine Häufigkeiten in der Wirklichkeit. Die Plätze der übrigen Regeln und die Größe der Vorsprünge hängen an Türrate, Gepäck, Ungehorsam und Platzwechsel; für andere Reihenzahlen als 30 ist die Rangfolge nicht geprüft.
• Ein Urteil über die Methode von Steffen. Die Steffen-artige Reihenfolge ist eine Rekonstruktion nach dem Prinzip der Quelle, nicht ihre Abbildung.
• Die Ursachen. Gemessen ist nur, dass WilMA ohne Platzwechsel fast nichts gewinnt; die Erklärung des Rests bei Steffen-artig (paralleles Verstauen) und die Erklärungen zu den Gruppen sind Deutungen aus Vergleichen, nicht gesondert gemessen.
• Gruppenverhalten außerhalb des Modells: Gruppen, die getrennt sitzen oder sich im Gang aufteilen, fehlen; ebenso Aussteigen (Gegenrichtung), Überholen im Gang, Platzmangel im Gepäckfach, langsame Fahrgäste (Kinder, Gehhilfen), Vorrang für Statusgruppen und mehrere Gänge.
• Die Streuung der Verhältnisse. Standardfehler nennt diese Seite nicht (die Demo zeigt sie aus der gepaarten Differenz je Lauf); ob kleine Unterschiede (etwa 0,990 gegen 0,998) sich vom Rauschen trennen, ist hier nicht geprüft.
• Die gefundene Reihenfolge als Optimum: Annealing auf acht Instanzen, nicht bewiesen optimal. Eine optimale Gruppen-Reihenfolge nach der Literatur (Bachmat u. a.) ist nicht rekonstruiert, ebenso fehlen exakte Optimierung für 180 Fahrgäste und echte Zeiten.

Quellen

• Steffen, J. H. (2008): Optimal boarding method for airline passengers. Journal of Air Transport Management 14(3), 146–150 (arXiv 0802.0733): Prinzip „zwei Reihen Abstand, Fenster vor Mitte vor Gang“.
• Bachmat, E., Berend, D., Sapir, L., Skiena, S., Stolyarov, N. (2006): Analysis of airplane boarding via space-time geometry and random matrix theory. Journal of Physics A 39.
• Bachmat, E., Berend, D., Sapir, L., Skiena, S., Stolyarov, N. (2009): Analysis of airplane boarding times. Operations Research 57(2), 499–513.
• Bachmat, E., Elkin, M. (2008): Bounds on the performance of back-to-front airplane boarding policies. Operations Research Letters 36(5), 597–601.
• Steffen, J. H., Hotchkiss, J. (2012): Experimental test of airplane boarding methods. Journal of Air Transport Management 18(1), 64–67.
• Jaehn, F., Neumann, S. (2015): Airplane boarding. European Journal of Operational Research 244(2), 339–359.
• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/boarding-demo.

Die Arbeiten stehen so in der Beschreibung der Demo und wurden für diese Seite nicht erneut nachgeschlagen. Laut dieser Beschreibung wurde gelesen: von Steffen (2008) die arXiv-Fassung (v2, HTML), von Bachmat u. a. (2006), Bachmat und Elkin (2008), Steffen und Hotchkiss (2012) sowie Jaehn und Neumann (2015) der Abstract; Bachmat u. a. (2009) ist nur mit Titel und Seiten aus der Suche bekannt, nicht gelesen. Alle Zahlen der Seite stammen aus der Beschreibung der Demo, außer den als Rechnung dieser Seite gekennzeichneten.