Mieten oder kaufen verständlich erklärt

Ein Gabelstapler kostet entweder eine Tagesmiete oder einmalig den Kaufpreis. Wie lange der Auftrag dauert, weiß vorher niemand. Wer am ersten Tag kauft, hat bei einem kurzen Auftrag viel zu viel bezahlt; wer lange mietet, zahlt am Ende mehr als der Kaufpreis. Diese Seite erklärt, wie man so eine Entscheidung ohne Wissen über die Zukunft beurteilt: mit einer Garantie, die auch im schlimmsten Fall gilt, und mit einem ausgelosten Kaufzeitpunkt, der sie verbessert.

Zuletzt aktualisiert: 2. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Mieten oder kaufen, wenn niemand die Dauer kennt

Ein Auftrag verlangt einen Gabelstapler. Sie können ihn jeden Tag zu einer festen Tagesmiete leihen oder einmalig kaufen; der Kaufpreis entspricht vielen Tagesmieten. Wie viele Tage der Auftrag dauert, weiß vorher niemand: Er kann morgen enden oder sich über Wochen ziehen. Dasselbe Muster haben Zusatzflächen im Lager, die man tageweise anmietet oder dauerhaft erwirbt.

Zwei Fehler sind möglich. Kaufen Sie am ersten Tag und der Auftrag endet schnell, haben Sie den hohen Kaufpreis für wenig Nutzung bezahlt. Mieten Sie immer weiter und der Auftrag zieht sich, übersteigt die Summe der Mieten längst den Kaufpreis. Eine Schätzung der Dauer hilft nur, wenn sie stimmt. Deshalb fragt man hier anders: Wie schlecht kann eine Regel im ungünstigsten Fall abschneiden?

Der Maßstab: wer die Dauer vorher kennt

Zum Vergleich dient ein Planer, der die Dauer vorab kennt. Er mietet, wenn der Auftrag kurz ist, und kauft sofort, wenn er lang ist. Günstiger geht es nicht. Teilt man die Kosten einer Regel durch diese günstigsten Kosten, erhält man das Wettbewerbsverhältnis (auch Wettbewerbsquotient genannt). Ein Wert von eins hieße: so gut wie der Planer mit Vorwissen. Je größer der Wert, desto mehr zahlt die Regel für ihre Unwissenheit.

Dazu denkt man sich einen Gegenspieler, der die Dauer so wählt, dass die Regel möglichst schlecht abschneidet. Das größte Wettbewerbsverhältnis über alle möglichen Dauern ist die Garantie der Regel: Schlechter als dieser Wert wird es in diesem Modell bei keiner Dauer.

Die einfache Regel: mieten, bis die Mieten den Kaufpreis erreichen

Die bekannteste Regel heißt Break-even (Gewinnschwelle): Mieten Sie, bis die gezahlte Miete etwa den Kaufpreis erreicht hat, und kaufen Sie dann. Der ungünstigste Fall ist ein Auftrag, der direkt nach dem Kauf endet. Dann haben Sie Miete in Höhe des Kaufpreises und zusätzlich den Kaufpreis bezahlt, während der Planer mit Vorwissen nur einmal den Kaufpreis gezahlt hätte. Die Regel kostet im schlimmsten Fall also höchstens das Doppelte des Günstigsten.

Unter allen festen Kaufzeitpunkten ist dieser im schlimmsten Fall der günstigste. Wer früher kauft, zahlt bei sehr kurzen Aufträgen ein Vielfaches des Günstigsten. Wer später kauft, hat bei einem langen Auftrag schon mehr Miete verloren. Wer nie kauft, hat gar keine Obergrenze, denn die Mieten wachsen mit der Dauer ohne Ende.

Der Zufall verbessert die Garantie

Ein Gegenspieler, der eine feste Regel kennt, trifft ihren Kaufzeitpunkt genau. Deshalb lohnt es sich, den Kaufzeitpunkt auszulosen, nach einer festen Verteilung: Späte Tage sind wahrscheinlicher, aber kein Tag ist sicher. Der Gegenspieler kennt die Verteilung, nicht die Ziehung. So sinkt die Garantie im Erwartungswert in den Beispielen der Demo deutlich unter den Wert der festen Regel, und sie ist bei jeder Dauer gleich hoch: Es gibt keine Dauer, bei der der Zufall besonders schlecht abschneidet.

Das heißt nicht, dass der Zufall immer besser ist. Sind die Aufträge meist kurz, kommt die feste Regel im Betrieb in den Beispielen der Demo dem Günstigsten viel näher; die Zufallsregel zahlt dagegen bei jeder Dauer denselben Aufschlag. Die Demo zeigt beides nebeneinander.

Garantie und Betrieb sind zweierlei

Die Garantie sagt, was im schlimmsten Fall droht. Im Alltag zählt auch, was die Regel bei den Dauern kostet, die wirklich vorkommen. In den Beispielen der Demo ist die Break-even-Regel bei überwiegend kurzen Aufträgen fast so günstig wie der Planer mit Vorwissen. Sind die Aufträge meist lang, kommt sie ihrer Garantie nahe, und zwar ganz ohne Gegenspieler: Der Kauf fällt dann fast immer an, nachdem schon viel Miete gezahlt ist.

Außerdem zeigt die Demo, was eine falsch geschätzte Dauer kostet. Wer den Kaufzeitpunkt auf kurze Aufträge abstimmt und dann lange Aufträge hat, zahlt in den Beispielen mit fester, gleichverteilter und geometrisch verteilter Dauer etwa das Vierfache des Günstigsten. Die Break-even-Regel bleibt in denselben Beispielen deutlich darunter. Besteht der Betrieb aus einer Mischung von kurzen und sehr langen Aufträgen, bleibt der Schaden der Fehlschätzung klein. Die Garantie wirkt also wie eine Versicherung, aber nicht in jedem Betrieb gleich stark.

Mehr als zwei Möglichkeiten: Miete, Leasing, Kauf

Gibt es zwischen Miete und Kauf noch Zwischenstufen wie Leasing, steigt die einfache Regel jedes Mal auf die nächste Stufe, wenn die bisherigen Kosten deren Einstiegspreis erreicht haben. In den drei Preislisten der Demo wird der schlechteste Fall mit jeder zusätzlichen Stufe schlechter. Das ist eine Beobachtung an diesen Listen und dieser einfachen Regel, kein allgemeiner Satz, und die Regel ist nicht die beste, die es gibt.

Wie ernst sind die Zahlen der Demo zu nehmen?

Alle Beispiele der Demo sind erfunden, keine Messungen echter Aufträge. Sie zeigen, was eine Regel leisten kann und was nicht, nicht wie groß der Unterschied in Ihrem Betrieb ist. Nicht eingerechnet sind Wiederverkauf des gekauften Geräts, Zinsen, ein Gegenspieler, der die Ziehung kennt, und echte Preise.

Woran Sie es im Betrieb merken:

• Sie mieten ein Gerät oder eine Fläche schon so lange, dass die Summe der Mieten den Kaufpreis erreicht hat. Genau hier verlangt die einfache Regel den Kauf.
• Sie haben vor dem Kauf eine kurze Dauer geschätzt und sich getäuscht. Prüfen Sie, was die Regel mit Garantie in diesem Fall gekostet hätte.
• Ihre Aufträge sind meist kurz und selten sehr lang: Sofort zu kaufen wäre dann in den meisten Fällen verschwendet.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst das Modell der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Kosten: Miete 1 je Tag, Kaufpreis \(B\) in Tagesmieten, Nutzungsdauer \(n \ge 1\) ganzzahlig und vorab unbekannt. Der Kauf ist endgültig (kein Wiederverkauf). Das Optimum mit Vorwissen kennt \(n\).
• Regeln: „kaufe am Tag \(t\)“ (bis Tag \(t-1\) mieten, am Tag \(t\) kaufen; endet die Nutzung früher, wird nie gekauft), Break-even (\(t = B\)), sofort kaufen (\(t = 1\)), nie kaufen und die Zufallsregel (Kauftag nach der Verteilung unten).
• Gegner: Er wählt die Dauer und kennt die Regel, bei der Zufallsregel aber nicht die Ziehung. Das Maß ist das Wettbewerbsverhältnis: der größte Quotient aus Kosten und Optimum über alle Dauern.
• Szenarien: Vier Verteilungen der Dauer mit gleichem ganzzahligem Mittel \(m\): fest (genau \(m\) Tage), gleichverteilt (1 bis \(2m-1\)), geometrisch (ohne Gedächtnis) und Ausreißer (90 % mit kurzer, 10 % mit sehr langer Dauer, je geometrisch, Mittel genau \(m\)).
• Rechnung: Alle Erwartungen sind exakt über die Verteilung gerechnet (keine Stichprobe); die Beispielläufe der App sind Ziehungen mit festem Seed. Quotient im Szenario heißt: erwartete Kosten geteilt durch erwartetes Optimum.

Die Formeln

Kosten. Das Optimum mit Vorwissen mietet oder kauft sofort, je nachdem, was billiger ist:

\[\mathrm{OPT}(n) = \min(n, B)\]

Die Regel „kaufe am Tag \(t\)“ zahlt \(\mathrm{ALG}_t(n) = n\) für \(n < t\), sonst \((t-1) + B\).

Wettbewerbsverhältnis der festen Regel. Der Höchstwert des Quotienten liegt bei \(n = t\): für \(t \le B\) gleich \((t-1+B)/t\), für \(t > B\) gleich \((t-1+B)/B\). Sofort kaufen (\(t = 1\)) gibt \(B\); der Kauf einen Tag nach dem Break-even (\(t = B+1\)) gibt \(2B/B = 2\). Das Minimum über \(t\) liegt bei \(t = B\):

\[2 - 1/B\]

Zufallsregel. Der Kauftag \(t = 1, \dots, B\) wird mit der Wahrscheinlichkeit

\[p_t = \dfrac{(1-1/B)^{B-t}}{B\,\bigl(1-(1-1/B)^B\bigr)}\]

gezogen. Dann gilt für jede Dauer \(n\):

\[\mathbb{E}[\mathrm{ALG}(n)] = \dfrac{\mathrm{OPT}(n)}{1-(1-1/B)^B}\]

Der erwartete Quotient ist also bei jeder Dauer derselbe (ein „Gleichmacher“) und wächst mit \(B\) gegen \(e/(e-1)\). Dass diese Verteilung im Spiel „Regel gegen Gegner“ optimal ist, prüft die Demo in ihren Tests mit einem linearen Programm (scipy.linprog), das denselben Wert wie die Formel liefert.

Erwartung im Szenario. Für eine Verteilung \(P\) der Dauer sind die erwarteten Kosten der Regel „kaufe am Tag \(t\)“

\[\mathbb{E}[\mathrm{ALG}_t] = \sum_{n<t} nP(n) + (t-1+B)\,P(n \ge t)\]

und der Quotient im Szenario ist \(\mathbb{E}[\mathrm{ALG}]/\mathbb{E}[\mathrm{OPT}]\). Davon verschieden ist das Mittel der Quotienten \(\mathbb{E}[\mathrm{ALG}/\mathrm{OPT}]\); die App zeigt beide.

Mehrere Stufen. Bei Optionen \((c_i, r_i)\) mit Anschaffung \(c_i\) und Tageskosten \(r_i\) ist

\[\mathrm{OPT}(n) = \min_i (c_i + r_i n)\]

Die Wechselregel steigt auf Stufe \(i+1\), sobald die bisherigen Kosten \(c_{i+1}\) erreichen, und zahlt dann \(c_{i+1}\) zusätzlich.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede ist in tests/test_claims.py nachgerechnet). Wo nichts anderes steht, gilt der Kaufpreis \(B = 20\) und die Voreinstellungen der App; „Quotient“ steht für erwartete Kosten geteilt durch erwartetes Optimum. Die Werte gelten für die gewählten, erfundenen Szenarien.

Frage	Befund
Was kostet Break-even (Kauf am Tag B) im schlimmsten Fall?	2 − 1/B: 1,75 bei B = 4, 1,95 bei B = 20, 1,99 bei B = 100; der Kauf am Tag B ist unter allen Kauftagen die einzige beste Regel. Sofort kaufen kostet im schlimmsten Fall das B-Fache (20 bei B = 20).
Und wenn man wörtlich mietet, bis die Miete den Kaufpreis erreicht, und danach kauft?	Das ist ein Kauftag nach dem Tag B und kostet bei Dauer B + 1 das Doppelte (Formel oben). In der Wechselregel der Demo mit zwei Stufen (Miete, Kauf zu 20) ergibt das 2,00 bei Dauer 21; der Kauf einen Tag früher (am Tag B) gibt 1,95. Beobachtung an einer Preisliste.
Was erreicht die Zufallsregel?	1,463 (B = 4), 1,535 (B = 10), 1,559 (B = 20), 1,580 (B = 200), Grenzwert e/(e − 1) = 1,582; bei jeder Dauer derselbe Quotient.
Mini-Instanz von Hand (B = 4, Dauer 4)	Die Regel mietet drei Tage (3) und kauft am Tag 4 (4): 7 statt 4, Quotient 1,75.
Kurze Aufträge (Mittel 5, geometrisch; 1,4 % der Aufträge dauern mindestens B Tage)	Break-even 1,055, nie kaufen 1,012, sofort kaufen 4,047, Zufall 1,559.
Mittlere Aufträge (Mittel 20, gleichverteilt; 51 % dauern mindestens B)	Break-even 1,644, sofort kaufen und nie kaufen je 1,322 (Mittel gleich B), Zufall 1,559.
Lange Aufträge (Mittel 80, gleichverteilt; 88 % dauern mindestens B)	Break-even 1,890, nahe an seiner Garantie 1,95, ganz ohne Gegner; sofort kaufen 1,064, nie kaufen 4,254, Zufall 1,559. Die Masse liegt hinter dem Kaufpunkt, und dort kostet jede Dauer 2B − 1 gegen B.
Verhältnis der Erwartungen gegen Mittel der Quotienten	Sofort kaufen bei kurzen Aufträgen: 4,047 gegen 8,049. Beide Maße sind in der App sichtbar.
Sofort kaufen bei seltenen langen Aufträgen (Mittel 20, Ausreißer)	Die Regel zahlt das 3,245-Fache, Break-even 1,306, die beste feste Regel (Kauf am Tag 17) 1,294.
Beste feste Regel bei geometrischer Dauer	Immer eine Ecke: sofort kaufen oder nie kaufen. Bei Mittel gleich B (ohne Gedächtnis) sind alle festen Regeln im Mittel gleich gut; die App zeigt dann den Gleichstand und den kleinsten Kauftag.
Falsch geschätzte mittlere Dauer (auf Mittel 5 abgestimmt, läuft bei Mittel 80)	Gleichverteilt 4,254, geometrisch 4,496, fest 4,000; Break-even bleibt dabei bei höchstens 1,890, 1,841 und 1,95. Bei fester und gleichverteilter Dauer ist „nie kaufen“ nur eine von vielen gleich guten abgestimmten Regeln, die App wählt es (Konvention): Der Kauf am Tag 6 (fest) bzw. 10 (gleichverteilt) kostet bei Mittel 80 nur 1,250 bzw. 1,470 statt 4,000 bzw. 4,254.
Dasselbe bei der Form „Ausreißer“	Höchstens 1,559: Die Mischung enthält kurze und lange Aufträge, keine abgestimmte Regel läuft in eine fremde Welt; Break-even höchstens 1,567.
Mehrere Stufen (Wechselregel)	Schlechtester Quotient 2,00 (zwei Stufen, Dauer 21), 2,40 (drei, Dauer 78), 2,69 (vier, Dauer 123). Beobachtung an drei Preislisten, keine Aussage über die beste Regel.

Garantie und Erwartung. Man könnte annehmen, dass der erwartete Quotient bei zufälliger Dauer weit unter der Garantie liegt. Das gilt vor allem für kurze Aufträge (Break-even 1,055); bei mittleren gleichverteilten Aufträgen sind es 1,644, bei langen 1,890.

Grenzen

• Erfundene Szenarien: Die Demo ist nur an erfundenen Szenarien geprüft; die vier Verteilungen sind gewählte Modelle, keine Messung echter Aufträge.
• Garantie als Versicherung: Die Aussage hängt von der Form ab: Bei fester, gleichverteilter und geometrischer Dauer kostet eine falsch geschätzte mittlere Dauer das Vierfache, bei „Ausreißer“ höchstens etwa 20 % mehr als die passende Regel.
• Stufen: Die Werte gelten für die gewählte Wechselregel und drei Preislisten (Dauern bis 600 Tage), nicht für die beste Regel; „mehr Stufen, schlechterer Quotient“ ist eine Beobachtung, kein Satz.
• Gegner und Kosten: Der Gegner kennt die Regel, nicht die Ziehung. Ein adaptiver Gegner, Wiederverkauf, Zinsen, Restwert und echte Preise sind nicht modelliert.
• Rundung: Der Kauftag der Regler wird auf ganze Tage gerundet (Vielfache von B, Schritt 0,05).
• Nicht umgesetzt: Vorhersagen über die Dauer samt Fehlermaß (Konsistenz, Robustheit) sowie die beste Regel für mehrere Stufen; beides sind eigene Stücke bzw. offen.

Quellen

• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/ski-rental-demo.

Die Zufallsregel und der Grenzwert e/(e − 1) gehen auf Karlin, Manasse, McGeoch und Owicki (Algorithmica 1994) zurück. Die Primärquelle wurde weder für die Demo noch für diese Seite im Volltext eingesehen; die Werte der Demo stammen aus Suchauszügen und Vorlesungsnotizen und sind in den Tests gegen unabhängige Rechenwege geprüft.