Rufbus oder Linienbus verständlich erklärt

Ein Linienbus fährt, ob jemand einsteigt oder nicht; ein Rufbus fährt nur, wenn jemand ihn ruft. Ab wie vielen Fahrtwünschen sich das eine oder das andere lohnt, hängt daran, was man als gleiche Qualität ansieht. Diese Seite erklärt das zuerst ohne Formeln und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Rufbus und Linienbus: der Unterschied

Ein Linienbus fährt nach festem Fahrplan auf einer festen Strecke, ob jemand einsteigt oder nicht. Ein Rufbus (englisch Dial-a-Ride, etwa Anrufbus) fährt nur, wenn jemand ihn ruft: Fahrgäste melden einen Fahrtwunsch mit Start und Ziel, und der Rufbus plant daraus seine Tour, auf der er mehrere Fahrgäste zusammen mitnehmen kann.

Die Frage der Demo lautet: Bei wie vielen Fahrtwünschen pro Stunde wird der Linienbus billiger als der Rufbus? Diese Zahl heißt Kipppunkt. Als Kosten zählt die Demo Fahrzeugstunden je beförderten Fahrgast, keine Euro.

Warum kippt es?

Der Rufbus braucht nur so viele Fahrzeuge, wie die Nachfrage verlangt. Kommen wenige Fahrtwünsche, genügen wenige Fahrzeuge. Der Linienbus braucht dagegen für eine bestimmte Wartezeit praktisch immer dieselbe Flotte, egal wie viele Fahrgäste kommen.

Bei wenigen Fahrtwünschen ist der Rufbus deshalb im Vorteil. Mit mehr Nachfrage wächst seine Flotte, aber langsamer als die Nachfrage, und immer mehr Fahrgäste teilen sich eine Tour. Irgendwann kann der Linienbus billiger werden. Dieser Punkt ist der Kipppunkt.

Was heißt „gleiche Qualität“?

Ein fairer Vergleich braucht gleiche Qualität, und die lässt sich verschieden messen. Fordert man gleiche mittlere Wartezeit, gibt es einen Kipppunkt. Fordert man stattdessen eine gleiche mittlere Gesamtreisezeit, also Warten plus Fahren, gibt es unterhalb einer bestimmten Grenze keinen: Der Rufbus ist dann überall billiger.

Im Beispiel der Demo sitzen die Fahrgäste im Linienbus bei gleicher Wartezeit deutlich länger im Fahrzeug als im Rufbus: Das ist der Preis, den sie bei gleicher Wartezeit zahlen. Der Kipppunkt ist deshalb keine Eigenschaft der beiden Betriebsformen, sondern des gewählten Maßes. Die Zahlen stehen im Fachteil.

Was hilft dem Rufbus, was nicht?

Die Demo prüft einige Stellschrauben. Mehr Plätze im Fahrzeug ändern die Flotte praktisch nicht. Ein größerer erlaubter Umweg für die Fahrgäste hilft stärker. Auch das Sammeln der Anfragen in einem Zeitfenster (englisch Batch) schlägt das sofortige Einplanen nicht: Das Warten auf den Stapel verbraucht die Zeit, die ein Fahrgast höchstens warten soll. Die Zahlen stehen im Fachteil.

Wo liegt der Haken?

Die Rechnung hängt davon ab, welchen Linienbus man als fair ansieht. Die Demo wählt je Szenario den besten von sieben festen Entwürfen, und zwar mit Kenntnis der gezogenen Fahrtwünsche. Das ist leicht günstig für den Linienbus.

Der Rufbus ist dagegen optimistisch modelliert: Es gibt keine Leerfahrten zu neuen Standorten, keine Vorbestellung und keine Fahrerpausen. Das macht ihn im Vergleich eher günstiger.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo ist ein stark vereinfachtes Modell mit simulierten Fahrtwünschen in einem quadratischen Gebiet. Wer „ab so vielen Anfragen lohnt sich der Rufbus“ behauptet, trifft nur für ein Gebiet und ein Maß zu. Die Demo zeigt, wie der Vergleich vom Qualitätsmaß abhängt, nicht, ab wann sich ein Rufbus für ein bestimmtes Gebiet lohnt.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Szenario: quadratisches Gebiet (6, 10 oder 16 km Kantenlänge) mit 20, 30 oder 40 Haltepunkten, Luftlinie bei 30 km/h, 0,5 min Halt je Aufnahme oder Absetzen. Die Nachfrage zwischen den Haltepunkten ist ungleich verteilt (ein Teil konzentriert sich auf zwei Zentren). Fahrtwünsche kommen über einen Betriebstag von 6 Stunden; gemessen wird zwischen Minute 45 und 315, weil das System leer startet.
• Rufbus: sofortige Zusage oder Absage; Abholung höchstens \(W\) Minuten nach der Anfrage (10, 15 oder 25), Fahrzeit höchstens Umwegfaktor (1,5 oder 2,0) mal Direktfahrt plus 2 Minuten, Platzgrenze. Verfahren: sofortige Einfügung (billigste zulässige Position, FCFS), Einfügen + Verbessern (Umlegen und Austauschen) und Batch (Fenster 5 Minuten). Flotte \(K^*\): die kleinste Flottengröße, ab der mindestens 90 % der Fahrtwünsche angenommen werden.
• Linienbus: sieben feste Linienentwürfe (eine Linie über alle Haltepunkte, Sternnetze mit 1 bis 4 Linien, zwei Teilabdeckungen mit Fußweg), Fahrzeuge gleichmäßig verteilt, periodischer Fahrplan mit Zufallsphase, Wegewahl nach erwarteter Zeit. \(N^*\): die kleinste Fahrzeugzahl, die dasselbe Qualitätsmaß erreicht wie der Rufbus.
• Kosten: Fahrzeugstunden je bedientem Fahrgast (Flotte mal Messfenster von 4,5 Stunden), keine Euro-Kosten, weil keine Kostensätze erfunden werden sollen. Der Kipppunkt ist die Dichte, bei der beide Kurven gleich sind (log-linear zwischen den gemessenen Dichten interpoliert, Bootstrap über die Zufalls-Seeds).
• Zufall: alle Zufallsquellen sind ganzzahlig (SplitMix64), Szenarien und Suchläufe sind auf jeder Plattform gleich.

Rufbus: Zeitgrenzen und Flotte

Für jede angenommene Anfrage mit Anfragezeit \(t\), Start \(o\) und Ziel \(d\) gilt für Abholzeit \(a_p\) und Ankunftszeit \(a_d\) am Ziel:

\[a_p \le t + W\]

\[a_d - a_p \le f\,(t_{od} + \delta) + s\]

Dabei sind \(W\) die höchste Wartezeit, \(f\) der Umwegfaktor, \(t_{od}\) die Direktfahrzeit, \(\delta = 0{,}5\) min der Halt und \(s = 2\) min der Aufschlag; die Last darf die Platzzahl nicht überschreiten. Die Flotte ist die kleinste, ab der der Anteil angenommener Fahrtwünsche für alle größeren Flotten mindestens 90 % beträgt (die Suche nach ihr bricht ab, sobald dreimal in Folge mindestens 95 % erreicht sind):

\[K^* = \min\{K : \text{Servicegrad}(K') \ge 0{,}9 \text{ für alle } K' \ge K\}\]

Linienbus und Kosten je Fahrgast

Bei Umlaufzeit \(C\) und \(N\) Fahrzeugen ist der Takt des Linienbusses \(h = C/N\) und die mittlere Wartezeit je Einstieg \(h/2\) (plus ein Zuschlag je Umstieg). \(N^*\) ist die kleinste Fahrzeugzahl, bei der das gewählte Qualitätsmaß für alle größeren Zahlen erfüllt ist. Die Kosten sind Fahrzeugstunden je Fahrgast bei Messfenster \(T = 4{,}5\) h; beim Linienbus zählt nur der erreichbare Anteil der Anfragen:

\[c_{\text{Ruf}} = \frac{K^*\,T}{n_{\text{bedient}}}, \qquad c_{\text{Linie}} = \frac{N^*\,T}{n_{\text{Anfragen}}\cdot \text{Erreichbarkeit}}\]

Der Kipppunkt ist die Dichte, bei der \(c_{\text{Ruf}}\) und \(c_{\text{Linie}}\) gleich sind.

Befunde

Alle Zahlen stehen in der Messreihe der Demo (30 Zufalls-Seeds je Zelle) und sind in deren Tests nachgerechnet. Sie gelten für die Basiseinstellung (FCFS, 4 Plätze, Umweg 1,5, Wartezeit 15 min, 10 × 10 km, 30 Haltepunkte, mittlere Konzentration) und die vorgerechneten Einzelabweichungen davon. Die Dichte ist in Anfragen je km² und Stunde angegeben, die Kosten in Fahrzeugstunden je bedientem Fahrgast.

Frage	Befund
Wächst die Rufbus-Flotte mit der Nachfrage?	Langsamer als diese: \(K^*\) steigt von 2,6 Fahrzeugen bei 3 Anfragen/h auf 14,3 bei 100 Anfragen/h, Anpassung \(K^* \propto \lambda^{0{,}49}\); die Fahrzeugstunden je Fahrgast fallen von 0,85 auf 0,15 (Faktor 5,5). Der Anteil der Fahrgäste mit Mitfahrern steigt von 17 % (Dichte 0,03) auf 91 % (Dichte 1,0); gegenüber Einzelfahrten spart das bei Dichte 1,0 rund 33 % der Flotte.
Wo kippt es bei gleicher mittlerer Wartezeit?	Bei 0,44 Anfragen je km² und Stunde, 44 je Stunde im 10 × 10-km-Gebiet (Bootstrap 0,42 bis 0,46), mit dem besten Linienentwurf je Szenario. Mit einer einzigen Linie über alle Haltepunkte: 0,65; mit Teilabdeckung (Fußweg 1,0 km): 0,54; mit Sternnetzen: kein Kipppunkt. In Anfragen je Stunde trägt er über das Gebiet: 48 im 16 × 16-km-Gebiet, im 6 × 6-km-Gebiet bis 36 Anfragen/h keiner. Nicht über die höchste Wartezeit: 61 Anfragen/h bei 10 min, 28 bei 25 min.
Hängt der Kipppunkt am Qualitätsmaß?	Ja. Gleiche mittlere Gesamtreisezeit höchstens 30 min (und 25 min): kein Kipppunkt. Höchstens 35 min: kein Kipppunkt im Mittel, in 53 % der Bootstrap-Resamples keiner. Höchstens 40 min: 0,52; höchstens 45 min: 0,25.
Was zahlt der Linienbus-Fahrgast bei gleicher Wartezeit?	Bei Dichte 0,4 wartet er im Mittel 7,9 min (Rufbus 8,4), sitzt aber 31,9 min im Fahrzeug (Rufbus 12,6): Gesamtzeit 39,8 min gegen 21,0 min (Linienbus mit einer Linie über alle Haltepunkte).
Schlägt Batch die sofortige Einfügung? Helfen mehr Plätze?	Batch nein: Batch (Fenster 5 min, mit Verbessern) braucht 0,3 bis 1,3 Fahrzeuge mehr, Fenster 10 min 2,8 bis 3,9 mehr; das Warten auf den Stapel verbraucht das Wartezeitbudget. Einfügen + Verbessern spart bei Dichte 0,8 und 1,0 nur 0,47 und 0,60 Fahrzeuge, bei geringerer Dichte höchstens 0,27. 8 statt 4 Plätze ändern die Flotte praktisch nicht (bei Dichte 1,0: −0,20 ± 0,10 Fahrzeuge). Der Umwegfaktor wirkt stärker (2,0 statt 1,5: −0,93 ± 0,10); ein Platz statt vier kostet +7,2 Fahrzeuge.
Wie weit liegen die Heuristiken vom Optimum?	Im Los von 8 Anfragen und 1 Fahrzeug (Wartezeit 15 min) bedient die sofortige Einfügung 78 % der Anfragen des Exakten, Batch 87 %; auf Flottenebene schrumpft der Abstand auf 0 bis wenige Prozent. Keine Heuristik schlägt den Exakten (0 von 930 Vergleichen).

Grenzen

• Der Kipppunkt ist keine Eigenschaft der beiden Betriebsformen, sondern des gewählten Qualitätsmaßes und der Linienführung. Wer „ab x Anfragen je km²“ behauptet, trifft nur für ein Gebiet und ein Maß zu.
• Der „faire“ Linienbus ist nicht eindeutig. Der Hauptwert wählt je Szenario den besten von sieben Entwürfen mit Kenntnis der gezogenen Anfragen; das ist leicht günstig für den Linienbus. Teilabdeckungs-Entwürfe bedienen nur Haltepunkte im Fußweg-Einzugsbereich, der Fußweg steckt in der Gesamtzeit, nicht in der Wartezeit.
• Der Rufbus ist optimistisch modelliert: keine Leerfahrten-Neupositionierung, keine Vorbestellung, keine Fahrerpausen, keine gemischte Flotte, keine Spitzen im Tagesverlauf, virtuelle Haltepunkte ohne Fußweg.
• Kosten sind Flottenstunden der ganzen Betriebsdauer. Rechnet man nur gefahrene Stunden, rückt der Kipppunkt auf 0,54.
• Ein Szenario streut von Zufalls-Seed zu Zufalls-Seed; die Messreihe gilt für die Basiseinstellung und die vorgerechneten Einzelabweichungen davon.
• Nur 30 Zufalls-Seeds je Zelle: Bänder und Standardfehler stehen überall dabei; bei Reisezeit höchstens 35 min liegt der Kipppunkt genau an der Auflösungsgrenze der Reihe.
• Das Exakte (Aufzählung) ist ein Lehrstück für kleine Instanzen, keine Betriebsaussage.

Quellen

• Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/rufbus-demo.