Netzdesign bei Unsicherheit verständlich erklärt
Ein Netz aus Werken, Lagern und Filialen wird gebaut, bevor man weiß, wie viel die Filialen tatsächlich absetzen. Reicht dafür eine Schätzung der Nachfrage, oder lohnt es sich, viele mögliche Verläufe durchzurechnen? Das kostet Aufwand, und er zahlt sich nicht immer aus. Diese Seite erklärt zuerst ohne Formeln, wann sich der Aufwand lohnt und wann nicht, und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.
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Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.
Das Bild: ein Fest, für das man vorab mieten muss
Stellen Sie sich vor, Sie richten ein Fest aus und müssen Tische, Zelte und einen Kühlwagen mieten, lange bevor die Gästeliste feststeht. Sie rechnen mit der Gästezahl, die Ihnen am wahrscheinlichsten erscheint, und planen genau dafür. Kommen weniger Gäste, haben Sie Miete für Dinge bezahlt, die ungenutzt stehen. Kommen deutlich mehr, müssen Sie kurzfristig teuer nachbestellen, oder jemand bleibt ohne Platz.
Ein Logistiknetz steht vor derselben Frage. Es besteht aus Werken, Verteilzentren (Lagern, die Ware bündeln und weiterschicken) und Filialen. Welche Verbindungen und welche Verteilzentren gebaut werden, wird einmal entschieden und gilt dann lange. Dafür fallen Fixkosten an, also Kosten, die entstehen, sobald etwas gebaut wird, ganz gleich, wie viel Ware hindurchfließt. Wie viel die Filialen wirklich absetzen, zeigt sich erst danach.
Zwei Arten zu planen
Man kann das Netz für eine einzige Schätzung der Nachfrage entwerfen, nämlich die erwartete Nachfrage je Filiale. Oder man spielt viele mögliche Verläufe durch, sogenannte Szenarien, und sucht ein Netz, das über alle zusammen gut abschneidet. Fachleute nennen das zweistufige stochastische Optimierung: Zuerst wird das Netz entworfen, dann zeigt sich die Nachfrage, und der Betrieb passt sich daran an.
Die Demo gibt beiden Entwürfen im Betrieb dieselben Möglichkeiten. Wird eine Verbindung knapp, darf zusätzliche Notfallkapazität zu einem höheren Preis genutzt werden. Wer trotzdem nicht beliefert werden kann, verursacht eine hohe Strafe; diese nicht gelieferte Menge heißt Fehlmenge. Der einzige Unterschied liegt also im Netz selbst, nicht darin, wer im Betrieb klüger reagiert.
Wann lohnt sich die Vorarbeit?
Man könnte erwarten, dass die Planung für mehrere Szenarien immer besser ist. Die Demo zeigt etwas Genaueres. Weicht die Nachfrage jeder Filiale in der Demo nur um gut ein Drittel nach oben oder unten von der Schätzung ab, entwerfen beide Wege dasselbe Netz, und die Kosten sind gleich. Der Notfallmechanismus fängt solche Abweichungen billig ab, sodass Vorausschau nichts bringt. Erst bei knapp zwei Dritteln Abweichung entstehen verschiedene Netze. Dann ist das Netz aus der Einzelschätzung im Mittel teurer und liefert öfter nicht die volle Nachfrage. Im ungünstigsten Fall ist der Abstand deutlich größer als im Mittel.
Ein zweiter Einfluss ist die Auslastung, also wie viel der vorhandenen Kapazität die Nachfrage im Plan schon ausfüllt. Man erwartet vielleicht, dass der Nutzen der Vorausschau mit knapperer Kapazität stetig wächst. Das trifft nicht zu: In der Demo kann der Abstand bei einer niedrigeren Auslastung größer sein als bei einer höheren. Die Kurve verläuft in Zacken. Ein Grund ist, dass Kapazität nur in ganzen Einheiten gebaut werden kann, etwa ganze Hallen oder Lkw-Flotten statt beliebiger Bruchteile. Mal passt eine Einheit gut zur Nachfrage, mal schlecht. Eine einfache Faustregel, ab wann sich Szenario-Planung lohnt, gibt die Demo deshalb nicht her.
Eine Lehre betrifft die Methode. Kennt eines der beiden Netze den Notfallmechanismus nicht, baut es mehr Kapazität als nötig und sieht schlechter aus, selbst wenn die Nachfrage gar nicht schwankt. Der Unterschied käme dann nicht aus der Unsicherheit, sondern aus einem unfairen Vergleich. Die Demo prüft das mit einem Test ohne Schwankung. Wer solche Rechnungen bewertet, sollte fragen, ob beide Varianten im Betrieb dieselben Möglichkeiten haben.
Was bleibt, und wie ernst ist das Modell zu nehmen?
Die Demo ist ein stark vereinfachtes Modell. Das Beispielnetz ist klein, die Nachfrage jeder Filiale schwankt unabhängig von den anderen, es gibt nur eine Güterart, und Notfallpreis und Strafe sind plausibel gewählt, nicht aus echten Verträgen. Die Szenarien sind eine Auswahl, daher ist auch das Netz aus der Szenario-Planung nur eine Näherung an das bestmögliche. Die Ergebnisse zeigen, wie die Mechanik wirkt, nicht was ein echtes Netz sparen würde.
Für die Entscheidung heißt das: Fragen Sie, wie weit die Nachfrage Ihrer Filialen typischerweise nach oben und unten von der Schätzung abweicht, wie eng Ihre Kapazität ist und ob Ihr Betrieb Engpässe mit Notkapazität abfangen kann. Erst wenn die Abweichungen groß sind, ist Szenario-Planung einen Versuch wert. Ab welcher Größe, zeigt die Demo nur für ihr Beispielnetz; für Ihr Netz müssen Sie es nachrechnen. Vergleichen Sie beide Wege nur, wenn beide im Betrieb dieselben Möglichkeiten haben.
Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.
Modell und Annahmen
Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.
- Netz: Werke → Verteilzentren → Filialen mit Fixkosten je Lane und Durchsatz, dasselbe Modell wie in
fixkosten-netzdesign-demo, hier auf ein Gut (K=1) reduziert. Entschieden wird einmalig und vorgelagert, welche Lanes und Verteilzentrum-Kapazitäten gebaut werden; die Entscheidung ist vor der Nachfragerealisierung eingefroren. - Nachfrage: Jede Filiale zieht ihre reale Nachfrage unabhängig gleichverteilt um ±X % der Nominalnachfrage.
- Betrieb (Recourse, für beide Designs identisch): Normalkosten bis Nominalkapazität, bis zu 50 % Notfallkapazität zum 4-fachen Preis, Fehlmenge bestraft mit dem 15-Fachen der mittleren Stückkosten. Das Recourse-Problem ist immer lösbar, da die Fehlmenge nicht an Netzkapazität gebunden ist.
- Zwei Designs: Das deterministische Design wird mit demselben Recourse-bewussten Löser für ein einziges Szenario (die Nominalnachfrage) berechnet. Das stochastische Master-Design verwendet 15 repräsentative Szenarien (eine Näherung an die vollständige zweistufige stochastische Optimierung). Verglichen werden beide über 120 identische Out-of-Sample-Szenarien.
Die Formeln
Das deterministische Design ist das Fixkosten-Netzdesign des Vorbilds, gelöst für die Nominalnachfrage: Fixkosten der gebauten Gruppen plus Flusskosten, wobei der Fluss einer Kante nur auf einer gebauten Gruppe möglich ist (\(x_e \le u_e y_{group(e)}\)), die Nachfrage exakt gedeckt wird und \(y_g \in \{0,1\}\) gilt.
\[\min \sum_g f_g y_g + \sum_e c_e x_e\]
Das stochastische Master-Design wählt ein gemeinsames \(y\) über \(S = 15\) repräsentative Szenarien, jedes mit eigenem Recourse-Block: Normalfluss, Notfallfluss zum 4-fachen Preis und Fehlmenge zum 15-Fachen der mittleren Stückkosten \(\bar c\). Der Fluss darf je Szenario verschieden sein, die Entwurfsentscheidung \(y\) nicht.
\[\min \sum_g f_g y_g + \frac1S\sum_{s=1}^S\Big(\sum_e c_e x_e^s + 4c_e x_e^{emg,s} + 15\bar c\!\sum_j \text{fehlmenge}_j^s\Big)\]
mit \(x_e^s \le u_e y_{group(e)}\) je Szenario; der Notfallfluss \(x_e^{emg,s}\) ist auf offenen Kanten auf 50 % von \(u_e\) begrenzt.
Befunde
Alle Zahlen stehen in der README der Demo und sind dort durch tests/test_claims.py belegt. Sie gelten für das Standardnetz mit 3 Werken, 3 Verteilzentren, 8 Filialen, Dichte 60 % und Seed 155 (SplitMix64, ganzzahlig, plattformstabil). Die README nennt nur diesen einen Zufalls-Seed; es sind also Einzelbefunde für dieses Netz, keine Mittelwerte über viele Netze. Die Lücke ist der Mehrbetrag des deterministischen gegenüber dem stochastischen Design im Erwartungswert über die 120 Out-of-Sample-Szenarien; Worst Case ist der teuerste dieser Fälle.
| Frage | Befund |
|---|---|
| Standardnetz (Auslastung 80 %, ±65 % Streuung) | Das deterministische Design kostet im Erwartungswert 4,4 % mehr als das stochastische (Worst Case 9,8 %) und deckt im Mittel seltener die volle Nachfrage (2,2 % gegen 0,1 % Fehlmenge). Die Topologie unterscheidet sich in 2 von 27 Entwurfsgruppen. |
| Wirkung der Streuung | Bei ±35 % statt ±65 % Streuung verschwindet die Lücke (0,0 %, identische Topologie). Sobald beide Designs den Notfallmechanismus kennen, lohnt sich Szenario-Planung in diesem Netz erst bei grober Unsicherheit (±65 %), nicht schon bei moderater (±35 %). |
| Wirkung der Auslastung (±65 % Streuung) | Bei 70 % statt 80 % Auslastung schrumpft die Lücke auf 1,2 %, bei 60 % wächst sie auf 6,4 % (Worst Case 50,0 %), mehr als beim Standardnetz. Der Zusammenhang ist wegen der diskreten Kapazitätsstufen nicht monoton. |
| Form der Streuungsabhängigkeit | Nach der Korrektur zeigt sich laut README ein Schwelleneffekt (praktisch null unter ~50 % Streuung, spürbar darüber), kein glattes Wachstum. Die README belegt das mit den beiden Streuungen ±35 % und ±65 %. |
| Korrektheitstest bei 0 % Streuung | Die erste Fassung rechnete das deterministische Design mit einem Löser ohne Notfallkapazität und war bei 0 % Streuung 1,3 % teurer, obwohl beide Designs dort identisch sein sollten. Seit der Korrektur (gleicher Recourse-bewusster Löser, nur ein Szenario) isoliert die Lücke den Streuungseffekt; ein Regressionstest hält das fest. |
Grenzen
- Annahmen gewählt, nicht kalibriert: Notfallkapazität und Fehlmengenstrafe sind plausibel gewählt, nicht aus echten Vertragsdaten. Die Befunde gelten für diese Faktoren.
- Näherung: Das Master-Design mit 15 repräsentativen Szenarien ist eine Näherung an die vollständige zweistufige stochastische Optimierung, kein Beweis des wahren Optimums. Die App warnt, dass das deterministische Design out-of-sample sogar besser abschneiden kann.
- Unabhängige Nachfrage je Filiale: Korrelierte Nachfrageschocks, etwa einer ganzen Region, sind nicht abgebildet.
- Ein Gut: Das Mehrgütermodell des Vorbilds ist auf ein Gut reduziert.
- Einzelnes Netz: Die genannten Lücken gehören zu einem Netz und einem Zufalls-Seed. Wie stark sie bei anderen Netzen streuen, steht in der README nicht; die Auslastungsreihe der App zeigt Zacken statt einer glatten Kurve.
Quellen
- Birge, J. R., Louveaux, F.: Introduction to Stochastic Programming, Springer (zweite Auflage 2011). Allgemeine Einführung in die zweistufige stochastische Optimierung mit Recourse.
- Magnanti, T. L., Wong, R. T. (1984): Network Design and Transportation Planning: Models and Algorithms, Transportation Science. Allgemeine Einführung in Netzdesign mit Fixkosten.
- Quelltext, Messreihe und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/netzdesign-unsicherheit-demo.
Die README der Demo nennt keine Literatur. Die beiden Werke sind allgemeine Hinweise aus dem Fachwissen des Autors und wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; sie belegen keine Zahl dieser Seite.