Tarifplanung verständlich erklärt

Ein Zonentarif hat nur zwei Preise, und doch gibt es nicht den einen richtigen. Welche Preise gut sind, hängt am Ziel: möglichst hohe Einnahmen, möglichst hoher Gewinn oder möglichst viele Fahrgäste. Diese Seite erklärt das zuerst ohne Formeln und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Tarif, zwei Preise, drei Ziele

Bei einem Zonentarif zahlt man nach der Zahl der durchfahrenen Zonen. Es gibt zwei Preise: den für die Einzelkarte und den für die Monatskarte. Wer diese Preise festlegt, will aber nicht immer dasselbe.

Die Demo vergleicht drei Ziele. Das erste ist der Erlös, also die Einnahmen aus dem Fahrscheinverkauf. Das zweite ist der Gewinn: Erlös minus Betriebskosten, plus eine mögliche Subvention, also einen Zuschuss der öffentlichen Hand. Das dritte sind möglichst viele Fahrgäste, wobei die Bilanz aus Erlös, Kosten und Zuschuss nicht schlechter sein darf als heute. Jedes Ziel führt zu anderen Preisen.

Wie entscheiden sich die Fahrgäste?

Im Modell wählt jede Person eine Möglichkeit für alle ihre Fahrten im Monat: Einzelkarte, Monatskarte oder Auto. Die Wahl ist nicht starr. Ein sogenanntes Logit-Modell gibt jeder Möglichkeit eine Wahrscheinlichkeit: Je günstiger sie gegenüber den anderen ist, desto wahrscheinlicher wird sie gewählt, aber keine ist ganz sicher oder ganz ausgeschlossen.

Damit das Modell zum heutigen Zustand passt, wird es so eingestellt, dass es beim heutigen Tarif den vorgegebenen Anteil an Autofahrten trifft. Danach zählt nur noch, wie die neuen Preise im Vergleich zu heute liegen.

Warum widersprechen sich die Ziele?

Nahe dem höchsten Erlös ist die Erlöskurve flach: Eine kleine Preisänderung verändert die Einnahmen kaum. Die Zahl der Fahrgäste ändert sich dort aber sehr wohl. Die letzten Erlösgewinne kosten also viele Fahrten. Umgekehrt braucht, wer möglichst viele Fahrgäste will, eine Subvention. Ein Nulltarif ist nur zulässig, wenn der Zuschuss entsprechend hoch ist.

Beim Gewinnziel kommt ein weiterer Punkt hinzu: die Kostenstruktur. Ob Gewinn- und Erlösmaximum zusammenfallen oder auseinanderliegen, entscheidet der Anteil der Fixkosten, also der Kosten, die nicht mit der Zahl der Fahrgäste wachsen. Diesen Anteil kann man von außen nicht beobachten, deshalb ist er in der Demo ein sichtbarer Regler.

Was kostet das falsche Ziel?

Wer nur den Erlös im Blick hat, verliert viele Fahrten. Wer dagegen Fahrgäste gewinnen will, verzichtet auf Erlös. Zwischen dem Erlös- und dem Gewinnziel ist der Abstand dagegen klein. Die Demo zeigt diese Unterschiede für ein eingestelltes Netz, die genauen Zahlen über viele Netze stehen im Fachteil.

Wo liegt der Haken?

Wie stark Fahrgäste auf Preise reagieren, lässt sich nicht messen: Fahrpreis-Experimente gibt es nicht. Die Preisempfindlichkeit ist deshalb eine Annahme, und der beste Preis hängt stark an ihr. Der Erlös hängt dagegen kaum daran: Wer den Preis nach einer falschen Annahme wählt, verliert beim Erlös nur wenig.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo rechnet auf künstlichen Netzen mit erfundenen Parametern und nur für einen Zonentarif. Sie zeigt Mechanismen, keine Prognose für ein reales Netz und keine Aussagen in Euro.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Netz: 20 bis 30 Haltepunkte auf einem ganzzahligen 91 × 91-Raster (1 Einheit = 0,2 km), Nachfrage ungleich verteilt (zwei Zentren). Liniennetz = minimaler Spannbaum plus die zwei nächsten Nachbarn je Haltepunkt; Fahrzeit = kürzester Weg (3 min je km plus 1 min Halt je Kante).
• Fahrgäste: Je Paar Personen, die im Monat 2, 6, 12, 20, 30, 44 oder 60 Fahrten machen (Mittel rund 20). Jede Person wählt eine Alternative für alle ihre Fahrten: Einzelkarte, Monatskarte oder Auto, nach einem Logit-Modell.
• Kalibrierung: Je Paar wird ein Zuschlag für das Auto so gesetzt, dass beim heutigen Tarif der Ausgangs-Auto-Anteil herauskommt (45 %). Zeitwert und Auto-Kilometerkosten haben danach keine Wirkung mehr und sind kein Regler.
• Zonentarif: Preis = Zonenzahl (1 oder 2) × Preis; heute 2,50 je Fahrt und Zone und 60 für die Monatskarte (Geldeinheiten, GE).
• Betrieb: je Kante Abfahrten = max(Mindestzahl, Last / 80), Kosten = Kostensatz · Länge · Abfahrten; drei Kostenstrukturen (Fixkosten hoch, mittel, niedrig; Fixkostenanteil heute 0,78, 0,57 und 0,34).
• Ziele: Max-R maximiert den Erlös, Max-P den Gewinn (Erlös minus Kosten plus Subvention), Max-D die Fahrten im ÖV unter der Bedingung, dass die Bilanz Erlös minus Kosten plus Subvention nicht unter null fällt (ohne diese Bedingung wäre der Nulltarif immer optimal). Subvention in Vielfachen der heutigen Betriebskosten; „wie heute“ heißt Kosten minus Erlös heute.

Wahl und Nutzen

Eine Person im Paar \(s\), \(t\) mit \(k\) Fahrten im Monat wählt \(a \in \{\text{Einzel}, \text{Monat}, \text{Auto}\}\) mit der Wahrscheinlichkeit

\[P_a = \frac{e^{\mu V_a}}{\sum_b e^{\mu V_b}}\]

\(V_a\) ist der Nutzen je Fahrt, \(\mu\) skaliert ihn je Geldeinheit und bildet die Preisempfindlichkeit ab. Der Nutzen für die Zonenzahl \(z\), die Preise \(x = (x_s, x_m)\), die Fahrzeit \(\tau\) und den Zeitwert \(\lambda\) ist

\[V_{\text{Einzel}} = -z\,x_s - \lambda\,\tau, \qquad V_{\text{Monat}} = -\frac{z\,x_m}{k} - \lambda\,\tau, \qquad V_{\text{Auto}} = -\frac{F}{k} - c\,\ell - \lambda\,\tau_{\text{Auto}} + y_{st}\]

Die Monatskarte verteilt ihren Preis auf die \(k\) Fahrten, ebenso die monatlichen Fixkosten \(F\) des Autos; \(c\) sind die Kosten je Kilometer, \(\ell\) die Weglänge. Der Zuschlag \(y_{st}\) wird je Paar so bestimmt, dass beim heutigen Tarif der Auto-Anteil gleich dem Ausgangs-Auto-Anteil ist. Das ist die Kalibrierung, durch die Zeitwert und Auto-Kosten wirkungslos werden.

Erlös, Fahrten und die drei Ziele

Mit den Personen \(w_{stk}\) je Paar und Fahrtenzahl sind Erlös und Fahrten im ÖV

\[R(x) = \sum_{s,t,k} w_{stk}\left(P_{\text{Einzel}}\,k\,z\,x_s + P_{\text{Monat}}\,z\,x_m\right), \qquad T(x) = \sum_{s,t,k} w_{stk}\,k\,(1 - P_{\text{Auto}})\]

Der Erlös zählt die Einzelfahrten zum Einzelpreis und die Monatskarten zum Monatspreis; die Fahrten im ÖV sind alle Fahrten der Personen, die nicht das Auto wählen. \(C(x)\) bezeichnet die Betriebskosten aus den Abfahrten der Kanten. Die drei Ziele bei der Subvention \(S\):

\[\text{Max-R: } \max_x R(x) \qquad \text{Max-P: } \max_x R(x) - C(x) + S \qquad \text{Max-D: } \max_x T(x) \ \text{ u. d. N. } R(x) - C(x) + S \ge 0\]

Max-R maximiert den Erlös, Max-P den Gewinn, und Max-D die Fahrten, solange die Bilanz nicht negativ wird. Gelöst wird mit SLSQP, einem lokalen Optimierungsverfahren (analytischer Gradient, 5 feste Startpunkte). Die Pareto-Kurve ersetzt die Nebenbedingung durch \(R(x) \ge f \cdot R_{\max}\) mit \(f\) von 0 bis 1.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der vorgerechneten Messreihe der Demo (jede ist in deren Tests nachgerechnet) und gelten für den Zonentarif dieses Modells auf synthetischen Netzen: Mittel ± Standardfehler über 40 Netze, Kostenstruktur mittel, Subvention heute. Erlös und Fahrten sind in Prozent von heute angegeben. Abweichende Bedingungen stehen in der jeweiligen Zeile.

Frage	Befund
Was bringen die drei Ziele?	Max-R: 108,8 ± 0,2 % Erlös bei 77,5 ± 0,2 % der Fahrten. Max-P: 105,0 ± 0,6 % Erlös bei 62,8 ± 1,0 % der Fahrten. Max-D: 100,1 ± 0,0 % der Fahrten bei Bilanz wie heute. Nulltarif: 142,1 ± 0,3 % der Fahrten, Bilanz −133,7 ± 1,5 % des heutigen Erlöses.
Wie liegen die Preise?	Preisniveau (Mittel von Einzel- und Monatskartenpreis relativ zu heute): Max-R 1,55 ± 0,01, Max-P 1,99 ± 0,03, Max-D 1,00 ± 0,00. Die Rangfolge Max-D < Max-R < Max-P gilt in 40 von 40 Netzen.
Was kostet ein falsches Ziel?	Mit den Preisen von Max-R fehlen gegenüber Max-D 22,6 ± 0,2 Prozentpunkte der Fahrten; mit den Preisen von Max-D fehlen gegenüber Max-R 8,8 ± 0,2 Prozentpunkte Erlös. Zwischen Max-R und Max-P ist der Abstand klein: 5,1 ± 0,6 Punkte Gewinn bzw. 3,9 ± 0,5 Punkte Erlös.
Wo steckt der Zielkonflikt?	Max-D unter der Bedingung, mindestens den Anteil f des Erlösmaximums einzunehmen: Der letzte Schritt von 0,9 auf 1,0 kostet 25,1 ± 0,1 Prozentpunkte Fahrten, der davor (0,8 auf 0,9) nur 9,4 ± 0,0. Die kleinste Subvention, bei der Max-D zulässig ist, liegt bei 0,14 ± 0,02 Betriebskosten (in manchen Netzen negativ), heute sind es 0,33 ± 0,02; der Nulltarif ist ab 1,23 ± 0,01 zulässig.
Hängt das an den Kosten?	Ja, nur Max-P. Das Preisniveau-Verhältnis Max-P zu Max-R beträgt 1,09 ± 0,01 bei hohen Fixkosten, 1,28 ± 0,02 bei mittleren und 1,58 ± 0,03 bei niedrigen. Bei hohen Fixkosten fallen Gewinn- und Erlösmaximum in 7 von 40 Netzen zusammen, bei mittleren in 0 von 40. Max-R hängt nie an den Kosten.
Wie stark hängt der Preis an der Annahme?	Preisempfindlichkeit ×0,75: Preisniveau von Max-R +25,0 %; ×1,25: −14,4 %. Der „Regret“ (Erlöspunkte, die der nominale Preis in der anderen Welt verliert) liegt dabei nur bei 3,1 bzw. 1,7 Punkten.

Grenzen

• Nachfragefunktionen lassen sich nicht messen. Fahrpreis-Experimente gibt es nicht; die Nutzenfunktion ist eine Annahme, und der optimale Preis hängt an ihr. Die Demo zeigt Mechanismen, keine Prognose für ein reales Netz und keine Euro-Aussagen.
• Die Kostenfunktion ist frei gesetzt. Ob Gewinn- und Erlösmaximum zusammenfallen oder auseinanderliegen, entscheidet der Fixkostenanteil, der nicht beobachtbar ist.
• Nur der Zonentarif. Ein Entfernungstarif entartet im Modell zum Einheitspreis, und das Ranking der Tarifsysteme hängt am Kalibrier-Anker; deshalb gibt es keinen Vergleich der Systeme.
• Netze sind Kulisse. Die optimalen relativen Preise streuen über die Netze kaum.
• Kannibalisierung ist eine Modelleigenschaft (Unabhängigkeit irrelevanter Alternativen des Logit), kein Verhaltensbefund. Keine Heterogenität der Fahrgäste, keine Zahlungsbereitschaft nach Entfernung, keine Liniendichte als Entscheidung.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/tarif-demo.