Schelling-Segregation verständlich erklärt

In einem Gewerbegebiet sitzen Kühlfracht- und Trockenfrachtbetriebe. Im Modell will keiner die anderen verdrängen; jeder möchte nur, dass ein Teil seiner Nachbarn zur eigenen Sorte gehört. Trotzdem kann das Gebiet im Modell in getrennte Zonen zerfallen. Diese Seite erklärt zuerst ohne Formeln, wie das zustande kommt, und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Ein Gewerbegebiet, zwei Sorten Betriebe

Stellen Sie sich ein Gewerbegebiet vor, in dem Kühlfracht- und Trockenfrachtbetriebe sitzen, verteilt über viele Flächen. Einige Flächen sind noch frei. Am Anfang ist alles bunt gemischt, die Verteilung ist reiner Zufall. Jeder Betrieb schaut nur auf seine unmittelbaren Nachbarn, also die Betriebe auf den Flächen rundherum. Er hat einen Mindestanteil im Kopf: So viele seiner Nachbarn sollen mindestens zur eigenen Sorte gehören. Wird dieser Anteil verfehlt, ist der Betrieb unzufrieden und zieht auf eine freie Fläche um. Sonst bleibt er.

Das ist das Schelling-Modell, benannt nach Thomas Schelling. Ein Programm zum Ausprobieren im Browser, die Demo, spielt es durch. „Milde Vorliebe“ heißt hier: Dem Betrieb genügt es, wenn nur eine Minderheit seiner Nachbarn zu ihm passt; die übrigen dürfen anderer Sorte sein. Keiner verlangt eine Mehrheit, und keiner will ein Gebiet nur für die eigene Sorte.

Das Überraschende: aus milden Wünschen wird eine starke Trennung

Lässt man in der Demo die Betriebe nach dieser milden Regel umziehen, bleibt das Gebiet nicht gemischt. Es entstehen Zonen: Hier sitzen vor allem Kühlfrachtbetriebe, dort vor allem Trockenfrachtbetriebe. Im Mittel gehört in der Demo am Ende die Mehrheit der Nachbarn zur eigenen Sorte, obwohl dem Betrieb eine Minderheit genügt hätte. Die genauen Werte stehen im zweiten Teil dieser Seite.

Im Modell hat keiner getrennte Zonen geplant: Jeder Betrieb reagiert nur auf seine Nachbarn, und die Trennung entsteht aus vielen kleinen Entscheidungen. Aus einem getrennten Gebiet allein lässt sich deshalb nicht schließen, dass die Betriebe getrennt sitzen wollten.

Warum passiert das?

Jeder Umzug verändert zwei Nachbarschaften. Verlässt ein Betrieb seinen Platz, fehlt den alten Nachbarn einer von seiner Sorte, und manche von ihnen sind nun selbst unzufrieden. Am neuen Platz kommt ein Nachbar hinzu: Für Betriebe seiner Sorte wird die Nachbarschaft passender, für die der anderen Sorte unpassender. Gleichartige Betriebe sammeln sich so Schritt für Schritt, und ein Umzug löst weitere aus. Bei milden Vorlieben und genug freien Flächen hört das in der Demo auf, sobald alle zufrieden sind.

Auch freier Platz spielt mit. In der Demo trennen sich die Sorten bei gleicher Vorliebe stärker, wenn mehr Flächen frei sind. Eine naheliegende Deutung: Ein Betrieb findet dann eher eine passende Fläche.

Wann kommt das Gebiet nicht zur Ruhe?

Bei sehr hohem Mindestanteil oder fast ohne freie Flächen kann es in der Demo anders enden. Dürfen Betriebe nur auf Flächen ziehen, auf denen sie zufrieden wären, findet irgendwann keiner mehr eine solche Fläche. Das Gebiet ist dann festgefahren, obwohl noch Betriebe unzufrieden sind.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Das Modell ist stark vereinfacht: gleich viele Betriebe jeder Sorte, derselbe Mindestanteil für alle, Umzug nur wegen der Nachbarn, keine Kosten und keine Preise. Es zeigt, wie ein milder Wunsch wirken kann, und sagt nichts darüber, was in einem echten Gewerbegebiet oder einer Stadt geschieht.

Was Sie mitnehmen: Eine starke Trennung im Ganzen ist kein Beleg für einen starken Wunsch im Einzelnen. Woran Sie es im Betrieb erkennen: Fragen Sie die Beteiligten, wie viele gleichartige Nachbarn sie mindestens brauchen. Nennen sie nur einen kleinen Anteil und ist Platz vorhanden, obwohl das Gebiet getrennt ist, können die Zonen ohne Absicht entstanden sein. Das gilt, solange nur die Nachbarn die Wahl bestimmen; entscheiden Preise, Kunden oder Häfen mit, sieht es anders aus.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Raum: ein Gitter aus \(L \times L\) Flächen (beschränkt, ohne Fortsetzung am Rand; Nachbarn sind die 8 Flächen um eine Fläche bei Radius 1, die 24 bei Radius 2) oder ein Netz, auf dessen Knoten die Betriebe stehen und dessen Nachbarn die Netznachbarn sind.
• Belegung: Ein Anteil \(\rho\) der Flächen ist belegt, die Hälfte der Betriebe ist Typ A, die andere Typ B, zufällig verteilt; der Rest ist frei.
• Zufrieden: Ein Betrieb ist zufrieden, wenn der Anteil seiner belegten Nachbarn vom eigenen Typ mindestens \(\tau\) ist; ohne belegte Nachbarn ist er zufrieden.
• Schritt und Zugregel: In jedem Schritt versucht ein zufälliger unzufriedener Betrieb umzuziehen. Regel „zufrieden“: auf eine zufällige freie Fläche, auf der er zufrieden wäre (gibt es keine, bleibt er). Regel „beliebig“: auf eine zufällige freie Fläche. Regel „nächste“: auf die nächstgelegene freie Fläche, auf der er zufrieden wäre (im Gitter nach Chebyshev-Abstand).
• Ende: alle zufrieden, blockiert (es gibt Unzufriedene, aber keiner kann auf eine zulässige Fläche ziehen) oder die Obergrenze von 60 000 Schritten.
• Voreinstellung der Demo: Gitter 30 × 30, 90 % belegt, \(\tau\) = 30 %, Radius 1, Regel „zufrieden“.

Die Formeln

Mit der Nachbarmenge \(N(i)\) der Fläche \(i\), den Typen \(\theta_j \in \{0, 1, 2\}\) (0 = frei) und der Toleranzschwelle \(\tau\) ist der Betrieb auf \(i\) zufrieden, wenn gilt (verglichen wird mit der Toleranz \(10^{-12}\) gegen die diskreten Anteile):

\[\bigl|\{\, j \in N(i) : \theta_j = \theta_i \,\}\bigr| \;\ge\; \tau \cdot \bigl|\{\, j \in N(i) : \theta_j \neq 0 \,\}\bigr|\]

Der Entmischungsindex mittelt den Anteil \(s_i / o_i\) gleichartiger unter den belegten Nachbarn über die Menge \(V'\) der Betriebe mit mindestens einem Nachbarn. Er liegt bei zufälliger Verteilung nahe \(0{,}5\) und bei einer Trennung, in der kein Betrieb an einen anderen Typ grenzt, bei \(1\):

\[S = \frac{1}{|V'|} \sum_{i \in V'} \frac{s_i}{o_i}\]

Im Nachbarschaftsnetz der belegten Flächen mit \(m\) Kanten, dem Anteil \(e_{\text{in}}\) gleichartiger Kanten und den Gradsummen \(D_k\) der Typen \(k \in \{A, B\}\) ist die Modularität der Typen-Partition:

\[Q = e_{\text{in}} - \sum_{k \in \{A, B\}} \left( \frac{D_k}{2m} \right)^2\]

Sind die Gradsummen etwa gleich, ist \(Q \approx e_{\text{in}} - \tfrac{1}{2}\): Entmischungsindex und Modularität unterscheiden sich dann nur um diese Konstante und die Gewichtung der Betriebe (je Betrieb statt je Kante); im Potenzgesetz-Netz weichen sie bis etwa 4 Prozentpunkte ab. Auf einem kleinen Gitter ist jede Belegung ein Zustand einer Markov-Kette. Mit der Übergangsmatrix \(Q_T\) zwischen den nicht absorbierenden Zuständen und den Übergängen \(R\) in die absorbierenden Zustände („alle zufrieden“, „blockiert“) sind die Endwahrscheinlichkeiten:

\[B = (I - Q_T)^{-1} R\]

Die erwarteten Schritte bis zum Ende ergeben sich analog aus \((I - Q_T)^{-1}\mathbf{1}\); die Demo mittelt über den gleichverteilten Start.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus den Messreihen der README der Demo (jede steht in tests/test_claims.py). Soweit nicht anders genannt: Gitter 30 × 30, 90 % belegt, Radius 1, Obergrenze 60 000 Schritte, zwölf feste Starts je Zelle; Anteile im Mittel, Schritte und Umzüge im Median. Die App rechnet dieselben Experimente mit fünf Starts und einer Obergrenze von 30 000 Schritten.

Frage	Befund
Wie stark wirkt eine milde Vorliebe?	Regel „zufrieden“. Entmischungsindex am Ende: 49,7 % bei zufälliger Verteilung am Start, 58,2 % bei τ = 25 %, 75,6 % bei τ = 30 %, 86,9 % bei τ = 50 %, 94,7 % bei τ = 60 %. Die Stufen entstehen, weil ein Betrieb ganze Nachbarn zählt: τ = 30 % und 37,5 % unterscheiden sich nur wenig (75,6 % und 77,0 %), weil bei 8 Nachbarn beide drei gleichartige verlangen. Bei hohem τ sinkt der Index wieder, weil sich die Läufe festfahren: 54,0 % bei τ = 70 % und 50,9 % bei τ = 80 %.
Wie sieht der Lauf der Voreinstellung aus?	810 Betriebe, 90 freie Flächen, τ = 30 %: Ende „alle zufrieden“ nach 166 Umzügen, Entmischungsindex 49,9 → 71,1 %, Modularität 0,00 → 0,20, unzufrieden 17,5 → 0,0 %. Ein einzelner Lauf ist ein Beispiel, die Mittel stehen oben.
Wann kommen die Umzüge zur Ruhe (Regel „zufrieden“)?	Alle 12 Läufe enden bis τ = 50 % mit allen zufrieden, bei 60 % 8 von 12, ab 70 % keiner. Dort bleiben im Mittel 71 % (τ = 70 %) bzw. 91 % (τ = 80 %) der Betriebe unzufrieden, und der Lauf steht nach im Median 55 bzw. 15 Umzügen. Das festgefahrene Gebiet ist kaum entmischt (Entmischungsindex 54,0 % bzw. 50,9 %).
Und bei Regel „beliebig“?	Sie endet bis τ = 70 % in allen Läufen (bei τ = 70 % mit 99,3 % Entmischungsindex), braucht dafür aber im Median 5536,5 Schritte gegen 380,5 bei τ = 37,5 %. Bei τ = 80 % erreicht kein Lauf das Ende (Obergrenze 60 000 Schritte, 74,6 % unzufrieden).
Was bewirken mehr freie Flächen?	Regel „zufrieden“, τ = 37,5 %: Der Entmischungsindex sinkt von 84,9 % bei 50 % belegten Flächen auf 76,0 % bei 98 %. Bei 98 % belegt enden nur 7 von 12 Läufen mit allen zufrieden, 5 blockieren (im Mittel 0,16 % unzufrieden, also nur einzelne Betriebe).
Wirkt Radius 2 stärker oder schwächer?	Weder noch: Bei τ = 30 % entmischt Radius 2 weniger (59,6 % gegen 75,7 %; die Werte für Radius 1 stammen aus anderen Zufallsströmen als in der ersten Zeile, daher 75,7 % statt 75,6 %), bei 40 % und 50 % etwas mehr (85,8 % gegen 82,5 % bzw. 89,5 % gegen 87,3 %). Bei 60 % blockiert Radius 2 in 4 von 12 Läufen (10,1 % unzufrieden im Mittel); zwischen den Radien ist dort ein Unterschied nicht gesichert. Die Regel „nächste“ entmischt weniger als „zufrieden“ (72,4 % gegen 77,0 % bei τ = 37,5 %).
Stimmt die exakte Kette mit der Simulation?	Auf 3 × 3 Flächen mit 3 + 3 Betrieben (alle 1680 Belegungen als absorbierende Markov-Kette) sind bei τ = 67 % und 75 % 892 Belegungen blockiert und nur 4 zufrieden. Die Regel „zufrieden“ endet nur in 13,1 % der gleichverteilten Starts zufrieden (Simulation bei τ = 75 %: 12,7 %), die Regel „beliebig“ in 100 % nach im Mittel 182,4 Schritten. Die Simulation (je 2000 Starts) stimmt überein (Test: innerhalb von 4,5 Standardfehlern).
Gehört die Entmischung zur Modularität?	Regel „zufrieden“, 85 % belegt, Gitter 30 × 30 und Netze mit 240 Flächen und c = 8, τ = 30 % und 50 %, Mittel über 12 feste Netze und Starts: In allen 8 Zellen liegt Q höchstens 0,001 neben „Anteil gleichartiger Kanten − ½“. Der Entmischungsindex liegt 0,1 bis 1,5 Prozentpunkte neben dem Anteil gleichartiger Kanten (in einer Nachprüfung im Potenzgesetz-Netz bis etwa 4 Prozentpunkte).
Was ändert sich auf Netzen mit Verbünden?	Gleiche Voraussetzungen wie oben. Bei τ = 50 % beträgt der Entmischungsindex 82,9 % im Netz „Verbünde“ gegen 72,2 % im Zufallsnetz (Ring: 88,8 %, Gitter: 87,2 %). Die NMI der Typen mit den sechs Verbünden steigt von 0,05 (τ = 30 %) auf 0,29 (τ = 50 %).
Findet eine Greedy-Modularitätsmaximierung die Typen?	In dieser Messung nein: Ein Verfahren, das nur das Nachbarschaftsnetz der belegten Flächen sieht (Greedy-Modularitätsmaximierung), findet 5,8 bis 7,8 räumliche Blöcke mit Modularität 0,69 bis 0,75 (schon am zufälligen Start 0,70), nicht die Typen. Die NMI mit den Typen ist am Ende höchstens 0,05 bis τ = 50 % und erst bei 60 % 0,43. Gitter 30 × 30, 90 % belegt, Regel „zufrieden“, Mittel über 5 Starts; die Messung steht nur in tests/test_claims.py (mit networkx), nicht in der App.

Grenzen

• Typen und Schwelle: Zwei gleich große Typen, dieselbe Schwelle für alle, Standortwahl nur nach Nachbarn; keine Preise, Umzugskosten, Nähe zu Kunden oder Häfen. Mit einem kleinen Typ, mehr als zwei Typen oder verschieden toleranten Betrieben verschieben sich die Schwellen, ab denen es blockiert. Der Anteil von Typ A ist fest 50 %, \(\rho\) beginnt bei 30 %; andere Anteile sind nicht untersucht.
• Zufällige Auswahl, ein Umzug je Schritt: Mit gleichzeitigen Umzügen oder anderer Reihenfolge ändern sich Dauer und Blockaden. Schritte zählen Versuche, Umzüge die Versuche mit Erfolg; eine Blockade wird festgestellt, wenn jeder Unzufriedene seit dem letzten Umzug einmal vergeblich versucht hat, deshalb enthalten die Schritte blockierter Läufe diese Prüfversuche.
• Beschränktes Gitter, festes Netz: Das Gitter hat Ränder ohne Fortsetzung (Randflächen haben weniger Nachbarn). In der Netz-Variante sind Flächen und Nachbarschaft vorgegeben, nur die Betriebe wandern.
• Obergrenze der Schritte: 60 000 (Messreihe der README) bzw. 30 000 (Experimente der App). „Obergrenze“ heißt nicht „fertig“: Bei „beliebig“ und τ = 80 % erreicht jeder Lauf die Obergrenze, ob er je endet, ist nicht gezeigt.
• Stichproben: Zwölf feste Starts in der README (fünf in der App), ein Gitter (30 × 30); die Streuung zwischen den Läufen ist nicht ausgewiesen. Die exakte Kette gilt nur für Gitter bis 4000 Belegungen (3 × 3 und 3 × 4) und überträgt sich nicht ohne Weiteres auf große Gitter.
• Modellbefund: Die Demo zeigt Verhalten im Modell, keine Wirkung in einer Stadt oder Bevölkerung; die Betriebstypen sind eine Kulisse. Die Einordnung der Blockaden bei Regel „zufrieden“ als „eingefrorene“ Phase (Gauvin, Vannimenus und Nadal 2009) ist eine Vermutung, keine Messung dieser Demo.

Quellen

• Schelling, T. C. (1971): Dynamic Models of Segregation. Journal of Mathematical Sociology 1(2), 143–186.
• Vinković, D., Kirman, A. (2006): A physical analogue of the Schelling model. Proceedings of the National Academy of Sciences 103(51), 19261–19265.
• Gauvin, L., Vannimenus, J., Nadal, J.-P. (2009): Phase diagram of a Schelling segregation model. European Physical Journal B 70, 293–304.
• Newman, M. E. J., Girvan, M. (2004): Finding and evaluating community structure in networks. Physical Review E 69, 026113.
• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/schelling-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; die Literaturhinweise stammen aus der README und der Formelsammlung der Demo (dort nach Angabe der README nur anhand von Zusammenfassungen gesehen). Der Mechanismus im Einsteigerteil (ein Umzug verändert zwei Nachbarschaften) und die Deutung zu freien Flächen sind Fachwissen und Deutung, keine Messung der Demo.