Modellwahl für Netze verständlich erklärt

Wer ein Netz untersucht, vergleicht es oft mit einem Zufallsnetz, also einem Netz, dessen Verbindungen nach einer Regel ausgewürfelt wurden: Hat es mehr Dreiecke oder kürzere Wege, als der Zufall allein erwarten lässt? Dafür muss man wissen, nach welcher Regel man würfelt. Zwei Wege führen zu einer Antwort: ein Verfahren, das jedem Netz eine Regel zuordnet und auch dann antwortet, wenn keine passt, und eine Prüfung, die „keine davon“ sagen darf. Diese Seite erklärt beide zuerst ohne Formeln und danach für Fachleute mit Modell, Formeln und Messwerten.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Die Frage: Nach welcher Regel ist dieses Netz entstanden?

Stellen Sie sich das Netz eines Betriebsverbunds vor: Knoten sind die Betriebe, Kanten die Verbindungen dazwischen. Wer ein Muster darin bewerten will, etwa besonders viele Dreiecke aus drei Betrieben, die alle miteinander verbunden sind, vergleicht es mit gewürfelten Netzen: Wie viele Dreiecke entstehen ohnehin durch den Zufall? Dafür muss man wissen, nach welcher Zufallsregel man würfelt. Bekannte Regeln sind:

• A: alle Verbindungen sind gleich wahrscheinlich;
• B: jeder Betrieb bekommt eine vorgegebene Zahl von Verbindungen, die sonst zufällig verteilt werden;
• C: neue Betriebe hängen sich bevorzugt an Betriebe, die schon viele Partner haben;
• D: die Betriebe liegen an festen Standorten, und nahe Betriebe verbinden sich eher;
• E: ein Ring, in dem jeder Betrieb seine Nachbarn kennt, mit ein paar Abkürzungen;
• F: Gruppen von Betrieben, die sich vor allem untereinander verbinden.

Ein Programm zum Ausprobieren, die Demo (der Link steht am Ende dieses Teils), kennt diese sechs Regeln; Fachleute nennen sie Modellfamilien. Sie misst an jedem Netz sieben Größen, etwa wie ungleich die Verbindungszahlen verteilt sind, wie viele Dreiecke es gibt, wie lang die Wege im Mittel sind und wie groß die größte zusammenhängende Gruppe ist.

Der erste Weg: ähnliche Netze suchen

Der erste Weg würfelt vorab viele Netze nach jeder der sechs Regeln A bis F, so dass deren Herkunft bekannt ist. Zu einem neuen Netz sucht er die ähnlichsten darunter, also die mit den ähnlichsten Werten bei den sieben Größen, und nennt die Regel, die unter ihnen am häufigsten vorkommt. Fachleute sprechen von einem Klassifikator.

Stammt das Netz wirklich aus einer der Regeln, funktioniert das gut: Von je zwanzig Netzen mit Ring (E) oder mit Standorten (D) erkannte er in der Demo alle zwanzig, bei Gruppen (F) neunzehn. Zwei Regeln trennt dieser Klassifikator schlecht, nämlich B und C, weil beide in der Demo dieselbe Verteilung der Verbindungszahlen haben: Von zwanzig Netzen der Regel B ordnete er neun der Regel C zu, von zwanzig Netzen der Regel C sechs der Regel B.

Das Problem: Er antwortet auch, wenn nichts passt

Der erste Weg nennt immer die Regel der ähnlichsten Netze, auch wenn das Netz zu keiner Regel gehört; er hat keine Möglichkeit, „keine davon“ zu sagen. Die Antwort sieht dann genauso entschieden aus wie bei einem Netz, das dazugehört. Zwei echte Beispiele aus der Demo: das Netz der Freundschaften in einem Karateverein und das Netz der gemeinsamen Auftritte der Figuren in einem Roman. In beiden Fällen lautet die Antwort Regel C, bei der sich neue Betriebe an Betriebe mit vielen Partnern hängen, oder die benachbarte Regel B; welche von beiden, hängt von den gewürfelten Vergleichsnetzen ab.

Der zweite Weg: prüfen, ob eine Regel das Netz erzeugen kann

Der zweite Weg dreht die Frage um. Für jede der sechs Regeln wird die Regel so eingestellt, dass sie zum Netz passt, zum Beispiel mit derselben Zahl an Verbindungen. Daraus werden viele Netze gewürfelt und ebenfalls an den sieben Größen gemessen. Liegt das echte Netz mitten unter diesen gewürfelten Netzen, besteht die Regel die Prüfung. Liegt es weit abseits, wie ein Auftrag mit einer viel längeren Durchlaufzeit als alle anderen, wird die Regel verworfen. Wird jede der sechs Regeln verworfen, lautet die Antwort: keine davon, jedenfalls nach dieser Prüfung. Für den Karateverein und den Roman besteht in der Demo keine der sechs Regeln.

Eine Farbtafel in der Demo zeigt, bei welcher Größe eine Regel danebenliegt. Bestehen heißt aber nicht, dass die Regel das Netz erzeugt hat. Zwei Regeln mit ähnlichen Verbindungszahlen bestehen in der Demo häufig beide, und eine Regel, die aus dem Netz selbst eingestellt wird, übernimmt dessen Eigenheiten und besteht deshalb leichter. Es ist wie bei einem Bestandsabgleich: Eine Abweichung belegt einen Fehler, ein stimmiger Abgleich belegt nicht, dass alles stimmt.

Was das für die Praxis heißt

Wer ein Netz mit einer Zufallsregel vergleichen will, stellt zwei Fragen: Nennt das Verfahren diese Regel? Und besteht die Regel die Prüfung? Erst wenn beides zutrifft, ist sie als Vergleichsmaßstab brauchbar.

Sehr kleine Netze eignen sich schlecht für diese Prüfung: Bei fünfzehn Betrieben bestanden in der Demo vier der sechs Regeln, weil es nichts zu unterscheiden gibt. Dass nichts verworfen wird, heißt dann nicht, dass alle stimmen.

Wie ernst ist das zu nehmen?

Die Demo arbeitet mit gewürfelten Netzen bekannter Herkunft, einem Netz nach einer weiteren Regel, die keine der sechs ist, und drei kleinen echten Netzen; ein anderes Netz außerhalb der sechs Regeln kann sich anders verhalten. Ein Warnzeichen im Betrieb: Wird ein Netz mit einer Zufallsregel verglichen, ohne dass geprüft wurde, ob die Regel es erzeugen könnte, ist der Vergleich wenig belastbar.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Größen: größter Grad / mittlerer Grad, Varianz / Mittel des Grades, Transitivität, Grad-Assortativität, mittlere Weglänge in der größten Komponente, Modularität der gierigen Zerlegung und Anteil der größten Komponente.
• Familien: Erdős–Rényi \(G(n,m)\), Konfigurationsmodell (die Grade eines Barabási–Albert-Netzes, durch Kantentausch neu verdrahtet), Barabási–Albert, Watts–Strogatz, geometrischer Zufallsgraph im Einheitsquadrat und Blockmodell mit drei gleich großen Blöcken; dazu ein Holme–Kim-Netz als Netz außerhalb der Liste.
• Klassifikator: je Familie 60 Trainingsnetze mit derselben Knotenzahl und demselben mittleren Grad wie das untersuchte Netz (Parameter von Watts–Strogatz und Blockmodell zufällig aus festen Bereichen), die Größen standardisiert, 15 nächste Nachbarn.
• Prüfung: das Modell wird aus dem Netz geschätzt und es werden 60 Netze gezogen (einstellbar); ein Modell besteht bei Gesamt-p-Wert mindestens 0,05. Das ist eine Prüfung mit eingesetzten Parametern (parametrischer Bootstrap), keine bayessche Posterior-Predictive-Prüfung.

Die Formeln

Klassifikator. Mit den standardisierten Größen der Trainingsnetze ist die Antwort für die Klasse \(c\) der Anteil

\[\hat P(c) = \frac{1}{15} \, \#\{\text{unter den 15 nächsten Trainingsnetzen ist Klasse } c\}.\]

Anpassung. Die Parameter: Erdős–Rényi \(m\); Konfigurationsmodell die Gradfolge (Kantentausch); Barabási–Albert \(m_{\mathrm{BA}} = k/2\); Watts–Strogatz \(k\) und \(p\) aus der Transitivität \(C\) mit

\[\hat p = 1 - \left( \frac{C}{C_0} \right)^{1/3}, \qquad C_0 = \frac{3 (K - 1)}{2 (2K - 1)}, \quad K = \frac{k}{2};\]

geometrisch der Radius \(r\) mit \(n \, \Pr[\text{Abstand} \le r] = k\) und \(\Pr[\text{Abstand} \le r] = \pi r^2 - \tfrac{8}{3} r^3 + \tfrac{1}{2} r^4\) im Einheitsquadrat; Blockmodell die Zerlegung der gierigen Modularitätsmaximierung und die Dichten zwischen den Gruppen.

Gesamt-p-Wert. Mit dem Mahalanobis-Abstand \(D\) in den standardisierten Größen und der Wolke \(S\) der \(R\) gezogenen Netze ist

\[p = \frac{1 + \#\{ j : D(s^{(j)}; S \setminus s^{(j)}) \ge D(s; S) \}}{R + 1}.\]

Je Größe gilt der zweiseitige empirische p-Wert \(2 \min\{(1 + \#\{\ge\}) / (R + 1),\ (1 + \#\{\le\}) / (R + 1)\}\); der kleinste mögliche Wert ist \(1/(R+1)\).

Befunde

Alle Zahlen stammen aus der README der Demo (jede steht in deren Tests, tests/test_claims.py). Erzeugte Netze haben 150 Knoten und mittleren Grad 3,5 (die Messreihen 100 Knoten), 60 gezogene Netze je Modell; der kleinste p-Wert ist dann 0,016. Die Zufallszahlen eines numpy-Generators sind nicht über Versionen stabil, die Tests prüfen deshalb Bänder.

Frage	Befund
Wie oft stimmt der Klassifikator?	Messreihe mit 100 Knoten, je Familie 20 frisch erzeugte Netze: mit allen sieben Größen 86,7 %, mit nur den zwei Gradgrößen 50,8 %, ohne die Gradgrößen 90,8 %. Die Fehler sind fast nur Barabási–Albert gegen Konfigurationsmodell (9 Konfigurationsnetze als Barabási–Albert, 6 umgekehrt). Das gilt für diesen Klassifikator, nicht für die sieben Größen insgesamt: Eine logistische Regression auf denselben Größen trennte die beiden in einer Gegenmessung der unabhängigen Aussagenprüfung zu 95 bis 98 %.
Besteht das wahre Modell, besteht ein falsches?	Messreihe mit 100 Knoten, je Familie 6 Netze, jedes gegen alle sechs Modelle, 40 gezogene Netze je Prüfung: das wahre Modell besteht in 97 % der Fälle, ein falsches im Mittel in 11 %. Erdős–Rényi-Netze bestehen gegen das Konfigurationsmodell in allen 6 Netzen und gegen das Blockmodell in 83 %.
Was antwortet der Klassifikator bei einem Netz aus keiner Familie?	Holme–Kim (Transitivität 0,19, größter Grad das 8,4-fache des mittleren): bei Zufalls-Seeds 1 bis 8 nennt der Klassifikator nur Barabási–Albert oder Konfigurationsmodell (die Wahrheit steht nicht zur Wahl), und bei 8 von 8 Netzen besteht kein Modell die Prüfung.
Und bei echten Netzen?	Karateclub (34 Knoten): Klassifikator Barabási–Albert 53 % (Konfigurationsmodell 47 %), aber kein Modell besteht (alle sechs p-Werte 0,016); Les Misérables (77 Knoten): Barabási–Albert 60 % (Konfigurationsmodell 40 %), kein Modell besteht (bester p-Wert 0,033). Welche der beiden Familien führt, hängt an den gezogenen Trainingsnetzen: bei elf Ziehungen nannte der Klassifikator den Karateclub in 9 von 11 Barabási–Albert, Les Misérables nur in 4 von 11. Florentiner Familien (15 Knoten): Erdős–Rényi 40 % (gleichauf mit Barabási–Albert), aber vier Modelle bestehen (bester p-Wert 0,75).

Grenzen

• Bestanden heißt nicht erzeugt: Das Blockmodell wird an die Zerlegung des Netzes angepasst und kann viel auffangen (Zufallsnetze zu 83 %); bei 15 Knoten besteht fast jedes Modell. Die Prüfung kann Modelle verwerfen, nicht bestätigen.
• Eingesetzte Parameter, dieselben Daten: Die Parameter kommen aus dem Netz, das geprüft wird; das macht die Prüfung eher nachsichtig. Die gemessene Quote des wahren Modells (97 % bei zu erwartenden 95 %) beruht auf 36 Netzen und sagt dazu wenig.
• Grobe p-Werte: Bei 60 gezogenen Netzen ist der kleinste p-Wert 0,016. Der Gesamt-p-Wert hängt am gewählten Abstand und an der Wahl der sieben Größen.
• Die Antwort des Klassifikators hängt von den Trainingsnetzen ab: Barabási–Albert gegen Konfigurationsmodell ist für diesen Klassifikator fast ein Münzwurf; derselbe Netztyp wechselte beim Runden des Trainingsgrades zwischen den beiden Antworten, und bei Les Misérables nannte er nur in 4 von 11 Ziehungen Barabási–Albert.
• Nur sechs Familien, sieben Größen, ungerichtete Netze: Ein anderes Netz außerhalb der Liste kann sich anders verhalten; ein Ring mit Hubs wurde in einer Vorprüfung vom Blockmodell aufgefangen.

Quellen

• Gelman, A., Meng, X.-L., Stern, H. (1996): Posterior predictive assessment of model fitness via realized discrepancies. Statistica Sinica 6.
• Clauset, A., Newman, M. E. J., Moore, C. (2004): Finding community structure in very large networks. Physical Review E 70.
• Barrat, A., Weigt, M. (2000): On the properties of small-world network models. European Physical Journal B 13.
• Holme, P., Kim, B. J. (2002): Growing scale-free networks with tunable clustering. Physical Review E 65.
• Quelltext, Netze und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/modellwahl-netze-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; die Angaben stammen aus der README der Demo und aus dem Gedächtnis des Autors und sind nicht gegen die Originale geprüft.