Abbrecher in der Schlange verständlich erklärt

Wenn Wartende ungeduldig abspringen, ändern sich Wartezeit, Auslastung und Spurbedarf an einem Gate. Die zugehörige Demo ist eine von mehreren zum Thema Warteschlangen und Simulation; sie baut auf der Demo mit mehreren Spuren und gemeinsamer Schlange auf. Diese Seite erklärt zuerst ohne Formeln, was Abbrecher ändern, und danach für Fachleute mit Modell, Formeln, Messwerten und Grenzen.

Zuletzt aktualisiert: 28. Oktober 2026

Ein Wort unbekannt? Das Begriffsverzeichnis erklärt es in wenigen Sätzen.

Wenn Wartende einfach wegfahren

Am Eingang eines Containerterminals, dem Gate, werden Lkw an mehreren Spuren abgefertigt. Wer ankommt und alle Spuren belegt findet, reiht sich in eine gemeinsame Schlange ein. Ein bekanntes Rechenmodell dafür, Erlang C, nimmt an, dass jeder wartet, bis er dran ist.

Echte Fahrer geben aber auf. Nach einer Weile, ihrer Geduld, verlassen sie die Schlange, ohne abgefertigt zu werden: Sie brechen ab. Das Modell mit solchen Abbrechern heißt Erlang A. Diese Seite erklärt, was das an Wartezeit, Auslastung und nötigen Spuren ändert.

Die einfache Rechnung sagt viel zu viel Warten voraus

Ist das Gate fast voll ausgelastet, wächst im Modell ohne Abbrecher die Schlange und mit ihr die Wartezeit sehr stark. Mit Abbrechern ist das anders: Wer lange warten müsste, fährt vorher weg, und die Schlange wird dadurch kürzer. Die Wartezeit, die Erlang C vorhersagt, liegt deshalb weit über der, die sich mit Abbrechern ergibt.

Der Abstand ist bei wenigen Spuren am größten und wird bei sehr vielen Spuren kleiner, bleibt aber deutlich. Die Wartezeit in der Demo zählt alle Lkw mit, auch die Abbrecher bis zu dem Moment, in dem sie aufgeben.

Auch zu viel Andrang hat ein Gleichgewicht

Kommen im Schnitt mehr Lkw an, als die Spuren abfertigen können, ist das im Modell ohne Abbrecher ein Problem ohne Antwort: Die Schlange würde ohne Grenze wachsen. Mit Abbrechern begrenzt sie sich selbst, denn je länger sie ist, desto mehr Lkw geben auf. Die Schlange pendelt sich auf eine Länge ein, bei der ankommende, abgefertigte und abbrechende Lkw im Gleichgewicht sind.

Bei sehr vielen Spuren bricht ab, was die Spuren nicht abfertigen können. Bei wenigen Spuren liegt die Quote darüber, solange Schwankungen mitspielen.

Die Form der Geduld zählt

Zwei Gruppen von Fahrern können im Mittel gleich lange warten und sich doch ganz verschieden verhalten. In der einen geben manche sofort auf und andere warten sehr lange, in der anderen wartet jeder genau gleich lang. Die Demo vergleicht vier solche Verteilungen mit demselben Mittel.

Das Ergebnis hängt von der Auslastung ab. Nahe voller Auslastung macht die Form viel aus: In der Messreihe der Demo mit vielen Spuren brechen die wenigsten ab, wenn jeder genau gleich lang wartet, und die Wartezeit ist dann am längsten. In starker Überlast spielt die Form dagegen praktisch keine Rolle mehr. Die Zahlen dazu stehen im Fachteil.

Was bedeutet das für die Planung?

Die Demo fragt auch, wie viele Spuren ein Gate braucht, wenn nur ein kleiner Teil der Lkw abbrechen darf. Zum Vergleich dient ein System ohne Warteplatz: Dort fährt sofort weg, wer alle Spuren belegt findet. Wer Wartende in der Schlange zulässt, spart Spuren, weil Spitzen abgepuffert statt abgewiesen werden. Je geduldiger die Lkw sind, desto größer die Ersparnis.

Bei großen Gates darf das Angebot (Ankunftsrate geteilt durch die Abfertigungsrate einer Spur) sogar über der Zahl der Spuren liegen, wenn einige Abbrecher in Kauf genommen werden.

Wie ernst ist das Modell zu nehmen?

Die Demo ist ein vereinfachtes Modell. Die Geduld hängt nur vom Zufall ab, nicht von der Länge der Schlange: Kein Fahrer sieht, wie viele vor ihm stehen, und wer abgebrochen hat, kommt nicht wieder. Die Ankunftsrate ist konstant, alle Lkw sind gleich wichtig, und die Abfertigungsdauer streut nach einer einfachen mathematischen Verteilung, der Exponentialverteilung.

Alle Ergebnisse folgen aus den Modellannahmen, aus Formeln und aus Simulationen, nicht aus Messungen an einem echten Gate. Die Demo zeigt, wie die Mechanik wirkt, nicht wie viel ein bestimmtes Gate spart.

Hinweis: Alle Demos rechnen mit synthetischen oder frei verfügbaren Beispieldaten und laufen auf einem externen Anbieter (Datenschutz). Bitte geben Sie darin keine vertraulichen oder personenbezogenen Daten ein. Die Ergebnisse gelten für die jeweilige Demo-Instanz und lassen sich nicht ungeprüft auf reale Fälle übertragen; für darauf gestützte Entscheidungen übernehme ich keine Gewähr.

Modell und Annahmen

Dieser Teil ist eigenständig lesbar. Er fasst die formale Beschreibung der Demo zusammen; die vollständige Fassung steht im Expander „📐 Mathematische Formulierung“ der Demo.

• Schlange: Poisson-Ankünfte mit Rate \(\lambda\), exponentielle Abfertigung mit Rate \(\mu\) je Spur (3 min Mittel), \(c\) Spuren, eine gemeinsame FIFO-Schlange (Kendall-Notation M/M/c+M). Auslastung je Spur \(\rho = \lambda/(c\mu)\), auch über 100 %; Angebot \(a = \lambda/\mu\).
• Geduld: Wer warten muss, bricht nach einer zufälligen Zeit mit Mittel \(1/\theta\) ab (Voreinstellung 5 min); wer schon bedient wird, geht nicht mehr. Die Geduld ist unabhängig vom Zustand der Schlange, Abbrecher kommen nicht wieder.
• Grenzfälle: \(\theta \to 0\) (unendliche Geduld) ist Erlang C, \(\theta \to \infty\) (Geduld null) das Verlustsystem Erlang B.
• Simulation: Ereignisliste mit Ankünften, Abgängen und Abbruch-Terminen; die Geduld wird für jeden Lkw bei der Ankunft gezogen. Vier Verteilungen mit demselben Mittel: exponentiell, gleichverteilt (0 bis 2·Mittel), fest und lognormal (Variationskoeffizient 1,5). Der Lauf startet leer; ausgewertet werden nur Lkw, die nach der Einschwingzeit max(30 min, 5 × mittlere Geduld) ankommen.
• Wartezeit: die mittlere Wartezeit aller Lkw einschließlich der Abbrecher bis zum Abbruch.

Gleichgewicht und Kennzahlen

Die Zahl \(N\) der Lkw im System (Wartende und in Abfertigung) ist eine Geburts-Sterbe-Kette: Ankünfte erhöhen sie mit der Rate \(\lambda\), Abgänge senken sie bei \(n\) Lkw mit der Rate

\[d_n = \min(n, c)\,\mu + (n - c)^+\,\theta\]

Höchstens \(c\) Lkw sind in Abfertigung (je mit Rate \(\mu\)), und jeder der \((n - c)^+\) Wartenden bricht mit Rate \(\theta\) ab. Weil die Abgangsrate mit der Schlange wächst, gibt es für \(\theta > 0\) für jede Auslastung eine stationäre Verteilung, auch über 100 %:

\[p_n = p_0 \prod_{k=1}^n \frac{\lambda}{d_k}\]

Aus \(p_n\) folgen die mittlere Schlangenlänge \(L_q\), die Wahrscheinlichkeit zu warten und der Durchsatz. Die Bilanz der Abbrecher (abgebrochene Lkw je Minute gleich \(\theta\) mal mittlere Schlangenlänge, ankommende Lkw je Minute gleich \(\lambda\)) liefert die Abbruchquote:

\[P(\text{ab}) = \theta L_q/\lambda\]

Nach Little ist die mittlere Wartezeit aller Lkw \(W_q = L_q/\lambda\), die Abbrecher bis zum Abbruch eingerechnet.

Überlast

Für sehr viele Spuren (\(c \to \infty\), Fluid-Grenzwert) gilt:

\[P(\text{ab}) \to \max(0,\ 1 - 1/\rho)\]

Bei \(\rho > 1\) bricht ab, was die Spuren nicht abfertigen können. Bei wenigen Spuren liegt die Quote darüber, solange Schwankungen mitspielen, und unterhalb von 100 % Auslastung ist sie nicht null.

Befunde

Alle Zahlen stammen aus den Formelwerten und der vorgerechneten Studie der Demo (jede steht in deren Tests). Wo nichts anderes steht, gelten 3 min Abfertigung je Spur und eine mittlere Geduld von 5 min; die Wartezeit ist die mittlere Wartezeit aller Lkw einschließlich der Abbrecher. Die Studie mittelt je Zelle 20 Läufe à 50 000 Lkw (Standardfehler der Abbruchquoten höchstens 0,13 Prozentpunkte). Das Angebot \(a\) ist Ankunftsrate geteilt durch Abfertigungsrate einer Spur.

Frage	Befund
Wie falsch liegt Erlang C?	Bei \(\rho\) = 95 %: 4 Spuren sagt Erlang C 13,4 min voraus, Erlang A 0,77 min (das 17-Fache); 10 Spuren 4,95 gegen 0,45 min (11-fach); 50 Spuren 0,75 gegen 0,15 min (5-fach).
Wie viele brechen ab?	10 Spuren, \(\rho\) = 95 %: 9,0 %, mittlere Wartezeit aller Lkw 0,45 min. Mit nur 1 min Geduld 13,6 % (Wartezeit 0,14 min, Auslastung 82 %), mit 30 min Geduld 4,3 %.
Und in Überlast?	Es gibt ein Gleichgewicht: \(\rho\) = 130 %, 10 Spuren: 24,8 % brechen ab, die Spuren sind zu 97,8 % ausgelastet; Erlang C hat dort keine Antwort. Der Grenzwert passt: bei \(\rho\) = 130 % brechen mit 4 / 10 / 50 / 200 Spuren 28,5 / 24,8 / 23,1 / 23,08 % ab, gegen den Grenzwert 23,08 %.
Zählt die Form der Geduld?	Ja, nahe 100 % Auslastung. 50 Spuren, \(\rho\) = 100 %, Mittel 5 min: Abbruchquote exponentiell 5,0 %, gleichverteilt 4,1 %, lognormal 4,4 %, fest 1,2 %; mittlere Wartezeit 0,25 / 0,40 / 0,31 / 2,39 min (fest: das 9,5-Fache). In starker Überlast kaum: bei \(\rho\) = 130 % beträgt die Spannweite der Abbruchquote über die vier Verteilungen 0,1 Prozentpunkte bei 50 Spuren (3,9 Punkte bei \(\rho\) = 100 %), 1,8 bei 10 Spuren, 4,3 bei 4 Spuren.
Wie viele Spuren spart das Warten-Lassen?	Ziel höchstens 1 % Abbrecher, Geduld 5 min: Angebot \(a\) = 10: 15 gegen 18 Spuren ohne Warteplatz (Erlang B), \(a\) = 50: 57 gegen 64, \(a\) = 200: 209 gegen 221. Bei \(a\) = 50 nach Geduld 0,25 / 1 / 5 / 60 min: 62 / 60 / 57 / 52 Spuren. Bei Ziel 5 % Abbrecher braucht \(a\) = 100 nur 98 Spuren und \(a\) = 200 nur 192.
Stimmt die Simulation?	Bei exponentieller Geduld liegt das Mittel der 20 Läufe in allen 15 Zellen der Studie innerhalb von vier Standardfehlern an der Formel.

Grenzen

• Geduld: unabhängig vom Zustand der Schlange; Kunden kennen die Schlangenlänge nicht und kommen nach dem Abbruch nicht wieder.
• Auswahl: Die vier Geduld-Verteilungen sind eine Auswahl, keine Vollständigkeit. Die Studie hat 20 Läufe je Zelle; die Unterschiede bei 130 % sind teilweise Rauschen.
• Raster: Die Studie läuft bei drei Spurzahlen (4, 10, 50) und fünf Auslastungen (80 bis 130 %); die App zeigt die nächste Zelle.
• Wartezeit: die mittlere Wartezeit aller Lkw einschließlich der Abbrecher; die Wartezeit der Bedienten allein steht nur in der Simulation, nicht als Formel.
• Spurbedarf: rechnet mit der Abbruchquote als Ziel; Ziele wie „95 % der Bedienten warten höchstens 5 min“ führen zu anderen Zahlen.
• Einzellauf: Die Live-Ansicht rechnet einen Lauf, der um die Formel streut.
• Aufgehobene Annahmen: Konstante Ankunftsrate, exponentielle Abfertigungsdauer, unbegrenzte Schlange und gleich wichtige Lkw sind Annahmen, die weitere Demos zum Thema aufheben. Keine weitere Demo gibt es für die Form der Geduld über die vier Beispiele hinaus, für Wiederkehrer nach dem Abbruch und für Kunden, die die Schlangenlänge kennen.

Quellen

• Garnett, O., Mandelbaum, A., Reiman, M. (2002): Designing a call center with impatient customers. Manufacturing & Service Operations Management 4(3), 208–227.
• Zeltyn, S., Mandelbaum, A. (2005): Call centers with impatient customers: many-server asymptotics of the M/M/n+G queue. Technion-Manuskript.
• Quelltext, Studie und Tests der Demo: github.com/sebastian-hanisch/erlang-a-demo.

Die genannten Arbeiten wurden für diese Seite nicht nachgeschlagen; die Literaturhinweise stammen aus der README der Demo.