Tit-for-Tat verständlich erklärt

Zwei Spediteure, die sich jede Woche wiedertreffen, können beim Tauschen von Rückladungen bleiben, ohne einen Vertrag zu haben: allein deshalb, weil das Ausnutzen des anderen Vergeltung nach sich zieht. Ob diese Drohung trägt, hängt davon ab, wie wahrscheinlich das Wiedertreffen ist. Diese Seite erklärt das zuerst ohne Formeln und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Zwei Spediteure und eine Rückladung

Zwei Spediteure fahren dieselbe Strecke zwischen Hafen und Werk. Jede Woche entscheidet jeder von beiden zwischen zwei Möglichkeiten. Anbieten heißt: Ich überlasse dem anderen einen Auftrag für seinen Rückweg. Nur nutzen heißt: Ich nehme den Rückauftrag des anderen an, überlasse ihm aber keinen.

Ein Beispiel mit den Spediteuren Süd und Nord: Bieten beide an, hat jeder einen Rückauftrag. Bietet Süd an und Nord nutzt nur, fährt Nord beladen zurück, aber Süd fährt leer zurück. Bietet keiner an, fahren beide mit wenig Ladung zurück.

Für beide zusammen ist gegenseitiges Anbieten am besten. Für einen allein ist es noch besser, nur zu nutzen. Fachleute nennen diese Lage das Gefangenendilemma; der Name ist nur ein Etikett. Gemeint ist: Wer nur an sich denkt, stellt beide schlechter, als wenn sie zusammenarbeiten.

Treffen sich die beiden nur ein einziges Mal, ist die Antwort klar, solange jeder nur auf den eigenen Vorteil schaut: Beide nutzen nur. Denn was der andere auch tut, für einen selbst ist Nutzen besser als Anbieten. Beide enden schlechter, als wenn sie angeboten hätten.

Wenn man sich wiedertrifft: die Drohung der Vergeltung

Jetzt treffen sich die beiden jede Woche wieder. Dann kann ein Spediteur eine einfache Regel wählen, sie heißt Tit-for-Tat, auf Deutsch etwa „wie du mir, so ich dir“. In der ersten Woche bietet er an. Danach tut er jede Woche genau das, was der andere in der Woche davor getan hat. Wer nur nutzt, bekommt in der nächsten Woche selbst keinen Auftrag überlassen. Wer zum Anbieten zurückkehrt, bekommt wieder einen.

Wer den anderen ausnutzt, gewinnt einmal ein Stück mehr. Dafür verliert er in den Wochen danach den Tausch. Ob sich das lohnt, hängt davon ab, wie wahrscheinlich es ist, dass die Beziehung weiterläuft. Ist das Wiedertreffen wahrscheinlich genug, wiegt der Verlust schwerer als der einmalige Gewinn, und Ausnutzen lohnt nicht. Die Zusammenarbeit hält dann ohne Vertrag, allein durch die Drohung. Wie wahrscheinlich „genug“ ist, zeigt der nächste Abschnitt.

Entscheidend ist das Wiedertreffen

Es kommt nicht darauf an, dass die Beziehung ewig dauert, sondern darauf, wie wahrscheinlich es ist, dass sie nächste Woche weiterläuft. Fachleute nennen das den Schatten der Zukunft: Je wahrscheinlicher das Wiedertreffen, desto länger ist der Schatten und desto stärker wirkt die Strafe schon heute. Ist das Wiedertreffen unwahrscheinlich, lohnt Ausnutzen, weil die Strafe selten noch kommt.

Die zugehörige Demo, ein Programm zum Ausprobieren, hat dafür einen Schieberegler für diese Wahrscheinlichkeit. Mit den dort gewählten Gewinnen trägt Tit-for-Tat ab einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln, dass die Beziehung weiterläuft. Darunter lohnt Abweichen. Mit anderen Gewinnen liegt die Schwelle woanders.

Eine strengere Regel heißt Grim Trigger, auf Deutsch etwa „unerbittlicher Auslöser“: Wer ein einziges Mal nur nutzt, bekommt nie wieder einen Auftrag überlassen. Eine Strafe, die nie endet, schreckt schon bei geringerer Wahrscheinlichkeit ab; mit den Gewinnen der Demo trägt sie ab der Hälfte. Tit-for-Tat vergibt dagegen sofort und schreckt deshalb weniger ab. Die genaue Lücke steht im Fachteil.

Kooperation ist möglich, aber nicht sicher

Ein Zustand heißt stabil, wenn keiner der beiden allein durch Abweichen gewinnt. Beide immer nur nutzen ist in diesem Modell bei jeder Wahrscheinlichkeit des Wiedertreffens stabil, denn wer allein anbietet, wird nur ausgenutzt. Gegenseitiges Anbieten ist erst ab der Schwelle stabil. Kooperation ist also ein stabiler Zustand unter mehreren, keine Vorhersage. Welcher gespielt wird, sagt die Rechnung nicht.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Das Modell ist stark vereinfacht: Die Gewinne sind gewählt, beide handeln streng nach dem eigenen Vorteil, sehen fehlerfrei, was der andere getan hat, und treffen nur einander; ein bekanntes Ende der Beziehung fehlt. Es zeigt, wie die Drohung der Vergeltung wirkt, nicht wie sich zwei bestimmte Betriebe verhalten.

Was Sie mitnehmen: Zusammenarbeit ohne Vertrag hält am ehesten, wenn beide mit einem Wiedertreffen rechnen und Ausnutzen bemerken. Fragen Sie sich bei einem Partner, wie lange die Beziehung voraussichtlich weiterläuft und woran Sie merken würden, dass er nur nutzt, etwa an Rückaufträgen, die ausbleiben, obwohl Sie ihm welche überlassen haben. Das gilt, solange beide ihren Vorteil abwägen und das Beobachten verlässlich ist. Läuft die Beziehung bald aus, trägt die Drohung schlechter.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Spiel: Gefangenendilemma als Stufenspiel (Vehikel: Rückladungstausch zweier Spediteure auf derselben Relation). Je Woche wählt jeder \(C\) (anbieten) oder \(D\) (nur nutzen). Auszahlungen in 100 EUR je Woche: \(T = 5\) (nur nutzen), \(R = 3\) (beide tauschen), \(P = 1\) (keiner tauscht), \(S = 0\) (angeboten, nichts bekommen); gewählt, nicht gemessen. Es gilt \(T > R > P > S\) und \(2R > T + S\). Eigennutz und Rationalität sind Modellannahmen, kein Befund über echte Betriebe.
• Wiederholung: Die Beziehung läuft nach jeder Woche mit Wahrscheinlichkeit \(\delta\) weiter. Runde \(t\) zählt daher mit Gewicht \(\delta^t\), die erwartete Dauer ist \(1/(1-\delta)\) Wochen. \(\delta\) ist hier eine Fortsetzungswahrscheinlichkeit, kein Zeitpräferenz-Faktor.
• Strategien: endliche Automaten, je Zustand eine Aktion, der Folgezustand hängt von der letzten Aktion des Gegners ab. Sechs stehen zur Wahl: Immer kooperieren, Immer defektieren, Tit-for-Tat, Grim Trigger, Tit-for-Two-Tats und Pavlov (Win-Stay-Lose-Shift).
• Prüfung auf Gleichgewicht: Der Wert eines Paares ist die Lösung eines linearen Systems über die gemeinsamen Zustände. Die beste Antwort auf einen festen Automaten ist ein Entscheidungsprozess über dessen Zustände und läuft über alle Strategien, nicht nur über die sechs. Ein Paar ist ein Gleichgewicht, wenn keine Seite durch irgendeine Abweichung gewinnt.

Die Formeln

Der diskontierte Wert eines Paares löst \(V(s) = u(s) + \delta\, V(s')\) über die gemeinsamen Zustände \(s\) der beiden Automaten, also das lineare System (mit der Übergangsmatrix \(P\), nicht zu verwechseln mit der Auszahlung \(P\)):

\[(I - \delta P)\,V = u\]

Die beste Antwort auf einen festen Automaten ist ein Entscheidungsprozess, dessen Zustandsmenge die des Automaten ist. Das Maximum läuft über beide Aktionen in jedem Zustand und damit über alle Strategien; gelöst wird per Politikiteration. Ein Paar ist ein Gleichgewicht, wenn \(V(A,B) \ge W_B(0)\) und \(V(B,A) \ge W_A(0)\) gelten.

\[W(s) = \max_{x \in \{C,D\}} \big[\, u(x, \text{Aktion}(s)) + \delta\, W(s'(s,x)) \,\big]\]

Für Tit-for-Tat gegen Tit-for-Tat sind zwei Abweichungen gefährlich. Dauerndes Defektieren bringt \(T + \delta P/(1-\delta)\) gegen \(R/(1-\delta)\) für das Beibehalten, das lohnt nicht mehr ab \(\delta \ge (T-R)/(T-P)\). Das Abwechseln \(D, C, D, C, \dots\) bringt:

\[(T + \delta S)/(1-\delta^2)\]

und lohnt nicht mehr ab \(\delta \ge (T-R)/(R-S)\). Zusammen ergibt sich die Schwelle für Tit-for-Tat. Bei \(5/3/1/0\) sind die beiden Terme \(1/2\) und \(2/3\), die engere Abweichung ist also das Abwechseln.

\[\delta \ge \max\{(T-R)/(T-P),\,(T-R)/(R-S)\}\]

Gegen Grim Trigger fällt das Abwechseln weg, denn nach der ersten Defektion folgt Immer-\(D\). Dann bleibt nur die erste Bedingung:

\[\delta \ge (T-R)/(T-P)\]

Die Demo leitet diese Formeln selbst her und rechnet sie exakt nach; sie sind nicht aus dem Buch von Axelrod übernommen. Die Demo vergleicht die geschlossene Formel mit der Schwelle aus der Rechnung.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py) und gelten bei \(T/R/P/S = 5/3/1/0\), wenn nicht anders genannt. Die Werte sind diskontierte Gesamtwerte über den unendlichen Horizont bei der genannten Fortsetzungswahrscheinlichkeit; die Rechnung ist deterministisch, es gibt keine Zufalls-Seeds.

Frage	Befund
Ab welchem \(\delta\) trägt Tit-for-Tat gegen Tit-for-Tat?	Ab \(\delta = 2/3\) (Raster: 0,67). Die engere Abweichung ist das Abwechseln von Defektion und Kooperation, nicht Immer-Defektieren, das schon ab \(1/2\) aufhört zu lohnen.
Und Grim Trigger?	Schon ab \(\delta = 1/2\): Die Nachsicht von Tit-for-Tat (sofortige Rückkehr zur Kooperation) öffnet die Lücke, die Grim nicht hat. Bei \(\delta = 0,60\) trägt Grim, Tit-for-Tat nicht.
Wie viel gewinnt man durch Abweichen bei kurzem Schatten?	Bei \(\delta = 0,40\) (erwartete Dauer 1,7 Wochen) bringt die beste Abweichung 0,95 mehr als Tit-for-Tat gegen Tit-for-Tat; knapp unter der Schwelle (\(\delta = 0,66\)) nur 0,04.
Welche Abweichung lohnt bei \(\delta = 0,80\) nicht?	Gegen Tit-for-Tat bringen Immer-D 9,00, Abwechseln 13,89 und Einmal-D 14,60 gegen 15,00 für das Beibehalten; die beste Antwort aus allen Strategien ist Tit-for-Tat selbst.
Welche Strategien tragen gegen sich selbst?	Immer defektieren bei jedem \(\delta\), Immer kooperieren nie. Tit-for-Two-Tats und Pavlov tragen bei \(5/3/1/0\) bei keinem \(\delta\) gegen sich selbst: Tit-for-Two-Tats lässt sich durch Abwechseln ausbeuten, Pavlov liegt genau auf dem Grenzfall \(2R = T + P\). Bei \(T = 4,5\) trägt Pavlov ab \(\delta = 0,75\).
Wie viele Gleichgewichte gibt es unter den sechs bei \(\delta = 0,80\)?	Vier Paare: Immer-D/Immer-D, Tit-for-Tat/Tit-for-Tat, Tit-for-Tat/Grim, Grim/Grim. Kooperation ist ein Gleichgewicht unter mehreren, keine Vorhersage.
Was verliert Tit-for-Tat gegen Immer-D?	Nur die erste Woche: Wert 4,00 gegen 9,00 für den Defektierer bei \(\delta = 0,80\) (je Woche im Mittel 0,80 gegen 1,80).

Die Rechnung ist mehrfach gegengeprüft: Der Wert jedes Paares aus 8 × 8 Automaten stimmt mit der abgeschnittenen Summe über 400 simulierte Runden überein. Die beste Antwort stimmt für drei Spiele mit der Aufzählung aller stationären Politiken und mit der Wertiteration überein. Die Schwellen von Tit-for-Tat und Grim stimmen mit der geschlossenen Formel für alle 64 Kombinationen von T, P und S der Regler überein (128 Prüfungen, je Strategie eine).

Eine Korrektur gegenüber dem Plan der Demo-Reihe: Dort stand für Tit-for-Tat bei \(5/3/1/0\) die Schwelle \(\delta \ge 0,5\). Das war falsch, denn 0,5 ist die Schwelle gegen Immer-Defektieren. Die Vormessung hat 2/3 gegen drei unabhängige Rechenwege bestätigt.

Grenzen

• Gewählte Auszahlungen: Die Schwellen hängen von T, P und S ab (Regler); „ab 2/3“ gilt nur für \(5/3/1/0\).
• Keine Fehler, kein Rauschen: Beide sehen die Aktion des anderen fehlerfrei. Was ein einzelner Fehler bei Tit-for-Tat auslöst, zeigt diese Demo nicht.
• Nur zwei feste Partner: keine wechselnden Partner, keine Dritten, keine Bündnisse.
• Unbekanntes Ende: \(\delta\) ist eine Fortsetzungswahrscheinlichkeit. Ein bekanntes Ende ändert die Rechnung, die Strafdrohung der letzten Runde fällt weg; es ist hier nicht modelliert.
• Gleichgewicht ist keine Vorhersage: Viele Paare tragen (Immer-Defektieren immer); welches gespielt wird, sagt die Rechnung nicht.
• Sechs wählbare Strategien, die Gleichgewichtsprüfung läuft aber gegen alle denkbaren Antworten.
• Nicht enthalten: Lernen aus Erfahrung statt fester Strategien, kooperative Spieltheorie mit bindenden Verträgen, mehr als zwei Aktionen oder mehr als zwei Spieler.

Quellen

• Axelrod, R., & Hamilton, W. D. (1981): The evolution of cooperation. Science 211, 1390–1396.
• Axelrod, R. (1984): The Evolution of Cooperation. Basic Books (Schwelle der „kollektiven Stabilität“ von Tit-for-Tat in Abhängigkeit von T, R, P, S).
• Friedman, J. W. (1971): A non-cooperative equilibrium for supergames. Review of Economic Studies 38, 1–12 (Grim Trigger).
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/tit-for-tat-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen. Die Literaturhinweise stammen aus dem Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo, nicht aus der README. Dass dauerndes Nutzen ein Gleichgewicht ist, folgt aus der Rechnung der Demo und steht dort als Befund. Die Einordnung als Gefangenendilemma ist Standardwissen der Spieltheorie.