Positionsauktion verständlich erklärt

Ein Terminal vergibt mehrere Zeitfenster, und die Spediteure bieten darum. Die Fenster sind verschieden viel wert. Mit nur einem Fenster ist ehrliches Bieten die beste Wahl. Mit mehreren ist das bei der naheliegenden Regel, dass jeder das Gebot des Nächstniedrigeren zahlt, nicht mehr so: Es kann sich lohnen, weniger zu bieten, als das Fenster einem wert ist. Diese Seite erklärt zuerst ohne Formeln, warum das so ist und welche andere Regel das behebt, und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 3. November 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Mehrere Zeitfenster, jedes anders wert

Ein Terminal vergibt am Morgen mehrere Zeitfenster zur Abfertigung, und mehrere Spediteure wollen eines. Die Fenster sind nicht gleich viel wert: Im ersten ist die Ladung früh draußen, im zweiten etwas später, im dritten noch später. Das Terminal versteigert sie deshalb in einer Rangfolge. Wer am meisten bietet, bekommt das erste Fenster, der Nächste das zweite, und so weiter. Offen bleibt, welchen Preis jeder zahlen soll.

Die Demo zu dieser Seite spielt dieselbe Mechanik an einer Frachtbörse durch, die Angebote in einer Rangliste zeigt: Je weiter oben ein Angebot steht, desto mehr Anfragen bekommt es. Jeder Platz hat also einen eigenen Wert, und die Spediteure bieten darum. Die Demo ist ein Programm zum Ausprobieren im Browser (Link am Ende dieses Teils).

Mit einem Fenster ist Ehrlichkeit die beste Wahl

Gibt es nur ein Fenster, genügt eine einfache Regel: Der Höchstbietende gewinnt, zahlt aber nur, was der Zweithöchste geboten hat. Dann lohnt es sich, genau den Betrag zu bieten, den einem das Fenster wirklich wert ist. Bietet man weniger, riskiert man, ein Fenster zu verlieren, das man zu einem fairen Preis bekommen hätte. Bietet man mehr, riskiert man, mehr zu zahlen, als es wert ist. Das eigene Gebot bestimmt nur, ob man gewinnt, nicht, was man zahlt. Ehrlich zu bieten ist hier die beste Wahl, egal was die anderen tun.

Mit mehreren Fenstern kippt es

Die naheliegende Übertragung der Regel: Jeder zahlt das Gebot des Nächstniedrigeren. Der Erste zahlt, was der Zweite geboten hat, der Zweite, was der Dritte geboten hat. In der Fachsprache heißt das Generalized Second Price, kurz GSP. Mit einem Fenster ist es dieselbe Regel wie eben. Mit mehreren ist ehrliches Bieten nicht mehr sicher die beste Wahl.

Warum, zeigt ein Handbeispiel der Demo. Der Spediteur mit dem höchsten Wert bietet ehrlich und gewinnt das erste Fenster. Er zahlt viel, weil der Zweite ebenfalls stark bietet. Bietet er stattdessen bewusst weniger, rutscht er auf das zweite Fenster und zahlt nur noch das niedrige Gebot des Dritten. Er fertigt weniger ab, aber jede Abfertigung ist viel billiger, und am Ende bleibt ihm mehr übrig. Für ihn lohnt sich das Schwindeln.

Ob das Schwindeln lohnt, hängt davon ab, wie viel mehr das erste Fenster wert ist als das zweite. In einem zweiten Handbeispiel der Demo, in dem der Wert der Fenster schnell fällt, bleibt ehrliches Bieten in Ordnung. Das ist die Ausnahme: In den Zufallsauktionen der Demo lohnt es sich bei mehreren Plätzen oft für mindestens einen Spediteur, vom wahren Wert abzuweichen. Der Anteil solcher Auktionen wächst in der Messung bis zu vier Plätzen mit jedem weiteren Platz und hängt davon ab, wie die Zufallsauktionen erzeugt werden.

Die Alternative: zahlen, was man den anderen wegnimmt

Es gibt eine Regel, bei der ehrliches Bieten auch mit mehreren Fenstern die beste Wahl bleibt: den VCG-Preis. Jeder zahlt, was er den Bietern unter sich nimmt: den Wert, den sie verlieren, weil er vor ihnen steht. Wer ein Fenster nach vorn rückt, schiebt alle dahinter ein Fenster nach hinten, und für genau diesen Verlust zahlt er. Der Preis richtet sich damit nicht danach, was er selbst bietet, sondern nach dem Schaden für die anderen. Die Demo prüft das nach: Kein anderes Gebot ist besser als das wahre.

Der Preis dafür: In den Beispielen der Demo nimmt die Börse bei VCG weniger ein als bei GSP mit ehrlichen Geboten. Die Regel ist außerdem schwerer zu erklären, denn niemand sieht den eigenen Preis in den Geboten der anderen.

Wohin führen angepasste Gebote?

Bei GSP werden Spediteure ihre Gebote anpassen, wenn sich Schwindeln lohnt. Eine Lage, in der sich keiner mehr durch ein anderes Gebot verbessert, heißt Gleichgewicht. Davon gibt es bei GSP nicht eines, sondern viele: Das unterste hat genau die Preise der VCG-Regel, das oberste bringt der Börse deutlich mehr. Welches davon erreicht wird, hängt davon ab, wie die Spediteure nachbessern.

Die Demo vergleicht zwei Regeln. Bei der ersten wählt jeder den Platz, der ihm bei den Geboten der anderen am meisten bringt, und bietet dafür vorsichtig (englisch balanced bidding). Passen die Spediteure nacheinander an, landen in den gemessenen Läufen alle bei den Preisen der VCG-Regel. Passen alle zugleich an, springen die Gebote bei mehr Plätzen mitunter hin und her. Die zweite Regel, einfach knapp zu überbieten, kommt bei drei oder vier Plätzen in den Läufen der Demo nur selten zur Ruhe.

Wie ernst sind die Zahlen der Demo zu nehmen?

Alle Auktionen der Demo sind erzeugt: Zufallswerte aus festen Startwerten oder eine feste Liste, keine Börsendaten. Die Spediteure kennen dort die Werte der anderen, in einer echten Versteigerung wüssten sie nur wenig davon. Die Zahlen zeigen, was die Regeln in diesem Modell tun, nicht wie sich ein Terminal oder eine Börse tatsächlich verhält.

Woran Sie es im Betrieb merken könnten:

• Plätze oder Zeitfenster mit stark verschiedenem Wert werden nach einer Zweitpreisregel versteigert, und die Gebote liegen systematisch unter dem, was die Bieter intern für den Platz ansetzen: Schwindeln lohnt sich.
• Die Bieter ändern ihre Gebote laufend und kommen nicht zur Ruhe: Die Anpassungsregeln schaukeln sich auf.
• Nach einem Wechsel der Preisregel sinken die Einnahmen, obwohl die Gebote ehrlicher werden: Das ist der Preis der Anreizregel.
• Ein Bieter wechselt auf einen schlechteren Platz, weil er dort viel weniger zahlt und mehr übrig behält: Genau das tut der Spediteur im Handbeispiel.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Plätze und Spediteure: \(k\) Plätze mit Klickraten \(\alpha_1 \ge \dots \ge \alpha_k > 0\) (\(\alpha_{k+1} = 0\); in der Demo \(\alpha_s = \delta^{s-1}\)), \(n \ge k+1\) Spediteure mit Wert \(v_i\) je Anfrage, absteigend geordnet. Der Bieter auf Platz \(s\) hat bei Preis \(p_s\) je Anfrage den Nutzen \(\alpha_s (v - p_s)\).
• GSP: Das \(s\)-höchste Gebot erhält Platz \(s\) und zahlt je Anfrage das \((s+1)\)-höchste (Gleichstand: kleinerer Index zuerst). VCG: Der Bieter auf Platz \(s\) zahlt gesamt seine Externalität.
• Information: vollständig; die Werte sind allen bekannt. Gemessen wird an synthetischen Auktionen (Zufallswerte aus festen Seeds oder eine feste Liste), nicht an Börsendaten.
• Drei Experimente: Gleichgewichtsintervall der symmetrischen Gleichgewichte, Wahrhaftigkeit (Nutzen über das eigene Gebot, Anteil der Zufallsinstanzen ohne wahres Gleichgewicht), Gebotsdynamik ab den wahren Geboten (asynchron: ein zufälliger Bieter je Runde; synchron: alle zugleich).
• Gebotsregeln: balanced bidding (Cary u. a.) und „knapp überbieten“ (eine eigene einfache Regel). Konvergiert heißt synchron: eine Runde ohne Änderung; asynchron: 6 n Runden ohne Änderung und alle Gebote sind Fixpunkte der Regel.

Die Formeln

GSP. Bei Geboten \(b\) zahlt der Bieter auf Platz \(s\) je Anfrage

\[p_s = b_{(s+1)}\]

mit dem \((s+1)\)-höchsten Gebot. Mit \(k = 1\) ist das die Zweitpreisauktion.

VCG. Der Bieter auf Platz \(s\) zahlt gesamt seine Externalität, den Wert, den er den Bietern unter sich nimmt:

\[P_s = \sum_{t \ge s} (\alpha_t - \alpha_{t+1})\, v_{t+1}\]

Wahr zu bieten ist dominant; der Nutzen ist \(\alpha_s v_s - P_s\).

Symmetrische Gleichgewichte (Varian). Preise \(p_1 \ge \dots \ge p_k\) mit

\[\alpha_s (v_s - p_s) \ge \alpha_j (v_s - p_j)\]

für alle Plätze \(s, j\) und \(v_{k+1} \le p_s \le v_s\): Kein Bieter beneidet einen anderen Platz. Der Bieter auf Platz \(s+1\) bietet \(p_s\); die Einnahme ist \(\sum_s \alpha_s p_s\). Die Einnahmen aller dieser Gleichgewichte bilden ein Intervall; sein unteres Ende hat die VCG-Preise je Anfrage.

Kleinstes Gleichgewicht (von unten): Anfang \(p_k = v_{k+1}\), dann die Rekursion

\[p_{s-1} = v_s - \tfrac{\alpha_s}{\alpha_{s-1}}(v_s - p_s)\]

Größtes Gleichgewicht (von oben): Anfang \(p_k = v_k\), dann

\[p_s = v_s - \tfrac{\alpha_{s+1}}{\alpha_s}(v_s - p_{s+1})\]

Beide Rekursionen sind eine eigene Herleitung aus den Bedingungen; die Demo prüft sie gegen ein lineares Programm und gegen eine Aufzählung.

Balanced bidding. Bei festen Geboten der anderen sei \(o_j\) das \(j\)-höchste Gebot der anderen. Der Bieter wählt den Platz \(j\) mit dem größten \(\alpha_j (v - o_j)\) und bietet

\[b = v - \tfrac{\alpha_j}{\alpha_{j-1}}(v - o_j)\]

(für Platz 1 und wenn kein Platz lohnt: \(b = v\)). Der Fixpunkt hat die Rekursion des kleinsten Gleichgewichts. Knapp überbieten: wie oben, aber \(b = o_j + \varepsilon\), also knapp über dem Gebot, das den besten Platz gerade gewinnt.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py) und gelten für die genannten Voraussetzungen: erzeugte Auktionen, feste Seeds, reine Arithmetik. Die Tabellen der Zufallsinstanzen sind Messungen an diesen Seeds, keine Aussagen über alle Auktionen.

Frage	Befund
Wie weit liegen VCG, GSP mit wahren Geboten und das größte Gleichgewicht in den Handbeispielen auseinander?	Beispiel A (2 Plätze, Klickraten 1,00; 0,80, Werte je Anfrage 10; 6; 2): Einnahme VCG 4,400, GSP mit wahren Geboten 7,600, größtes Gleichgewicht 11,600. Preise je Anfrage: kleinstes Gleichgewicht (= VCG) 2,800; 2,000, GSP mit wahren Geboten 6,000; 2,000. Beispiel B (3 Plätze, Klickraten 1,00; 0,50; 0,25, Werte 8; 4; 2; 1): Einnahme VCG 3,750, GSP mit wahren Geboten 5,250, größtes Gleichgewicht 7,500.
Lohnt sich das Schwindeln im Handbeispiel?	In Beispiel A ja: Spediteur 1 bietet 3,6 statt 10, erhält Platz 2 für 2 je Anfrage und hat den Nutzen 0,8 · (10 − 2) = 6,4 statt 4. In Beispiel B, mit schnell fallenden Klickraten, sind wahre Gebote ein Gleichgewicht: Das ist die Ausnahme, nicht die Regel.
Wie sieht die Standardauktion aus?	3 Plätze, 4 Spediteure, δ = 0,7, Seed 8: Einnahme VCG 0,952, GSP mit wahren Geboten 1,283, größtes Gleichgewicht 1,218. Spediteur 1 verbessert sich bei wahren Geboten von 0,199 auf 0,462, wenn er Platz 2 nimmt. Balanced bidding (asynchron) konvergiert nach 46 Runden zu genau den VCG-Preisen.
Wie breit ist das Gleichgewichtsintervall?	In 400 Zufallsinstanzen (2 bis 4 Plätze, ein oder zwei zusätzliche Bieter; Werte U(0; 1) + 0,05, Klickraten U(0,1; 1) fallend) ist die größte Einnahme im Median das 1,45-Fache von VCG, das 90-%-Quantil liegt bei 2,13. Das Verhältnis hängt stark vom Erzeuger ab und streut, weil VCG bei eng liegenden Werten fast nichts einnimmt.
Wie oft sind wahre Gebote kein Gleichgewicht von GSP?	400 Zufallsinstanzen je Zeile, ein zusätzlicher Bieter, Seed 12. 1 Platz: 0 Instanzen, 0,0 %. 2 Plätze: 247, 61,8 %. 3 Plätze: 375, 93,8 %. 4 Plätze: 398, 99,5 %. Der Anteil hängt vom Erzeuger der Instanzen ab. Von einem bis vier Plätzen wächst er mit jedem weiteren Platz; mehr Plätze sind nicht gemessen.
Wie groß ist der Gewinn der besten Abweichung?	Größter Abweichungsgewinn eines Bieters im Verhältnis zum Gesamtnutzen aller Bieter bei wahren Geboten, Median über die Instanzen ohne Gleichgewicht: 0,50 bei 2 Plätzen, 0,42 bei 3 Plätzen, 0,45 bei 4 Plätzen. VCG ist wahrheitsgetreu: Kein Gebot auf dem Raster ist besser als das wahre (Eigenschaftstest).
Wohin führt balanced bidding?	50 Zufallsinstanzen je Zeile (ein zusätzlicher Bieter, Seed 3), Start bei den wahren Geboten, höchstens 1 500 Runden. Asynchron konvergiert es bei 2, 3 und 4 Plätzen in 50 von 50 Läufen, jeweils zu den VCG-Preisen (Lage im Intervall im Median 0,00). Synchron konvergiert es bei 2 Plätzen in 50 von 50 Läufen, bei 3 Plätzen in 42 von 50, bei 4 Plätzen in 37 von 50; die konvergierten Läufe landen bei den VCG-Preisen. Bei drei und vier Plätzen scheitert es synchron in 16 % bzw. 26 % der Läufe (die Gebote springen hin und her).
Wohin führt „knapp überbieten“?	Gleiche Läufe. Asynchron konvergiert es bei 2 Plätzen in 50 von 50 Läufen, bei 3 Plätzen in 7 von 50, bei 4 Plätzen in 1 von 50; synchron bei 2 Plätzen in 18 von 50, bei 3 Plätzen in 3 von 50, bei 4 Plätzen in 0 von 50. In den konvergierten Läufen liegt die Einnahme im Median unter VCG (Lage im Intervall asynchron -0,20 / -0,34 / -0,39 bei 2 / 3 / 4 Plätzen, synchron -0,12 und -0,03 bei 2 und 3 Plätzen); keiner der Grenzwerte hat VCG-Preise. Wo es konvergiert, ist der Grenzwert nach der README ein ε-Nash-Gleichgewicht, aber kein symmetrisches.
Wie viele Nash-Gleichgewichte gibt es insgesamt?	Aufzählung auf einem Raster von 0,1 (30 Instanzen mit 2 Plätzen und 3 Bietern; Werte und Klickraten aus festen Mengen): 2 992 Gleichgewichte, davon 38,7 % ineffizient (die beiden Plätze gehen nicht an die beiden höchsten Werte) und 57,0 % mit Einnahme unter VCG. 1 835 sind effizient geordnet, 484 davon symmetrisch; die symmetrischen liegen in 30 von 30 Instanzen im Intervall der Formeln. Die Einnahmenaussage „mindestens VCG“ gilt erst für die symmetrischen.
Wie wurde nachgerechnet?	VCG durch Neuberechnung der Externalität (beste Zuordnung mit und ohne den Bieter, Aufzählung aller Zuordnungen); das lineare Programm der symmetrischen Gleichgewichte gegen die Rekursionsformeln in 150 Zufallsinstanzen; die aus den Preisen gebauten Gebote gegen eine dichte Abweichungsmenge (Raster 0,005); die Aufzählung aller Nash-Gleichgewichte auf einem Raster; Handbeispiele von Hand.

Grenzen

• Vollständige Information, bekannte Werte: In echten Auktionen kennt niemand die Werte der anderen; Bayes-Nash-Gleichgewichte und lernende Bieter sind ein eigenes Gebiet. Preis-der-Anarchie-Schranken (Paes Leme und Tardos, Caragiannis u. a.) werden nur genannt, nicht gerechnet; die Zahlen der Quellen sind in den Treffern uneinheitlich und nicht entschieden.
• Symmetrische Gleichgewichte nach Varian: Das Intervall gilt für diese Menge; „lokal neidfrei“ (Edelman, Ostrovsky, Schwarz) ist nach dem Abstract eine verwandte Menge, hier nicht gerechnet.
• Ranking nur nach Gebot: keine Qualitätsgewichte, keine Reservepreise, keine Mindestgebote.
• Dynamik-Quoten hängen von Startpunkt, Rundengrenze und Konvergenzkriterium ab. Die erste Fassung des asynchronen Kriteriums („6 n Runden ohne Änderung“) meldete bei „knapp überbieten“ fälschlich Konvergenz (ein Bieter mit ausstehender Anpassung war nur nicht gezogen worden); die Demo prüft deshalb zusätzlich, dass alle Gebote Fixpunkte der Regel sind. Die Tabelle gilt für 50 Instanzen je Zeile, Start bei den wahren Geboten, höchstens 1 500 Runden; andere Startpunkte oder Rundengrenzen sind nicht gemessen. Ob der Grenzwert von „knapp überbieten“ ein ε-Nash-Gleichgewicht ist, gilt nur für die konvergierten Läufe der Tabelle.
• Anteile und Verhältnisse hängen vom Erzeuger ab: Das Verhältnis größte Einnahme zu VCG (hier Median 1,45) und die Anteile der Tabelle zur Wahrhaftigkeit gelten für die Erzeugung der Demo (feste Seeds); eine frühere Messung mit anderer Erzeugung ergab für das Verhältnis einen höheren Wert.
• Aufzählung nur für 2 Plätze und 3 Bieter auf einem Raster; das Raster verfehlt die Ränder des kontinuierlichen Intervalls um bis zu einen Rasterschritt.
• Synthetische Auktionen: Es gibt keine Börsendaten; weitere Ranking-Regeln, Budgets und Pacing sowie Lernverfahren der Bieter sind bewusst nicht umgesetzt.

Quellen

• Quelltext, Messreihen und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/positionsauktion-demo.
• Varian: Position auctions. International Journal of Industrial Organization 25(6), 2007, S. 1163–1178.
• Edelman, Ostrovsky, Schwarz: Internet Advertising and the Generalized Second-Price Auction: Selling Billions of Dollars Worth of Keywords. American Economic Review 97(1), 2007, S. 242–259.
• Cary, Das, Edelman, Giotis, Heimerl, Karlin, Mathieu, Schwarz: Greedy Bidding Strategies for Keyword Auctions. ACM Conference on Electronic Commerce 2007, S. 262–271.

Die Literatur wurde weder für die Demo noch für diese Seite im Volltext gelesen; die Angaben beruhen auf Titel, Abstract und Sekundärquellen. Die Rekursionen für das kleinste und das größte Gleichgewicht sind eine eigene Herleitung der Demo, geprüft gegen ein lineares Programm und eine Aufzählung. Zu Preis-der-Anarchie-Schranken (Paes Leme und Tardos, Caragiannis u. a.) wurde nichts gerechnet.